Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(N/A) પ્રક્રિયા $A$ થી $B$ માટે,કદ અચળ છે તેથી કાર્ય $dW = 0$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW = dU + 0 = dU = nC_V dT = nC_V(T_B - T_A) = (1)(\frac{3}{2}R)(T_B - T_A) = \frac{3}{2}(RT_B - RT_A)$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$dQ = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A)$.
$(b)$ પ્રક્રિયા $B$ થી $C$ માટે,દબાણ અચળ છે. કાર્ય $dW = P_B(V_C - V_B)$ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW = nC_V(T_C - T_B) + P_B(V_C - V_B) = \frac{3}{2}(P_C V_C - P_B V_B) + P_B(V_C - V_B)$. કારણ કે $P_B = P_C$,આ સમીકરણ $dQ = \frac{3}{2}P_B(V_C - V_B) + P_B(V_C - V_B) = \frac{5}{2}P_B(V_C - V_B)$ માં પરિણમે છે.
$(c)$ પ્રક્રિયા $C$ થી $D$ માટે,તે એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે,તેથી ઉષ્માનું વિનિમય $dQ = 0$.
$(d)$ પ્રક્રિયા $D$ થી $A$ માટે,દબાણ $P_A$ પર અચળ છે. વાયુનું કદ $V_D$ થી $V_A$ સુધી સંકોચાય છે. પ્રક્રિયા $(b)$ ની જેમ જ,ઉષ્માનું વિનિમય $dQ = \frac{5}{2}P_A(V_A - V_D)$ થશે.

(N/A) આદર્શ વાયુ માટે,શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = dU + dW = nC_V dT + P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$PV = nRT$ હોવાથી,$T = \frac{PV}{nR} = \frac{f(V)V}{nR}$ મળે.
$V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$dT = \frac{1}{nR} [f(V) + V f'(V)] dV$ મળે.
આને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $dQ = n C_V \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{nR} \right) dV + f(V) dV$.
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$dQ = \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) \right) dV$ મળે.
વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે તે માટે,$dV > 0$ માટે $dQ > 0$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $\frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) > 0$ જરૂરી છે.
સાદું રૂપ આપતા,$f(V) + V f'(V) + (\gamma - 1)f(V) > 0$,જે $\gamma f(V) + V f'(V) > 0$ તરફ દોરી જાય છે.
ગોઠવતા,$f'(V) > -\gamma \frac{f(V)}{V}$ મળે.
એડિબેટિક વક્રનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ઉષ્મા શોષણ માટેની શરત એ છે કે પ્રક્રિયા વક્રનો ઢાળ $f'(V)$ એ એડિબેટિક વક્રના ઢાળ $-\gamma \frac{P_0}{V_0}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(C) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ કુલ કાર્ય અને કુલ પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે.
$\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} = \frac{Q_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}}$
અહીં,એક ચક્રમાં થતી ચોખ્ખી ઉષ્માની આપ-લે $Q_{\text{net}} = 1915 - 40 + 125 - Q = 2000 - Q$ છે.
પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $(Q_{\text{in}})$ એ તમામ ધન ઉષ્મા વિનિમયનો સરવાળો છે: $Q_{\text{in}} = 1915 + 125 = 2040\, J$.
આપેલ છે કે $\eta = 50.0\% = 0.5$,તેથી:
$0.5 = \frac{2000 - Q}{2040}$
$1020 = 2000 - Q$
$Q = 2000 - 1020 = 980\, J$.

(A) $(I)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: $\Delta Q = 0$. આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી.
$(II)$ આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા: તાપમાન અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$. આંતરિક ઉર્જા $\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T$ હોવાથી,$\Delta U = 0$ થાય છે.
$(III)$ આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા: કદ અચળ રહે છે $(\Delta V = 0)$. કરેલું કાર્ય $W = \int P \cdot dV = 0$ થાય છે.
$(IV)$ આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ રહે છે. અહીં,$W = P\Delta V \neq 0$,$\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T \neq 0$,અને $\Delta Q = nC_p\Delta T \neq 0$ થાય છે.

(D) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ (સમકદ) માટે: $V_A = V_B$. $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_A}{T_A} = \frac{P_B}{T_B}$. આપેલ છે કે $\frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{5}$,તેથી $T_B = \frac{T_A}{5} = \frac{400}{5} = 80 \, K$.
$A \rightarrow B$ માં આપેલી ઉષ્મા: $Q_1 = n C_V (T_B - T_A) = 1 \times \frac{3}{2} R (80 - 400) = \frac{3}{2} \times 8.31 \times (-320) = -3988.8 \, J$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ (સમદાબ) માટે: $P_B = P_C$. $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}$. $T_C = 400 \, K$ અને $T_B = 80 \, K$ હોવાથી,$V_C = V_B \frac{400}{80} = 5 V_B$.
$B \rightarrow C$ માં આપેલી ઉષ્મા: $Q_2 = n C_P (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2} R (400 - 80) = \frac{5}{2} \times 8.31 \times 320 = 6648 \, J$.
કુલ આપેલી ઉષ્મા: $Q = Q_1 + Q_2 = -3988.8 + 6648 = 2659.2 \, J$.

