Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ છે.
કારણ કે $\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $\Delta Q = n C_p \Delta T$,તેથી $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ મળે.
આમ,અંશ $1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ થાય.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$ થાય છે. જો કે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q$ શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી; તે કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે $(Q = W)$.
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $Q$ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિધાન 'સમતાપી પ્રક્રિયામાં,$Q = 0$' ખોટું છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ છે. આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P \times V = P_2 \times 2V$,જે આપણને $P_2 = \frac{P}{2}$ આપે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ છે. આપેલ છે કે $V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,અને $\gamma = \frac{5}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_3 = P_2 \left(\frac{V_2}{V_3}\right)^\gamma = \frac{P}{2} \left(\frac{2V}{16V}\right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left(\frac{1}{8}\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$.

(D) અચળ દબાણે, થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ માટે, $PV = nRT$, તેથી $P \Delta V = nR \Delta T$.
આમ, $W = nR \Delta T$.
અચળ કદ પર આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = \Delta U = nC_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે।
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $Q = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T = \frac{3}{2} (nR \Delta T)$.
કારણ કે $W = nR \Delta T$, તેથી $Q$ ના સમીકરણમાં $W$ મૂકતા:
$Q = \frac{3}{2} W$.

(B) સમતાપી વિસ્તરણ માટે,પ્રક્રિયા બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
તેથી,$P_i = P \times (V / 2V) = P / 2$.
એડિબેટિક વિસ્તરણ માટે,પ્રક્રિયા $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
તેથી,$P_a = P \times (V / 2V)^{\gamma} = P / 2^{\gamma}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{P_i}{P_a}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{P_i}{P_a} = \frac{P/2}{P/2^{\gamma}} = \frac{2^{\gamma}}{2} = 2^{\gamma-1}$.

(C) આપેલ છે: $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $I$: સમતાપી પ્રક્રિયા $(T = \text{અચળ})$
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 9V$ છે.
$P \times V = P_2 \times 9V$
$P_2 = \frac{P}{9}$.
કિસ્સો $II$: સમોષ્મી પ્રક્રિયા $(PV^\gamma = \text{અચળ})$
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = \frac{P}{9}$,$V_2 = 9V$,અને $V_3 = V$ છે.
$\frac{P}{9} \times (9V)^{3/2} = P_3 \times (V)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times \left(\frac{9V}{V}\right)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (9)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (3^2)^{3/2} = \frac{P}{9} \times 3^3 = \frac{P}{9} \times 27 = 3P$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $3P$ છે.

(B) અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = C_p : C_v : R$ થાય.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
તેથી,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} R : \frac{5}{2} R : R$ મળે.
$\frac{2}{R}$ વડે ગુણતા,આપણને $7 : 5 : 2$ ગુણોત્તર મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\gamma = \frac{5}{3}$.
પગલું $1$: કદ $V$ થી $2V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \times V = P_2 \times 2V$.
તેથી,$P_2 = \frac{P}{2}$.
પગલું $2$: કદ $2V$ થી $16V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^{\gamma}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( (2^{-3})^{5/3} \right) = \frac{P}{2} \times 2^{-5} = \frac{P}{2 \times 32} = \frac{P}{64}$.

(A) અવાહક નળીમાં વાયુનો પ્રવાહ અચાનક અટકી જતો હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે.
વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}m(2V)^2 = 2mV^2$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,વાયુને દબાવવા માટે થયેલું કાર્ય આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $\Delta U = \frac{nR\Delta T}{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$\Delta U = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$ મળે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$2mV^2 = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{2MV^2(\gamma-1)}{R}$.

(A) આપેલ છે: અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા,$Q_p = 80 \ J$. વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય,$W = 20 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q_p = \Delta U + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta U = Q_p - W = 80 \ J - 20 \ J = 60 \ J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q_p = n C_p \Delta T$ અને $\Delta U = n C_v \Delta T$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q_p}{\Delta U} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $4/3$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$.
અચળ દબાણે આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$,તેથી $n R \Delta T = P \Delta V$.
અહીં,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 3V - V = 2V$ છે.
તેથી,$n R \Delta T = P(2V) = 2PV$.
આ કિંમતને આંતરિક ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{2PV}{\gamma-1}$.

