Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ત્રણેય નમૂનાઓ માટે પ્રારંભિક કદ $V$ છે અને અંતિમ દબાણ $P$ છે.
નમૂના $A$ માટે (એડિબેટિક પ્રક્રિયા): $P_A V^{\gamma} = P_f (2V)^{\gamma}$. આપેલ છે કે $P_f = P$ અને $\gamma = 3/2$,તેથી $P_A V^{3/2} = P (2V)^{3/2} \implies P_A = P \cdot 2^{3/2} = 2\sqrt{2}P$.
નમૂના $B$ માટે (આઈસોબારિક પ્રક્રિયા): દબાણ અચળ રહે છે,તેથી $P_B = P_f = P$.
નમૂના $C$ માટે (આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા): $P_C V = P_f (2V)$. આપેલ છે કે $P_f = P$,તેથી $P_C V = P(2V) \implies P_C = 2P$.
તેથી,પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $P_A : P_B : P_C = 2\sqrt{2}P : P : 2P = 2\sqrt{2} : 1 : 2$ થાય.

(C) દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2}R$ અને અચળ કદે $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_P \Delta T = \frac{7}{2} \mu R \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \mu C_V \Delta T = \frac{5}{2} \mu R \Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,કાર્ય $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = \frac{7}{2} \mu R \Delta T - \frac{5}{2} \mu R \Delta T = \mu R \Delta T = \frac{2}{2} \mu R \Delta T$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ મળે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આખા ચક્ર માટે $\Delta U = 0$ હોવાથી,કુલ આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_{total}$ એ કુલ કરેલા કાર્ય $\Delta W_{total}$ જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ પ્રક્રિયામાં: $\Delta Q_1 = 100 \ J$ અને $\Delta W_1 = 20 \ J$.
બીજી પ્રક્રિયામાં: $\Delta Q_2 = -20 \ J$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે) અને ધારો કે કરેલું કાર્ય $W_2$ છે.
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{total} = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 = 100 - 20 = 80 \ J$.
કુલ કાર્ય $\Delta W_{total} = \Delta W_1 + W_2 = 20 + W_2$.
બંનેને સરખાવતા: $80 = 20 + W_2$.
તેથી,$W_2 = 60 \ J$.

(B) વાયુ એક પાત્રમાં બંધ હોવાથી, ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુનું કદ અચળ રહે છે। તેથી, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપેલી ઉષ્મા $(Q)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $(\Delta U)$ જેટલી હોય છે.
$N$ મોલ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુની પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_1 = N \left( \frac{5}{2}RT \right)$ છે.
વિભાજન પછી, $n$ મોલ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ $2n$ મોલ એકપરમાણ્વિક વાયુમાં ફેરવાય છે. બાકીના $(N-n)$ મોલ દ્વિપરમાણ્વિક રહે છે.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_2 = (N - n) \left( \frac{5}{2}RT \right) + 2n \left( \frac{3}{2}RT \right)$ છે.
$U_2 = \frac{5}{2}NRT - \frac{5}{2}nRT + 3nRT = \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT$.
આપેલી ઉષ્મા $Q = U_2 - U_1 = \left( \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT \right) - \frac{5}{2}NRT = \frac{1}{2}nRT$.

(A) ધારો કે પ્રક્રિયા પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે જ્યાં દબાણ ${P_A}$, કદ ${V_A}$ અને તાપમાન ${T_A}$ છે।
$(i)$ સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ અચળ તાપમાન ${T_A}$ પર $V_A$ થી $2V_A$ સુધી વિસ્તરણ પામે છે। બોઈલના નિયમ $(PV = \text{અચળ})$ મુજબ, દબાણ ${P_A}/2$ થાય છે। આ $P-V$ આલેખમાં $A \rightarrow B$ પથ દ્વારા દર્શાવેલ છે।
(ii) સમદાબી સંકોચન: વાયુને અચળ દબાણ ${P_A}/2$ પર $2V_A$ થી $V_A$ સુધી સંકોચવામાં આવે છે। ચાર્લ્સના નિયમ $(V \propto T)$ મુજબ, તાપમાન ${T_A}$ થી ઘટીને ${T_A}/2$ થાય છે। આ $P-V$ આલેખમાં $B \rightarrow C$ પથ દ્વારા દર્શાવેલ છે।
(iii) સમકદ સંકોચન: વાયુને અચળ કદ $V_A$ પર ${P_A}/2$ દબાણથી મૂળ દબાણ ${P_A}$ સુધી સંકોચવામાં આવે છે। ગે-લ્યુસેકના નિયમ $(P \propto T)$ મુજબ, તાપમાન ${T_A}/2$ થી વધીને ફરીથી ${T_A}$ થાય છે। આ $P-V$ આલેખમાં $C \rightarrow A$ પથ દ્વારા દર્શાવેલ છે।
આ અવસ્થાઓની સરખામણી કરતા: $A(P_A, V_A, T_A) \rightarrow B(P_A/2, 2V_A, T_A) \rightarrow C(P_A/2, V_A, T_A/2) \rightarrow A(P_A, V_A, T_A)$.

