Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(A) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ થાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{\text{rejected}} = -W = -nRT_0 \ln(V_f/V_i) = nRT_0 \ln(V_i/V_f)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $V_f = V_0/2$ હોવાથી,$Q_{\text{rejected}} = nRT_0 \ln(2) \approx 0.693 nRT_0$ મળે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{\text{rejected}} = -n C_p \Delta T$ છે. $V \propto T$ હોવાથી,જો $V$ એ $V_0/2$ થાય,તો $T$ એ $T_0/2$ થાય,તેથી $\Delta T = -T_0/2$. આમ,$Q_{\text{rejected}} = -n (\frac{f}{2} + 1) R (-T_0/2) = (\frac{f}{4} + 0.5) nRT_0$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ $(f=3)$ માટે,$Q_{\text{rejected}} = (0.75 + 0.5) nRT_0 = 1.25 nRT_0$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$1.25 nRT_0 > 0.693 nRT_0$,તેથી,સમદાબી પ્રક્રિયામાં સૌથી વધુ ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.

(B) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ને $dQ = \mu C dT$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $dT$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = \mu C_v dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ: $dQ = 2dU$.
$dQ$ અને $dU$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\mu C dT = 2(\mu C_v dT)$
બંને બાજુ $\mu dT$ વડે ભાગતા:
$C = 2C_v$
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
તેથી,$C = 2 \times (\frac{3}{2}R) = 3R$.
આ પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $3R$ છે.

(B) ચક્ર $ABCDA$ માં થયેલ કાર્ય $(W)$ એ લંબચોરસ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$W = (2P_0 - P_0) \times (2V_0 - V_0) = P_0 V_0$
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ થાય છે:
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = n C_v \Delta T = n (1.5 R) (T_B - T_A) = 1.5 (P_B V_B - P_A V_A) = 1.5 (2P_0 V_0 - P_0 V_0) = 1.5 P_0 V_0$
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = n C_p \Delta T = n (2.5 R) (T_C - T_B) = 2.5 (P_C V_C - P_B V_B) = 2.5 (4P_0 V_0 - 2P_0 V_0) = 5 P_0 V_0$
કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_{in})$ = $Q_{AB} + Q_{BC} = 1.5 P_0 V_0 + 5 P_0 V_0 = 6.5 P_0 V_0 = \frac{13}{2} P_0 V_0$
થર્મલ કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ = $\frac{W}{Q_{in}} = \frac{P_0 V_0}{6.5 P_0 V_0} = \frac{1}{6.5} = \frac{2}{13} \approx 0.154$

(A) આપેલ $V - T$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $a \to b$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આનો અર્થ એ છે કે $P$ અચળ છે. આમ,$a \to b$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાન વધે છે,એટલે કે કદ પણ વધે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $b \to c$: આ પ્રક્રિયા સમોષ્મી (adiabatic) તરીકે આપવામાં આવી છે. આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $V$ ઘટે છે અને $T$ વધે છે,તેથી દબાણ $P$ માં નોંધપાત્ર વધારો થવો જોઈએ.
$3$. પ્રક્રિયા $c \to d$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $P$ અચળ છે. આમ,$c \to d$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાન ઘટે છે,એટલે કે કદ પણ ઘટે છે.
$4$. પ્રક્રિયા $d \to a$: આ પ્રક્રિયા સમોષ્મી (adiabatic) તરીકે આપવામાં આવી છે. આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $V$ વધે છે અને $T$ ઘટે છે,તેથી દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે $P - V$ આલેખ આ પ્રક્રિયાઓને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે તે વિકલ્પ $A$ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
પગલું $1$: સંકોચન પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો.
થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = 100 \times (1 - 2) = -100\,J$.
પગલું $2$: ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારની ગણતરી કરો.
આપેલ છે કે $\Delta Q = 150\,J$ અને તે અચળ કદની પ્રક્રિયા હોવાથી,$\Delta W = 0$.
તેથી,$\Delta Q = \Delta U = 150\,J$.
પગલું $3$: આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર.
કુલ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર એ બંને પ્રક્રિયાઓમાં થયેલા ફેરફારોનો સરવાળો છે.
$\Delta Q_{total} = \Delta U_{total} + \Delta W_{total}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta Q_{total} = 150\,J$ અને $\Delta W_{total} = -100\,J$.
$150 = \Delta U + (-100)$.
$\Delta U = 150 + 100 = 250\,J$.
આમ,વાયુની આંતરિક ઉર્જા $250\,J$ જેટલી વધે છે.