(C) આપેલ છે: આપેલી ઉષ્મા $Q = 100 \ J$,આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 60 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી થયેલ કાર્ય $W = Q - \Delta U = 100 - 60 = 40 \ J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $Q = n C_p \Delta T$.
તેથી,$\frac{Q}{\Delta U} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{100}{60} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.67$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે હોય છે,તેથી વાયુ એક-પરમાણ્વીય છે.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તેના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{n f R \Delta T}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ અચળ કદ પર: $\Delta U_1 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
(ii) અચળ દબાણ પર: $\Delta U_2 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
કારણ કે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ બંને કિસ્સામાં સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.

(A) એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે.
$C_p = \frac{5}{2}R$ અને $C_v = \frac{3}{2}R$.
અચળ દબાણે પૂરી પાડવામાં આવતી કુલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $\Delta U = n C_v \Delta T = \frac{3}{2} nR \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માની ટકાવારી $= \frac{\Delta U}{Q} \times 100 = \frac{\frac{3}{2} nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 60\%$.
બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે વપરાતી ઉષ્માની ટકાવારી $= \frac{W}{Q} \times 100 = \frac{nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 40\%$.
આમ,ટકાવારી અનુક્રમે $40\%$ અને $60\%$ છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = C_p \Delta T$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = C_V \Delta T$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta Q}{\Delta U} = \frac{C_p \Delta T}{C_V \Delta T} = \frac{C_p}{C_V} = \gamma$. તેથી,$A \rightarrow 4$.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = (C_p - C_V) \Delta T$.
તેથી,$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{C_p \Delta T}{(C_p - C_V) \Delta T} = \frac{C_p}{C_p - C_V} = \frac{C_p/C_V}{(C_p/C_V) - 1} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$. તેથી,$B \rightarrow 3$.
રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$. તેથી,$C \rightarrow 2$.
હીટ પંપ માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\alpha = \frac{Q_1}{W} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$. તેથી,$D \rightarrow 1$.
આમ,સાચી જોડ $A \rightarrow 4, B \rightarrow 3, C \rightarrow 2, D \rightarrow 1$ છે.

$(A)$ વાયુને $V_1 = 2 \,m^3$ થી $V_2 = 1 \,m^3$ સુધી $P = 100 \,N m^{-2}$ ના અચળ દબાણે સંકોચવામાં આવે છે.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -P \Delta V = -100 \times (1 - 2) = 100 \,J$ છે.
નોંધ: વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P \Delta V = -100 \,J$ છે,તેથી વાયુ પર થયેલ કાર્ય $+100 \,J$ છે.
તંત્રને આપવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = 150 \,J$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W_{on}$.
$\Delta U = 150 \,J + 100 \,J = 250 \,J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં $250 \,J$ નો વધારો થાય છે.

(D) આપેલ સંબંધ $V = k T^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = RT$ ($1 \ mole$ માટે),તેથી $P = \frac{RT}{V}$.
થયેલું કાર્ય $W = \int P \ dV = \int \frac{RT}{V} \ dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = k T^{2/3}$ પરથી,તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT$.
$V$ અને $dV$ ની કિંમત કાર્યના સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int \frac{RT}{k T^{2/3}} \cdot (k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT) = \int R \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \ dT = \int \frac{2}{3} R \ dT$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 60 \ K$ આપેલ હોવાથી,થયેલું કાર્ય:
$W = \frac{2}{3} R \int_{T_1}^{T_2} dT = \frac{2}{3} R \Delta T = \frac{2}{3} R (60) = 40 R$.