(A) સિલિન્ડર $A$ (સમદાબી પ્રક્રિયા) માટે,આપેલી ઉષ્મા $Q_A = n C_p \Delta T_A$ છે.
સિલિન્ડર $B$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે,આપેલી ઉષ્મા $Q_B = n C_v \Delta T_B$ છે.
આપેલ છે કે $Q_A = Q_B$ અને વાયુનો જથ્થો $n$ સમાન છે,તેથી $n C_p \Delta T_A = n C_v \Delta T_B$.
આમ,$\Delta T_B = \frac{C_p}{C_v} \Delta T_A$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta T_B = 1.4 \times 30\, K = 42\, K$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સમાં,ઉષ્મા અને કાર્યને પથ વિધેયો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં,$\Delta U$ (આંતરિક ઉર્જા) એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $(\Delta W)$ એ સિસ્ટમની અવસ્થા બદલવા માટે લેવામાં આવેલા ચોક્કસ પ્રક્રિયા અથવા માર્ગ (પથ) પર આધાર રાખે છે.
જેથી $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને $\Delta W$ એ પથ વિધેય છે,તેથી વિનિમય પામેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ પણ લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઉષ્મા અને કાર્ય બંને પથ વિધેયો છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય એ દરેક વ્યક્તિગત પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ (સમતાપી વિસ્તરણ) માટે:
$W_{AB} = nRT \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) = nRT \ln \left(\frac{2V_{1}}{V_{1}}\right) = nRT \ln 2$.
$2$. પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ (સમદાબી સંકોચન) માટે:
$A$ થી $B$ સુધીની પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$. આપેલ છે કે $V_{2} = 2V_{1}$,તેથી $P_{1}V_{1} = P_{2}(2V_{1})$,જેનો અર્થ છે કે $P_{2} = \frac{P_{1}}{2}$.
$W_{BC} = P_{2}(V_{1} - V_{2}) = P_{2}(V_{1} - 2V_{1}) = -P_{2}V_{1}$.
બિંદુ $B$ પર આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$P_{2}V_{2} = nRT$,તેથી $P_{2}(2V_{1}) = nRT$,જે આપે છે $P_{2}V_{1} = \frac{nRT}{2}$.
આમ,$W_{BC} = -\frac{nRT}{2}$.
$3$. પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ (સમકદ ફેરફાર) માટે:
કદ અચળ $(V_{1})$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W_{CA} = 0$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = nRT \ln 2 - \frac{nRT}{2} + 0 = nRT \left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right)$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા: આ પ્રક્રિયામાં, તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$. તેથી, $(a) \rightarrow (ii)$.
$(b)$ સમકદ પ્રક્રિયા: આ પ્રક્રિયામાં, તંત્રનું કદ અચળ રહે છે $(\Delta V = 0)$. તેથી, $(b) \rightarrow (iii)$.
$(c)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: આ પ્રક્રિયામાં, તંત્ર અને આસપાસ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(\Delta Q = 0)$. તેથી, ઉષ્માનો જથ્થો અચળ રહે છે. આમ, $(c) \rightarrow (iv)$.
$(d)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: આ પ્રક્રિયામાં, તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે $(\Delta P = 0)$. તેથી, $(d) \rightarrow (i)$.
તેથી, સાચી જોડ $(a) \rightarrow (ii), (b) \rightarrow (iii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ: $P = kV^{3}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$,તેથી $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકાય.
$P$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{nRT}{V} = kV^{3}$,જેનો અર્થ છે કે $kV^{4} = nRT$.
બંને બાજુ તાપમાનની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $4kV^{3} dV = nR dT$.
કારણ કે $P = kV^{3}$,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ: $4P dV = nR dT$,જે આપે છે $P dV = \frac{nR dT}{4}$.
થયેલું કાર્ય $W$ સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int P dV = \int_{T_i}^{T_f} \frac{nR}{4} dT$.
$W = \frac{nR}{4} (T_f - T_i) = \frac{nR}{4} (300 - 100) = \frac{nR}{4} (200) = 50nR$.
આમ,થયેલું કાર્ય $50nR$ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા $A-B$ માટે:
$W_{AB} = nRT \ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right) = RT \ln \left(\frac{2V_1}{V_1}\right) = RT \ln 2$.
સમકદ પ્રક્રિયા $B-C$ માટે:
કદ અચળ હોવાથી,$W_{BC} = 0$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા $C-A$ માટે:
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ છે.
અહીં,$P_C = \frac{P_1}{4}$,$V_C = 2V_1$,$P_A = P_1$,$V_A = V_1$.
$W_{CA} = \frac{P_C V_C - P_A V_A}{\gamma - 1} = \frac{(\frac{P_1}{4})(2V_1) - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{\frac{P_1 V_1}{2} - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{-\frac{P_1 V_1}{2}}{\gamma - 1} = -\frac{RT}{2(\gamma - 1)}$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = RT \ln 2 + 0 - \frac{RT}{2(\gamma - 1)} = RT \left(\ln 2 - \frac{1}{2(\gamma - 1)}\right)$.