(A) $P-V$ આકૃતિમાં:
$1$. સમદાબી પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં દબાણ $P$ અચળ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = 0$ થાય છે.
$2$. સમકદ પ્રક્રિયા ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કદ $V$ અચળ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = \infty$ થાય છે.
$3$. સમતાપી પ્રક્રિયા વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $PV = \text{અચળ}$ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા, વિકલ્પ $A$ માં બે આડી રેખાઓ (સમદાબી), એક ઉભી રેખા (સમકદ) અને એક વક્ર રેખા (સમતાપી) જોવા મળે છે. આમ, તે ચક્ર $(A-B-C-D-A)$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$. અંતિમ અવસ્થા: $(P_i, 2V)$.
$PV = P_i(2V) \implies P_i = \frac{P}{2} \implies P = 2P_i \quad ...(i)$
એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$. અંતિમ અવસ્થા: $(P_a, 2V)$.
$PV^{\gamma} = P_a(2V)^{\gamma} \implies P_a = P \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma} = P(2)^{-\gamma}$
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$P = 2P_i$ અને $\gamma = \frac{5}{3}$ ની કિંમત એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_a = (2P_i)(2)^{-5/3} = P_i \cdot 2^1 \cdot 2^{-5/3} = P_i \cdot 2^{1 - 5/3} = P_i \cdot 2^{-2/3}$
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{P_a}{P_i} = 2^{-2/3}$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $y = 1 - e^{-x}$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0$ થાય. તેથી,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે.
જેમ $x \to \infty$ થાય,તેમ $e^{-x} \to 0$ થાય,તેથી $y \to 1 - 0 = 1$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે જેમ $x$ વધે છે તેમ આલેખ સમક્ષિતિજ અનંતસ્પર્શક $y = 1$ ની નજીક પહોંચે છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = e^{-x}$ એ તમામ $x$ માટે હંમેશા ધન છે,જેનો અર્થ છે કે વિધેય સતત વધતું જાય છે.
આ ગુણધર્મોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે અને $y = 1$ ની નજીક પહોંચે છે તે આલેખ $A$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) પ્રક્રિયા $AB$ માટે: કદ $V$ અચળ છે $(V = V_1)$. તેથી, થયેલ કાર્ય $W_{AB} = \int P dV = 0$.
પ્રક્રિયા $BC$ માટે: તાપમાન $T$ અચળ છે $(T = T_2)$. સમતાપી પ્રક્રિયા માટે થયેલ કાર્ય $W_{BC} = nRT_2 \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)$ છે. અહીં, $n = 1$, $V_i = V_1$, અને $V_f = V_2$. તેથી, $W_{BC} = R T_2 \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$.
પ્રક્રિયા $CA$ માટે: આ એક એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં આલેખ $V-T$ ડાયાગ્રામમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે $V \propto T$, એટલે કે દબાણ $P$ અચળ છે (સમદાબી પ્રક્રિયા). થયેલ કાર્ય $W_{CA} = nR \Delta T = R(T_1 - T_2)$ છે.

(D) કાર્નોટ ચક્રમાં ચાર તબક્કાઓ હોય છે:
$1$. $AB$: સમતાપી વિસ્તરણ ($T$ અચળ, $P$ ઘટે છે, $V$ વધે છે).
$2$. $BC$: સમોષ્મી વિસ્તરણ ($Q=0$, $T$ ઘટે છે, $V$ વધે છે).
$3$. $CD$: સમતાપી સંકોચન ($T$ અચળ, $P$ વધે છે, $V$ ઘટે છે).
$4$. $DA$: સમોષ્મી સંકોચન ($Q=0$, $T$ વધે છે, $V$ ઘટે છે).
$T-V$ આલેખમાં, સમતાપી પ્રક્રિયાઓ ($AB$ અને $CD$) સમક્ષિતિજ રેખાઓ તરીકે દેખાય છે કારણ કે $T$ અચળ રહે છે। સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓ ($BC$ અને $DA$) વક્ર રેખાઓ તરીકે દેખાય છે કારણ કે $T$ અને $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમદાબી પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = P(V_2 - V_1)$ છે.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 1 \text{ atm} \approx 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$. ગણતરીની સરળતા માટે,આપણે $P = 10^5 \text{ Pa}$ લઈએ છીએ.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1 \text{ cm}^3 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
અંતિમ કદ $V_2 = 1671 \text{ cm}^3 = 1671 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = (1671 - 1) \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 1670 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
જૂલમાં થયેલ કાર્ય: $W = 10^5 \times 1670 \times 10^{-6} \text{ J} = 167 \text{ J}$.
કાર્યને જૂલમાંથી કેલરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $(J \approx 4.2 \text{ J/cal})$ વડે ભાગતા:
$W = \frac{167}{4.2} \approx 39.76 \text{ cal}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,થયેલ કાર્ય આશરે $40 \text{ cal}$ છે.

(D) $PT$ આલેખમાં:
$A \rightarrow B$: $P$ અચળ છે અને $T$ ઘટે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,$V$ ઘટવું જોઈએ. આ સમદાબી સંકોચન છે.
$B \rightarrow C$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $P \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $V$ અચળ છે. $P$ ઘટે છે,તેથી $T$ પણ ઘટે છે. આ સમકદ ઠારણ છે.
$C \rightarrow A$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P = (nR/V)T$ મળે છે. $PT$ આલેખનો ઢાળ $nR/V$ છે. $C$ થી $A$ સુધી $P$ અને $T$ બંને વધે છે,અને ઢાળ ધન છે,જે દર્શાવે છે કે $V$ બદલાય છે. $PV$ આલેખમાં સાચી રજૂઆત આકૃતિ $818-$s925 માં દર્શાવેલ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$ આપેલ છે,તેથી $P \times V = P_2 \times (4V)$.
આમ,$P_2 = P/4$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_2 V_2^{\gamma} = P_f V_f^{\gamma}$ છે.
અહીં $\gamma = 3/2$,$V_2 = 4V$,અને $V_f = 16V$ છે,તેથી $\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_f \times (16V)^{3/2}$.
$P_f = \frac{P}{4} \times \left(\frac{4V}{16V}\right)^{3/2} = \frac{P}{4} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{P}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{P}{32}$.