(D) આપેલ $VT$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $c \rightarrow a$: $T$ અચળ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા છે. $PV$ આલેખમાં,આ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા છે. જેમ $V$ ઘટે છે,તેમ $P$ વધવો જોઈએ.
$2$. પ્રક્રિયા $a \rightarrow b$: આ એક એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે. $PV$ આલેખમાં,આ વક્ર સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધુ ઢાળવાળો હોય છે. જેમ $V$ વધે છે,તેમ $P$ ઘટે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $b \rightarrow c$: આ એક એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં રેખા $VT$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જો $V \propto T$ હોય,તો $P$ અચળ હોવો જોઈએ. આમ,તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $PV$ આલેખમાં,આ એક આડી રેખા છે. જેમ $V$ વધે છે,પ્રક્રિયા જમણી તરફ જાય છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,સાચો $PV$ આલેખ વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા: $PT = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી, આપણી પાસે $PV = nRT$ છે, જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{PV}{nR}$.
આપેલ પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં $T$ માટેનું પદ મૂકતા:
$P \left( \frac{PV}{nR} \right) = \text{અચળ}$
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$P^2 V = \text{અચળ}'$
$P^2 = \frac{\text{અચળ}'}{V}$
$P = \frac{k}{\sqrt{V}}$, જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ એક વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $V$ વધવાની સાથે $P$ ઘટે છે, જે ખાસ કરીને $P \propto V^{-1/2}$ સ્વરૂપને અનુસરે છે. આ એક પ્રકારનો લંબચોરસ હાયપરબોલા વક્ર છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, જે આલેખમાં $V$ વધવાની સાથે $P$ આ રીતે ઘટે છે તે વિકલ્પ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) આલેખ $(V, 2P)$ અને $(2V, P)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
રેખાનું સમીકરણ $P - P_1 = m(V - V_1)$ છે,જ્યાં $m = \frac{P - 2P}{2V - V} = \frac{-P}{V}$.
તેથી,$P - 2P = -\frac{P}{V}(V - V_1) \Rightarrow P = -\frac{P}{V}V + 3P$.
$1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT \Rightarrow P = \frac{RT}{V}$ છે.
રેખાના સમીકરણમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{RT}{V} = -\frac{P}{V}V + 3P$.
$T = \frac{1}{R}(-PV + 3PV)$.
$RT = -\frac{P}{V}V^2 + 3PV$.
મહત્તમ $T$ શોધવા માટે,$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R}(-\frac{2PV}{V} + 3P) = 0$.
$2V = 3V \Rightarrow V = 1.5V$.
જ્યારે $V = 1.5V$ હોય,ત્યારે $P = -\frac{P}{V}(1.5V) + 3P = 1.5P$.
$T_{max} = \frac{PV}{R} = \frac{(1.5P)(1.5V)}{R} = \frac{2.25PV}{R} = \frac{9PV}{4R}$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે, પ્રારંભિક અવસ્થા $(P, V)$ છે અને અંતિમ કદ $V_f = 2V$ છે।
$(p)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ $P$ અચળ રહે છે।
કાર્ય $W = P \Delta V = P(2V - V) = PV$. તેથી, $(p) \rightarrow (y)$.
$(q)$ સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન $T$ અચળ રહે છે।
કાર્ય $W = nRT \ln(\frac{V_f}{V_i}) = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln 2$. તેથી, $(q) \rightarrow (z)$.
$(r)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
$P_i V_i^{\gamma} = P_f V_f^{\gamma} \Rightarrow P(V)^{\gamma} = P_f(2V)^{\gamma} \Rightarrow P_f = P(2)^{-\gamma}$.
કાર્ય $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} = \frac{PV - P 2^{-\gamma} 2V}{\gamma - 1} = \frac{PV(1 - 2^{1 - \gamma})}{\gamma - 1}$. તેથી, $(r) \rightarrow (x)$.
આમ, સાચી જોડી $p-y, q-z, r-x$ છે।

(A) ધારો કે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{1}$ છે,મુક્ત થયેલી ઉષ્મા $Q_{2}$ છે અને થયેલું કાર્ય $W$ છે.
ચક્ર માટે થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q_{1} = W + Q_{2}$.
આપેલ છે કે નીચા તાપમાને મુક્ત થતી ઉર્જા એ કરેલા કાર્ય કરતાં $3$ ગણી છે,તેથી $Q_{2} = 3W$.
આ કિંમતને ઉર્જા સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $Q_{1} = W + 3W = 4W$.
ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ કરેલા કાર્ય અને શોષાયેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$.
$Q_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\eta = \frac{W}{4W} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W$.
$1$. પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ (સમતાપી) માટે: $\Delta U_{1 \rightarrow 2} = 0$,તેથી $\Delta Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta W_{1 \rightarrow 2}$.
$2$. પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$ (સમકદ) માટે: $\Delta W_{2 \rightarrow 3} = 0$. આપેલ છે કે $40 \ J$ ઉષ્મા તંત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી $\Delta Q_{2 \rightarrow 3} = -40 \ J$. પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U_{2 \rightarrow 3} = \Delta Q_{2 \rightarrow 3} - \Delta W_{2 \rightarrow 3} = -40 - 0 = -40 \ J$.
$3$. પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 1$ (એડિયાબેટિક) માટે: $\Delta Q_{3 \rightarrow 1} = 0$. પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U_{3 \rightarrow 1} = \Delta Q_{3 \rightarrow 1} - \Delta W_{3 \rightarrow 1} = -\Delta W_{3 \rightarrow 1}$.
ચક્ર માટે કુલ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય હોવાથી: $\Delta U_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{2 \rightarrow 3} + \Delta U_{3 \rightarrow 1} = 0$.
$0 + (-40) + (-\Delta W_{3 \rightarrow 1}) = 0$.
તેથી,$\Delta W_{3 \rightarrow 1} = -40 \ J$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $C_v > 0$ હોવાથી,$\Delta U$ એ તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$.
$2$. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે $(V_2 > V_1)$,તેથી વાયુ દ્વારા ધન કાર્ય થાય છે $(W > 0)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$\Delta U = -W$. આમ,$\Delta U < 0$.
$3$. સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જેમ $V$ વધે છે,તેમ $T$ પણ વધવું જોઈએ $(\Delta T > 0)$. તેથી,$\Delta U > 0$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\Delta U_{\text{isobaric}} > 0$,$\Delta U_{\text{isothermal}} = 0$,અને $\Delta U_{\text{adiabatic}} < 0$.
આમ,ક્રમ $\Delta U_{\text{isobaric}} > \Delta U_{\text{isothermal}} > \Delta U_{\text{adiabatic}}$ છે.
તેથી,વિધાન $b$ ખોટું છે.

(A) વાયુ એકપરમાણ્વીય છે,તેથી $C_v = \frac{3}{2}R$ અને $C_p = \frac{5}{2}R$ થાય.
ઉષ્મા માત્ર $AB$ અને $BC$ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન શોષાય છે.
$AB$ પ્રક્રિયા (સમકદ) માટે: $\Delta Q_{AB} = n C_v \Delta T = \frac{3}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = \frac{3}{2} V_0 (2P_0) = 3P_0 V_0$.
$BC$ પ્રક્રિયા (સમદાબ) માટે: $\Delta Q_{BC} = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T = \frac{5}{2} P_0 \Delta V = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0 V_0$.
કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{in} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3P_0 V_0 + \frac{15}{2} P_0 V_0 = \frac{21}{2} P_0 V_0$.
થયેલું કુલ કાર્ય $W = ABCD$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0 V_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{2P_0 V_0}{\frac{21}{2} P_0 V_0} = \frac{4}{21}$.

(C) ધારો કે નળાકારની કુલ લંબાઈ $L = 84 \text{ cm}$ છે. શરૂઆતમાં પિસ્ટન કેન્દ્રમાં છે,તેથી દરેક ભાગની લંબાઈ $l = 42 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે બંને ભાગોમાં અંતિમ દબાણ $P$ છે (કારણ કે પિસ્ટન સંતુલનમાં છે) અને પિસ્ટનનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
બંને ભાગોની અંતિમ લંબાઈ $(42 - x)$ અને $(42 + x)$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે (તાપમાન $T_1 = 300 \text{ K}$ રહે છે):
$P_0 V_0 = P V_1 \Rightarrow 1 \times 42 = P(42 - x) \Rightarrow P(42 - x) = 42 \quad ...(i)$
બીજા ભાગ માટે (તાપમાન વધીને $T_2 = 57 + 273 = 330 \text{ K}$ થાય છે):
$\frac{P_0 V_0}{T_1} = \frac{P V_2}{T_2} \Rightarrow \frac{1 \times 42}{300} = \frac{P(42 + x)}{330} \Rightarrow P(42 + x) = 42 \times \frac{330}{300} = 46.2 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{42 + x}{42 - x} = \frac{46.2}{42} = 1.1$
$42 + x = 1.1(42 - x) = 46.2 - 1.1x$
$2.1x = 4.2 \Rightarrow x = 2 \text{ cm}$.

