Work Done by Constant Force Questions in Gujarati

(B) સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta\vec{r}$ એ $\Delta\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta\vec{r} = (14\,\hat{i} + 13\,\hat{j} + 9\,\hat{k}) - (3\,\hat{i} + 2\,\hat{j} - 6\,\hat{k}) = 11\,\hat{i} + 11\,\hat{j} + 15\,\hat{k}$.
થતું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$.
$W = (4\,\hat{i} + \hat{j} + 3\,\hat{k}) \cdot (11\,\hat{i} + 11\,\hat{j} + 15\,\hat{k})$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100\,J$.

(D) બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{S}$ દરમિયાન થતું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ (અદિશ ગુણાકાર) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
અહીં કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F} \cdot \vec{S} = 0$ થશે.
આપેલા સદિશોની કિંમતો મૂકતા: $(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + x\hat{k}) = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(6 \times 2) + (2 \times -3) + (-3 \times x) = 0$.
$12 - 6 - 3x = 0$.
$6 - 3x = 0$.
$3x = 6$.
તેથી,$x = 2$.

(C) ધારો કે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ છે અને બ્લોકનું વજનબળ $Mg$ નીચેની તરફ છે.
બ્લોક $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $Mg - T = Ma$
$a = g/2$ કિંમત મૂકતા: $Mg - T = M(g/2)$
$T = Mg - Mg/2 = Mg/2$
સ્થાનાંતર $x$ નીચેની તરફ છે,જ્યારે તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
તેથી,બળ $T$ અને સ્થાનાંતર $x$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
દોરડા દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \cdot x \cdot \cos(180^{\circ}) = (Mg/2) \cdot x \cdot (-1) = -\frac{1}{2}Mgx$.

(D) કુલ દળ $M = (50 + 20) \ kg = 70 \ kg$.
કુલ ઊંચાઈ $h = 20 \times 0.25 \ m = 5 \ m$.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = Mgh$ દ્વારા મળે છે.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$W = 70 \times 9.8 \times 5 = 3430 \ J$.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય $W$,જ્યારે કણનું સ્થાનાંતર $\vec{r}$ હોય,ત્યારે તે બળ અને સ્થાનાંતર સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$
આપેલ છે:
$\vec{F} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \ N$
$\vec{r} = (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}) \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે તેનો ઉપયોગ કરતા:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0$
$W = 7 \ J$
તેથી,થયેલ કાર્ય $7 \ J$ છે.

(D) અચળ બળ દ્વારા થતા કાર્યનું સૂત્ર $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = FS \cos \theta$ છે.
આપેલ મૂલ્યો:
બળ $F = 50 \, N$
સ્થાનાંતર $S = 10 \, m$
ખૂણો $\theta = 60^\circ$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ$
કારણ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી:
$W = 500 \times \frac{1}{2} = 250 \, J$.
આમ,થયેલું કાર્ય $250 \, J$ છે.

(A) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r_2}$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r_1}$ નો તફાવત છે.
$\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (14\hat i + 13\hat j + 9\hat k) - (3\hat i + 2\hat j - 6\hat k) = 11\hat i + 11\hat j + 15\hat k \, m$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (4\hat i + \hat j + 3\hat k) \cdot (11\hat i + 11\hat j + 15\hat k)$.
$W = (4 \times 11) + (1 \times 11) + (3 \times 15) = 44 + 11 + 45 = 100 \, J$.

(C) કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{r}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$
અહીં $\vec{F} = (5\hat{i} + 3\hat{j}) \ N$ અને $\vec{r} = (2\hat{i} - 1\hat{j}) \ m$ આપેલ છે.
$W = (5\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j})$
અદિશ ગુણાકારના નિયમ મુજબ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,જ્યારે $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ થાય છે:
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1)$
$W = 10 - 3$
$W = +7 \ J$.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 5 \ N$, વેગ $v = 2 \ m/s$, સમય $t = 1 \ \text{મિનિટ} = 60 \ s$.
વેગ અચળ હોવાથી, $t$ સમયમાં થતું સ્થાનાંતર $d = v \times t$ થશે.
$d = 2 \ m/s \times 60 \ s = 120 \ m$.
બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = F \times d$ છે.
$W = 5 \ N \times 120 \ m = 600 \ J$.