(C) ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $W = \oint P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,તેથી સમદાબી પ્રક્રિયાઓ માટે $dV = \frac{nR}{P} dT$ થાય.
પ્રક્રિયા $AB$ અને $CD$ સમકદ (અચળ કદ) છે કારણ કે તે $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પર છે,તેથી $W_{AB} = 0$ અને $W_{CD} = 0$.
પ્રક્રિયા $BC$ એ $P_2$ દબાણે સમદાબી છે. કાર્ય $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = nR(T_C - T_B) = 6 \times R \times (2200 - 800) = 6R \times 1400 = 8400R$.
પ્રક્રિયા $DA$ એ $P_1$ દબાણે સમદાબી છે. કાર્ય $W_{DA} = P_1(V_A - V_D) = nR(T_A - T_D) = 6 \times R \times (600 - 1200) = 6R \times (-600) = -3600R$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 8400R + 0 - 3600R = 4800R$.
$R \approx 25/3\, J/(mol\cdot K)$ લેતા:
$W = 4800 \times (25/3) = 1600 \times 25 = 40000\, J = 40\, kJ$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $\Delta W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{nRT}{P}$ મળે છે. તેથી,$dV = \frac{nR}{P} dT$ (અચળ દબાણે) અથવા $dV = -\frac{nRT}{P^2} dP$ (અચળ તાપમાને).
$1$. પથ $AB$ (અચળ દબાણ $P = 2P_0$): $\Delta W_{AB} = P \Delta V = nR \Delta T = 1 \cdot R \cdot (2T - T) = RT$.
$2$. પથ $BC$ (અચળ તાપમાન $T = 2T_0$): $\Delta W_{BC} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right) = 1 \cdot R \cdot (2T) \ln \left( \frac{2P}{P} \right) = 2RT \ln 2$.
$3$. પથ $CD$ (અચળ દબાણ $P = P_0$): $\Delta W_{CD} = P \Delta V = nR \Delta T = 1 \cdot R \cdot (T - 2T) = -RT$.
$4$. પથ $DA$ (અચળ તાપમાન $T = T_0$): $\Delta W_{DA} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right) = 1 \cdot R \cdot (T) \ln \left( \frac{P}{2P} \right) = RT \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -RT \ln 2$.
કુલ કાર્ય $\Delta W = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CD} + \Delta W_{DA} = RT + 2RT \ln 2 - RT - RT \ln 2 = RT \ln 2$.

(A) આપેલ $V-T$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$: આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,તેથી $V \propto T$. આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ મુજબ,આનો અર્થ એ છે કે $P$ અચળ છે. આમ,$A \rightarrow B$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$: આ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ અચળ છે. આમ,$B \rightarrow C$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$: આ એક ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે. આમ,$C \rightarrow A$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
હવે,$P-V$ આલેખોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- વિકલ્પ $A$ માં,$A \rightarrow B$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે (આડી રેખા),$B \rightarrow C$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે (ઉભી રેખા),અને $C \rightarrow A$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (હાયપરબોલિક વક્ર). આ આપેલ ચક્ર સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,આપણે દરેક પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. પ્રક્રિયા $A-B$: $V$ અચળ છે (સમકદ). આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$V$ અચળ હોવાથી,$P \propto T$ થાય. આ $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B-C$: $P$ અચળ છે (સમદાબી). $PV = nRT$ પરથી,$P$ અચળ હોવાથી,$V \propto T$ થાય. $P-T$ આલેખમાં,આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી રેખા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C-D$: $V$ અચળ છે (સમકદ). $A-B$ ની જેમ,આ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D-A$: $P$ અચળ છે (સમદાબી). $B-C$ ની જેમ,આ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલો આલેખ $P-T$ સમતલમાં આ પ્રક્રિયાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) $T-S$ આલેખમાં,વિનિમય પામેલી ઉષ્મા $Q$ એ પ્રક્રિયા વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $Q = \int T dS$.
આપેલ ચક્ર માટે:
$1$. વિસ્તરણ પ્રક્રિયા (ઉપરની ત્રાંસી રેખા) દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_1)$ એ $S_0$ થી $2S_0$ સુધીની રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$Q_1 = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (T_0 \times S_0) = \frac{3}{2} T_0 S_0$.
$2$. અચળ તાપમાન પ્રક્રિયા (નીચેની આડી રેખા) દરમિયાન મુક્ત થયેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ એ $2S_0$ થી $S_0$ સુધીની રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$Q_2 = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
$3$. પ્રક્રિયા $Q_3$ એ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે (ઊભી રેખા),તેથી $Q_3 = 0$.
$4$. ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{\frac{3}{2} T_0 S_0} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) પથ $iaf$ માટે:
$Q = 50 \, cal$,$W = 20 \, cal$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 50 - 20 = 30 \, cal$.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,$i$ થી $f$ સુધીના કોઈપણ પથ માટે $\Delta U$ સમાન રહે છે.
$(i)$ પથ $ibf$ માટે:
$Q = 36 \, cal$,$\Delta U = 30 \, cal$.
$W = Q - \Delta U = 36 - 30 = 6 \, cal$.
$(ii)$ પથ $fi$ (ઉલટો પથ) માટે:
$W = -13 \, cal$,$\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \, cal$.
$Q = \Delta U + W = -30 + (-13) = -43 \, cal$.
$(iii)$ આપેલ છે કે $E_{int,i} = 10 \, cal$:
$E_{int,f} = E_{int,i} + \Delta U = 10 + 30 = 40 \, cal$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આપેલ છે: $n = 2\, mol$,$\Delta T = 10\, K$ (કારણ કે $10\,^{\circ}C$ નો ફેરફાર એ $10\, K$ ના ફેરફારને સમાન છે),અને $R = 8.31\, J/mol\cdot K$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 2 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 10$
$\Delta U = 3 \times 8.31 \times 10$
$\Delta U = 24.93 \times 10 = 249.3\, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આંતરિક ઊર્જામાં થતો આશરે ફેરફાર $250\, J$ છે.