(D) આપેલ સંબંધ $V = K T^2$ છે.
એક મોલ વાયુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P = \frac{RT}{V}$ મળે છે.
$P$ ના સમીકરણમાં $V = K T^2$ મૂકતા,$P = \frac{RT}{K T^2} = \frac{R}{KT}$ મળે છે.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = K T^2$ હોવાથી,$T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $dV = 2KT dT$ મળે છે.
કાર્યના સંકલનમાં $P$ અને $dV$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \int_{T_1}^{T_2} \left( \frac{R}{KT} \right) (2KT dT) = \int_{T_1}^{T_2} 2R dT$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 60 \text{ K}$ આપેલ છે.
તેથી,$W = 2R (T_2 - T_1) = 2R(60) = 120R$.

(C) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા અને રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંકનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{\eta}{\beta} = \frac{\frac{T_1 - T_2}{T_1}}{\frac{T_2}{T_1 - T_2}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
ગુણોત્તર $= \frac{T_1 - T_2}{T_1} \times \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{(T_1 - T_2)^2}{T_1 T_2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\alpha = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\alpha} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_L} = \frac{Q_H}{Q_L} - 1$.
આમ,$\frac{Q_H}{Q_L} = 1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$.
તેથી,$\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{\alpha}{1 + \alpha}$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1 + \alpha - \alpha}{1 + \alpha} = \frac{1}{1 + \alpha}$.

(A) આપેલ $P-V$ આકૃતિમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $I$ એ શિરોલંબ રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $V$ અચળ છે. આ એક આઇસોકોરિક (સમકદ) પ્રક્રિયા છે. તેથી,$I-c$.
$2$. પ્રક્રિયા $IV$ એ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે. આ એક આઇસોબેરિક (સમદાબી) પ્રક્રિયા છે. તેથી,$IV-b$.
$3$. પ્રક્રિયાઓ $II$ અને $III$ એ વક્રો છે જે $P$ અને $V$ બંનેમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. $II$ એ $300 \ K$ અને $500 \ K$ આઇસોથર્મ્સને જોડે છે અને $III$ એ $500 \ K$ અને $700 \ K$ આઇસોથર્મ્સને જોડે છે,તેથી તે એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે. વિકલ્પોને જોતા,$I-c$ અને $IV-b$ નિશ્ચિત છે. તેથી,સાચી જોડી $I-c, II-a, III-d, IV-b$ છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P$,$V_1 = V$.
પગલું $1$: $V_2 = 27 V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{P \times V}{27 V} = \frac{P}{27}$.
પગલું $2$: $V_3 = V$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = \frac{5}{3}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^\gamma = \frac{P}{27} \left( \frac{27 V}{V} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times (27)^{5/3} = \frac{P}{27} \times (3^3)^{5/3} = \frac{P}{27} \times 3^5$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times 243 = 9 P$.
વાયુનું અંતિમ દબાણ $9 P$ છે.

(C) આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{\text{iso}} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે કુલ આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{\text{total}} = -30 J$ છે,અને પથ બે સમતાપી પ્રક્રિયાઓ અને એક સમોષ્મી પ્રક્રિયાનો બનેલો હોવાથી,$\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{\text{iso1}} + \Delta U_{\text{adiabatic}} + \Delta U_{\text{iso2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $-30 J = 0 + \Delta U_{\text{adiabatic}} + 0$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta U_{\text{adiabatic}} = -30 J$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ $\Delta Q = \Delta U + W$ થાય છે. સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$W_{\text{adiabatic}} = -\Delta U_{\text{adiabatic}}$ મળે.
તેથી,$W_{\text{adiabatic}} = -(-30 J) = 30 J$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $(S_I)$ એ $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $(S_A)$ એ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બંને ઢાળ વચ્ચેનો સંબંધ $S_A = \gamma \times S_I$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{\gamma}$.
અહીં વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

