Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Hindi

(C) कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
तरंग संचरण का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ तरंग संख्या है।
कण के अधिकतम वेग और तरंग वेग का अनुपात $\frac{v_{\max}}{v} = \frac{\omega A}{\omega / k} = kA$ है।
दिए गए तरंग समीकरण $y = 60 \cos (1800t - 6x)$ से:
आयाम $A = 60 \text{ माइक्रोन} = 60 \times 10^{-6} \text{ m}$.
तरंग संख्या $k = 6 \text{ m}^{-1}$.
अतः,अनुपात $\frac{v_{\max}}{v} = kA = 6 \times (60 \times 10^{-6}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$ है।

(B) तरंग समीकरण का मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.30 \sin(314t - 1.57x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 314 \, \text{rad/s}$
तरंग संख्या $k = 1.57 \, \text{rad/m}$
तरंग की गति $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v = \frac{314}{1.57} = 200 \, \text{m/s}$।
अतः,तरंग की गति $200 \, \text{m/s}$ है।

(A) एक प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(400\pi t - \pi x / 6.85)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 400\pi \, rad/s$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $f$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
अतः,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{400\pi}{2\pi} = 200 \, Hz$।

(A) तरंग की कला $\phi = 2\pi f t$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंग के लिए,$\phi_1 = 2\pi f_1 t = 2\pi \times 20 \times 0.6 = 24\pi$.
दूसरी तरंग के लिए,$\phi_2 = 2\pi f_2 t = 2\pi \times 30 \times 0.6 = 36\pi$.
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |36\pi - 24\pi| = 12\pi$ है।
चूंकि $12\pi$,$\pi$ का एक सम गुणज है,इसलिए कलांतर $0$ (शून्य) के बराबर है।

(D) पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\phi$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 0.8 \ m$ और $\phi = 90^o = \frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $0.8 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$.
अतः,$\lambda = 0.8 \times 4 = 3.2 \ m$.
तरंग का वेग $v = f \lambda$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $f = 120 \ Hz$.
$v = 120 \times 3.2 = 384 \ m/s$.

(B) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $y = a\sin 2\pi \left[ \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 5\sin 2\pi \left[ \frac{t}{0.04} - \frac{x}{40} \right]$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हम पदों की पहचान करते हैं।
पद $\frac{x}{\lambda}$ का मान $\frac{x}{40}$ के बराबर है।
अतः,सीधी तुलना करने पर,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 40 \ cm$ प्राप्त होती है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(0.01x - 2t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 0.01 \, cm^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \, rad/s$
तरंग के संचरण का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \frac{2}{0.01} = 200 \, cm/s$.

(D) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 8 \sin(2\pi(0.1x - 2t)) = 8 \sin(0.2\pi x - 4\pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.2\pi \, rad/cm$ प्राप्त होती है।
$\Delta x$ दूरी पर स्थित दो कणों के बीच कलान्तर $\Delta \phi = k \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 2.0 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2.0 = 0.4\pi \, radians$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180^o}{\pi}$ से गुणा करते हैं:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^o}{\pi} = 0.4 \times 180^o = 72^o$।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(200t - x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 200 \text{ rad/s}$
$k = 1 \text{ rad/m}$
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{200}{1} = 200 \text{ m/s}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिया गया समीकरण $y = 7 \sin \{ \pi (2t - 2x) \} = 7 \sin(2\pi t - 2\pi x)$ है।
इसकी तुलना मानक समीकरण से करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \, \text{rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 2\pi \, \text{rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(B) तरंग का मानक समीकरण $y = a \cos (\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण: $y = 20 \cos (50\pi t - \pi x)$.
दिए गए समीकरण की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \pi$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर: $\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \, cm$.

(D) मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.001 \sin(100t + x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$1$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$ है।
$2$. तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\pi \ m$ है।
$3$. तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$ है।
$4$. चूँकि $t$ और $x$ पदों के बीच धनात्मक चिह्न $(100t + x)$ है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p,max} = A \omega = A \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / T}{2\pi / \lambda} = \frac{\lambda}{T}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p,max} = 4v$ है।
मान रखने पर: $A \left( \frac{2\pi}{T} \right) = 4 \left( \frac{\lambda}{T} \right)$।
दोनों पक्षों से $T$ को हटाने पर: $2\pi A = 4\lambda$।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi A}{4} = \frac{\pi A}{2}$।

(D) तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(100t - x/10)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \, rad/s$.
तरंग संख्या $k = 1/10 \, m^{-1}$.
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{100}{1/10} = 1000 \, m/s$.

