Work Done by Constant Force Questions in Gujarati

(D) અચળ બળ $\overrightarrow{F}$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ જે સ્થાનાંતર $\overrightarrow{S}$ ઉત્પન્ન કરે છે,તે અદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = FS \cos \theta$.
આપેલ છે: બળ $F = 50 \, N$,સ્થાનાંતર $S = 10 \, m$,અને ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ$.
કારણ કે $\cos 60^\circ = 0.5$,તેથી $W = 500 \times 0.5 = 250 \, J$.

(A) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r_2}$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r_1}$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (14\hat i + 13\hat j + 9\hat k) - (3\hat i + 2\hat j - 6\hat k) = 11\hat i + 11\hat j + 15\hat k \, m$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (4\hat i + \hat j + 3\hat k) \cdot (11\hat i + 11\hat j + 15\hat k)$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \, J$.

(C) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec r$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec r$
અહીં $\vec F = (5\hat i + 3\hat j) \text{ N}$ અને $\vec r = (2\hat i - 1\hat j) \text{ m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$
એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat i \cdot \hat i = 1, \hat j \cdot \hat j = 1, \hat i \cdot \hat j = 0)$:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = 7 \text{ J}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) અચળ બળ $\overrightarrow{F}$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{S}$ ના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) દ્વારા મળે છે.
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S}$
અહીં $\overrightarrow{F} = 5\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{S} = 6\hat{i} + 0\hat{j} - 5\hat{k}$ આપેલ છે.
$W = (5\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 0\hat{j} - 5\hat{k})$
$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય ગુણાકાર $0$ થાય છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$W = (5 \times 6) + (6 \times 0) + (4 \times -5)$
$W = 30 + 0 - 20$
$W = 10 \ J$.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{r}$ દરમિયાન કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
આપેલ બળ $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k})\,N$ છે.
સ્થાનાંતર $Y$-અક્ષ પર $10\,m$ છે,તેથી $\vec{r} = 10\hat{j}\,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0)$
$W = 0 + 150 + 0 = 150\,J$.
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $150\,J$ છે.

(A) કાર્ય $W$ એ બળ $\overrightarrow F$ અને સ્થાનાંતર $\overrightarrow s$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow s$
આપેલ છે કે $\overrightarrow F = 4\hat i + 5\hat j$ અને $\overrightarrow s = 3\hat i + 6\hat k$.
$W = (4\hat i + 5\hat j) \cdot (3\hat i + 6\hat k)$
એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\hat i \cdot \hat i = 1$, $\hat j \cdot \hat j = 1$, $\hat k \cdot \hat k = 1$, અને $\hat i \cdot \hat j = \hat j \cdot \hat k = \hat k \cdot \hat i = 0$:
$W = (4 \times 3)(\hat i \cdot \hat i) + (4 \times 6)(\hat i \cdot \hat k) + (5 \times 3)(\hat j \cdot \hat i) + (5 \times 6)(\hat j \cdot \hat k)$
$W = 12(1) + 0 + 0 + 0 = 12 \text{ J}$.

(A) બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec S$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec F \cdot \vec S$.
આપેલ છે કે $\vec F = 3\hat i + c\hat j + 2\hat k$ અને $\vec S = -4\hat i + 2\hat j - 3\hat k$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $W = (3\hat i + c\hat j + 2\hat k) \cdot (-4\hat i + 2\hat j - 3\hat k)$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $W = (3)(-4) + (c)(2) + (2)(-3) = -12 + 2c - 6 = 2c - 18$.
આપેલ છે કે થયેલું કાર્ય $W = 6 \ J$ છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $2c - 18 = 6$.
બંને બાજુ $18$ ઉમેરતા: $2c = 24$.
$2$ વડે ભાગતા: $c = 12$.

(B) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec s$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec s$
અહીં $\vec F = (5\hat i + 3\hat j) \ N$ અને $\vec s = (2\hat i - 1\hat j) \ m$ આપેલ છે.
$W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો $\hat i \cdot \hat i = 1$,$\hat j \cdot \hat j = 1$,અને $\hat i \cdot \hat j = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = 7 \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગોળાનું સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા સ્થાનાંતરની દિશા (વેગ સદિશ) ને લંબ હોવાથી,બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી એક સંપૂર્ણ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $0$ છે.