(B) વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P\,dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \int \frac{nRT}{V}\,dV$.
આપેલ સંબંધ $V = KT^{2/3}$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $dV = K \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3}\,dT$.
$V$ અને $dV$ ની કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{nRT}{KT^{2/3}} \cdot \left( \frac{2}{3} K T^{-1/3} \right) dT$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \,dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \,dT$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $W = \frac{2}{3} nR (T_2 - T_1)$.
અહીં $\Delta T = T_2 - T_1 = 90\,K$ અને $n = 1$ મોલ લેતા: $W = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot R \cdot 90 = 60R$.
આમ,$x = 60$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W.$
આપેલ છે કે $W = Q/5,$ તેથી $Q = \Delta U + Q/5.$
માટે,$\Delta U = Q - Q/5 = 4Q/5.$
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે,જ્યાં $C_v = \frac{5}{2}R.$
વળી,$Q = n C \Delta T,$ જ્યાં $C$ એ મોલર ઉષ્માધારિતા છે.
આ કિંમતોને $\Delta U = \frac{4}{5}Q$ માં મૂકતા,આપણને મળે $n C_v \Delta T = \frac{4}{5} (n C \Delta T).$
$C_v = \frac{4}{5} C \implies C = \frac{5}{4} C_v.$
$C_v = \frac{5}{2}R$ મૂકતા,$C = \frac{5}{4} \times \frac{5}{2} R = \frac{25}{8} R.$
તેને $\frac{xR}{8}$ સાથે સરખાવતા,$x = 25$ મળે છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma > 1$ હોવાથી,એડિબેટિક વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય આઇસોથર્મલ વક્ર કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,એડિબેટિક વક્ર એ આઇસોથર્મલ વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
આલેખ જોતા:
$1$ એ આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા (અચળ કદ) દર્શાવે છે.
$4$ એ આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) દર્શાવે છે.
$2$ અને $3$ ની વચ્ચે,વક્ર $2$ એ વક્ર $3$ કરતા વધુ તીવ્ર છે.
આમ,વક્ર $2$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે અને વક્ર $3$ એ આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
આપેલ છે કે,$W = \frac{Q}{4}$.
તેથી,$\Delta U = \Delta Q - W = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n (\frac{3}{2}R) \Delta T$ છે.
તેથી,$n (\frac{3}{2}R) \Delta T = \frac{3Q}{4} \Rightarrow n \Delta T = \frac{Q}{2R}$.
મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ ને $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$n \Delta T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C = \frac{Q}{Q / (2R)} = 2R$ મળે છે.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f} = 1.4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
$1 + \frac{2}{f} = 1.4 \Rightarrow \frac{2}{f} = 0.4 \Rightarrow f = 5$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વાયુની ગતિ ઉર્જા આંતરિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\Delta U = K.E._{initial}$
$\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} (nm) v^2$,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
$M = m \times N_A$ અને $R = k_B \times N_A$ હોવાથી,$m = \frac{M}{N_A}$ મળે.
$\frac{5}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} n M v^2$
$\Delta T = \frac{M v^2}{5R}$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. તેથી,કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ વાયુ દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $\Delta W$ જેટલી હોય છે.
$\Delta Q_{\text{cycle}} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} + \Delta Q_{CA} = 40 + 0 - 60 = -20 \ J$.
કારણ કે $\Delta Q_{\text{cycle}} = \Delta W_{\text{cycle}}$,તેથી $\Delta W_{\text{cycle}} = -20 \ J$.
કુલ કાર્ય $\Delta W_{\text{cycle}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રક્રિયા $AB$ એ સમકદ (isochoric) છે (ઊભી રેખા),તેથી $W_{AB} = 0$.
આપેલ છે કે $W_{BC} = -50 \ J$ (વાયુ પર થયેલ કાર્ય).
આમ,$-20 = 0 + (-50) + W_{CA}$.
$W_{CA} = -20 + 50 = 30 \ J$.

(D) વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,$V_{i}$ થી $V_{f}$ સુધીના કદમાં સમાન ફેરફાર માટે,સમદાબી પ્રક્રિયા વક્ર $(3)$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી મોટું છે,ત્યારબાદ સમતાપી પ્રક્રિયા વક્ર $(1)$ આવે છે,અને સમોષ્મી પ્રક્રિયા વક્ર $(2)$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી નાનું છે.
તેથી,થયેલ કાર્યનો ક્રમ આ મુજબ છે: $W_{2} < W_{1} < W_{3}$.

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_{1} = 2 \times 10^{7} \; Pa$,$V_{1} = V$,$T_{1} = 300 \; K$.
પગલું $1$: સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$.
આપેલ છે કે $V_{2} = 2V_{1} = 2V$.
તેથી,$P_{2} = P_{1} \times (V_{1} / V_{2}) = (2 \times 10^{7}) \times (V / 2V) = 1 \times 10^{7} \; Pa$.
પગલું $2$: એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_{2}V_{2}^{\gamma} = P_{3}V_{3}^{\gamma}$.
આપેલ છે કે $V_{3} = 2V_{2} = 4V$ અને $\gamma = 1.5$.
તેથી,$P_{3} = P_{2} \times (V_{2} / V_{3})^{\gamma} = (1 \times 10^{7}) \times (V_{2} / 2V_{2})^{1.5} = (1 \times 10^{7}) \times (1/2)^{1.5}$.
$P_{3} = (1 \times 10^{7}) / 2^{1.5} = (1 \times 10^{7}) / 2.8284 = 3.536 \times 10^{6} \; Pa$.

(A) $A.$ ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$ છે. જો $\Delta T$ બમણું થાય,તો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર બમણો થાય છે. તેથી,$A$ સાચું છે.
$B.$ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma e A T^4$ છે. ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{T_P}{T_Q}\right)^4$ છે. તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_P = 10 + 273 = 283 K$ અને $T_Q = 20 + 273 = 293 K$. આમ,$\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{283}{293}\right)^4 \approx 0.87$. જોકે,$1.035^4 \approx 1.15$ નો ઉપયોગ કરતા,$1:1.15$ સાચું છે. તેથી,$B$ સાચું છે.
$C.$ કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{100}{400} = 0.75$ એટલે કે $75\%$. તેથી,$C$ સાચું છે.
$D.$ કારણ કે $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$,જો $\Delta T$ ચાર ગણું થાય,તો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર ચાર ગણો થાય,બમણો નહીં. તેથી,$D$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $A, B$ અને $C$ સાચા છે.

(B) ચલ તાપમાન ધરાવતા સ્ત્રોત $T$ અને અચળ તાપમાન ધરાવતા સિંક $T_0 = 200 \,K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા હીટ એન્જિન માટે,જ્યારે એન્જિન દરેક ક્ષણે કાર્નોટ એન્જિન તરીકે કાર્ય કરે ત્યારે મહત્તમ કાર્ય મળે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_0}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગરમ પદાર્થમાંથી લેવામાં આવતી સૂક્ષ્મ ઉષ્મા $dQ_{in} = -C dT$ માટે થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય $dW = \eta dQ_{in} = (1 - \frac{T_0}{T})(-C dT)$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 600 \,K$ થી અંતિમ તાપમાન $T_f = 400 \,K$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{600}^{400} -(1 - \frac{200}{T}) C dT = C \int_{400}^{600} (1 - \frac{200}{T}) dT$.
અહીં $C = 1 \,J/K$ આપેલ છે:
$W = [T - 200 \ln T]_{400}^{600} = (600 - 400) - 200(\ln 600 - \ln 400)$.
$W = 200 - 200 \ln(600/400) = 200 - 200 \ln(3/2) = 200(1 - \ln(3/2)) \,J$.