(B) પાત્ર $A$ માટે (સમકદ પ્રક્રિયા): પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી,કાર્ય $W_A = 0$ થાય. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U_A + W_A = \Delta U_A$. તેથી,$\Delta U_A = \Delta Q$.
પાત્ર $B$ માટે (સમદાબ પ્રક્રિયા): પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી,દબાણ અચળ રહે છે. શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_B = n C_v \Delta T$ છે. થયેલું કાર્ય $W_B = n R \Delta T = \Delta Q - \Delta U_B$ છે.
બંને માટે $\Delta Q$ સમાન હોવાથી,$\Delta U_A = \Delta Q = \Delta U_B + W_B = n C_v \Delta T + n R \Delta T = n (C_v + R) \Delta T = n C_p \Delta T$.
આપેલ છે કે $\Delta U_B = n C_v \Delta T = 100 \, J$. એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2} R$ અને $C_p = \frac{5}{2} R$.
તેથી,$\Delta U_B = n (\frac{3}{2} R) \Delta T = 100 \, J$,જેનો અર્થ છે કે $n R \Delta T = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3} \, J$.
આમ,$\Delta U_A = \Delta Q = n C_p \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} \times (n R \Delta T) = \frac{5}{2} \times \frac{200}{3} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \, J \approx 167 \, J$.

(D) સંપૂર્ણ થર્મોડાયનેમિક ચક્ર માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય હોય છે,તેથી $\Delta U_{cycle} = \Delta U_{1\rightarrow 2} + \Delta U_{2\rightarrow 3} + \Delta U_{3\rightarrow 1} = 0$.
આપેલ છે: $\Delta U_{2\rightarrow 3} = -20\,J$ (આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો).
પ્રક્રિયા $3\rightarrow 1$ (એડિયાબેટિક) માટે,$Q_{3\rightarrow 1} = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U_{3\rightarrow 1} = Q_{3\rightarrow 1} - W_{3\rightarrow 1}$.
તંત્ર પર થયેલ કાર્ય $20\,J$ છે,તેથી $W_{3\rightarrow 1} = -20\,J$.
આમ,$\Delta U_{3\rightarrow 1} = 0 - (-20\,J) = 20\,J$.
હવે,$\Delta U_{1\rightarrow 2} + (-20\,J) + 20\,J = 0$,જે આપે છે $\Delta U_{1\rightarrow 2} = 0$.
ચક્રમાં થયેલ કુલ કાર્ય $W_{cycle} = W_{1\rightarrow 2} + W_{2\rightarrow 3} + W_{3\rightarrow 1} = 10\,J$.
પ્રક્રિયા $2\rightarrow 3$ સમકદ હોવાથી,$W_{2\rightarrow 3} = 0$.
તેથી,$W_{1\rightarrow 2} + 0 + (-20\,J) = 10\,J$,જે આપે છે $W_{1\rightarrow 2} = 30\,J$.
પ્રક્રિયા $1\rightarrow 2$ (સમતાપી) માટે,$\Delta U_{1\rightarrow 2} = 0$.
પ્રથમ નિયમ લાગુ પાડતા: $Q_{1\rightarrow 2} = \Delta U_{1\rightarrow 2} + W_{1\rightarrow 2} = 0 + 30\,J = 30\,J$.

(D) આપેલ $V-T$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T$. $PV = nRT$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $P$ અચળ છે. આમ,$AB$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$: આલેખ શિરોલંબ રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે. આમ,$BC$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$: આલેખ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ અચળ છે. આમ,$CA$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે.
હવે,$P-T$ આલેખોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- પ્રક્રિયા $AB$ (સમદાબી) માં,$P$ અચળ હોવો જોઈએ. આ $P-T$ આલેખમાં આડી રેખા દ્વારા દર્શાવાય છે.
- પ્રક્રિયા $BC$ (સમતાપી) માં,$T$ અચળ હોવો જોઈએ. આ $P-T$ આલેખમાં શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવાય છે.
- પ્રક્રિયા $CA$ (સમકદ) માં,$V$ અચળ છે. $P = (nR/V)T$ પરથી,$P \propto T$. આ $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવાય છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ એ ચક્ર $AB$ (સમદાબી,આડી),$BC$ (સમતાપી,શિરોલંબ) અને $CA$ (સમકદ,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા) ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) $PT$ આલેખ પર આપેલી ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCA$ માં:
$1$. $A$ થી $B$: દબાણ $P$ અચળ છે,તેથી આ સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $PV$ આલેખમાં,આ એક આડી રેખા છે.
$2$. $B$ થી $C$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને $P = (nR/V)T$ મળે છે. કારણ કે $P/T$ અચળ છે,તેથી કદ $V$ અચળ હોવું જોઈએ. આ એક સમકદ પ્રક્રિયા છે,જે $PV$ આલેખમાં ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. $C$ થી $A$: તાપમાન $T$ અચળ છે,તેથી આ સમતાપી પ્રક્રિયા છે. $PV$ આલેખમાં,આ લંબચોરસ હાયપરબોલા $(P \propto 1/V)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ (સમદાબી),$B \rightarrow C$ (સમકદ),અને $C \rightarrow A$ (સમતાપી) વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) $1$. સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય છે: $\Delta U_{A \rightarrow B} + \Delta U_{B \rightarrow C} + \Delta U_{C \rightarrow A} = 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ (સમકદ) માટે,કાર્ય $W_{B \rightarrow C} = 0$. તેથી,$\Delta U_{B \rightarrow C} = Q_{B \rightarrow C} = - 500 \text{ kJ}$.
$3$. પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ (સમદાબી) માટે,$W_{A \rightarrow B} = P \Delta V = (3 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (1.5 - 1) \text{ m}^3 = 1.5 \times 10^5 \text{ J} = 150 \text{ kJ}$.
$4$. પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q_{A \rightarrow B} = \Delta U_{A \rightarrow B} + W_{A \rightarrow B} = 400 + 150 = 550 \text{ kJ}$.
$5$. પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માટે,$W_{C \rightarrow A} = CA$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (1.5 - 1) \times (3 \times 10^5 - 2 \times 10^5) = 25 \text{ kJ}$. કદ ઘટતું હોવાથી,$W_{C \rightarrow A} = - 25 \text{ kJ}$.
$6$. $\Delta U_{C \rightarrow A} = - (\Delta U_{A \rightarrow B} + \Delta U_{B \rightarrow C}) = - (400 - 500) = + 100 \text{ kJ}$.
$7$. $Q_{C \rightarrow A} = \Delta U_{C \rightarrow A} + W_{C \rightarrow A} = 100 - 25 = 75 \text{ kJ}$.