(A) આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે:
$p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma$
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા ($p_A = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$,$p_B = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_B = 1 \text{ m}^3$):
$32 \times 10^5 \times V_A^{5/3} = 1 \times 10^5 \times (1)^{5/3}$
$V_A^{5/3} = \frac{1}{32} = (2^{-5}) \Rightarrow V_A = (2^{-5})^{3/5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \text{ m}^3$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ માટે:
$p_C V_C^\gamma = p_D V_D^\gamma$
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા ($p_C = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_C = 8 \text{ m}^3$,$p_D = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$):
$1 \times 10^5 \times (8)^{5/3} = 32 \times 10^5 \times V_D^{5/3}$
$(2^3)^{5/3} = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 2^5 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 32 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow V_D = 1 \text{ m}^3$.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ માં થયેલ કુલ કાર્ય:
$W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$
$W_{AB} = \frac{p_A V_A - p_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{(32 \times 10^5 \times 1/8) - (1 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(4 - 1) \times 10^5}{2/3} = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{BC} = p_B(V_C - V_B) = 1 \times 10^5 \times (8 - 1) = 7 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{CD} = \frac{p_C V_C - p_D V_D}{\gamma - 1} = \frac{(1 \times 10^5 \times 8) - (32 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(8 - 32) \times 10^5}{2/3} = -36 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{DA} = p_D(V_A - V_D) = 32 \times 10^5 \times (1/8 - 1) = 32 \times 10^5 \times (-7/8) = -28 \times 10^5 \text{ J}$.
કુલ કાર્ય $W = (4.5 + 7 - 36 - 28) \times 10^5 \text{ J} = -52.5 \times 10^5 \text{ J}$.

(C) એક-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} n R T$ છે,તેથી $U \propto T$.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$,તેથી $\rho \propto \frac{1}{V}$.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે,$U$-$\rho$ આલેખમાં રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $U = k \rho$. $U \propto T$ અને $\rho \propto 1/V$ મૂકતા,આપણને $T \propto 1/V$ મળે,અથવા $TV = \text{અચળ}$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(PV/nR)V = \text{અચળ}$ મળે,તેથી $PV^2 = \text{અચળ}$. આ $m = 2$ સૂચકાંક ધરાવતી પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે.
મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-m} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{3R}{2} - R = \frac{R}{2}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
પ્રક્રિયા $BC$ માં,$\rho$ અચળ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. $U$ ઘટતું હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે,તેથી ઉષ્મા મુક્ત થાય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
સમકદ પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે. વિકલ્પ $C$ માં તે $\frac{2R}{3}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
પ્રક્રિયા $CA$ માં,$U$ અચળ છે,તેથી $T$ અચળ છે (સમતાપી). $W_{CA} = nRT \ln(V_A/V_C) = nRT \ln(\rho_C/\rho_A) = (\frac{2}{3} U_0) \ln(4\rho_0/\rho_0) = \frac{2}{3} U_0 \ln 4$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $V_A = V_B = V$,$p_A = p_B = p$.
પાત્ર $A$ માટે (સમતાપી પ્રક્રિયા): $p_A V_A = p_A^{\prime} V_A^{\prime}$.
અહીં $V_A^{\prime} = V/2$ આપેલ છે,તેથી $p V = p_A^{\prime} (V/2) \Rightarrow p_A^{\prime} = 2p$.
પાત્ર $B$ માટે (એડિબેટિક પ્રક્રિયા): $p_B V_B^{\gamma} = p_B^{\prime} (V_B^{\prime})^{\gamma}$.
અહીં $V_B^{\prime} = V/2$ આપેલ છે,તેથી $p V^{\gamma} = p_B^{\prime} (V/2)^{\gamma} \Rightarrow p_B^{\prime} = p \cdot 2^{\gamma}$.
અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{p_B^{\prime}}{p_A^{\prime}} = \frac{p \cdot 2^{\gamma}}{2p} = 2^{\gamma-1}$ થાય.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,સમીકરણ $pV = K$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{p}{V}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,સમીકરણ $pV^{\gamma} = K'$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે.
આને ગોઠવતા $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{p}{V}$ મળે છે.
સમતાપી વક્રના ઢાળ અને સમોષ્મી વક્રના ઢાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(\frac{dp}{dV})_{\text{iso}}}{(\frac{dp}{dV})_{\text{adia}}} = \frac{-p/V}{-\gamma p/V} = \frac{1}{\gamma}$.