(D) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t_1} = \frac{v}{t_1}$ થાય.
$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s = (ma) \cdot (\frac{1}{2}at^2) = \frac{1}{2}ma^2t^2$ થાય.
$a = \frac{v}{t_1}$ કિંમત મૂકતા,$W = \frac{1}{2}m \left( \frac{v}{t_1} \right)^2 t^2 = \frac{1}{2}m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ મળે.
આમ,થયેલું કાર્ય $\frac{1}{2}m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ ના સપ્રમાણમાં છે.

(D) ધારો કે કુલ દળ $M$ અને કુલ લંબાઈ $L$ છે. લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = \frac{L}{3}$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \frac{M}{L} \times l = \frac{M}{L} \times \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $h = \frac{l}{2} = \frac{L/3}{2} = \frac{L}{6}$ અંતરે નીચે છે.
ચેઈનને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = (\frac{M}{3}) \times g \times (\frac{L}{6}) = \frac{MgL}{18}$.

(D) લટકતા ભાગનું દળ $m = \frac{M}{n}$ છે,જ્યાં $M = 4 \ kg$ કુલ દળ છે અને $n = 4$ એ લટકતી લંબાઈનો ભાગ છે.
તેથી,$m = \frac{4}{4} = 1 \ kg$.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = \frac{L}{n} = \frac{2}{4} = 0.5 \ m$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની કિનારીથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \ m$ નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 0.25 \ m = 2.5 \ J$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 3\, kg$,સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{3}t^2$.
પ્રથમ,$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ મેળવો:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^2) = \frac{2}{3}t$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $a$ મેળવો:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{2}{3}t) = \frac{2}{3}\, m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = m \times a = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, N$.
થયેલું કાર્ય $W = \int F \, ds$. અહીં $ds = v \, dt$ હોવાથી,$W = \int_0^2 F \cdot v \, dt$.
$W = \int_0^2 2 \cdot (\frac{2}{3}t) \, dt = \frac{4}{3} \int_0^2 t \, dt$.
$W = \frac{4}{3} [\frac{t^2}{2}]_0^2 = \frac{4}{3} \times \frac{4}{2} = \frac{8}{3}\, J$.

(A) આપેલ બળ $\vec{F} = (3\hat{i} + \hat{j}) \text{ N}$.
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_1 = (2\hat{i} + \hat{k}) \text{ m}$.
અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \text{ m}$.
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3\hat{i} + \hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (1 \times 3) + (0 \times -2) = 6 + 3 = 9 \text{ J}$.

(A) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{d}$ દરમિયાન કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
અહીં,પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_1 = -2\hat i + 5\hat j$ છે અને અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_2 = 4\hat j + 3\hat k$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4\hat j + 3\hat k) - (-2\hat i + 5\hat j) = 2\hat i - \hat j + 3\hat k$ થાય.
બળ $\vec{F} = 4\hat i + 3\hat j$ છે.
તેથી,$W = (4\hat i + 3\hat j) \cdot (2\hat i - \hat j + 3\hat k) = (4 \times 2) + (3 \times -1) + (0 \times 3) = 8 - 3 = 5 \ J$.

(A) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2\hat i - 3\hat j + 3\hat k) + (\hat i + \hat j - 2\hat k) = 3\hat i - 2\hat j + \hat k$ $(N)$ છે.
પદાર્થનું સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (7\hat i + 10\hat j + 5\hat k) - (\hat i + 2\hat j - 2\hat k) = 6\hat i + 8\hat j + 7\hat k$ $(m)$ છે.
થયેલું કાર્ય એ પરિણામી બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F}_{net} \cdot \vec{d}$.
$W = (3\hat i - 2\hat j + \hat k) \cdot (6\hat i + 8\hat j + 7\hat k) = (3 \times 6) + (-2 \times 8) + (1 \times 7) = 18 - 16 + 7 = 9$ $J$.

(A) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા પદાર્થ પર થતું કાર્ય $W$,જ્યારે પદાર્થનું સ્થાનાંતર $\vec{s}$ હોય,ત્યારે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$
આપેલ છે:
બળ $F = 40 \,N$
સ્થાનાંતર $s = 8 \,m$
ખૂણો $\theta = 60^\circ$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 40 \times 8 \times \cos 60^\circ$
કારણ કે $\cos 60^\circ = 0.5$ છે:
$W = 320 \times 0.5 = 160 \,J$
તેથી,ખેંચાણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $160 \,J$ છે.