(A) પગલું $1$: $V_{1}$ થી $V_{2} = V_{1}/16$ સુધી એડિબેટિક સંકોચન.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$.
આપેલ છે $T_{1} = 300 \; K$,$\gamma = 1.4 = 7/5$,તેથી $\gamma-1 = 0.4 = 2/5$.
$300 \times V_{1}^{2/5} = T_{2} \times (V_{1}/16)^{2/5}$.
$T_{2} = 300 \times (16)^{2/5} = 300 \times (2^{4})^{2/5} = 300 \times 2^{8/5}$.
$T_{2} = 300 \times 3.0314 = 909.42 \; K$.
પગલું $2$: $V_{2}$ થી $2V_{2}$ સુધી આઈસોબારિક વિસ્તરણ.
આઈસોબારિક પ્રક્રિયા માટે,$V/T = \text{અચળ}$,તેથી $V_{2}/T_{2} = (2V_{2})/T_{f}$.
$T_{f} = 2 \times T_{2} = 2 \times 909.42 = 1818.84 \; K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,અંતિમ તાપમાન $1819 \; K$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$1818$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ એ એડિબેટિક વિસ્તરણ છે (દબાણ ઘટે છે, કદ વધે છે).
$2$. પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$ એ સમદાબી સંકોચન છે (દબાણ અચળ રહે છે, કદ ઘટે છે).
$3$. પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 1$ એ સમકદ ગરમ થવાની પ્રક્રિયા છે (કદ અચળ રહે છે, દબાણ વધે છે).
હવે, $V-T$ આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ (એડિબેટિક) માટે: $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$. કદ વધતું હોવાથી, તાપમાન ઘટવું જોઈએ.
- પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$ (સમદાબી) માટે: $V \propto T$. કદ ઘટતું હોવાથી, તાપમાન ઘટવું જોઈએ.
- પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 1$ (સમકદ) માટે: $P \propto T$. દબાણ વધતું હોવાથી, તાપમાન વધવું જોઈએ.
આ વલણોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ $V-T$ આલેખ સાચો છે.

(N/A) ના. $1 \; atm$ દબાણ અને $-60^{\circ} C$ તાપમાને,$CO_{2}$ બાષ્પ અવસ્થામાં હોય છે. જ્યારે તેને સમતાપી રીતે સંકોચવામાં આવે છે,ત્યારે તે બાષ્પ વિસ્તારમાંથી સીધું ઘન વિસ્તારમાં જાય છે,અને પ્રવાહી અવસ્થામાંથી પસાર થતું નથી.
$(b)$ $4 \; atm$ દબાણ પર,જે ત્રિબિંદુ દબાણ $5.11 \; atm$ કરતા ઓછું છે,$CO_{2}$ ને ઓરડાના તાપમાનથી ઠંડુ કરવાથી તે બાષ્પ અવસ્થામાંથી સીધું ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે (નિક્ષેપન).
$(c)$ $10 \; atm$ દબાણ પર,જે ત્રિબિંદુ દબાણ કરતા વધારે છે,ઘન $CO_{2}$ ને $-65^{\circ} C$ થી ગરમ કરવાથી તે પહેલા ગલન વક્ર પર પ્રવાહી અવસ્થામાં ઓગળે છે અને ત્યારબાદ ઓરડાના તાપમાને પહોંચતા બાષ્પીભવન વક્ર પર વાયુ અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$(d)$ $70^{\circ} C$ તાપમાન એ $CO_{2}$ ના ક્રાંતિક તાપમાન $(31.1^{\circ} C)$ કરતા વધારે હોવાથી,તેને માત્ર સંકોચન દ્વારા પ્રવાહી બનાવી શકાતું નથી. તે બાષ્પ અવસ્થામાં જ રહેશે,પરંતુ તેની ઘનતા વધશે અને દબાણ વધવાની સાથે તે આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી વિચલિત થશે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ છે. તંત્ર પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{adiabatic} = 22.3 \; J$ છે. સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,તંત્ર પર કરવામાં આવેલ કાર્ય ઋણ લેવાય છે,તેથી $\Delta W = -22.3 \; J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી $0 = \Delta U - 22.3 \; J$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 22.3 \; J$.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,અવસ્થા $A$ અને $B$ વચ્ચેની કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે $\Delta U$ સમાન રહે છે.
બીજી પ્રક્રિયામાં,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q' = 9.35 \; cal = 9.35 \times 4.19 \; J = 39.1765 \; J$ છે.
પ્રથમ નિયમનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા: $\Delta Q' = \Delta U + \Delta W'$,જ્યાં $\Delta W'$ એ તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
$\Delta W' = \Delta Q' - \Delta U = 39.1765 \; J - 22.3 \; J = 16.8765 \; J$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $16.88 \; J$ છે.

(N/A) $1$. કાર્યનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર: શિયાળામાં,જ્યારે આપણે આપણી હથેળીઓને એકબીજા સાથે ઘસીએ છીએ,ત્યારે ઘસવાની પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવેલું યાંત્રિક કાર્ય ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી આપણી હથેળીઓ ગરમ અનુભવાય છે.
$2$. ઉષ્માનું કાર્યમાં રૂપાંતર: સ્ટીમ એન્જિનમાં,વરાળમાંથી મુક્ત થતી ઉષ્મા ઉર્જાનો ઉપયોગ પિસ્ટનને ધકેલવા માટે યાંત્રિક કાર્ય કરવા માટે થાય છે,જે બદલામાં ટ્રેનના પૈડાંને ફેરવે છે.