(C) આપેલ આલેખ $P-T$ આલેખ છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. $P-T$ આલેખ માટે આપણે $PV = nRT$ સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ।
આદર્શ વાયુ માટે, પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$ છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી, $V = \frac{nRT}{P}$, તેથી $dV = \frac{nR}{P} dT - \frac{nRT}{P^2} dP$.
આપેલ $P-T$ આલેખમાં, પ્રક્રિયાઓ $AB$ અને $CD$ સમકદ (isochoric) છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પર છે, $P \propto T \implies V = \text{અચળ}$), અને પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ સમદાબી (isobaric) છે (કારણ કે $P$ અચળ છે)।
સમકદ પ્રક્રિયાઓમાં ($AB$ અને $CD$) થયેલ કાર્ય $0$ છે।
સમદાબી પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે।
પ્રક્રિયા $BC$ માટે (સમદાબી, $P_B$ પર): $W_{BC} = nR(T_C - T_B) = 3R(2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$.
પ્રક્રિયા $DA$ માટે (સમદાબી, $P_A$ પર): $W_{DA} = nR(T_A - T_D) = 3R(400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$.

(C) સાચા વિધાનો $1$ અને $4$ છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $pV = \text{અચળ}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ મળે છે, જે ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ આપે છે. આ સાચું છે.
$2$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે, જે ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ આપે છે. તેથી, વિધાન $2$ ખોટું છે.
$3$. સમકદ પ્રક્રિયામાં, કદ $V$ અચળ રહે છે, તેથી $dV = 0$. આલેખ એક ઉભી રેખા છે, અને ઢાળ $\frac{dp}{dV}$ અવ્યાખ્યાયિત (અથવા $\infty$) છે. તેથી, વિધાન $3$ ખોટું છે.
$4$. સમદાબ પ્રક્રિયામાં, દબાણ $p$ અચળ રહે છે, તેથી $dp = 0$. આલેખ કદ અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે, અને ઢાળ $\frac{dp}{dV} = 0$ છે. આ સાચું છે.

(A) જ્યારે $\Delta Q > 0$ હોય ત્યારે તંત્ર દ્વારા ઉષ્મા શોષાય છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,ઉષ્મા તે ભાગો દરમિયાન શોષાય છે જ્યાં આંતરિક ઉર્જા વધે છે અને વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે. $ABCDA$ ચક્રને જોતા:
$1$. પથ $A \rightarrow B$ (સમકદ): $W = 0$,$\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3p_0 - p_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U > 0$ હોવાથી,ઉષ્મા શોષાય છે: $\Delta Q_{AB} = 3 p_0 V_0$.
$2$. પથ $B \rightarrow C$ (સમદાબ): $W = p \Delta V = 3p_0 (2V_0 - V_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} (p_C V_C - p_B V_B) = \frac{3}{2} (6 p_0 V_0 - 3 p_0 V_0) = 4.5 p_0 V_0$. ઉષ્મા શોષાય છે: $\Delta Q_{BC} = \Delta U + W = 4.5 p_0 V_0 + 3 p_0 V_0 = 7.5 p_0 V_0$.
$3$. પથ $C \rightarrow D$ અને $D \rightarrow A$: વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે અને વાયુ પર કાર્ય થાય છે.
શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા = $\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3 p_0 V_0 + 7.5 p_0 V_0 = 10.5 p_0 V_0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $V = \frac{aT^3}{P}$ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,પ્રારંભિક કદ $V_1 = \frac{aT^3}{P}$ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે $(T_2 = 2T)$,ત્યારે નવું કદ $V_2 = \frac{a(2T)^3}{P} = \frac{8aT^3}{P}$ થાય છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = P(V_2 - V_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $W = P \left( \frac{8aT^3}{P} - \frac{aT^3}{P} \right) = P \left( \frac{7aT^3}{P} \right) = 7aT^3$.