(A) આપેલ છે:
બળ $F = 5 \,N$
વેગ $v = 2 \,m/s$
સમય $t = 1 \,minute = 60 \,s$
વેગ અચળ હોવાથી,$t$ સમયમાં સ્થાનાંતર $s = v \times t$ દ્વારા મળે છે.
$s = 2 \,m/s \times 60 \,s = 120 \,m$.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times s$ છે.
$W = 5 \,N \times 120 \,m = 600 \,J$.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રવેગ $a$ સમાન હોવાથી,$a = \frac{v_0 - u}{t_0} = \frac{v_0}{t_0}$ થાય.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v_0}{t_0} \right)$ છે.
સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{v_0}{t_0} \right) t^2$ દ્વારા મળે છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે: $W = F \cdot S = \left( m \frac{v_0}{t_0} \right) \left( \frac{1}{2} \frac{v_0}{t_0} t^2 \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $W = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{t^2}{t_0^2} \right)$ મળે છે.

(C) અવલોકનકાર $B$ જમીન પર (જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ) છે.
અવલોકનકાર $B$ માટે,બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
$t_0$ સમયમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{2}at_0^2$ (નીચેની તરફ) થશે.
બ્લોક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg$ (નીચેની તરફ) છે.
બળ અને સ્થાનાંતર બંને નીચેની દિશામાં હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન હશે.
થયેલ કાર્ય $W = F_g \cdot s = (mg) \cdot (\frac{1}{2}at_0^2) = \frac{1}{2}mgat_0^2$.

(B) અવલોકનકાર $B$ જમીન પર છે (જડત્વીય ફ્રેમ).
અવલોકનકાર $B$ માટે,બ્લોક $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને લંબબળ ($N$ ઉપરની તરફ) છે.
ગતિના સમીકરણ પરથી: $mg - N = ma$,તેથી $N = m(g - a)$.
બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = mg - N = ma$ (નીચેની તરફ) છે.
$t_0$ સમયમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{2}at_0^2$ (નીચેની તરફ) છે.
અવલોકનકાર $B$ મુજબ બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય $W = F_{net} \cdot s = (ma) \cdot (\frac{1}{2}at_0^2) = \frac{1}{2}ma^2t_0^2$ છે.

(A) બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d cos( \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
દોરી સાથે બાંધેલા દડાના કિસ્સામાં,તણાવ બળ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ એટલે કે પરિભ્રમણ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
દડાનો વેગ (અને તેથી તાત્કાલિક સ્થાનાંતર) હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા હંમેશા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,તણાવ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,તણાવ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = T d cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.

(A) અચળ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે બળ ગતિની દિશામાં લાગે છે,તેથી $W = F \cdot S$.
કુલ કાર્ય $W_{total} = 300 \ J$ અને બળ $F = 50 \ N$ આપેલ છે,તેથી કુલ અંતર $S_{total} = \frac{W_{total}}{F} = \frac{300}{50} = 6 \ m$ થાય.
ગતિ સમાન અંતરના ત્રણ તબક્કા $d$ માં થાય છે. તેથી,$3d = 6 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $d = 2 \ m$.
કણ $x$-અક્ષ પર $2 \ m$,$y$-અક્ષને સમાંતર $2 \ m$ અને $z$-અક્ષને સમાંતર $2 \ m$ ગતિ કરે છે.
તેથી,અંતિમ યામ $(2, 2, 2) \ m$ થશે.

(C) બળ સદિશ $\vec{F}$ એ તેના મૂલ્ય અને $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશનો ગુણાકાર છે.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\vec{F} = 50 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4-5)\hat{i} + (8-9)\hat{j} + (6-7)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}\, m$.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \left[ \frac{50}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \right] \cdot (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$W = \frac{50}{\sqrt{3}} (-1 - 1 - 1) = \frac{50}{\sqrt{3}} (-3) = -50\sqrt{3}\, J$.

(C) ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમય સાથે સમાન રીતે વધે છે,તેથી $K = kt$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આમ,$\frac{1}{2}mv^2 = kt$,જે સૂચવે છે કે $v^2 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/2}$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગમાં થતો ફેરફાર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(ct^{1/2}) = \frac{1}{2}ct^{-1/2}$.
તેથી,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F = ma$.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$F \propto a$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.