(C) આપેલ $P-V$ આકૃતિમાં, પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) છે કારણ કે રેખા આડી છે। પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા (અચળ તાપમાન) છે કારણ કે તે $PV = \text{અચળ}$ વક્રને અનુસરે છે.
હવે, વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $A \rightarrow B$ (સમદાબી) માટે: $V-T$ આલેખમાં, $V/T = \text{અચળ}$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે। $P-T$ આલેખમાં, તે શિરોલંબ રેખા છે.
$2$. $B \rightarrow C$ (સમતાપી) માટે: $V-T$ આલેખમાં, સમતાપી પ્રક્રિયા એક શિરોલંબ રેખા $(T = \text{અચળ})$ છે.
વિકલ્પો જોતા, વિકલ્પ $C$ માં $A \rightarrow B$ ને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા (સમદાબી) અને $B \rightarrow C$ ને શિરોલંબ રેખા (સમતાપી) તરીકે દર્શાવેલ છે। તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે।

(D) આદર્શ વાયુ માટે,તાપમાન $T$ એ દબાણ અને કદના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T \propto PV$.
$P-V$ આલેખ પર પ્રક્રિયા એક સીધી રેખા હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $P = -mV + c$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળનું મૂલ્ય $(m > 0)$ છે અને $c$ એ અંતઃખંડ છે.
આને તાપમાનના સંબંધમાં મૂકતા: $T \propto (-mV + c)V = -mV^2 + cV$.
આ $V$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તાપમાન $T$ વધે છે જેમ $V$ વધે છે જ્યાં સુધી તે પરવલયના શિરોબિંદુ પર મહત્તમ મૂલ્ય સુધી ન પહોંચે,અને ત્યારબાદ જેમ $V$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે તેમ તે ઘટે છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન સમાન હોવાથી,પ્રક્રિયાએ વિવિધ સમતાપી વક્રો $(T_1, T_2, T_3, T_4)$ ને એવી રીતે ઓળંગવા જોઈએ કે તે નીચા તાપમાને શરૂ થાય,મહત્તમ સુધી પહોંચે અને પ્રારંભિક તાપમાનના મૂલ્ય પર પાછી આવે.
આમ,તાપમાન પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે,અને આ રીતે સમતાપી વક્રોને છેદવા માટે સીધી રેખાનો ઢાળ ઋણ હોવો આવશ્યક છે.

(D) થયેલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ પરથી,માર્ગ $A$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી મોટું છે,ત્યારબાદ $B, C$ અને $D$ સૌથી નાનું છે.
આમ,$W_A > W_B > W_C > W_D$ $...(1)$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જે સૂચવે છે કે $Q - W = \Delta U$ $...(2)$
ચુંકે $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે,તેથી અવસ્થા $1$ અને અવસ્થા $2$ વચ્ચેના તમામ માર્ગો માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન રહે છે.
તેથી,$Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D = \Delta U$.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $(B)$ જણાવે છે કે $Q_A - W_A = Q_D - W_D$,જે સાચું છે કારણ કે બંને $\Delta U$ ની બરાબર છે.
વિકલ્પ $(C)$ જણાવે છે કે $Q_A > Q_B > Q_C > Q_D$. ચુંકે $Q = \Delta U + W$ અને $\Delta U$ અચળ છે,તેથી $Q$ એ $W$ ના ક્રમને અનુસરે છે. આમ,$Q_A > Q_B > Q_C > Q_D$ પણ સાચું છે.
ચુંકે $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક ચક્ર માટે,આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોય છે: $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,આપણે ખૂટતી કિંમતો શોધી શકીએ છીએ:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ માટે: $\Delta U_{AB} = \Delta Q_{AB} - \Delta W_{AB} = 150 - 40 = 110 \, J$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ માટે: $\Delta W_{BC} = \Delta Q_{BC} - \Delta U_{BC} = 10 - 50 = - 40 \, J$.
$3$. કારણ કે $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0$,તેથી $110 + 50 + \Delta U_{CA} = 0$,જે $\Delta U_{CA} = - 160 \, J$ આપે છે.
$4$. પ્રક્રિયા $CA$ માટે: $\Delta Q_{CA} = \Delta U_{CA} + \Delta W_{CA} = - 160 + 30 = - 130 \, J$.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સમદાબીય પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0$ છે. બંને વાયુઓ માટે દબાણ અને કદનો ફેરફાર સમાન હોવાથી,$\Delta W_1 = \Delta W_2 = P_0 V_0$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. તેથી,$\Delta Q_1 - \Delta U_1 = \Delta W_1$ અને $\Delta Q_2 - \Delta U_2 = \Delta W_2$. $\Delta W_1 = \Delta W_2$ હોવાથી,$\Delta Q_1 - \Delta U_1 = \Delta Q_2 - \Delta U_2$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q_1 - \Delta Q_2 = \Delta U_1 - \Delta U_2$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_V = \frac{3}{2}R$ અને $C_P = \frac{5}{2}R$. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_V = \frac{5}{2}R$ અને $C_P = \frac{7}{2}R$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$nR \Delta T = P_0 V_0$ મળે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta U_1 = n C_{V1} \Delta T = \frac{3}{2} P_0 V_0$ અને $\Delta U_2 = n C_{V2} \Delta T = \frac{5}{2} P_0 V_0$. સ્પષ્ટપણે,$\Delta U_2 > \Delta U_1$,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આપેલી ઉષ્મા: $\Delta Q_1 = n C_{P1} \Delta T = \frac{5}{2} P_0 V_0$ અને $\Delta Q_2 = n C_{P2} \Delta T = \frac{7}{2} P_0 V_0$. $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$ હોવાથી,$\Delta U_2 + \Delta W_2 > \Delta U_1 + \Delta W_1$ થાય. આમ,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(D) $1$. આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે $(U = nC_vT)$. તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v(T_2 - T_1)$ કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે માન્ય છે,જેમાં અચળ દબાણનો પણ સમાવેશ થાય છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,$Q = 0$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$,તેથી $\Delta U = -W$. આનો અર્થ એ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય અને થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય સમાન છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર $T$ પર આધારિત હોવાથી,$\Delta U = 0$ થાય છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. આમ,બધા વિધાનો $A, B$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કરેલું કાર્ય એ $P-V$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,સમાન વિસ્તરણ માટે સમતાપી વક્ર એ સમોષ્મી વક્રની ઉપર રહેલો છે,તેથી સમતાપી પ્રક્રિયા માટે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય વધારે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે: $T_{2} = T_{0}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે: $T_{0}(V_{0})^{\gamma-1} = T(V)^{\gamma-1}$.
કારણ કે $V > V_{0}$,તેથી $T < T_{0}$ મળે છે. આમ,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે અંતિમ તાપમાન વધારે હોય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે: $P_{0}V_{0} = P_{i}V \implies P_{i} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{V}\right)$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે: $P_{0}(V_{0})^{\gamma} = P_{a}(V)^{\gamma} \implies P_{a} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{V}\right)^{\gamma}$.
કારણ કે $\gamma > 1$ અને $\frac{V_{0}}{V} < 1$,તેથી $\left(\frac{V_{0}}{V}\right) > \left(\frac{V_{0}}{V}\right)^{\gamma}$ થાય,તેથી $P_{i} > P_{a}$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $V_0$ થી $V$ $(V > V_0)$ સુધીના વિસ્તરણ માટે:
$1$. થયેલ કાર્ય $(W = \int P dV)$ એ $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. વિસ્તરણ માટે સમતાપી વક્ર એ સમોષ્મી વક્રની ઉપર હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય વધારે હોય છે.
$2$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,અંતિમ તાપમાન $T_f = T_0$ હોય છે.
$3$. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$T_0 V_0^{\gamma-1} = T_f V^{\gamma-1}$. અહીં $V > V_0$ અને $\gamma > 1$ હોવાથી,$T_f = T_0 (V_0/V)^{\gamma-1} < T_0$. આમ,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે અંતિમ તાપમાન વધારે હોય છે.
$4$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_f = P_0 (V_0/V)$.
$5$. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_f = P_0 (V_0/V)^{\gamma}$. અહીં $\gamma > 1$ અને $(V_0/V) < 1$ હોવાથી,$(V_0/V)^{\gamma} < (V_0/V)$ થાય છે. તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે અંતિમ દબાણ વધારે હોય છે.
આમ,સમતાપી પ્રક્રિયામાં અંતિમ દબાણ અને તાપમાન વધારે હોય છે,અને વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય પણ વધારે હોય છે,તેથી વિધાન $A, B, C$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) આપેલ $p-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: દબાણ $p$ અચળ છે,તેથી તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$: તે સમતાપી પ્રક્રિયા તરીકે આપવામાં આવી છે ($T$ અચળ છે).
$3$. પ્રક્રિયા $CD$: કદ $V$ અચળ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $DA$: તે સમતાપી પ્રક્રિયા તરીકે આપવામાં આવી છે ($T$ અચળ છે).
હવે,વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- વિકલ્પ $(A)$ ($p-T$ આલેખ) માટે: $AB$ સમકદ ($V$ અચળ) તરીકે દર્શાવેલ છે,જે $p-V$ આલેખ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે જ્યાં $AB$ સમદાબી છે. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
- વિકલ્પ $(B)$ ($V-T$ આલેખ) માટે: $AB$ સમદાબી ($p$ અચળ),$BC$ સમતાપી ($T$ અચળ),$CD$ સમદાબી ($p$ અચળ),અને $DA$ સમતાપી ($T$ અચળ) તરીકે દર્શાવેલ છે. આ $p-V$ આલેખની લાક્ષણિકતાઓ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી રજૂઆત $(B)$ છે.