(B) ધારો કે ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ છે.
$A \rightarrow B$ સમદાબી (isobaric),$B \rightarrow C$ એડિયાબેટિક અને $C \rightarrow A$ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
ધારો કે $T_A = T_{min}$ અને $T_B = T_{max}$. ગુણોત્તર $x = T_B / T_A$ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે: $Q_{AB} = n C_p (T_B - T_A) = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) (T_B - T_A)$.
સમતાપી પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માટે: $Q_{CA} = n R T_A \ln(V_A / V_C)$.
$B \rightarrow C$ એડિયાબેટિક હોવાથી,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}$. $T_C = T_A$ હોવાથી,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_A V_C^{\gamma-1}$.
તેથી,$(V_C / V_B)^{\gamma-1} = T_B / T_A = x$,એટલે કે $V_C / V_B = x^{1/(\gamma-1)}$.
વળી,સમદાબી પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,$V_B / V_A = T_B / T_A = x$.
તેથી,$V_C / V_A = (V_C / V_B) \cdot (V_B / V_A) = x^{1/(\gamma-1)} \cdot x = x^{\gamma/(\gamma-1)}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - |Q_{CA}| / Q_{AB} = 1 - [n R T_A \ln(V_C / V_A)] / [n R \frac{\gamma}{\gamma-1} (T_B - T_A)]$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - [T_A \cdot \frac{\gamma}{\gamma-1} \ln x] / [\frac{\gamma}{\gamma-1} T_A (x - 1)] = 1 - \frac{\ln x}{x - 1}$.
આપેલ છે કે $\eta = 0.5$,તેથી $0.5 = 1 - \frac{\ln x}{x - 1} \Rightarrow \frac{\ln x}{x - 1} = 0.5 \Rightarrow \ln x = 0.5(x - 1) \Rightarrow \ln x = \ln(e^{0.5(x-1)})$.
આમ,$x = e^{0.5(x-1)} \Rightarrow x^2 = e^{x-1}$.

(A) વિસ્તરણના વક્રો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \left(\frac{p}{V}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\gamma_{\text{diatomic}} = \frac{7}{5} = 1.4$ અને $\gamma_{\text{monoatomic}} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ છે,તેથી $\gamma_{\text{diatomic}} < \gamma_{\text{monoatomic}}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે સમોષ્મી વિસ્તરણ વક્ર દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ કરતા વધુ ઢાળવાળો છે. બંને વાયુઓ સમાન પ્રારંભિક અવસ્થાથી શરૂ થાય છે અને સમાન અંતિમ અવસ્થા સુધી પહોંચે છે,તેથી $p-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કાર્ય દર્શાવે છે. વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન દ્વિપરમાણ્વીય વાયુનો વક્ર એકપરમાણ્વીય વાયુના વક્રની ઉપર રહેતો હોવાથી,દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એકપરમાણ્વીય વાયુના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.
તેથી,દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એકપરમાણ્વીય વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય કરતા વધારે છે.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
ધારો કે અવસ્થાઓ $A, B, C, D$ છે જે અનુક્રમે $V_A = 8.0 \, m^3, V_B = 1.0 \, m^3, V_C = 10.0 \, m^3, V_D = 80.0 \, m^3$ કદ ધરાવે છે.
પગલું $1$ $(A \to B)$: એડિબેટિક સંકોચન.
$T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1} \implies T_2 (8)^{5/3-1} = T_1 (1)^{5/3-1} \implies T_2 (8)^{2/3} = T_1 (1)^{2/3} \implies T_2 (4) = T_1 \implies T_1/T_2 = 4$.
પગલું $3$ $(C \to D)$: એડિબેટિક વિસ્તરણ.
$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1} \implies T_1 (10)^{5/3-1} = T_2 (80)^{5/3-1} \implies T_1 (10)^{2/3} = T_2 (80)^{2/3} \implies T_1/T_2 = (80/10)^{2/3} = 8^{2/3} = 4$.
બંને પગલાં પુષ્ટિ કરે છે કે $T_1/T_2 = 4$.

(A) પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $pV^{5/3} \cdot e^{-pV/E_0} = C_1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(p) + \frac{5}{3} \ln(V) = \ln(C_1) + \frac{pV}{E_0}$.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{p} \frac{dp}{dV} + \frac{5}{3V} = \frac{1}{E_0} \left( p + V \frac{dp}{dV} \right)$.
$\frac{dp}{dV}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $\frac{dp}{dV} \left( \frac{1}{p} - \frac{V}{E_0} \right) = \frac{p}{E_0} - \frac{5}{3V}$.
$pV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$p = \frac{RT}{V}$ મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,આઈસોથર્મલ કમ્પ્રેસિબિલિટી $k = -\frac{1}{V} \frac{dV}{dp}$ મેળવી શકાય છે.
જેમ $T \to \infty$,તેમ $\frac{1}{RT}$ વાળા પદો શૂન્ય તરફ જાય છે.
આમ,$k = -\frac{1}{V} \frac{dV}{dp} = \frac{1/p - V/E_0}{p/E_0 - 5/3V} \cdot \frac{1}{V} \approx \text{અચળ}$ જ્યારે $T \to \infty$.