(D) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે તાત્કાલિક સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા સદિશ હંમેશા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો હંમેશા $90^\circ$ હોય છે.
તેથી,કોઈપણ નાના સ્થાનાંતર માટે થયેલું કાર્ય $dW = F \cdot ds \cdot \cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.
પરિણામે,એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દરમિયાન થયેલું કુલ કાર્ય $0 \, J$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 3 \times 10^7 \, kg$,બળ $F = 5 \times 10^4 \, N$,અંતર $s = 3 \, m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5 \times 10^4}{3 \times 10^7} = \frac{5}{3} \times 10^{-3} \, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 0^2 + 2 \times \left( \frac{5 \times 10^4}{3 \times 10^7} \right) \times 3$.
$v^2 = 2 \times \left( \frac{5}{3} \times 10^{-3} \right) \times 3 = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \, m/s$.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = Fs \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,$F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને ગતિની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $W = 25 \, J$,$F = 5 \, N$,અને $s = 10 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 = 5 \times 10 \times \cos \theta$
$25 = 50 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કોઈ પદાર્થને ઊંચકવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર: $W = mgh$ છે.
અહીં,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર (ઊંચાઈ) છે.
પુસ્તકનું વજન $W_b = mg$ હોવાથી,કાર્યને $W = W_b \times h$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય ફક્ત પુસ્તકના વજન અને બુકશેલ્ફની ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે.
તે કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લીધેલા સમય પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે સમય એ પાવર (પાવર = કાર્ય / સમય) ની ગણતરીમાં વપરાય છે,કાર્યમાં નહીં.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ સુધી ઊંચકવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = mgh$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બંને માણસો માટે દળ $m$ અને ઊંચાઈ $h$ સમાન છે.
કારણ કે કાર્ય એ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લીધેલા સમય પર આધારિત નથી,તેથી બંને માણસો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન છે.
તેથી,થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $W_1 : W_2 = mgh : mgh = 1:1$ થશે.

(C) અચળ બળ $\overrightarrow F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\overrightarrow s$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow s$.
આપેલ છે: $\overrightarrow F = (5\hat i + 3\hat j) \, N$ અને $\overrightarrow s = (2\hat i - 1\hat j) \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (5\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - 1\hat j)$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat i \cdot \hat i = 1$ અને $\hat i \cdot \hat j = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) = 10 - 3 = 7 \, J$.

(D) અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર $s = h$ પણ નીચેની દિશામાં જ થાય છે.
બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોવાથી,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે,અને $\cos(0^\circ) = 1$ થાય.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = mgh$ થશે.
અહીં $m = 10\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,અને $h = 10\, m$ આપેલ છે.
$W = 10 \times 9.8 \times 10 = 980\, J$.
પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન (positive) મળે છે.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે।
કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા અદિશ રાશિ આપે છે, તેથી કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે।
સ્થાનાંતર, વિદ્યુતક્ષેત્ર અને પ્રવેગ એ ત્રણેય સદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે।

(B) લીસા ઢળતા સમતલ પર બ્લોકને અચળ વેગથી ઉપર ખેંચવા માટે જરૂરી બળ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું હોય છે,જે $F = mg \sin \theta$ છે.
અહીં બ્લોકનું વજન $mg = 2 \, kN = 2000 \, N$,સમતલની લંબાઈ $s = 10 \, m$,અને નમનકોણ $\theta = 15^\circ$ આપેલ છે.
કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $W = F \times s = (mg \sin \theta) \times s$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2000 \times \sin(15^\circ) \times 10$.
$\sin(15^\circ) \approx 0.2588$ હોવાથી,આપણને $W = 2000 \times 0.2588 \times 10 = 5176 \, J$ મળે છે.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $W = 5.176 \, kJ \approx 5.17 \, kJ$.

(D) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec s$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec s$
અહીં $\vec F = 5\hat i + 6\hat j - 4\hat k$ અને $\vec s = 6\hat i + 0\hat j + 5\hat k$ આપેલ છે.
$W = (5\hat i + 6\hat j - 4\hat k) \cdot (6\hat i + 0\hat j + 5\hat k)$
$W = (5 \times 6) + (6 \times 0) + (-4 \times 5)$
$W = 30 + 0 - 20$
$W = 10 \text{ એકમ}$.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 5 \, N$,દળ $m = 15 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 1 \, s$.
સૌ પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો: $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \, m/s^2$.
ત્યારબાદ,ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર $s$ શોધો: $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(1) + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times (1)^2 = \frac{1}{6} \, m$.
અંતે,કાર્ય $W$ શોધવા માટે $W = F \times s$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $W = 5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \, J$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = mgh$ છે.
અહીં,દળ $m = 10 \, kg$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$,અને ઊંચાઈ $h = 1 \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $W = 10 \times 9.8 \times 1 = 98 \, J$ મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે લાગતો સમય અપ્રસ્તુત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $S = \frac{t^2}{4}$ છે।
વેગ $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{4}\right) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \, m/s$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{1}{2} \, m/s^2$.
બળ $F = m \cdot a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \, N$.
થયેલું કાર્ય $W = \int F \, dS = \int_0^2 F \cdot v \, dt = \int_0^2 3 \cdot \frac{t}{2} \, dt$.
$W = \frac{3}{2} \int_0^2 t \, dt = \frac{3}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \, J$.