(A) વિવિધ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા: $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \mu RT \ln(\frac{V_2}{V_1})$. તેથી,$i-c$.
$2$. સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ $P$ અચળ છે,તેથી $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV = P(V_2 - V_1)$. તેથી,$ii-d$.
$3$. સમકદ પ્રક્રિયા: કદ $V$ અચળ છે,તેથી $dV = 0$,જેનો અર્થ છે કે $W = 0$. તેથી,$iii-a$.
$4$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{1}{\gamma - 1}[P_2 V_2 - P_1 V_1]$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ). તેથી,$iv-b$.
આમ,સાચી જોડ $i-c, ii-d, iii-a, iv-b$ છે.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
પગલું $1$ (સમદાબી વિસ્તરણ): કદ બમણું થાય છે,તેથી $V_2 = 2V$. દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 300 \times 2 = 600 \ K$.
પગલું $2$ (એડિબેટિક પ્રક્રિયા): વાયુનું વિસ્તરણ/સંકોચન થાય છે જ્યાં સુધી $T_3 = T_1 = 300 \ K$ થાય.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_2 - T_3)}{\gamma - 1}$ છે.
અહીં $\gamma = \frac{5}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{2/3} = \frac{2 \times 8.3 \times 300 \times 3}{2} = 8.3 \times 900 = 7470 \ J$.

(D) આપેલ $p-V$ આલેખ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્રીય પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ દર્શાવે છે.
$1$. $A \rightarrow B$: સમદાબી વિસ્તરણ (દબાણ $p$ અચળ છે,કદ $V$ વધે છે,તેથી તાપમાન $T$ વધે છે).
$2$. $B \rightarrow C$: સમતાપી સંકોચન ($p \propto 1/V$,તેથી $T$ અચળ છે,કદ $V$ ઘટે છે).
$3$. $C \rightarrow D$: સમકદ સંકોચન (કદ $V$ અચળ છે,દબાણ $p$ ઘટે છે,તેથી તાપમાન $T$ ઘટે છે).
$4$. $D \rightarrow A$: સમતાપી વિસ્તરણ ($p \propto 1/V$,તેથી $T$ અચળ છે,કદ $V$ વધે છે).
આ પ્રક્રિયાઓની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં આપેલો $p-T$ આલેખ આ ચક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: $A \rightarrow B$ (સમદાબી,$T$ વધે છે),$B \rightarrow C$ (સમતાપી,$p$ ઘટે છે),$C \rightarrow D$ (સમકદ,$T$ ઘટે છે),$D \rightarrow A$ (સમતાપી,$p$ વધે છે). આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

$(B)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો શૂન્યમો નિયમ સંપર્કમાં રહેલી સિસ્ટમો વચ્ચે ઉષ્મીય સંતુલન વ્યાખ્યાયિત કરે છે $(A-III)$.
$B$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે $(B-IV)$.
$C$. વાયુના મુક્ત વિસ્તરણમાં, બાહ્ય દબાણ સામે વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી, તેથી કાર્ય શૂન્ય છે $(C-II)$.
$D$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો બીજો નિયમ ઉષ્માના પ્રવાહની દિશા માટેના માપદંડો પૂરા પાડે છે $(D-I)$.
તેથી, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(B) સાચી જોડી નીચે મુજબ છે:
$A$. સ્ટીમ એન્જિન $\text{થર્મોડાયનેમિક્સના}$ $\text{નિયમો}$ $(II)$ પર કાર્ય કરે છે.
$B$. ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ $\text{ઇલેક્ટ્રોનની}$ $\text{તરંગ}$ $\text{પ્રકૃતિ}$ $(III)$ નો ઉપયોગ કરે છે.
$C$. નોન-રિફ્લેક્ટિંગ કોટિંગ્સ $\text{પ્રકાશના}$ $\text{વ્યતિકરણ}$ $(IV)$ પર આધારિત છે.
$D$. ટોકામેક $\text{પ્લાઝ્માના}$ $\text{ચુંબકીય}$ $\text{નિયંત્રણ}$ $(I)$ નો ઉપયોગ કરે છે.
તેથી, સાચો ક્રમ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) આપેલ ઉષ્મા $Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલી હોય છે,કારણ કે પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થાય છે અને સિલિન્ડર ઇન્સ્યુલેટીંગ છે.
$Q = U_f - U_i$.
શરૂઆતમાં,સિલિન્ડરમાં $4 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $(f = 5)$ છે.
$U_i = n \left( \frac{f}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 10 RT$.
વિઘટન પછી,$2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુનું $4 \text{ મોલ}$ એક-પરમાણ્વિક વાયુ $(f = 3)$ માં રૂપાંતર થાય છે. બાકીના $2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક રહે છે.
અંતિમ સ્થિતિ: $4 \text{ મોલ}$ એક-પરમાણ્વિક $(f = 3)$ અને $2 \text{ મોલ}$ દ્વિ-પરમાણ્વિક $(f = 5)$.
$U_f = n_{mono} \left( \frac{3}{2} RT \right) + n_{dia} \left( \frac{5}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{3}{2} RT \right) + 2 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 6 RT + 5 RT = 11 RT$.
આમ,$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે,શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલ કાર્ય $dW = P dV = n R dT$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = n C_v dT$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$.
આમ,$dW : dU : dQ$ નો ગુણોત્તર $nR dT : \frac{5}{2} nR dT : \frac{7}{2} nR dT$ થાય છે.
$nR dT$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.