(C) धनात्मक $x-$दिशा में गति करने वाली तरंग का समीकरण:
$y = A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) \right)$
यहाँ $A = 0.2\;m,$ $v = 360\;m/s,$ और $\lambda = 60\;m$ दिए गए हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = 0.2 \sin \left( \frac{2\pi}{60} (360t - x) \right)$
$y = 0.2 \sin \left( 2\pi \left( \frac{360}{60}t - \frac{x}{60} \right) \right)$
$y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$
अतः,सही व्यंजक $y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 7 \sin(7\pi t - 0.4\pi x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 7\pi \ rad/s$.
तरंग संख्या $k = 0.4\pi \ rad/m$.
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{7\pi}{0.4\pi}$
$v = \frac{7}{0.4} = \frac{70}{4} = 17.5 \ m/s$.
अतः,तरंग का वेग $17.5 \ m/s$ है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 8 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{10} - \frac{x}{4} \right) + \frac{\pi}{3} \right]$ के साथ तुलना करने पर,हम इसे $y = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{10} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi}{3} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
तरंग संख्या $k$,$x$ का गुणांक है,जो $k = \frac{\pi}{4}$ है।
हम जानते हैं कि तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 2 \times 4 = 8 \, m$।

(A) मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(kx - \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.07 \sin(12\pi x - 3000\pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
आयाम $a = 0.07 \ m$ है।
कोणीय तरंग संख्या $k = 12\pi \ rad/m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 3000\pi \ rad/s$ है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6} \ m$।
हम जानते हैं कि $\omega = 2\pi n$,इसलिए आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3000\pi}{2\pi} = 1500 \ Hz$।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{3000\pi}{12\pi} = 250 \ m/s$ है।
अतः,सही मान $\lambda = 1/6 \ m$ और $v = 250 \ m/s$ हैं।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ है।
$y = 25 \sin(20t + 5x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
$1$. आयाम $A = 25$ इकाई।
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \text{ rad/s}$ और तरंग संख्या $k = 5 \text{ m}^{-1}$।
$3$. तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5} = 4$ इकाई।
$4$. कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = A\omega = 25 \times 20 = 500$ इकाई।
इन मानों की तुलना विकल्पों से करने पर:
विकल्प $(a)$ सत्य है $(A = 25)$।
विकल्प $(b)$ असत्य है क्योंकि कण का अधिकतम वेग $500$ इकाई है,न कि $100$ इकाई।
विकल्प $(c)$ सत्य है $(v = 4)$।
विकल्प $(d)$ सत्य है $(v_{p, \text{max}} = 500)$।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $(b)$ है।

(B) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \cos (\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 25 \cos (2\pi t - \pi x)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें आयाम $a = 25$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi$ है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है,इसलिए $2\pi f = 2\pi$।
अतः,आवृत्ति $f = 1 \text{ Hz}$ है।
इस प्रकार,आयाम $25$ है और आवृत्ति $1 \text{ Hz}$ है।

(B) एक प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \ rad \ s^{-1}$
तरंग संख्या $k = 2 \ m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{600}{2} = 300 \ m \ s^{-1}$।
अतः,तरंग की गति $300 \ m \ s^{-1}$ है।

(B) मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-6} \sin(100t + 20x + \pi/4)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 20 \ rad/m$
तरंग की गति $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$.

(D) प्रगामी तरंग समीकरण का मानक रूप $y = a \sin \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.08 \sin \frac{2\pi}{\lambda} (200t - x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम देख सकते हैं कि $t$ का गुणांक तरंग का वेग $v$ है।
अतः,सीधी तुलना करने पर,$v = 200 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
दिया गया है: $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$,$\Delta x = 0.8 \ m$,और आवृत्ति $f = 120 \ Hz$.
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.8$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के लिए हल करने पर: $\lambda = 4 \times 0.8 = 3.2 \ m$.
तरंग का वेग $(v)$,$v = f \times \lambda$ द्वारा प्राप्त होता है।
$v = 120 \times 3.2 = 384 \ m/s$.