(A) બોક્સને અચળ વેગથી ધકેલવામાં આવે છે,તેથી લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ ઘર્ષણ બળ $f$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu = 0.4$,$m = 40\, kg$,$g = 10\, m/s^2$.
$f = 0.4 \times 40 \times 10 = 160\, N$.
બોક્સ અચળ ઝડપે ધકેલાતું હોવાથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = f = 160\, N$.
કુલીઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot s = 160\, N \times 20\, m = 3200\, J$ છે.

(D) બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.
તાત્ક્ષણિક વેગ $\vec{v}$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે અને બળ $\vec{F}$ (કેન્દ્રગામી બળ) હંમેશા કેન્દ્ર તરફ હોય છે,તેથી $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ (જે $\vec{v}$ ની દિશામાં છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હંમેશા $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર માટે થયેલું કાર્ય $dW = F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે આનું સંકલન કરતા,કુલ કાર્ય $W = 0$ મળે છે.

(C) સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4\,kg}{2\,m} = 2\,kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times \ell = 2\,kg/m \times 0.6\,m = 1.2\,kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{\ell}{2} = \frac{0.6\,m}{2} = 0.3\,m$ નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh = (1.2\,kg) \times (10\,m/s^2) \times (0.3\,m) = 3.6\,J$ છે.

(C) જમીનની સાપેક્ષમાં બોક્સનું સ્થાનાંતર એ ટ્રેનની સાપેક્ષમાં તેના સ્થાનાંતર અને જમીનની સાપેક્ષમાં ટ્રેનના સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે.
તેથી,કુલ સ્થાનાંતર $\vec{S}_{total} = \vec{s} + \vec{s}_0$ થાય.
કાર્ય એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બળ અને સંદર્ભ ફ્રેમમાં કુલ સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{S}_{total} = \vec{F} \cdot (\vec{s} + \vec{s}_0)$.

(A) આપેલ છે,ગતિઊર્જા $K = as^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ કણનો વેગ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = as^2$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{d}{dt}(as^2)$
$\frac{1}{2}m(2v \frac{dv}{dt}) = a(2s \frac{ds}{dt})$
કારણ કે $F = m \frac{dv}{dt}$ અને $v = \frac{ds}{dt}$,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$mv \frac{dv}{dt} = 2as \frac{ds}{dt}$
$F \cdot v = 2as \cdot v$
$F = 2as$.

(A) આપેલ બળ $\vec{F} = (3\hat{i} + 4\hat{j})$ એ અચળ બળ છે.
અચળ બળ હંમેશા સંરક્ષી બળ હોય છે.
સંરક્ષી બળ માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી અને તે માત્ર કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
બંને માર્ગો $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે અને $(a, a)$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને કિસ્સાઓમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2$.

(D) આપેલ છે કે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,$t_1$ સમયમાં અંતિમ વેગ $v$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t_1} = \frac{v}{t_1}$.
$t$ સમયમાં થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર અથવા $F \times s$ જેટલું હોય છે.
$s = \frac{1}{2} a t^2$ અને $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = F \times s = (ma) \times (\frac{1}{2} a t^2) = \frac{1}{2} m a^2 t^2$.
$a = \frac{v}{t_1}$ મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} m \left(\frac{v}{t_1}\right)^2 t^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$.

(D) કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે,જે $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે તાત્ક્ષણિક સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શક દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા હંમેશા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$W = Fs \cos(90^{\circ}) = Fs(0) = 0$.
આમ,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(D) પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{v}{t_1}$ છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = m \cdot a = m \cdot \frac{v}{t_1}$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t$ સમયમાં પદાર્થે કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{t_1} \right) t^2$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = \left( m \cdot \frac{v}{t_1} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{v}{t_1} \cdot t^2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{v}{t_1} \right)^2 t^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{t_1^2} t^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2 \, m$ છે અને તેનું કુલ દળ $M = 4 \, kg$ છે.
ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની લંબાઈ $l = 60 \, cm = 0.6 \, m$ છે.
સાંકળના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2 \, kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \, kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \, m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6 \, J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ તેના પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
$\Delta K = W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}$
આપેલ છે:
$\vec{F} = (7\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ N}$
$\Delta \vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \text{ m}$
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણતા:
$W = (7 \times 2) + (4 \times 3) + (3 \times 4)$
$W = 14 + 12 + 12$
$W = 38 \text{ J}$
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $38 \text{ J}$ છે.