(A) આપેલ $T-S$ ચક્રમાં:
$b-c$ અને $a-d$ સમતાપી પ્રક્રિયાઓ છે। આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = nC_vT)$, તેથી આ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન $U$ અચળ રહે છે। આમ, $U-V$ આલેખ પર, આ આડી રેખાઓ તરીકે દેખાય છે.
$a-b$ અને $c-d$ સમએન્ટ્રોપિક (એડિબેટિક) પ્રક્રિયાઓ છે $(S = \text{અચળ})$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$. કારણ કે $U \propto T$, આપણી પાસે $UV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $U \propto V^{1-\gamma}$। આ $U-V$ આલેખ પર એક વક્ર દર્શાવે છે.
પ્રક્રિયાઓની સરખામણી કરતા: $b-c$ માં, $T$ ઊંચું છે, તેથી $U$ ઊંચું છે। $a-d$ માં, $T$ નીચું છે, તેથી $U$ નીચું છે। આમ, $U-V$ આલેખ પરના ચક્રમાં બે અલગ-અલગ $U$ સ્તરો પર બે આડી રેખાઓ હોય છે, જે બે વક્રો દ્વારા જોડાયેલ હોય છે। આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આકૃતિ સાથે મેળ ખાય છે।

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે $dQ = dU + dW$. આદર્શ વાયુ માટે,$dU = nC_v dT$. સીધી રેખા $XY$ પર,તંત્ર વિવિધ સમતાપી રેખાઓમાંથી પસાર થાય છે.
શરૂઆતના બિંદુ $X$ અને અંતિમ બિંદુ $Y$ પર તાપમાન સમાન હોય છે કારણ કે તે સમાન એડિયાબેટ પર આવેલા છે. જો કે,સીધી રેખા $XY$ એ એડિયાબેટની ઉપર આવેલી હોવાથી,વાયુનું તાપમાન એડિયાબેટથી દૂર જતાં વધે છે,જે કોઈ મધ્યવર્તી બિંદુ $Z$ પર મહત્તમ થાય છે,અને ત્યારબાદ બિંદુ $Y$ ની નજીક આવતાં ઘટે છે.
$dQ = nC_v dT + p dV$ હોવાથી,અને સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન $dV > 0$ હોવાથી,ઉષ્માનો વિનિમય $dT$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે. $X$ થી $Z$ સુધી,તાપમાન વધે છે $(dT > 0)$,તેથી ઉષ્મા શોષાય છે. $Z$ થી $Y$ સુધી,તાપમાન ઘટે છે $(dT < 0)$,અને વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય આંતરિક ઉર્જાના ફેરફાર કરતાં વધી જાય છે,જેના પરિણામે ઉષ્મા મુક્ત થાય છે. આમ,ઉષ્મા $X$ થી $Z$ સુધી શોષાય છે અને $Z$ થી $Y$ સુધી મુક્ત થાય છે.

(D) સંપૂર્ણ થર્મોડાયનેમિક ચક્રમાં કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ દરેક વ્યક્તિગત પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે:
$W_{\text{total}} = W_{12} + W_{23} + W_{31}$
આપેલ છે કે કુલ કાર્ય $W_{\text{total}} = 10 \, J$.
સમકદ પ્રક્રિયા $(2 \rightarrow 3)$ માં,કદ અચળ રહે છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{23} = 0 \, J$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $(3 \rightarrow 1)$ માં કરવામાં આવેલ કાર્ય $-20 \, J$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને કુલ કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$10 \, J = W_{12} + 0 \, J + (-20 \, J)$
$10 \, J = W_{12} - 20 \, J$
$W_{12} = 30 \, J$
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયા $(1 \rightarrow 2)$ માટે:
$\Delta Q_{12} = 0 + W_{12} = 30 \, J$.
આમ,સમતાપી પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $30 \, J$ છે.

(B) વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $p-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કદ $V$ થી $2V$ સુધી વિસ્તરણ પામતા આદર્શ વાયુ માટે,સમતાપી પ્રક્રિયા $p-V$ આલેખ પર વક્ર $AB$ દ્વારા અને એડિબેટિક પ્રક્રિયા વક્ર $AC$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એડિબેટિક વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોવાથી,સમાન કદના ફેરફાર માટે સમતાપી વક્ર $AB$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ એડિબેટિક વક્ર $AC$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $(W_i)$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $(W_a)$ કરતા વધારે છે.
વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,બંને કિસ્સામાં થયેલ કાર્ય ધન છે.
આમ,$W_i > W_a > 0$.

(D) આપેલ છે કે,આંતરિક ઉર્જા $U = a V^3$.
આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2} n R T$. અહીં $n = 1$ અને એક-પરમાણ્વિક વાયુ $(f = 3)$ ધારતા,$U = \frac{3}{2} R T$ મળે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{3}{2} R T = a V^3$.
આદર્શ વાયુના નિયમ $P V = R T$ નો ઉપયોગ કરીને,$R T = P V$ મૂકતા:
$\frac{3}{2} P V = a V^3 \Rightarrow P = \frac{2 a}{3} V^2$.
થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_i}^{V_f} P dV$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$V_i = V$ અને $V_f = 2V$.
$W = \int_{V}^{2V} \frac{2 a}{3} V^2 dV = \frac{2 a}{3} \left[ \frac{V^3}{3} \right]_{V}^{2V} = \frac{2 a}{9} (8V^3 - V^3) = \frac{2 a}{9} (7V^3) = \frac{14 a V^3}{9}$.
શરૂઆતની સ્થિતિમાં $a V^3 = \frac{3}{2} R T$ હોવાથી,આપણે $a V^3 = \frac{3}{2} R T$ મૂકીએ:
$W = \frac{14}{9} \times \left( \frac{3}{2} R T \right) = \frac{7}{3} R T$.