(D) અચળ બળ $\overrightarrow{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\overrightarrow{s}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$
આપેલ છે:
$\overrightarrow{F} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, N$
$\overrightarrow{s} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \cdot (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = (3 \times 3) + (4 \times 4)$
$W = 9 + 16$
$W = 25 \, J$

(D) કુલ દળ $m$ જે ઉપર લઈ જવામાં આવે છે તે માણસનું દળ અને ભારનો સરવાળો છે: $m = 50\,kg + 20\,kg = 70\,kg$.
ચઢેલી કુલ ઊંચાઈ $h$ એ પગથિયાંની સંખ્યા અને દરેક પગથિયાંની ઊંચાઈનો ગુણાકાર છે: $h = 20 \times 0.25\,m = 5\,m$.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે $(g \approx 9.8\,m/s^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 70\,kg \times 9.8\,m/s^2 \times 5\,m = 3430\,J$.

(D) બળ $\overrightarrow{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\overrightarrow{s}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{F} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\overrightarrow{s} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}$.
કારણ કે થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી $W = 0$.
સદિશોને ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}) = 0$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times x) = 0$
$12 - 6 - 3x = 0$
$6 - 3x = 0$
$3x = 6$
$x = 2$.

(A) સ્થાનાંતર $\vec{d}$ એ $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{d} = (14\hat{i} + 13\hat{j} + 9\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) = 11\hat{i} + 11\hat{j} + 15\hat{k}$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
$W = (4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (11\hat{i} + 11\hat{j} + 15\hat{k})$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \text{ J}$.

(C) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{s}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
આપેલ છે કે $\vec{F} = 3\hat{i} + c\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{s} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,અને $W = 6\,J$.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$6 = (3\hat{i} + c\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$6 = (3 \times -4) + (c \times 2) + (2 \times 3)$
$6 = -12 + 2c + 6$
$6 = -6 + 2c$
$12 = 2c$
$c = 6$.

(B) અચળ બળ દ્વારા થતા કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot d$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $d$ એ બળની દિશામાં થયેલું સ્થાનાંતર છે.
જો બળ બમણું કરવામાં આવે $(F' = 2F)$ અને સ્થાનાંતર પણ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કાર્ય $W'$ નીચે મુજબ થશે:
$W' = F' \cdot d' = (2F) \cdot (2d) = 4 \cdot (F \cdot d) = 4W$.
તેથી,કાર્ય મૂળ કાર્ય કરતા $4$ ગણું થશે.

(D) અચળ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શોધવાનું સૂત્ર $W = F S \cos \theta$ છે,જ્યાં $F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,$S$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 10\, N$
સ્થાનાંતર $S = 4\, m$
ખૂણો $\theta = 60^\circ$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 10 \times 4 \times \cos 60^\circ$
કારણ કે $\cos 60^\circ = 0.5$ છે,તેથી:
$W = 10 \times 4 \times 0.5 = 20\, J$.
આમ,બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $20\, J$ છે.

(A) થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\overrightarrow F$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow S$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow S$
અહીં $\overrightarrow F = (5\hat i + 4\hat j + 0\hat k) \ N$ અને $\overrightarrow S = (6\hat i - 5\hat j + 3\hat k) \ m$ આપેલ છે.
$W = (5\hat i + 4\hat j + 0\hat k) \cdot (6\hat i - 5\hat j + 3\hat k)$
$W = (5 \times 6) + (4 \times -5) + (0 \times 3)$
$W = 30 - 20 + 0$
$W = 10 \ J$.