(N/A) મિકેનિક્સ એ બળો અને ટોર્કની અસર હેઠળ કણો અથવા પદાર્થોની ગતિ સાથે સંબંધિત છે. તે સિસ્ટમની યાંત્રિક સ્થિતિ,જેમ કે તેનું સ્થાન,વેગ અને ગતિ ઊર્જા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.
બીજી તરફ,થર્મોડાયનેમિક્સ એ સિસ્ટમની આંતરિક મેક્રોસ્કોપિક સ્થિતિ સાથે સંબંધિત છે,જે દબાણ,કદ અને તાપમાન જેવા સ્ટેટ વેરિયેબલ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તે સમગ્ર સિસ્ટમની ગતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરતું નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે બંદૂકમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની યાંત્રિક સ્થિતિ (ગતિ ઊર્જા) બદલાય છે. જો કે,જ્યારે ગોળી લાકડાના ટુકડાને અથડાય છે અને અટકી જાય છે,ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા આંતરિક ઊર્જા (ઉષ્મા) માં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ગોળી અને લાકડા બંનેનું તાપમાન બદલે છે.
ટૂંકમાં,તાપમાન એ કણોની આંતરિક,અવ્યવસ્થિત ગતિની ઊર્જા સાથે સંબંધિત છે,જ્યારે મિકેનિક્સ એ સમગ્ર સિસ્ટમની વ્યવસ્થિત ગતિ સાથે સંબંધિત છે.

(A) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ કરેલા કાર્ય અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$.
કાર્નોટ એન્જિન માટે,આ તાપમાનના સંદર્ભમાં $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે. આમ,$(a)$ એ $(ii)$ અને $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
હીટ પંપ માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી કાઢેલી ઉષ્મા અને કરેલા કાર્યનો ગુણોત્તર છે: $\text{COP} = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$. આમ,$(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(a-ii, iii)$ અને $(b-i)$ છે.

(B) વાયુના વિસ્તરણ દરમિયાન થતું કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ સમતાપી વિસ્તરણ $(a)$ માટે,જેમ કદ $V$ વધે છે તેમ દબાણ $P$ ઘટે છે,જે $P = nRT/V$ મુજબ થાય છે. આ વક્ર એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે.
$(2)$ સમદાબી વિસ્તરણ $(b)$ માટે,દબાણ $P$ અચળ $P_i$ રહે છે. આ વક્ર એક આડી રેખા છે.
$(3)$ વાયુ સમાન પ્રારંભિક દબાણ $P_i$ થી $V_i$ થી $V_f$ સુધી વિસ્તરણ પામે છે,તેથી સમદાબી પ્રક્રિયામાં સમગ્ર વિસ્તરણ દરમિયાન દબાણ $P_i$ જળવાઈ રહે છે,જ્યારે સમતાપી પ્રક્રિયામાં દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
$(4)$ આલેખની દ્રષ્ટિએ,$V_i$ થી $V_f$ સુધીની આડી રેખા $(P = P_i)$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $P_i(V_f - V_i)$ જેટલું લંબચોરસ છે. સમતાપી વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ નાનું છે કારણ કે પ્રક્રિયા દરમિયાન દબાણ $P_i$ થી ઘટી જાય છે.
$(5)$ તેથી,સમદાબી વિસ્તરણ $(b)$ માં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય વધુ હશે.

(N/A) જે પ્રક્રિયાઓમાં આંતરિક ઊર્જા અને કાર્યમાં વધારો થાય છે ત્યાં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. સમતાપી વિસ્તરણ $B \to C$ માં,ઉષ્મા શોષાય છે $(Q_{BC} = nRT_B \ln(V_C/V_B) > 0)$. કદ અચળ ગરમ થવાની પ્રક્રિયા $A \to B$ માં,ઉષ્મા શોષાય છે $(Q_{AB} = nC_V(T_B - T_A) > 0)$. આમ,$A \to B$ અને $B \to C$ માં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે.
$(b)$ એન્જિન ઠંડક પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન પરિસરને ઊર્જા આપે છે: કદ અચળ ઠંડક $C \to D$ અને સમતાપી સંકોચન $D \to A$.
$(c)$ થયેલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$. $AB$ અને $CD$ કદ અચળ હોવાથી,$W_{AB} = W_{CD} = 0$. $W_{BC} = nRT_B \ln(V_C/V_B) = P_B V_B \ln(2)$. $W_{DA} = nRT_A \ln(V_A/V_D) = P_A V_A \ln(1/2) = -P_A V_A \ln(2)$. કુલ કાર્ય $W = (P_B - P_A) V_A \ln(2)$.
$(d)$ કાર્યક્ષમતા $\eta = W / Q_{in}$. $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = C_V(T_B - T_A) + P_B V_B \ln(2) = \frac{3}{2}(P_B - P_A)V_A + P_B V_A \ln(2)$. $\eta = \frac{(P_B - P_A) V_A \ln(2)}{\frac{3}{2}(P_B - P_A)V_A + P_B V_A \ln(2)} = \frac{(P_B - P_A) \ln(2)}{\frac{3}{2}(P_B - P_A) + P_B \ln(2)}$.