(A) समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.1 \sin \left( 200\pi t - \frac{20\pi x}{17} \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
$1$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\pi \ rad/s$ है। चूँकि $\omega = 2\pi n$,इसलिए $2\pi n = 200\pi$,जिससे आवृत्ति $n = 100 \ Hz$ प्राप्त होती है।
$2$. तरंग संख्या $k = \frac{20\pi}{17} \ rad/m$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{20\pi/17} = 1.7 \ m$ है।
$3$. तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{20\pi/17} = 170 \ m/s$ है।
अतः,आवृत्ति,तरंगदैर्ध्य और गति क्रमशः $100 \ Hz, 1.7 \ m, 170 \ m/s$ हैं।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.5 \sin(20x - 400t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 20 \text{ rad/m}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 400 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{400}{20} = 20 \text{ m/s}$.
अतः,तरंग का वेग $20 \text{ m/s}$ है।

(D) दिया गया है: वेग $v = 10\,m/s$,आवृत्ति $f = 100\,Hz$,पथ अंतर $\Delta x = 2.5\,cm = 0.025\,m$.
सबसे पहले,$v = f\lambda$ संबंध का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{100} = 0.1\,m = 10\,cm$.
अब,कलांतर $\Delta \phi$ के सूत्र का उपयोग करें:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{10\,cm} \times 2.5\,cm = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 0.5]$
$y_2 = 10^{-6} \cos [100t + (x/50)]$
कलाओं की तुलना करने के लिए,कोज्या (cosine) फलन को ज्या (sine) फलन में बदलें,$\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ का उपयोग करके:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + \pi/2]$
चूंकि $\pi/2 \approx 1.57$,इसलिए:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 1.57]$
पहली तरंग की कला $\phi_1 = 100t + (x/50) + 0.5$ है।
दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = 100t + (x/50) + 1.57$ है।
कलान्तर $\Delta\phi$ इस प्रकार है:
$\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1|$
$\Delta\phi = |(100t + x/50 + 1.57) - (100t + x/50 + 0.5)|$
$\Delta\phi = 1.57 - 0.5 = 1.07 \, rad$.

(B) सरल आवर्त तरंग गति में,एक कण अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करता है।
जब कोई कण गर्त (अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन का बिंदु) पर होता है,तो वह अपनी चरम स्थितियों में से एक पर होता है।
चरम स्थिति से माध्य स्थिति तक पहुँचने में लगा समय कुल आवर्तकाल $(T)$ का एक-चौथाई होता है।
इसलिए,कण $\frac{T}{4}$ समय के बाद माध्य स्थिति में पहुँच जाएगा।

(A) अनुप्रस्थ तरंग का मानक समीकरण $Y = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $Y = 2 \sin(kx - 2t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें आयाम $a = 2$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2$ प्राप्त होती है।
कण का वेग $v_p$,विस्थापन $Y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v_p = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \sin(kx - 2t)] = 2 \cos(kx - 2t) \times (-2) = -4 \cos(kx - 2t)$.
अधिकतम कण वेग कोसाइन पद के गुणांक के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$v_{max} = a \omega = 2 \times 2 = 4 \, units$.

(C) पहली तरंग का समीकरण ${y_1} = 10\sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ है। इस तरंग का आयाम $A_1 = 10$ है।
दूसरी तरंग का समीकरण ${y_2} = 5(\sin 3\pi t + \sqrt 3 \cos 3\pi t)$ है।
हम इसे $2$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
${y_2} = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt 3}{2} \cos 3\pi t \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$ है:
${y_2} = 10 \left( \sin 3\pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 3\pi t \sin \frac{\pi}{3} \right) = 10 \sin \left( 3\pi t + \frac{\pi}{3} \right)$.
दूसरी तरंग का आयाम $A_2 = 10$ है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{10} = 1:1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y = A \cos^2 \left( 2\pi nt - 2\pi \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{A}{2} \left[ 1 + \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right) \right] = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right)$.
तरंग का दोलनशील भाग $\frac{A}{2} \cos \left( 4\pi nt - \frac{4\pi x}{\lambda} \right)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = a \cos(\omega t - kx)$ से करने पर:
आयाम $a = A/2$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 4\pi n$,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi n}{2\pi} = 2n$.
तरंग संख्या $k = \frac{4\pi}{\lambda}$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{2}$.
अतः,तरंग का आयाम $A/2$,आवृत्ति $2n$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda/2$ है।

(D) समीकरण $y = a \sin (kx - \omega t)$ एक सामान्य प्रगामी तरंग समीकरण को दर्शाता है।
यांत्रिक तरंगों (जैसे ध्वनि तरंगें) के मामले में,$y$ कणों के विस्थापन या दबाव में परिवर्तन को दर्शा सकता है।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के मामले में,$y$ दोलनशील विद्युत क्षेत्र $(E)$ या चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के घटकों को दर्शाता है।
अतः,$y$ एक सामान्य भौतिक राशि है जो दोलन करती है और अंतरिक्ष में प्रसारित होती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y = f(x - vt)$ है,जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
$t = 0$ पर,समीकरण $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ है।
$t = 2$ सेकंड पर,समीकरण $y = f(x - v(2)) = \frac{1}{1 + (x - 2v)^2}$ है।
इसकी तुलना $t = 2$ पर दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ से करने पर,हम कोष्ठक के अंदर के पदों की तुलना कर सकते हैं:
$x - 2v = x - 1$
$2v = 1$
$v = 0.5 \ m/s$.
अतः,तरंग का वेग $0.5 \ m/s$ है।