(B) કુલ કાર્ય એ ડોલ,પાણી અને દોરડાને ઉપર ખેંચવા માટે કરેલા કાર્યનો સરવાળો છે.
ડોલનું દળ $(m_b)$ = $2\,kg$.
પાણીનું દળ $(m_w)$ = $8\,litre \times 1\,kg/litre = 8\,kg$.
દોરડાનું દળ $(m_r)$ = $1\,kg$.
ઊંડાઈ $(h)$ = $5\,m$.
ડોલ પર કરેલું કાર્ય: $W_b = m_b \cdot g \cdot h = 2 \times 10 \times 5 = 100\,J$.
પાણી પર કરેલું કાર્ય: $W_w = m_w \cdot g \cdot h = 8 \times 10 \times 5 = 400\,J$.
દોરડા પર કરેલું કાર્ય: દોરડું સમાન હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h/2 = 2.5\,m$ પર છે. તેથી,$W_r = m_r \cdot g \cdot (h/2) = 1 \times 10 \times 2.5 = 25\,J$.
કુલ કાર્ય $W = W_b + W_w + W_r = 100 + 400 + 25 = 525\,J$.

(C) કણ પર લાગતું બળ $F = \frac{K}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ય $W$ એ પાવરનું સમયની સાપેક્ષે સંકલન છે,અથવા $W = \int F \cdot dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $dx = v \cdot dt$ લખી શકાય.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \int F \cdot (v \cdot dt)$
હવે $F = \frac{K}{v}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \int \left(\frac{K}{v}\right) \cdot v \cdot dt$
$W = \int K \cdot dt$
અહીં $K$ અચળાંક હોવાથી,સમય $t$ માં થયેલું કાર્ય:
$W = K \int_{0}^{t} dt = Kt$.

(A) અચળ બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = F \cdot S \cdot \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 40\, N$
સ્થાનાંતર $S = 8\, m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 40 \times 8 \times \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે,તેથી:
$W = 40 \times 8 \times 0.5$
$W = 320 \times 0.5 = 160\, J$
તેથી,થયેલું કાર્ય $160\, J$ છે.

(B) પદાર્થ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N}$ છે.
પદાર્થ $y$-અક્ષ પર $4 \text{ m}$ અંતર કાપે છે,તેથી સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = 4\hat{j} \text{ m}$ થશે.
અચળ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{j})$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$):
$W = (-1 \times 0) + (2 \times 4) + (3 \times 0) = 8 \text{ J}$.
આમ,કરવામાં આવેલ કાર્ય $8 \text{ J}$ છે.

(C) કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F} = -mg \hat{j}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,કણનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ જેટલું હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{S} = (-mg) \times H$.
$H$ ની કિંમત મૂકતા: $W = -mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $W = -\frac{m u^2 \sin^2 \alpha}{2}$ મળે છે.

(B) પદાર્થ પર લાગતું બળ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાનાંતર વર્તુળના તે બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા (અને તેથી કેન્દ્રગામી બળ) હંમેશા સ્પર્શક (સ્થાનાંતર) ને લંબ હોવાથી,બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{s}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હંમેશા $90^{\circ}$ હોય છે.
કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F \cos(90^{\circ}) ds$.
$\cos(90^{\circ}) = 0$ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે,પછી ભલે તે પરિઘ પર ગમે તેટલું અંતર કાપવામાં આવે.

(B) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec S$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec S$
આપેલ છે કે $\vec F = 2\hat i - 3\hat j + 7\hat k$ અને $\vec S = 7\hat i + 3\hat j - 2\hat k$.
$W = (2\hat i - 3\hat j + 7\hat k) \cdot (7\hat i + 3\hat j - 2\hat k)$
$W = (2 \times 7) + (-3 \times 3) + (7 \times -2)$
$W = 14 - 9 - 14$
$W = -9 \text{ J}$

(A) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$d$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,વજનબળ (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,એટલે કે $F = Mg$ (નીચેની તરફ).
સ્થાનાંતર $x$ એ સમક્ષિતિજ ટેબલ પર છે,એટલે કે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,વજનબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = Mg \cdot x \cdot \cos(90^{\circ})$ થાય.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = 0$ થશે.