(N/A) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,વિનિમય થતી ઉષ્મા $Q = nC\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ $A$ થી $B$ (સમકદ પ્રક્રિયા): $W = 0$,તેથી $Q_{AB} = \Delta U = nC_V(T_B - T_A) = \frac{3}{2}nR(T_B - T_A)$. અહીં $P_B > P_A$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$T_B > T_A$,તેથી ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
$(b)$ $B$ થી $C$ (સમદાબ પ્રક્રિયા): $Q_{BC} = nC_P(T_C - T_B) = n(\frac{5}{2}R)(T_C - T_B)$. અહીં $V_C > V_B$ હોવાથી,$T_C > T_B$,તેથી ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
$(c)$ $C$ થી $D$ (સમોષ્મી પ્રક્રિયા): વ્યાખ્યા મુજબ,$Q_{CD} = 0$.
$(d)$ $D$ થી $A$ (સમદાબ પ્રક્રિયા): $Q_{DA} = nC_P(T_A - T_D) = n(\frac{5}{2}R)(T_A - T_D)$. અહીં $V_A < V_D$ હોવાથી,$T_A < T_D$,તેથી ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.

(N/A) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1 - x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ પોલીટ્રોપિક સૂચકાંક છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઢાળ $(\frac{dP}{dV})_{ad} = -\gamma \frac{P_0}{V_0}$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયા $P = f(V)$ માટે,ધારો કે ઢાળ $(\frac{dP}{dV})_{proc}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $(\frac{dP}{dV})_{proc} > (\frac{dP}{dV})_{ad}$,એટલે કે $(\frac{dP}{dV})_{proc} > -\gamma \frac{P_0}{V_0}$.
સામાન્ય પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{P}{n(\frac{dT}{dV})}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P + V(\frac{dP}{dV}) = nR(\frac{dT}{dV})$ મળે છે.
આ કિંમત ઉષ્મા ધારિતાના સૂત્રમાં મૂકતા,$C = C_V + \frac{R}{1 - \frac{V}{P}(\frac{dP}{dV})}$ મળે છે.
પ્રક્રિયાનો ઢાળ સમોષ્મી ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,છેદ $(1 - \frac{V}{P}(\frac{dP}{dV}))$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયાના છેદ $(1 + \gamma)$ કરતા નાનો બને છે.
આમ,ઉષ્મા ધારિતા $C$ ધન બને છે,જે દર્શાવે છે કે વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે.

(B) પાણીનું વિભાજન,જેને પાણીનું વિદ્યુત વિભાજન (electrolysis) પણ કહેવામાં આવે છે,તે પાણીના અણુઓ $(H_2O)$ ને હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ અને ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માં તોડવાની પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયામાં હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન પરમાણુઓ વચ્ચેના મજબૂત સહસંયોજક બંધોને તોડવા માટે ઊર્જાના ઇનપુટ (સામાન્ય રીતે વિદ્યુત સ્વરૂપે) ની જરૂર પડે છે.
જેহেতু પ્રક્રિયાને આગળ વધારવા માટે આસપાસના વાતાવરણમાંથી ઊર્જાનું શોષણ થાય છે,તેથી તેને ઉષ્માશોષક (endothermic) પ્રક્રિયા તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(N/A) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$(1)$ સમતાપી પ્રક્રિયા (Isothermal process): જે પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે તેને સમતાપી પ્રક્રિયા કહેવાય છે.
$(2)$ સમદાબ પ્રક્રિયા (Isobaric process): જે પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે તેને સમદાબ પ્રક્રિયા કહેવાય છે.
$(3)$ સમકદ પ્રક્રિયા (Isochoric process): જે પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું કદ અચળ રહે છે તેને સમકદ પ્રક્રિયા કહેવાય છે.
$(4)$ એડિબેટિક (અપ્રતિવર્તી) પ્રક્રિયા (Adiabatic process): એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્રમાં થતા ભૌતિક ફેરફારો દરમિયાન તંત્ર અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(\Delta Q = 0)$.
$(5)$ ચક્રીય પ્રક્રિયા (Cyclic process): એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્ર શ્રેણીબદ્ધ ફેરફારોમાંથી પસાર થઈને ફરીથી પોતાની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું આવે છે.
કેટલીક વિશેષ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

પ્રક્રિયાનો પ્રકાર	વિશેષતા
સમતાપી	તાપમાન અચળ
સમદાબ	દબાણ અચળ
સમકદ	કદ અચળ
એડિબેટિક	ઉષ્માનો પ્રવાહ નથી $(\Delta Q = 0)$

(N/A) $P-V$ આલેખ કાર્નોટ ચક્ર દર્શાવે છે,જેમાં બે સમતાપી પ્રક્રિયાઓ અને બે સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ અચળ તાપમાને વિસ્તરણ પામે છે.
$2$. સમોષ્મી વિસ્તરણ: વાયુ આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે કર્યા વગર વિસ્તરણ પામે છે.
$3$. સમતાપી સંકોચન: વાયુ અચળ તાપમાને સંકોચન પામે છે.
$4$. સમોષ્મી સંકોચન: વાયુ આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે કર્યા વગર સંકોચન પામે છે.
સમોષ્મી વક્રો સમતાપી વક્રો કરતા વધુ ઢળતા (steep) હોય છે કારણ કે સમોષ્મી બલ્ક મોડ્યુલસ એ સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે,જ્યાં $\gamma > 1$ છે.