(B) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec r$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec r$
અહીં $\vec F = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \, N$ અને $\vec r = (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k) \, m$ આપેલ છે.
$W = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \cdot (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0 = 7 \, J$
તેથી,થયેલ કાર્ય $+7 \, J$ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ તેના પર અચળ બળ $F$ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
$K.E. = W = F \times s$
અહીં બળ $F$ અને અંતર $s$ અચળ આપેલા હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ પદાર્થના દળ $m$ પર આધાર રાખતી નથી.
ગાણિતિક રીતે,$K.E. \propto m^0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec F$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec s$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$W = \vec F \cdot \vec s$
અહીં $\vec F = 4\hat i + 5\hat j + 0\hat k$ અને $\vec s = 3\hat i + 0\hat j + 6\hat k$ આપેલ છે.
$W = (4\hat i + 5\hat j + 0\hat k) \cdot (3\hat i + 0\hat j + 6\hat k)$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ $\hat i \cdot \hat i = 1$,$\hat j \cdot \hat j = 1$,$\hat k \cdot \hat k = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે:
$W = (4 \times 3) + (5 \times 0) + (0 \times 6)$
$W = 12 + 0 + 0 = 12$ એકમ.
આ કિંમત વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$4 \times 3 = 12$ એકમ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) માણસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,માણસ પર કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
માણસ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
જેમ માણસ પૃથ્વીની સપાટી પર ચાલે છે,તેમ તેનું સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r}$ હંમેશા સપાટીને સ્પર્શક હોય છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_g$ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ (સપાટીને લંબ) હોય છે.
સ્થાનાંતર સદિશ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વચ્ચેનો ખૂણો દરેક બિંદુએ $90^{\circ}$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int F_g \cos(90^{\circ}) dr = 0$ થાય છે.
તેથી,માણસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $0$ છે.

(A) થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{s}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{F} = (6\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N}$ અને $\overrightarrow{s} = (3\hat{i} - \hat{j}) \text{ m}$.
$W = (6\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = (6 \times 3) + (2 \times -1)$
$W = 18 - 2$
$W = 16 \text{ J}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ એક બોક્સને ઉપર ઉઠાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ બોક્સનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ ઊંચાઈ છે જેના દ્વારા તેને ઉઠાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $mg$ એ બોક્સનું વજન દર્શાવે છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય એ બોક્સના વજન અને તેને ઉઠાવવામાં આવેલી ઊંચાઈના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય તે ઊંચાઈ $h$ પર આધાર રાખે છે જ્યાં સુધી બોક્સને ઉઠાવવામાં આવે છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ ઊર્ધ્વ સ્થાનો પર આધાર રાખે છે.
ધારો કે સૌથી નીચો બિંદુ સંદર્ભ સ્તર $(h=0)$ છે.
એક અંતિમ છેડા પર,ઊંચાઈ $h$ છે,તેથી સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = mgh$ છે.
બીજા અંતિમ છેડા પર પણ ઊંચાઈ $h$ છે,તેથી સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = mgh$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = -(U_f - U_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W_g = -(mgh - mgh) = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ગોળાનું કુલ ઊર્ધ્વ સ્થાનાંતર શૂન્ય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણ એ ઊર્ધ્વ બળ હોવાથી,કુલ કાર્ય શૂન્ય થાય છે.

(C) માણસ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય તેના પોતાના વજન અને ભારને અમુક ઊંચાઈ $h$ સુધી લઈ જવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ હોય છે.
કાર્યનું સૂત્ર $W = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ કુલ દળ $(50 \ kg + 10 \ kg = 60 \ kg)$ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઈમારતની ઊંચાઈ છે.
ઈમારત પર ચઢવા માટે લાગતા સમયને ધ્યાનમાં લીધા વિના દળ,ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઊંચાઈ અચળ રહે છે,તેથી કરવામાં આવતું કાર્ય સમાન રહે છે.
તેથી,$2 \ \text{min}$ માં કરવામાં આવતું કાર્ય પણ $6 \times 10^4 \ J$ જ રહેશે.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = FS \cos \theta$ છે.
આપેલ છે: બળ $F = 5 \ N$,સ્થાનાંતર $S = 10 \ m$,અને કાર્ય $W = 25 \ J$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$25 = 5 \times 10 \times \cos \theta$
$25 = 50 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = 60^\circ$ થાય.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mV^2}{r}$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,પદાર્થનું સ્થાનાંતર $ds$ એ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
કેન્દ્રગામી બળ (કેન્દ્ર તરફ) અને સ્થાનાંતર (સ્પર્શક તરફ) વચ્ચેનો ખૂણો હંમેશા $90^\circ$ હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^\circ) ds$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય કોઈપણ સ્થાનાંતર માટે $0$ થાય છે,જેમાં પરિઘનું અડધું અંતર પણ સામેલ છે.

(C) કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = F S \cos \theta$
જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાર્ય શૂન્ય $(W = 0)$ થવા માટે,$\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય.
તેથી,બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{S}$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વર્તુળાકાર પથ પરના કોઈપણ બિંદુએ,સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{s}$ એ પથને સ્પર્શક હોય છે.
ત્રિજ્યા સદિશ એ કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા તાત્કાલિક સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ ને લંબ હોય છે.
થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{F} \perp d\vec{s}$ હોવાથી,ડોટ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
તેથી,કુલ કાર્ય $W = \int 0 = 0$ થાય છે.