(D) $P-T$ આલેખમાં, પ્રક્રિયા માટે થયેલું કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે, તેથી $dV = nR \left( \frac{dT}{P} - \frac{T}{P^2} dP \right)$.
સમકદ પ્રક્રિયા $(V = \text{અચળ})$ માટે, $W = 0$. સમદાબ પ્રક્રિયા $(P = \text{અચળ})$ માટે, $W = P \Delta V = nR \Delta T$.
પ્રક્રિયા $AB$: $P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર સમદાબ વિસ્તરણ। $T$ એ $300 \text{ K}$ થી $500 \text{ K}$ સુધી જાય છે। $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$.
પ્રક્રિયા $BC$: $T = 500 \text{ K}$ પર સમકદ ઠારણ। $W_{BC} = 0$.
પ્રક્રિયા $CD$: $P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ પર સમદાબ સંકોચન। $T$ એ $500 \text{ K}$ થી $300 \text{ K}$ સુધી જાય છે। $W_{CD} = nR(T_D - T_C) = 2 \times R \times (300 - 500) = -400R$.
પ્રક્રિયા $DA$: $T = 300 \text{ K}$ પર સમકદ ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા। $W_{DA} = 0$.
વાયુ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 400R + 0 - 400R + 0 = 0$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે, પરંતુ પ્રશ્નમાં વાયુ પર થયેલું કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે, જે $W_{on} = -W_{by} = 0$ થશે.

(B) હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે. તેથી,$C_V = \frac{3}{2}R$ અને $C_p = \frac{5}{2}R$ થાય.
આ ચક્ર ચાર પ્રક્રિયાઓ ધરાવે છે:
$A \to B$: સમકદ ગરમ થવાની પ્રક્રિયા ($V = V_0$,$P$ એ $P_0$ થી $2P_0$ સુધી વધે છે). શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{AB} = nC_V(T_B - T_A) = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A) = \frac{3}{2}(2P_0 V_0 - P_0 V_0) = \frac{3}{2}P_0 V_0$.
$B \to C$: સમદાબી વિસ્તરણ ($P = 2P_0$,$V$ એ $V_0$ થી $2V_0$ સુધી વધે છે). શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{BC} = nC_p(T_C - T_B) = \frac{5}{2}(P_C V_C - P_B V_B) = \frac{5}{2}(2P_0(2V_0) - 2P_0 V_0) = 5P_0 V_0$.
કુલ ઉષ્મા ઇનપુટ $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{3}{2}P_0 V_0 + 5P_0 V_0 = \frac{13}{2}P_0 V_0$.
થયેલું કાર્ય $W = ABCD$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $(2V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = P_0 V_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{P_0 V_0}{\frac{13}{2}P_0 V_0} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$.
તેથી,$\eta \approx 15.4\%$.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_V = \frac{3}{2}R$ અને $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
પ્રક્રિયા $DA$ (સમકદ) અને $AB$ (સમદાબ) દરમિયાન તંત્ર દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
પ્રક્રિયા $DA$ (સમકદ, $V = V_0$): $\Delta T_{DA} = \frac{P_A V_0}{nR} - \frac{P_D V_0}{nR} = \frac{(2P_0 - P_0)V_0}{nR} = \frac{P_0V_0}{nR}$.
$Q_{DA} = n C_V \Delta T_{DA} = n \left(\frac{3}{2}R\right) \left(\frac{P_0V_0}{nR}\right) = \frac{3}{2}P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $AB$ (સમદાબ, $P = 2P_0$): $\Delta T_{AB} = \frac{2P_0 V_B}{nR} - \frac{2P_0 V_A}{nR} = \frac{2P_0(2V_0 - V_0)}{nR} = \frac{2P_0V_0}{nR}$.
$Q_{AB} = n C_P \Delta T_{AB} = n \left(\frac{5}{2}R\right) \left(\frac{2P_0V_0}{nR}\right) = 5P_0V_0$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{in} = Q_{DA} + Q_{AB} = \frac{3}{2}P_0V_0 + 5P_0V_0 = \frac{13}{2}P_0V_0$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
અહીં $n = 1 \text{ મોલ}$ આપેલ છે.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે: $\Delta U_{AB} = n C_v (T_B - T_A) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (800 - 400) = \frac{5}{2} R \times 400 = 1000 \ R$.
પ્રક્રિયા $BC$ માટે: $\Delta U_{BC} = n C_v (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (600 - 800) = \frac{5}{2} R \times (-200) = -500 \ R$.
પ્રક્રિયા $CA$ માટે: $\Delta U_{CA} = n C_v (T_A - T_C) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (400 - 600) = \frac{5}{2} R \times (-200) = -500 \ R$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોય છે.
ગણતરી કરેલ મૂલ્યોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાત્રો સમાન હોવાથી,$V_1 = V_2 = V$. તેથી,$\frac{U_{01}}{U_{02}} = \frac{P_1 V}{P_2 V} = \frac{P_1}{P_2}$.
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુ ઉચ્ચ દબાણવાળા પાત્રમાંથી નીચા દબાણવાળા પાત્રમાં દબાણ સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વહે છે. સંતુલન સમયે,અંતિમ દબાણ $P_f$ બંને પાત્રોમાં સમાન હોય છે. પાત્રો સમાન હોવાથી અને પાઇપ અવાહક હોવાથી,અંતિમ સ્થિતિમાં બંને પાત્રોમાં દબાણ અને તાપમાન સમાન હશે. તેથી,$U_{f1} = \frac{f}{2} P_f V$ અને $U_{f2} = \frac{f}{2} P_f V$,જેનો અર્થ છે કે $U_{f1} = U_{f2}$.