(D) અચળ દબાણે,$W = P \Delta V = nR \Delta T$,જે સૂચવે છે કે $W \propto \Delta T$.
આપેલ છે કે $W_1 = W$ અને $W_2 = 2W$,તેથી $\frac{(\Delta T)_2}{(\Delta T)_1} = \frac{W_2}{W_1} = 2$,એટલે કે $(\Delta T)_2 = 2(\Delta T)_1$.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = \frac{f_1}{2} nR(\Delta T)_1 + nR(\Delta T)_1 = (\frac{3}{2} + 1) nR(\Delta T)_1 = \frac{5}{2} nR(\Delta T)_1$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = \frac{f_2}{2} nR(\Delta T)_2 + 2W = \frac{5}{2} nR(2(\Delta T)_1) + 2nR(\Delta T)_1 = (5 + 2) nR(\Delta T)_1 = 7nR(\Delta T)_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{5}{2} nR(\Delta T)_1}{7nR(\Delta T)_1} = \frac{5}{14}$ થાય.
આમ,$Q_1 : Q_2 = 5 : 14$.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \text{ મોલ}$,$\gamma = 4/3$,$T_1 = 327^{\circ} C = 600 \text{ K}$.
પગલું $1$: સમોષ્મી વિસ્તરણ.
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
અહીં $V_2 = 8 V_1$ આપેલ છે,તેથી $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 600 \times (1/8)^{(4/3 - 1)} = 600 \times (1/8)^{1/3} = 600 \times (1/2) = 300 \text{ K}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_1 = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{2R(600 - 300)}{4/3 - 1} = \frac{2R(300)}{1/3} = 1800 R$.
પગલું $2$: સમકદ પ્રક્રિયા.
સમકદ પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_2 = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 1800 R + 0 = 1800 R$.