(B) આ ચક્ર $A$ થી $B$ સુધીના સીધી રેખાના માર્ગ અને $B$ થી $A$ સુધીના એડિયાબેટિક માર્ગનું બનેલું છે.
$A$ થી $B$ સુધીના સીધી રેખાના માર્ગ પર,વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે અને તાપમાન બદલાય છે. માર્ગ સીધી રેખા હોવાથી,ઉષ્માનું વિનિમય બદલાય છે. ખાસ કરીને,સીધી રેખા પર વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
$B$ થી $A$ સુધીના વક્ર માર્ગ પર,પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉષ્માનું વિનિમય થતું નથી $(dQ = 0)$.
જો કે,સંપૂર્ણ ચક્રમાં,વાયુ દ્વારા કાર્ય કરવા માટે,ઉષ્માનું સ્ત્રોતમાંથી શોષણ થવું જોઈએ અને કેટલીક ઉષ્મા સિંકને મુક્ત થવી જોઈએ. આ ચોક્કસ ચક્રમાં,સીધી રેખાના વિસ્તરણ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ થાય છે અને એડિયાબેટિક સંકોચન દરમિયાન મુક્ત થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ઉષ્મા વિનિમયની લાક્ષણિકતાઓનું યોગ્ય રીતે વર્ણન કરે છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W$,જ્યાં $\Delta W$ એ $p-V$ આલેખમાં ત્રિકોણ $ABC$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} (V_2 - V_1)(p_2 - p_1)$.
પ્રક્રિયા $AB$ (સમદાબી,$p = p_1$) માટે:
$\Delta Q_{AB} = n C_p \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_2)$.
પ્રક્રિયા $BC$ (સમકદ,$V = V_2$) માટે:
$\Delta Q_{BC} = n C_V \Delta T = n (\frac{3}{2} R) \Delta T = \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)$.
$\Delta Q_{total} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} + \Delta Q_{AC} = \Delta W$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta Q_{AC} = \Delta W - \Delta Q_{AB} - \Delta Q_{BC}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q_{AC} = \frac{1}{2}(V_2 - V_1)(p_2 - p_1) - [\frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_2) + \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)]$.
આ પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta Q_{AC} = 2(p_2 V_2 - p_1 V_1) + \frac{1}{2}(p_1 V_2 - p_2 V_1)$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ માટે:
$P_{12} V_2^\gamma = P_{34} V_3^\gamma \quad \dots(i)$
$P_{34} V_4^\gamma = P_{12} V_1^\gamma \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$P_{12} P_{34} (V_2 V_4)^\gamma = P_{12} P_{34} (V_1 V_3)^\gamma$
$V_2 V_4 = V_1 V_3 \Rightarrow \frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4}$
સમદાબી પ્રક્રિયાઓ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 = \frac{P_{12} V_1}{nR}, T_2 = \frac{P_{12} V_2}{nR}, T_3 = \frac{P_{34} V_3}{nR}, T_4 = \frac{P_{34} V_4}{nR}$
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_{rejected}}{Q_{supplied}} = 1 - \frac{n C_p (T_3 - T_4)}{n C_p (T_2 - T_1)} = 1 - \frac{T_3 - T_4}{T_2 - T_1}$
$T$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\eta = 1 - \frac{\frac{P_{34}}{nR}(V_3 - V_4)}{\frac{P_{12}}{nR}(V_2 - V_1)} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{V_2 - V_1} \right)$
કારણ કે $\frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4} = k$,તેથી $V_2 = k V_3$ અને $V_1 = k V_4$.
$\eta = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{k(V_3 - V_4)} \right) = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12} k} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \cdot \frac{V_3}{V_2} = 1 - \frac{T_3}{T_2} = 1 - \frac{T_4}{T_1}$

(C) ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{supplied}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોખ્ખું કાર્ય $W_{\text{net}}$ એ $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. અર્ધ-અક્ષો $a = \frac{V_{0}}{2}$ અને $b = \frac{P_{0}}{2}$ ધરાવતા ચતુર્થાંશ લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $W_{\text{net}} = \frac{1}{4} \pi a b = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{V_{0}}{2}\right) \left(\frac{P_{0}}{2}\right) = \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$ છે.
વાયુને માત્ર $CA$ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. $CA$ પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{CA} = n C_{V} \Delta T = \frac{3}{2} R (T_{A} - T_{C})$ છે. $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_{A} = \frac{(3/2 P_{0}) V_{0}}{R} = \frac{3 P_{0} V_{0}}{2R}$ અને $T_{C} = \frac{P_{0} (V_{0}/2)}{R} = \frac{P_{0} V_{0}}{2R}$ મળે છે.
તેથી,$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} R \left(\frac{3 P_{0} V_{0}}{2R} - \frac{P_{0} V_{0}}{2R}\right) = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$.
$CA$ માર્ગ દરમિયાન થયેલું કાર્ય એ વક્ર $CA$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ વત્તા ચતુર્થાંશ લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ છે: $W_{CA} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{2}\right) + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = \frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$.
કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q_{\text{supplied}} = W_{CA} + \Delta U_{CA} = \left(\frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}\right) + \frac{3}{2} P_{0} V_{0} = 2 P_{0} V_{0} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = P_{0} V_{0} \left(2 + \frac{\pi}{16}\right) = P_{0} V_{0} \left(\frac{32 + \pi}{16}\right)$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{\pi P_{0} V_{0} / 16}{P_{0} V_{0} (32 + \pi) / 16} = \frac{\pi}{32 + \pi}$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
$1$. આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય છે, જેનો અર્થ છે કે તેનો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે, તે કયા માર્ગે ફેરફાર થયો તેના પર નહીં.
$2$. ઉષ્મા $(Q)$ અને કાર્ય $(W)$ એ પથ વિધેય છે. તેમના મૂલ્યો બે અવસ્થાઓ વચ્ચે જવા માટે અનુસરવામાં આવતી ચોક્કસ પ્રક્રિયા અથવા માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
$3$. વિધાન $B$ અને $C$ સાચા હોવાથી, અને વિધાન $A$ ને પણ પથ પર આધારિત હોવાના સંદર્ભમાં જોતા, થર્મોડાયનેમિક્સના સંદર્ભમાં તમામ વિધાનો સાચા ગણાય છે.