(N/A) $1$. સમતાપી પ્રક્રિયા: એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્રનું તાપમાન અચળ રહે છે $(T = \text{અચળ})$. આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે $(dU = 0)$.
$2$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા: એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્ર અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(dQ = 0)$.
$3$. સમદાબી પ્રક્રિયા: એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{અચળ})$.
$4$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ: આદર્શ વાયુ માટે, પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $dQ$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે, $dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે, અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.

(N/A) $1$. સમઆયતનીય પ્રક્રિયા: જે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય પ્રક્રિયામાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે $(dV = 0)$, તેને સમઆયતનીય પ્રક્રિયા કહેવાય છે। આ પ્રક્રિયામાં તંત્ર દ્વારા કે તંત્ર પર કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$.
$2$. ચક્રીય પ્રક્રિયા: જો કોઈ તંત્ર શ્રેણીબદ્ધ ફેરફારો બાદ તેની મૂળ અવસ્થામાં પાછું આવે, તો તે પ્રક્રિયાને ચક્રીય પ્રક્રિયા કહેવાય છે। ચક્રીય પ્રક્રિયામાં આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે $(\Delta U = 0)$.
$3$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ: આદર્શ વાયુ માટે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે, $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે।

(N/A) કોઈપણ પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી સંકોચન (isothermal compression) અનુભવતા આદર્શ વાયુ માટે,સમીકરણ $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ છે. સંકોચન હોવાથી,$V_f < V_i$ થાય છે,જેના કારણે $W$ ઋણ મળે છે (વાયુ પર કાર્ય થાય છે).
એડિયાબેટિક (adiabatic) સંકોચન માટે,સમીકરણ $W = \frac{nR(T_f - T_i)}{\gamma - 1} = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.

(B) બાહ્ય દહન એન્જિનમાં,બળતણ એન્જિનના સિલિન્ડરની બહાર બાળવામાં આવે છે. ઉત્પન્ન થયેલી ગરમીનો ઉપયોગ પાણીને ઉચ્ચ દબાણવાળી વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે,જે પછી યાંત્રિક કાર્ય કરવા માટે કાર્યકારી પદાર્થ તરીકે કામ કરે છે. ઉદાહરણોમાં સ્ટીમ એન્જિન અને સ્ટીમ ટર્બાઇનનો સમાવેશ થાય છે.
આંતરિક દહન એન્જિનમાં,બળતણ એન્જિનના સિલિન્ડરની અંદર જ બાળવામાં આવે છે. બળતણના દહનથી ઉચ્ચ દબાણવાળા વાયુઓ (હવા અને બળતણનું મિશ્રણ) બને છે,જે પિસ્ટનને ધકેલવા માટે વિસ્તરે છે,જે કાર્યકારી પદાર્થ તરીકે કામ કરે છે. ઉદાહરણોમાં પેટ્રોલ અને ડીઝલ એન્જિનનો સમાવેશ થાય છે.

(N/A) રેફ્રિજરેટર માટે પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\alpha)$ એ ઠંડા પરિસરમાંથી ખેંચેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ અને તંત્ર પર કરેલા કાર્ય $(W)$ નો ગુણોત્તર છે.
$\alpha = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$
અંશ અને છેદને $Q_1$ વડે ભાગતા:
$\alpha = \frac{Q_2 / Q_1}{1 - Q_2 / Q_1} \dots (1)$
કાર્નોટ એન્જિન માટે કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$
આથી, $\frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \eta \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\alpha = \frac{1 - \eta}{\eta}$
આમ, માંગેલો સંબંધ $\alpha = \frac{1}{\eta} - 1$ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 0$ હોય છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માની વ્યાખ્યા $C = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ મુજબ,જ્યારે $\Delta T \to 0$ થાય,ત્યારે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ અનંત બને છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે. આ કિંમતને $C = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $C = 0$ મળે છે.

(N/A) $(i)$ તે ઉષ્મા કઈ દિશામાં વહે છે તે વિશે જણાવતું નથી. તે ફક્ત એટલું જ કહે છે કે ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$(ii)$ તે એ સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે કે શા માટે ઉષ્માને કોઈપણ બાહ્ય અસર વિના ચક્રીય પ્રક્રિયામાં આપમેળે અને સંપૂર્ણપણે કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતી નથી.

(A) $1.$ સાચું. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2.$ સાચું. જો બેટરીને કોઈપણ ઉર્જાના વ્યય વગર અત્યંત ધીમી ગતિએ ચાર્જ કરવામાં આવે,તો તેને પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા ગણવામાં આવે છે.
$3.$ ખોટું. ઊંચાઈએથી પડતું પાણી એ અપ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે કારણ કે ઘર્ષણ અને અથડામણને કારણે પ્રાપ્ત થયેલી ગતિ ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે,જેને પાછી મેળવી શકાતી નથી.
$4.$ ખોટું. આંતરિક ઉર્જા,કદ અને દળ એ વિસ્તૃત (extensive) ચલ છે (તે દ્રવ્યના જથ્થા પર આધાર રાખે છે),જ્યારે દબાણ,તાપમાન અને ઘનતા એ તીવ્ર (intensive) ચલ છે (તે દ્રવ્યના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે).

(A) $1.$ સાચું. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જા જેવા અવસ્થા વિધેયોમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય $(\Delta U = 0)$ હોય છે.
$2.$ ખોટું. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો કોઈ વિનિમય થતો નથી $(Q = 0)$,પરંતુ જ્યારે કાર્ય કરવામાં આવે ત્યારે તંત્રનું તાપમાન બદલાય છે.
$3.$ ખોટું. સમતાપી પ્રક્રિયામાં તાપમાન અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = 0$ થાય છે.