(D) આ પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં વહેંચાયેલી છે:
તબક્કો $I$: $V_0$ થી $3V_0$ સુધીનું વિસ્તરણ જ્યાં $p = p_0(V/V_0)$.
કાર્ય $W_I = \int_{V_0}^{3V_0} p dV = \int_{V_0}^{3V_0} \frac{p_0}{V_0} V dV = \frac{p_0}{V_0} \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_0}^{3V_0} = \frac{p_0}{2V_0} (9V_0^2 - V_0^2) = 4p_0 V_0$.
તબક્કો $II$: સમકદ પ્રક્રિયા (કદ $3V_0$ પર અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{II} = 0$.
તબક્કો $III$: $3V_0$ થી $V_0$ સુધીનું સમદાબી સંકોચન અચળ દબાણ $p_0$ પર.
કાર્ય $W_{III} = \int_{3V_0}^{V_0} p_0 dV = p_0 (V_0 - 3V_0) = -2p_0 V_0$.
કુલ કાર્ય $W_{\text{total}} = W_I + W_{II} + W_{III} = 4p_0 V_0 + 0 - 2p_0 V_0 = 2p_0 V_0$.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
હવાના મોલની સંખ્યા $(n) = 2000 = 2 \times 10^3 \text{ mol}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $(T_i) = 34^{\circ} C$,અંતિમ તાપમાન $(T_f) = 24^{\circ} C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T) = 24 - 34 = -10 \text{ K}$.
હવા માટે,$\gamma = 1.4$. અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{R}{1.4 - 1} = \frac{R}{0.4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{0.4} \right) \Delta T$
$\Delta U = (2 \times 10^3) \times \left( \frac{8.314}{0.4} \right) \times (-10)$
$\Delta U = - \frac{2 \times 8.314 \times 10^4}{0.4}$
$\Delta U = - \frac{16.628 \times 10^4}{0.4} = -41.57 \times 10^4 \text{ J} \approx -4.2 \times 10^5 \text{ J}$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે, એટલે કે $\sum \Delta U = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\Delta U = Q - W$.
તેથી, $\sum (Q_i - W_i) = 0$.
$(Q_1 - W_1) + (Q_2 - W_2) + (Q_3 - W_3) + (Q_4 - W_4) = 0$
$(6000 - 2500) + (-5500 + 1000) + (-3000 + 1200) + (3500 - x) = 0$
$3500 - 4500 - 1800 + 3500 - x = 0$
$700 - x = 0 \implies x = 700 \ J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
કુલ શોષાયેલ ઉષ્મા $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100 = \frac{1000}{9500} \times 100 = 10.5 \%$.

(D) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_p = \frac{5}{2}R$ છે।
સિલિન્ડર $B$ માં, પિસ્ટન સ્થિર છે, તેથી પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે। આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B$ થાય।
સિલિન્ડર $A$ માં, પિસ્ટન મુક્ત છે, તેથી પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે। આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$ થાય।
બંને કિસ્સામાં આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી, $n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$।
$\Delta T_A = 42 \,K$ આપેલ હોવાથી, કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2} \Delta T_B = \frac{5}{2} \times 42$।
$3 \Delta T_B = 5 \times 42 = 210$।
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 \,K$।

(A) ચક્ર $ABCA$ માં થયેલું કુલ કાર્ય $W_{ABCA} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે કારણ કે $T_A = T_B = T_1$. થયેલું કાર્ય $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_B/V_A) = 3RT_1 \ln(3V_1/V_1) = 3RT_1 \ln(3)$ છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે કારણ કે $P_B = P_C = P_2$. થયેલું કાર્ય $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = P_2(V_1 - 3V_1) = -2P_2V_1$ છે. બિંદુ $B$ પર આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P_2(3V_1) = nRT_1 = 3RT_1$,તેથી $P_2V_1 = RT_1$. આમ,$W_{BC} = -2RT_1$.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે કારણ કે $V_C = V_A = V_1$. થયેલું કાર્ય $W_{CA} = 0$ છે.
$4$. કુલ કાર્ય $W_{ABCA} = 3RT_1 \ln(3) - 2RT_1 + 0 = RT_1[3 \ln(3) - 2]$.

(D) અચળ દબાણે દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે:
$1$. થયેલ કાર્ય $dW = P dV = nR dT$ છે.
$2$. આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = n C_v dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ હોવાથી,$dU = n \left( \frac{5}{2} R \right) dT$ થાય.
$3$. શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2} R$ હોવાથી,$dQ = n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$ થાય.
$4$. ગુણોત્તર $dW : dU : dQ$ નીચે મુજબ છે:
$dW : dU : dQ = nR dT : n \left( \frac{5}{2} R \right) dT : n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$
$nR dT$ વડે ભાગતા:
$1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$
સાદું રૂપ આપવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$2 : 5 : 7$.