(D) $P-T$ આલેખમાં:
$1.$ પ્રક્રિયા $A$ એ શિરોલંબ રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે। આ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$2.$ પ્રક્રિયા $B$ એ આડી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે। આ સમદાબ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$3.$ પ્રક્રિયા $C$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$। આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી, જો $P/T = nR/V$ અચળ હોય, તો કદ $V$ અચળ હોવું જોઈએ। આ સમકદ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$4.$ પ્રક્રિયા $D$ એ એક વક્ર છે જ્યાં ઢાળ $dP/dT$ તાપમાન સાથે વધે છે। એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$, જે $P-T$ સમતલમાં અરેખીય સંબંધ તરફ દોરી જાય છે। આમ, $D$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ - એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે।

(B) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $A \longrightarrow B$: દબાણ $P$ અચળ છે જ્યારે કદ $V$ વધે છે. આ સમદાબી વિસ્તરણ છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B \longrightarrow C$: આ એક સમતાપી પ્રક્રિયા છે ($T$ અચળ છે). આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,તેથી $P \propto 1/V$. આ વક્ર એક લંબચોરસ હાયપરબોલા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C \longrightarrow D$: કદ $V$ અચળ છે જ્યારે દબાણ $P$ ઘટે છે. આ સમકદ ઠંડક પ્રક્રિયા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D \longrightarrow A$: આ એક સમતાપી પ્રક્રિયા છે ($T$ અચળ છે). $B \longrightarrow C$ ની જેમ જ,$P \propto 1/V$.
હવે,$P-T$ આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- સમદાબી પ્રક્રિયા $(A \longrightarrow B)$ માટે,$V \propto T$. કારણ કે $V$ વધે છે,તેથી અચળ $P$ પર $T$ વધવું જોઈએ.
- સમતાપી પ્રક્રિયા $(B \longrightarrow C)$ માટે,$T$ અચળ છે,તેથી આલેખ એક ઉભો રેખાખંડ છે.
- સમકદ પ્રક્રિયા $(C \longrightarrow D)$ માટે,$P \propto T$. આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
- સમતાપી પ્રક્રિયા $(D \longrightarrow A)$ માટે,$T$ અચળ છે,તેથી આલેખ એક ઉભો રેખાખંડ છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) આ પ્રક્રિયા સમતાપી છે,તેથી આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ આપેલી ઉષ્મા $Q$ જેટલો થાય છે.
$20$ મોલ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુની પ્રારંભિક આંતરિક ઊર્જા: $U_{\text{initial}} = n_1 \times C_{v1} \times T = 20 \times \frac{5}{2} R T = 50 R T$.
વિયોજન પછી,$8$ મોલ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના $16$ મોલ એકપરમાણ્વીય વાયુ બને છે અને $12$ મોલ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ બાકી રહે છે.
અંતિમ આંતરિક ઊર્જા: $U_{\text{final}} = (12 \times \frac{5}{2} R T) + (16 \times \frac{3}{2} R T) = 30 R T + 24 R T = 54 R T$.
આપેલી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = 54 R T - 50 R T = 4 R T$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $Q = W$ મળે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $PV$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય $W$ ધન છે $(W > 0)$.
તેથી,તંત્રને આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ ધન હોવી જોઈએ $(Q > 0)$,જેનો અર્થ છે કે તંત્રને ઉષ્મા આપવામાં આવી છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$. આપેલ છે કે $V_2 = 2V_1$,તેથી $P_1 V_1 = P_2 (2V_1)$,જે આપણને $P_2 = P_1 / 2$ આપે છે.
ધારો કે દબાણમાં વધુ ઘટાડો કરીને નવું દબાણ $P'$ કરવામાં આવે છે. આપણે $(P', 2V_1)$ સ્થિતિમાંથી સમોષ્મી પ્રક્રિયા દ્વારા મૂળ સ્થિતિ $(P_1, V_1)$ પર પહોંચવા માંગીએ છીએ.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P' (2V_1)^\gamma = P_1 (V_1)^\gamma$,જ્યાં નિયોન જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ છે.
$P' (2)^\gamma = P_1 \implies P' = P_1 (2)^{-\gamma} = P_1 (2)^{-5/3}$.
સમતાપી વિસ્તરણના અંતે દબાણ $P_2 = P_1 / 2 = P_1 (2)^{-1}$ હતું.
જરૂરી દબાણમાં આંશિક ઘટાડો $\frac{P_2 - P'}{P_2} = \frac{P_1 (2)^{-1} - P_1 (2)^{-5/3}}{P_1 (2)^{-1}} = 1 - \frac{(2)^{-5/3}}{(2)^{-1}} = 1 - 2^{-5/3 + 1} = 1 - 2^{-2/3}$ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આપેલ છે કે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં થયેલ વધારા જેટલું છે,તેથી $\Delta W = \Delta U$.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta Q = \Delta U + \Delta U = 2\Delta U$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q = nC\Delta T$ અને $\Delta U = nC_v\Delta T$,જ્યાં $C$ એ પ્રક્રિયા માટેની મોલર ઉષ્માધારિતા છે અને $C_v$ એ અચળ કદ પરની મોલર ઉષ્માધારિતા છે.
તેથી,$nC\Delta T = 2nC_v\Delta T$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $C = 2C_v$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ આપેલ હોવાથી,$C_v = \frac{R}{1.5 - 1} = \frac{R}{0.5} = 2R$.
તેથી,$C = 2 \times (2R) = 4R$.