(N/A) $1.$ ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું ફરે છે. આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.
$2.$ જ્યારે એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે ત્યારે વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે (જ્યાં $Q = 0$,$\Delta U = -W$).
$3.$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$. આપેલ છે કે $V_2 = V_1 / 32$ અને $\gamma = 1.4$,તેથી $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = T_1 (32)^{1.4-1} = T_1 (32)^{0.4} = T_1 (2^5)^{2/5} = T_1 \times 2^2 = 4 T_1$.
$4.$ પાણીનું ત્રિબિંદુ $4.58 \text{ mm Hg}$ દબાણ અને $273.16 \text{ K}$ તાપમાને જોવા મળે છે.

(N/A) $1.$ પદાર્થનું તાપમાન $1\,K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માને તેની ઉષ્માધારિતા (thermal capacity) કહે છે.
$2.$ તાપમાનના તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta T_F = \frac{9}{5} \Delta T_C$ છે. આપેલ $\Delta T_C = 10\,^{\circ}C$ માટે,$\Delta T_F = \frac{9}{5} \times 10 = 18\,^{\circ}F$ થાય.
$3.$ સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$PV = \text{અચળ}$. બંને બાજુ વિકલન કરતા,$P dV + V dP = 0$ મળે. પદોની ગોઠવણી કરતા $V dP = -P dV$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dP}{P} = -\frac{dV}{V}$ થાય છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. કાર્યનું સૂત્ર $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\mu RT}{V} dV = \mu RT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right) = 2.303 \mu RT \log_{10} \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ છે. તેથી,$(a)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,કાર્યનું સૂત્ર $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે. તેથી,$(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(a-iii, b-i)$ છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$. આને પ્રથમ નિયમમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$. આમ,$(a)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
$(b)$ આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$. આને પ્રથમ નિયમમાં મૂકતા: $\Delta Q = 0 + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = \Delta W$. આમ,$(b)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(a-iii), (b-ii)$ છે.

(A) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ કરેલા કાર્ય અને ઉષ્મા ઇનપુટનો ગુણોત્તર છે,જે $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર્નોટ એન્જિન માટે,આ $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ માં સરળ બને છે. આમ,$(a)$ એ $(ii)$ અને $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
હીટ પંપ માટે,પર્ફોર્મન્સનો ગુણાંક $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આમ,$(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.

(B) આ પરિસ્થિતિ આપેલ $P-V$ આલેખમાં દર્શાવેલ છે,જ્યાં દરેક પ્રક્રિયા માટે ફેરફાર દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
પ્રક્રિયા $1$ સમદાબી વિસ્તરણ (અચળ દબાણ) દર્શાવે છે અને પ્રક્રિયા $2$ સમતાપી વિસ્તરણ (અચળ તાપમાન) દર્શાવે છે.
વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવાથી,આપણે બંને વક્રોની નીચેના ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરીએ છીએ.
આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $1$ (સમદાબી) માટેના વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રક્રિયા $2$ (સમતાપી) માટેના વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા સ્પષ્ટપણે મોટું છે.
તેથી,સમદાબી પ્રક્રિયા (કિસ્સો $b$) માં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય વધારે છે.

(N/A) પ્રક્રિયા $AB$ માં, કદ અચળ છે $(dV = 0)$, તેથી કાર્ય $dW = 0$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $dQ = dU + dW = dU$. અચળ કદ પર દબાણ વધતું હોવાથી, તાપમાન વધે છે, તેથી $dU > 0$. આમ, પ્રક્રિયા $AB$ માં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે.
$(b)$ પ્રક્રિયા $CD$ માં, કદ અચળ છે અને દબાણ ઘટે છે, તેથી તાપમાન ઘટે છે. આમ, પ્રક્રિયા $CD$ માં એન્જિન દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
$(c)$ કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$. $W_{AB} = 0$ અને $W_{CD} = 0$ હોવાથી, $W = W_{BC} + W_{DA}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ માટે, $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$.
$W_{BC} = \frac{P_B V_B - P_C V_C}{\gamma - 1}$ અને $W_{DA} = \frac{P_D V_D - P_A V_A}{\gamma - 1}$.
આપેલ છે $V_C = V_D = 2V_A = 2V_B$, અને એડિબેટિક સંબંધો $P_B V_B^\gamma = P_C V_C^\gamma$ અને $P_A V_A^\gamma = P_D V_D^\gamma$:
$P_C = P_B(1/2)^{5/3}$ અને $P_D = P_A(2)^{5/3}$.
$W = \frac{1}{\gamma - 1} [P_B V_B - P_B(1/2)^{5/3}(2V_B) + P_A(2)^{5/3}(2V_A) - P_A V_A]$
$W = \frac{3V_A}{2} [P_B(1 - 2^{-2/3}) + P_A(2^{8/3} - 1)]$.
$(d)$ કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{|Q_{out}|}{Q_{in}} = 1 - \frac{C_v(T_C - T_D)}{C_v(T_B - T_A)} = 1 - \frac{P_C V_C - P_D V_D}{P_B V_B - P_A V_A} = 1 - \frac{2(P_C - P_D)}{P_B - P_A} = 1 - \frac{2(P_B 2^{-5/3} - P_A 2^{5/3})}{P_B - P_A}$.