(C) સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા $abca$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય છે,એટલે કે $\Delta U_{total} = \Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
સમતાપી પ્રક્રિયા $ab$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{ab} = 0$ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $bc$ માટે,થયેલ કાર્ય $W_{bc} = 4 \, J$ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$\Delta U_{bc} = -W_{bc} = -4 \, J$ થાય.
આ કિંમતોને ચક્રીય સમીકરણમાં મૂકતા: $0 + (-4 \, J) + \Delta U_{ca} = 0$.
તેથી,$\Delta U_{ca} = 4 \, J$.
આમ,પથ $c$ થી $a$ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{ca} = 4 \, J$ છે.

(B) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ચક્ર $1, 2, 3, 4$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક લંબચોરસ છે.
ધારો કે યામ $(P_1, V_1), (P_2, V_1), (P_2, V_2), (P_1, V_2)$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1)$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = RT$ ($n=1$ મોલ માટે) મુજબ:
બિંદુ $1$ પર: $P_1V_1 = RT_1$
બિંદુ $3$ પર: $P_2V_2 = RT_3$
બિંદુ $2$ અને $4$ એક જ સમતાપી વક્ર પર હોવાથી,$T_2 = T_4 = T_0$.
બિંદુ $2$ પર: $P_2V_1 = RT_0$
બિંદુ $4$ પર: $P_1V_2 = RT_0$
તેથી,$P_2V_1 = P_1V_2 \implies P_2/P_1 = V_2/V_1 = k$.
તેથી $P_2 = kP_1$ અને $V_2 = kV_1$.
$P_1V_1 = RT_1$
$P_2V_2 = k^2 P_1V_1 = k^2 RT_1 = RT_3 \implies k^2 = T_3/T_1 \implies k = \sqrt{T_3/T_1}$.
$W = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) = P_1(k-1) V_1(k-1) = P_1V_1(k-1)^2$.
$W = RT_1(\sqrt{T_3/T_1} - 1)^2 = RT_1(\frac{\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1}})^2 = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.

(A) પાત્ર $A$ માં રહેલા વાયુ માટે,સંકોચન સમતાપી છે:
$P_{A,final} V_{final} = P_{initial} V_{initial}$
$P_{A,final} (V/2) = P_{initial} V$
$P_{A,final} = 2 P_{initial}$
પાત્ર $B$ માં રહેલા વાયુ માટે,સંકોચન એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) છે:
$P_{B,final} V_{final}^{\gamma} = P_{initial} V_{initial}^{\gamma}$
$P_{B,final} (V/2)^{\gamma} = P_{initial} V^{\gamma}$
$P_{B,final} = P_{initial} (V / (V/2))^{\gamma} = P_{initial} (2)^{\gamma} = 2^{\gamma} P_{initial}$
$B$ માં રહેલા વાયુના અંતિમ દબાણ અને $A$ માં રહેલા વાયુના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_{B,final}}{P_{A,final}} = \frac{2^{\gamma} P_{initial}}{2 P_{initial}} = 2^{\gamma-1}$

(A) ધારો કે ચક્ર $1-2-3-1$ માં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{123}$ છે અને થયેલ કાર્ય $W_{123}$ છે. કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = \frac{W_{123}}{Q_{123}} = 0.2$. તેથી,$W_{123} = 0.2 Q_{123}$.
ધારો કે ચક્ર $1-3-4-1$ માં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{134}$ છે અને થયેલ કાર્ય $W_{134}$ છે. કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{W_{134}}{Q_{134}} = 0.1$. તેથી,$W_{134} = 0.1 Q_{134}$.
ચક્ર $1-2-3-4-1$ માટે,કુલ કાર્ય $W_{total} = W_{123} + W_{134}$ છે.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{total}$ એ પ્રક્રિયા $1-2-3$ દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_{123})$ છે કારણ કે પ્રક્રિયા $3-4-1$ માં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
તેથી,$\eta = \frac{W_{123} + W_{134}}{Q_{123}} = \eta_1 + \frac{W_{134}}{Q_{123}}$.
ભૌમિતિક રીતે,$Q_{134} = 0.5 Q_{123}$ લેતા,$\eta = 0.2 + 0.05 = 0.25 = 25\%$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $28\%$ છે.