(C) चित्र से,दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं (nodes) या एक निस्पंद और एक प्रस्पंद बिंदु (antinode) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ है। अतः,$ab = \frac{\lambda}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 4ab$।
कथन $I$: तरंग की गति $v = n\lambda = n(4ab) = 4n \times ab$ है। यह कथन सही है।
कथन $II$: बिंदु $a$ एक श्रृंग (crest) पर है और $d$ एक निस्पंद बिंदु है। $a$ और $d$ को समान कला में होने के लिए,तरंग को इतनी दूरी तय करनी होगी कि $d$ श्रृंग की स्थिति में पहुँच जाए। $a$ और $d$ के बीच की दूरी $\frac{3\lambda}{4}$ है। लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{3\lambda/4}{n\lambda} = \frac{3}{4n} \text{ s}$ है। कथन में $\frac{4}{3n} \text{ s}$ दिया गया है,जो गलत है।
कथन $III$: $b$ (निस्पंद बिंदु) और $e$ (श्रृंग) के बीच पथ अंतर $\frac{3\lambda}{4}$ है। कलांतर $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{4} = \frac{3\pi}{2}$ है। यह कथन सही है।
अतः,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(D) दो बिंदु समान कला में होते हैं यदि उनका संतुलन स्थिति से विस्थापन समान हो और वे एक ही दिशा में गति कर रहे हों।
यह तब होता है जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य,$\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज हो।
दिए गए तरंग आरेख में,बिंदु $B$ और $F$ संतुलन रेखा से समान ऊर्ध्वाधर विस्थापन पर हैं और दोनों एक ही दिशा (नीचे की ओर) में गति कर रहे हैं।
$B$ और $F$ के बीच की क्षैतिज दूरी ठीक एक तरंगदैर्ध्य,$\lambda$ के बराबर है।
इसलिए,बिंदु $B$ और $F$ समान कला में हैं।

(C) तरंग का समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ है।
वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम स्थिर समय $t$ पर $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = A \cos (\omega t - kx) \cdot (-k) = -kA \cos (\omega t - kx)$.
बिंदु $B$ पर,तरंग $x$-अक्ष को काटती है,जिसका अर्थ है कि $y = 0$ है। अतः,$\sin (\omega t - kx) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos (\omega t - kx) = \pm 1$ है।
$+ve$ $x$-दिशा में गति करती तरंग के लिए,जिस बिंदु पर तरंग नीचे की ओर गति करते हुए अक्ष को काटती है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है),वहां ढाल ऋणात्मक होती है। विशेष रूप से,ढाल का परिमाण $|\frac{dy}{dx}| = |-kA \cos (\omega t - kx)| = kA$ है।
वैकल्पिक रूप से,कण के वेग $v_p$ और तरंग के वेग $v$ के बीच संबंध का उपयोग करते हुए: $v_p = -v \cdot (\text{ढाल})$। बिंदु $B$ पर,कण का वेग अपने अधिकतम परिमाण पर है,$|v_p| = \omega A$। चूंकि $v = \frac{\omega}{k}$,इसलिए ढाल का परिमाण $|\frac{dy}{dx}| = \frac{|v_p|}{v} = \frac{\omega A}{\omega / k} = kA$ प्राप्त होता है।

(C) चित्र से,आयाम $A = 0.05 \ m$ है।
$2.5$ तरंगदैर्घ्य द्वारा तय की गई दूरी $0.25 \ m$ है।
अतः,$2.5 \lambda = 0.25 \ m \implies \lambda = 0.1 \ m$.
तरंग की चाल $v = 330 \ m/s$ है।
आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{330}{0.1} = 3300 \ Hz$.
धनात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली तरंग का समीकरण $y = A \sin 2\pi (ft - \frac{x}{\lambda})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y = 0.05 \sin 2\pi (3300 \, t - \frac{x}{0.1})$.
$y = 0.05 \sin 2\pi (3300 \, t - 10 \, x)$.