(A) માણસ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય એ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં થયેલું કાર્ય $(W_{Hz})$: કારણ કે બળ (ડોલનું વજન) શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય. આમ,$W_{Hz} = F \cdot d \cdot \cos(90^{\circ}) = 0 \ J$.
શિરોલંબ દિશામાં થયેલું કાર્ય $(W_{vert})$: માણસ ડોલને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ દિશામાં ઊંચકે છે,તેથી લાગુ પડતું બળ તેના વજન $(60 \ N)$ જેટલું છે અને સ્થાનાંતર $5 \ m$ ઉપરની તરફ છે. આમ,$W_{vert} = F \cdot d \cdot \cos(0^{\circ}) = 60 \ N \times 5 \ m = 300 \ J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{Hz} + W_{vert} = 0 \ J + 300 \ J = 300 \ J$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 20 \ kg$,બળ $F = 5 \ N$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 1 \ s$.
સૌ પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો: $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{20} = 0.25 \ m/s^2$.
ત્યારબાદ,ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર $s$ શોધો: $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(1) + \frac{1}{2}(0.25)(1)^2 = 0.125 \ m$.
અંતે,કાર્ય $W$ શોધવા માટે $W = F \times s$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $W = 5 \times 0.125 = 0.625 \ J$.
આમ,$0.625 = \frac{5}{8}$ હોવાથી,થતું કાર્ય $\frac{5}{8} \ J$ છે.

(C) જ્યારે બોલને ટાવરની ટોચ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોય છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $u = 0$ હોવાથી,$h_n \propto (2n - 1)$ થાય.
$n = 1, 2, 3$ માટે,અંતરનો ગુણોત્તર $h_1 : h_2 : h_3 = (2(1)-1) : (2(2)-1) : (2(3)-1) = 1 : 3 : 5$ મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = mgh$ છે.
અહીં $m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,કાર્યનો ગુણોત્તર એ કપાયેલા અંતરના ગુણોત્તર જેટલો જ થાય:
$W_1 : W_2 : W_3 = h_1 : h_2 : h_3 = 1 : 3 : 5$.

(B) અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \, N$.
સ્થાનાંતર $Y$-અક્ષની દિશામાં $10 \, m$ છે,તેથી $\vec{S} = 10\hat{j} \, m$.
કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0) = 150 \, J$.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 5 \ N$,દળ $m = 15 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = F/m = 5/15 = 1/3 \ m/s^2$.
સમય $t$ માં પદાર્થનું સ્થાનાંતર $s = ut + 1/2 at^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $u = 0$ હોવાથી,$s = 1/2 \times (1/3) \times (1)^2 = 1/6 \ m$.
થતું કાર્ય $W = F \times s = 5 \times (1/6) = 5/6 \ J$.

(B) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r_2}$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r_1}$ નો તફાવત છે.
$\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (8\hat i + 6\hat j - 3\hat k) - (4\hat i - 2\hat j + 5\hat k) = (4\hat i + 8\hat j - 8\hat k) \, m$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5\hat i + 6\hat j - 7\hat k) \cdot (4\hat i + 8\hat j - 8\hat k)$.
$W = (5 \times 4) + (6 \times 8) + (-7 \times -8) = 20 + 48 + 56 = 124 \, J$.

(D) બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec d$ માટે થતું કાર્ય $W$ એ અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $W = \vec F \cdot \vec d$.
આપેલ છે કે કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી $W = 0$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા: $(6\hat i + 2\hat j - 3\hat k) \cdot (2\hat i - 3\hat j + c\hat k) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times c) = 0$.
$12 - 6 - 3c = 0$.
$6 - 3c = 0$.
$3c = 6$.
તેથી,$c = 2$.

(B) કણ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$h = \frac{5^2}{2g} = \frac{25}{2g}$ મળે.
જ્યારે કણ ઉપર જાય છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{up} = -mgh = -m \cdot g \cdot \frac{25}{2g} = -1.25 \ J$ થાય.
જ્યારે કણ પાછો પ્રારંભિક બિંદુએ આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે.
જો પ્રશ્ન સંપૂર્ણ મુસાફરી (ઉપર અને નીચે) દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થતા કુલ કાર્ય વિશે હોય,તો તે $W_{total} = W_{up} + W_{down} = -1.25 + 1.25 = 0 \ J$ થાય.
પરંતુ,જો પ્રશ્ન મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા દરમિયાન થતા કાર્ય વિશે હોય,તો જવાબ $-1.25 \ J$ છે.