(B) સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. વાતાવરણનું દબાણ અવગણતા,વાયુનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ થાય.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$. $P$ ની કિંમત મૂકતા,$\left(\frac{4T}{r}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = nRT$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{16\pi T r^2}{3} = nRT$ થાય.
અહીં $T$ (પૃષ્ઠતાણ) અચળ હોવાથી,$n R dT = d(\frac{16\pi T r^2}{3}) = \frac{32\pi T r dr}{3}$.
આપેલ ઉષ્મા $dQ = dU + dW = \frac{nRdT}{\gamma-1} + PdV$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = 5/3$,તેથી $\frac{1}{\gamma-1} = 3/2$.
$dQ = \frac{3}{2} nRdT + PdV$.
$dV = d(\frac{4}{3}\pi r^3) = 4\pi r^2 dr$.
$PdV = (\frac{4T}{r})(4\pi r^2 dr) = 16\pi T r dr$.
$n R dT = \frac{32\pi T r dr}{3}$ પરથી,$16\pi T r dr = \frac{3}{2} nRdT$ મળે.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $dQ = \frac{3}{2} nRdT + \frac{3}{2} nRdT = 3nRdT$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = \frac{dQ}{ndT} = 3R$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રમો $BC, DE, FA$ માટે, આપણી પાસે $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
$BC$ માટે: $T_1 V_B^{\gamma-1} = T_2 V_C^{\gamma-1} \implies \frac{V_C}{V_B} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
$DE$ માટે: $T_2 V_D^{\gamma-1} = T_3 V_E^{\gamma-1} \implies \frac{V_E}{V_D} = \left(\frac{T_2}{T_3}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
$FA$ માટે: $T_3 V_F^{\gamma-1} = T_1 V_A^{\gamma-1} \implies \frac{V_A}{V_F} = \left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
આનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{V_C}{V_B} \cdot \frac{V_E}{V_D} \cdot \frac{V_A}{V_F} = \left(\frac{T_1}{T_2} \cdot \frac{T_2}{T_3} \cdot \frac{T_3}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} = 1$
તેથી, $\frac{V_E}{V_F} = \frac{V_B}{V_A} \cdot \frac{V_D}{V_C} = 2 \times 2 = 4$. વિધાન $1$ સાચું છે.
સમતાપી $EF$ માં કાર્ય: $W_{EF} = RT_3 \ln\left(\frac{V_F}{V_E}\right) = RT_3 \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -2RT_3 \ln(2)$. મૂલ્ય $2RT_3 \ln(2)$ છે. વિધાન $2$ સાચું છે.
$AB$ માં આપેલી ઉષ્મા $Q_{AB} = RT_1 \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = RT_1 \ln(2)$. $EF$ માં મુક્ત થયેલી ઉષ્મા $Q_{EF} = RT_3 \ln\left(\frac{V_E}{V_F}\right) = RT_3 \ln(4) = 2RT_3 \ln(2)$. ગુણોત્તર $\frac{Q_{AB}}{Q_{EF}} = \frac{RT_1 \ln(2)}{2RT_3 \ln(2)} = \frac{T_1}{2T_3}$. વિધાન $3$ ખોટું છે.
ચોખ્ખું કાર્ય $W = W_{AB} + W_{CD} + W_{EF} = RT_1 \ln(2) + RT_2 \ln(2) - 2RT_3 \ln(2) = (T_1 + T_2 - 2T_3) R \ln(2)$. વિધાન $4$ સાચું છે.
કુલ સાચા વિધાનો = $3$.

(B) આલેખ પરથી, પ્રક્રિયા $AB$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે $\rho \propto P$. $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી, $\frac{1}{V} \propto P$, અથવા $PV = \text{અચળ}$. આમ, $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે, તેથી $\Delta U_{AB} = 0$. આપેલ છે કે $|W_{AB}| = 70\,J$ અને તે સંકોચન છે, તેથી $W_{AB} = -70\,J$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 0 - 70 = -70\,J$.
પ્રક્રિયા $BC$ એ $\rho-P$ આલેખમાં આડી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે $\rho = \text{અચળ}$, તેથી $V = \text{અચળ}$. આમ, $W_{BC} = 0$. આપેલ છે કે $Q_{BC} = 150\,J$, તેથી $\Delta U_{BC} = Q_{BC} - W_{BC} = 150 - 0 = 150\,J$.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, $\Delta U_{total} = 0$, તેથી $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0 \implies 0 + 150 + \Delta U_{CA} = 0 \implies \Delta U_{CA} = -150\,J$. આપેલ છે કે $W_{CA} = 210\,J$, તેથી $Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -150 + 210 = 60\,J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = -70 + 0 + 210 = 140\,J$. કુલ શોષાયેલ ઉષ્મા $Q_{in} = Q_{BC} + Q_{CA} = 150 + 60 = 210\,J$. કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100\% = \frac{140}{210} \times 100\% = 66.67\% \approx 66\%$. આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $\Delta U_{AB} = n C_V (T_B - T_A) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (800 - 400) = 1000\,R$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ (સમઉષ્મીય) માટે: $\Delta U_{BC} = n C_V (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (600 - 800) = -500\,R$.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ (સમદાબ) માટે: $\Delta U_{CA} = n C_V (T_A - T_C) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (400 - 600) = -500\,R$.
$4$. સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{total} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 1000\,R - 500\,R - 500\,R = 0$.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) પગલું $1$: અવસ્થા $1$ થી અવસ્થા $2$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V \implies P_2 = P/4$.
પગલું $2$: અવસ્થા $2$ થી અવસ્થા $3$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$.
આપેલ છે $P_2 = P/4$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,અને $\gamma = 3/2 = 1.5$.
$(P/4) \times (4V)^{1.5} = P_3 \times V^{1.5}$.
$P_3 = (P/4) \times (4V/V)^{1.5} = (P/4) \times (4)^{1.5}$.
કારણ કે $4^{1.5} = (2^2)^{1.5} = 2^3 = 8$.
$P_3 = (P/4) \times 8 = 2P$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $2P$ થશે.

(B) પગલું $1$: અવસ્થા $1$ $(P, V)$ થી અવસ્થા $2$ $(P', 4V)$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ。
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $PV = \text{અચળ}$.
$P \cdot V = P' \cdot (4V)$
$P' = P/4$
પગલું $2$: અવસ્થા $2$ $(P', 4V)$ થી અવસ્થા $3$ $(P'', V)$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન。
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
$P' \cdot (4V)^{\gamma} = P'' \cdot (V)^{\gamma}$
$P'' = P' \cdot (4V/V)^{\gamma} = P' \cdot (4)^{\gamma}$
પગલું $3$: $P' = P/4$ અને $\gamma = 3/2$ મૂકતા。
$P'' = (P/4) \cdot (4)^{3/2}$
$P'' = (P/4) \cdot (\sqrt{4})^3 = (P/4) \cdot (2)^3$
$P'' = (P/4) \cdot 8 = 2P$
આમ, અંતિમ દબાણ $2P$ થશે.

(C) $1$. $V-T$ આલેખમાં,પ્રક્રિયા $AB$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T$. આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ મુજબ,આનો અર્થ એ છે કે $P$ અચળ છે. આમ,$AB$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
$2$. $V-T$ આલેખમાં,પ્રક્રિયા $BC$ એ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $V$ અચળ છે. આમ,$BC$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે.
$3$. $V-T$ આલેખમાં,પ્રક્રિયા $CA$ એ ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. આમ,$CA$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
$4$. આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા $P-V$ આલેખો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં સમદાબી પ્રક્રિયા $(AB)$,સમકદ પ્રક્રિયા $(BC)$ અને સમતાપી પ્રક્રિયા $(CA)$ જોવા મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું નિરૂપણ છે.