(A) અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 3 \times 10^5\,Pa$ અને $\Delta V = 1600\,cm^3 = 1600 \times 10^{-6}\,m^3 = 1.6 \times 10^{-3}\,m^3$ છે.
તેથી,$W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480\,J$.
આપેલ છે કે પૂરી પાડવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $(Q)$ ના $10\%$ નો ઉપયોગ આ કાર્ય માટે થાય છે.
તેથી,$0.10 \times Q = 480\,J$,જેનો અર્થ છે કે $Q = 4800\,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
આમ,$\Delta U = \Delta Q - W = 4800\,J - 480\,J = 4320\,J$.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $10\%$ ઉષ્માનો ઉપયોગ કાર્ય માટે થાય છે,તેથી $90\%$ ઉષ્માનો ઉપયોગ આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે થાય છે.
$\Delta U = 0.90 \times 4800\,J = 4320\,J$.

(B) આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે, તેથી $\Delta T = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$. આમ, $A \longrightarrow II$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, તેથી $\Delta U = -\Delta W$. જો વાયુ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે, તો $\Delta W > 0$, તેથી $\Delta U < 0$, એટલે કે આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે. આમ, $B \longrightarrow I$.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે, કદ $V$ અચળ રહે છે, તેથી $\Delta V = 0$. કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ હોવાથી, વાયુ પર કે વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી. આમ, $C \longrightarrow IV$.
સમદાબ પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અચળ રહે છે. શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ વધારવા અને કાર્ય $\Delta W = P \Delta V$ કરવા માટે વપરાય છે. આમ, $D \longrightarrow III$.
તેથી, સાચી જોડી $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(A) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે જ્યાં અણુઓ ફરે છે પણ દોલન કરતા નથી,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{5+2}{2}R = \frac{7}{2}R$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $Q = nC_p\Delta T = 735\,J$ છે.
તેથી,$n\left(\frac{7}{2}R\right)\Delta T = 735$,જે આપણને $nR\Delta T = 735 \times \frac{2}{7} = 210\,J$ આપે છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = nC_v\Delta T = n\left(\frac{5}{2}R\right)\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$nR\Delta T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{5}{2} \times 210 = 5 \times 105 = 525\,J$ મળે છે.

(D) વિધાન $I:$ $\Delta Q > 0$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. જો સિસ્ટમમાં ઉષ્મા ઉમેરવામાં આવે,તો સિસ્ટમ દ્વારા એવું કાર્ય $W$ થઈ શકે કે જેથી $W > \Delta Q$ થાય,જેના પરિણામે $\Delta U < 0$ (આંતરિક ઉર્જા અને તાપમાનમાં ઘટાડો) થાય. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II:$ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $W > 0$ હોય,તો $\int P \, dV > 0$ થાય. વાયુ માટે દબાણ $P$ હંમેશા ધન હોવાથી,કદમાં ફેરફાર $dV$ ધન હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમનું કદ વધવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) પાત્ર $A$ માં સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = V/8$.
$P \cdot V = P_A \cdot (V/8) \implies P_A = 8P$.
પાત્ર $B$ માં એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે,જ્યાં એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ છે.
$P \cdot V^{5/3} = P_B \cdot (V/8)^{5/3}$.
$P_B = P \cdot (V / (V/8))^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ,$P_B = 32P$.
વાયુ $B$ ના અંતિમ દબાણ અને વાયુ $A$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_B}{P_A} = \frac{32P}{8P} = 4$ છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયાનો ઢાળ એ આઈસોથર્મલ (સમતાપી) પ્રક્રિયાના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે. તેથી,વધુ સીધો (steep) વક્ર એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$1$. વક્ર $B$ એ વક્ર $A$ કરતા વધુ સીધો છે,તેથી પ્રક્રિયા $B$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^\gamma = k$ છે.
$2$. વક્ર $A$ ઓછો સીધો છે,તેથી પ્રક્રિયા $A$ એ આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા છે. આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV = k$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે જે પ્રક્રિયા $B$ ને એડિબેટિક $(PV^\gamma = k)$ અને પ્રક્રિયા $A$ ને આઈસોથર્મલ $(PV = k)$ તરીકે ઓળખાવે છે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = du + dW$.
કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,$C dT = C_V dT + P dV$,જ્યાં $C$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
$dT$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $C = C_V + P \frac{dV}{dT}$.
આપેલ અવસ્થા સમીકરણ $PV^2 = RT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ પર $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(2V) \frac{dV}{dT} = R$.
તેથી,$P \frac{dV}{dT} = \frac{R}{2}$.
આ કિંમત $C$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C = C_V + \frac{R}{2}$.

(B) $A$ થી $B$ માર્ગ માટે, પ્રક્રિયા $PV^3 = RT$ ને અનુસરે છે। અહીં $T = 300 \, K$ છે।
$W_{AB} = \int_{V_A}^{V_B} P \, dV = \int_{2}^{4} \frac{RT}{V^3} \, dV = RT \int_{2}^{4} V^{-3} \, dV$
$W_{AB} = 8 \times 300 \times \left[ \frac{V^{-2}}{-2} \right]_{2}^{4} = 2400 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \right) = -1200 \times \left( \frac{1-4}{16} \right) = -1200 \times \left( -\frac{3}{16} \right) = 225 \, J$.
$B$ થી $C$ માર્ગ માટે, આ $P = 10 \, Pa$ પર સમદાબી પ્રક્રિયા છે જ્યાં કદ $V = 4 \, m^3$ થી $V = 2 \, m^3$ થાય છે।
$W_{BC} = P(V_C - V_B) = 10(2 - 4) = -20 \, J$.
$C$ થી $A$ માર્ગ માટે, આ સમકદ પ્રક્રિયા છે જ્યાં $V = 2 \, m^3$ અચળ છે, તેથી $W_{CA} = 0 \, J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 225 - 20 + 0 = 205 \, J$.