(B) दिया गया तरंग फलन $y = a_0 \sin(\omega t - kx)$ है।
समय $t = 0$ और स्थिति $x = \frac{\pi}{2k}$ पर,विस्थापन है:
$y = a_0 \sin(\omega(0) - k(\frac{\pi}{2k}))$
$y = a_0 \sin(-\frac{\pi}{2})$
$y = -a_0 \sin(\frac{\pi}{2}) = -a_0$
दिए गए ग्राफ से,ऋणात्मक दिशा में अधिकतम विस्थापन (अर्थात $-a_0$) दर्शाने वाला बिंदु $Q$ है।

(A) कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi \nu$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि आवृत्ति $(\nu)$,तरंग संख्या $(\bar \nu)$ से $\nu = c \bar \nu$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें $\omega = 2\pi c \bar \nu$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2\pi$ और $c$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और तरंग संख्या $(\bar \nu)$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(B) दिए गए दो तरंग समीकरण:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके हम दूसरे समीकरण को साइन फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$y_2 = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
दोनों समीकरणों की तुलना सामान्य रूप $y = A \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर,पहली तरंग की कला $\phi_1 = 0$ और दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है।
अतः,कलान्तर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) पथान्तर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\Delta \phi)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$।
एक पूर्ण चक्र के लिए,$2\pi$ का कलांतर $\lambda$ के पथान्तर के संगत होता है।
इसलिए,$\phi$ के कलांतर के लिए,पथान्तर $\Delta x$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = a \sin \omega t$ और $y_2 = a \cos \omega t$ हैं।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके $y_2$ को फिर से लिख सकते हैं।
अतः,$y_2 = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$।
कलाओं की तुलना करने पर,$y_1$ की कला $\omega t$ है और $y_2$ की कला $\omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\phi = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $y_2$ की कला $y_1$ से $\frac{\pi}{2}$ अधिक है,इसलिए $y_1$,$y_2$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है।

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = a \sin \omega t$ और $y_2 = a \cos \omega t$ हैं।
हम $y_2$ को $y_2 = a \sin(\omega t + \pi / 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
पहली तरंग की कला (phase) $\phi_1 = \omega t$ है।
दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \omega t + \pi / 2$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = \omega t - (\omega t + \pi / 2) = -\pi / 2$ है।
चूंकि कलांतर ऋणात्मक है,इसलिए पहली तरंग दूसरी तरंग से $\pi / 2$ पीछे है।

(A) एक तरंग के लिए कलान्तर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
चूंकि पथान्तर $\Delta x = x$ दिया गया है,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$
अतः,संगत कलान्तर $\frac{2\pi x}{\lambda}$ है।

(D) दिया गया है: तरंग की गति $v = 960 \, m/s$.
$1 \, minute$ $(60 \, s)$ में गुजरने वाली तरंगों की संख्या $3600$ है।
आवृत्ति $n = \frac{\text{तरंगों की कुल संख्या}}{\text{कुल समय}} = \frac{3600}{60} = 60 \, Hz$.
तरंग की गति,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $v = n \lambda$ है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{960}{60} = 16 \, m$.

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = 8 \sin 2\pi (0.1x - 2t) \, cm$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin 2\pi (\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T})$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या पद $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi(0.1) = 0.2\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi}{0.2\pi} = 10 \, cm$.
कलांतर $\Delta \phi$ का सूत्र $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = 2 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{10} \times 2 = \frac{4\pi}{10} = 0.4\pi \, radians$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^\circ}{\pi}$ से गुणा करें:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = 0.4 \times 180^\circ = 72^\circ$.

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 10 \sin \pi (0.01x - 2.00t) \text{ cm}$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,$y = 10 \sin (0.01\pi x - 2\pi t) \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx - \omega t)$ से तुलना करने पर,आयाम $A = 10 \text{ cm}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \text{ rad/sec}$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $v_{\text{max}}$ सूत्र $v_{\text{max}} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v_{\text{max}} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ cm/sec}$ प्राप्त होता है।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$v_{\text{max}} \approx 20 \times 3.14159 = 62.83 \text{ cm/sec}$ होता है।
निकटतम पूर्णांक में,अधिकतम वेग $63 \text{ cm/sec}$ है।

(D) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.05 \cos \left( 4\pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4\pi \, rad/s$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $f$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
अतः,$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \, Hz$.

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 7 \sin(7\pi t - 0.04\pi x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
कोणीय आवृत्ति,$\omega = 7\pi \, rad/s$.
तरंग संख्या,$k = 0.04\pi \, rad/m$.
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{7\pi}{0.04\pi} = \frac{7}{0.04} = \frac{700}{4} = 175 \, m/s$.