(C) કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec F$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec s$ ના અદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે $W = \vec F \cdot \vec s = Fs \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $W = 0$,$F \neq 0$,અને $s \neq 0$,તેથી $Fs \cos \theta = 0$ થાય.
કારણ કે $F$ અને $s$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^\circ$ અથવા $\pi/2$ રેડિયન.
તેથી,બળ સદિશ $\vec F$ એ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec s$ ને લંબ છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
વેગ વધવા માટે,અંતિમ ગતિ ઊર્જા પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા કરતા વધારે હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ ધન હોવું જોઈએ.
કરવામાં આવેલું કાર્ય ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\hat{F} \parallel \hat{d}$ હોય,તો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય,અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આમ,$W = F d > 0$,જે ગતિ ઊર્જામાં વધારો કરે છે અને પરિણામે પદાર્થનો વેગ વધે છે.
તેથી,સાચી શરત $\hat{F} \parallel \hat{d}$ છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,કાર્યને બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(W = Fs \cos \theta)$.
$(i)$ જ્યારે વેઈટલિફ્ટર વજન ઊંચકે છે,ત્યારે લાગુ કરેલા બળની દિશામાં સ્થાનાંતર $(s > 0)$ થાય છે. તેથી,કાર્ય થાય છે $(W = Fs > 0)$.
$(ii)$ જ્યારે વેઈટલિફ્ટર વજનને સ્થિર પકડી રાખે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર શૂન્ય $(s = 0)$ હોય છે. કાર્ય માટે સ્થાનાંતર જરૂરી હોવાથી,વજન પકડી રાખતી વખતે થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે $(W = F \times 0 = 0)$.

(A) ગતિની દિશામાં લાગતા અચળ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ કાપેલું અંતર છે.
દરેક ભાગમાં બળ $F = 50 \, N$ ગતિની દિશામાં લાગતું હોવાથી,દરેક ભાગમાં થયેલું કાર્ય $W_i = F \cdot d$ છે.
કુલ કાર્ય $W_{total} = 300 \, J$ છે અને ત્રણેય ભાગમાં થયેલું કાર્ય સમાન હોવાથી,દરેક ભાગમાં થયેલું કાર્ય $W_i = \frac{300}{3} = 100 \, J$ થશે.
$W_i = F \cdot d$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને દરેક ભાગ માટે અંતર $d$ મળે છે: $100 = 50 \cdot d$,જેનો અર્થ છે $d = 2 \, m$.
કણ $x$-અક્ષ પર $2 \, m$,ત્યારબાદ $y$-અક્ષને સમાંતર $2 \, m$,અને અંતે $z$-અક્ષને સમાંતર $2 \, m$ ગતિ કરે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી શરૂ કરીને,અંતિમ યામ $(2, 2, 2) \, m$ થશે.

(B) બ્લોક $m$ વેજ સાથે સમાન સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a = 5\,m/s^2$ થી ગતિ કરે છે કારણ કે તે વેજ પર સરકતો નથી.
સપાટીઓ ઘર્ષણરહિત હોવાથી,બ્લોક પર સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું એકમાત્ર બળ લંબબળ $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
ધારો કે $N$ એ વેજ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે. $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક બ્લોકને પ્રવેગ $a$ પૂરો પાડે છે: $N \sin \theta = ma$.
$N$ નો શિરોલંબ ઘટક વજનબળને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
જોકે,આપણે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો સીધો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. બ્લોક પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બ્લોક પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ લંબબળ $N$ છે. બ્લોક માત્ર સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,$t = 2\,s$ સમયે તેનો વેગ $v = at = 5 \times 2 = 10\,m/s$ થશે.
પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1 \times (10)^2 = 50\,J$.
કારણ કે ગતિની દિશામાં કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ લંબબળ છે (ગુરુત્વાકર્ષણ શિરોલંબ દિશામાં લાગે છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ છે),તેથી લંબબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $50\,J$ છે.

(C) બળ સદિશ $\vec{F}$ એ તેના મૂલ્ય અને $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\vec{F} = 30 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}$ એ અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશનો તફાવત છે:
$\vec{S} = (3-2)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\, m$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ $\vec{F}$ અને $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = [10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})] \cdot [\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}]$
$W = 10\sqrt{3} (1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1) = 10\sqrt{3} \times 3 = 30\sqrt{3}\, J$.