(D) મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{dW}{n dT}$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$. આપેલ છે કે $P = \alpha V$,તેથી $\alpha V^2 = nRT$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2\alpha V dV = nR dT$,તેથી $dV = \frac{nR dT}{2\alpha V}$.
થયેલ કાર્ય $dW = P dV = (\alpha V) \left( \frac{nR dT}{2\alpha V} \right) = \frac{nR dT}{2}$.
આમ,$\frac{dW}{n dT} = \frac{R}{2}$.
આ કિંમત ઉષ્મા ધારિતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $C = C_V + \frac{R}{2}$.
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી,$C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{2}$.
$C = R \left( \frac{1}{\gamma - 1} + \frac{1}{2} \right) = R \left( \frac{2 + \gamma - 1}{2(\gamma - 1)} \right) = \frac{R}{2} \frac{(\gamma + 1)}{(\gamma - 1)}$.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ છે. પાત્ર એડિબેટિક હોવાથી અને પિસ્ટન વાહક હોવાથી,સંતુલન ન આવે ત્યાં સુધી ગરમ ભાગમાંથી ઠંડા ભાગમાં ઉષ્માનું વહન થાય છે. તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક ભાગમાં મોલની સંખ્યા $n_L = \frac{P_0 V_0}{R(4T_0)}$ અને $n_R = \frac{P_0 V_0}{RT_0}$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ:
$n_L C_V (4T_0 - T) = n_R C_V (T - T_0)$
$\frac{P_0 V_0}{4RT_0} (4T_0 - T) = \frac{P_0 V_0}{RT_0} (T - T_0)$
$\frac{4T_0 - T}{4} = T - T_0$
$4T_0 - T = 4T - 4T_0$
$8T_0 = 5T \implies T = \frac{8}{5}T_0$
પિસ્ટન મુક્ત હોવા છતાં બાહ્ય બળ દ્વારા સ્થિર રાખવામાં આવ્યો છે,તેથી દરેક ભાગમાં કદ $V_0$ જ રહે છે. અંતિમ દબાણ:
$P_{L,f} = \frac{n_L RT}{V_0} = \frac{2}{5}P_0$
$P_{R,f} = \frac{n_R RT}{V_0} = \frac{8}{5}P_0$
પિસ્ટનને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બાહ્ય બળ $F$:
$F = (P_{R,f} - P_{L,f})A = (\frac{8}{5}P_0 - \frac{2}{5}P_0)A = \frac{6}{5}P_0 A$

(B) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$AB$ એક આડી રેખા છે,તેથી દબાણ $P$ અચળ છે. આ સમદાબ વિસ્તરણ છે.
$BC$ એક વક્ર છે,જે સમતાપી વિસ્તરણ દર્શાવે છે (કારણ કે સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $P \propto 1/V$).
$CD$ એક ઉભી રેખા છે,તેથી કદ $V$ અચળ છે. આ ઘટતા દબાણ સાથેની સમકદ પ્રક્રિયા છે.
$DA$ એક વક્ર છે,જે સમતાપી સંકોચન દર્શાવે છે.
હવે,$V-T$ આલેખ (વિકલ્પ $B$) નું વિશ્લેષણ કરીએ:
$AB$: દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ પરથી,$V \propto T$ મળે છે. આમ,$AB$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ. આ વિકલ્પ $B$ માં આપેલ $V-T$ આલેખ સાથે સુસંગત છે.
$BC$: સમતાપી વિસ્તરણ એટલે $T$ અચળ છે. $V-T$ આલેખમાં,આ એક ઉભી રેખા છે.
$CD$: સમકદ પ્રક્રિયા એટલે $V$ અચળ છે. $V-T$ આલેખમાં,આ એક આડી રેખા છે.
$DA$: સમતાપી સંકોચન એટલે $T$ અચળ છે. $V-T$ આલેખમાં,આ એક ઉભી રેખા છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ $V-T$ આલેખ ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCDA$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$AB$: સમદાબી પ્રક્રિયા $(P = \text{અચળ})$, $V$ વધે છે, તેથી $T$ વધવું જોઈએ $(PV = nRT)$.
$BC$: સમતાપી પ્રક્રિયા $(T = \text{અચળ})$, $P$ ઘટે છે, $V$ વધે છે.
$CD$: સમકદ પ્રક્રિયા $(V = \text{અચળ})$, $P$ ઘટે છે, તેથી $T$ ઘટવું જોઈએ.
$DA$: એડિબેટિક પ્રક્રિયા, $P$ વધે છે, $V$ ઘટે છે, $T$ વધે છે.
હવે, $P-T$ આલેખોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$AB$: $P$ અચળ છે, $T$ વધે છે. આ જમણી તરફ જતી આડી રેખા છે.
$BC$: $T$ અચળ છે, $P$ ઘટે છે. આ નીચેની તરફ જતી ઉભી રેખા છે.
$CD$: $V$ અચળ છે, તેથી $P/T = \text{અચળ}$, એટલે કે $P \propto T$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
$DA$: એડિબેટિક પ્રક્રિયા, $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$. $V \propto T/P$ હોવાથી, આપણને $P(T/P)^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $C$ એ $P-T$ સંક્રમણોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: $AB$ (સમદાબી, $T$ વધે છે), $BC$ (સમતાપી, $P$ ઘટે છે), $CD$ (સમકદ, $T$ ઘટતા $P$ ઘટે છે), અને $DA$ (એડિબેટિક, $T$ વધતા $P$ વધે છે).

(B) આપેલ $P-T$ આલેખમાં,રેખાઓ $1-2$ અને $3-4$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓ માટે $P \propto T$ હોવાથી,કદ $V = nRT/P$ અચળ રહે છે. આમ,પ્રક્રિયાઓ $1-2$ અને $3-4$ સમકદ (isochoric) છે,અને તેમાં થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે.
પ્રક્રિયાઓ $2-3$ અને $4-1$ સમદાબી (isobaric) છે. સમદાબી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = P\Delta V = nR\Delta T$ છે.
ચક્ર માટે,કુલ કાર્ય:
$W_{total} = W_{2-3} + W_{4-1}$
$W_{total} = nR(T_3 - T_2) + nR(T_1 - T_4)$
અહીં $n = 3$ મોલ અને $R \approx 8.314\, J/(mol\cdot K)$ આપેલ છે.
$W_{total} = 3R(T_3 - T_2 + T_1 - T_4)$
$W_{total} = 3R(2400 - 800 + 400 - 1200)$
$W_{total} = 3R(800) = 2400R$
$R = 8.314\, J/(mol\cdot K)$ લેતા:
$W_{total} = 2400 \times 8.314 \approx 19953.6\, J \approx 20\, kJ$.

(A) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = 1$ (એટલે કે $100\%$ કાર્યક્ષમતા) માટે,આપણે $T_2 = 0 \ K$ અથવા $T_1 = \infty$ ની જરૂર પડે.
કારણ કે $0 \ K$ પર સિંક અથવા અનંત તાપમાને સોર્સ મેળવવો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે,તેથી હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $1$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,વિધાન $S1$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $1$ હોઈ શકે છે.