અ Gujarati
Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Thermodynamics · Mix Examples-Thermodynamics
331+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 331 questions in Gujarati
201
AdvancedMCQ
કૉલમ $I$ માં આદર્શ વાયુના વિસ્તરણની પ્રક્રિયાઓની યાદી છે. તેને કૉલમ $II$ સાથે જોડો જે આ પ્રક્રિયા દરમિયાન થતા થર્મોડાયનેમિક ફેરફારનું વર્ણન કરે છે.
| કૉલમ $I$ | કૉલમ $II$ |
| $(A)$ એક અવાહક પાત્રમાં વાલ્વ દ્વારા અલગ પડેલા બે ચેમ્બર છે. ચેમ્બર $I$ માં આદર્શ વાયુ છે અને ચેમ્બર $II$ માં શૂન્યાવકાશ છે. વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે. | $(p)$ વાયુનું તાપમાન ઘટે છે |
| $(B)$ એક આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ તેના મૂળ કદ કરતા બમણા કદ સુધી વિસ્તરે છે જેથી તેનું દબાણ $P \propto V^{-2}$ થાય | $(q)$ વાયુનું તાપમાન વધે છે અથવા અચળ રહે છે |
| $(C)$ એક આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ તેના મૂળ કદ કરતા બમણા કદ સુધી વિસ્તરે છે જેથી તેનું દબાણ $P \propto V^{-4/3}$ થાય | $(r)$ વાયુ ઉષ્મા ગુમાવે છે |
| $(D)$ એક આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ એવી રીતે વિસ્તરે છે કે તેનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ આલેખમાં દર્શાવેલ વર્તણૂકને અનુસરે છે | $(s)$ વાયુ ઉષ્મા મેળવે છે |
A
$(A) \rightarrow q, (B) \rightarrow p \& r, (C) \rightarrow p \& s, (D) \rightarrow q \& s$
B
$(A) \rightarrow p, (B) \rightarrow s \& r, (C) \rightarrow p \& q, (D) \rightarrow q \& r$
C
$(A) \rightarrow p, (B) \rightarrow p \& s, (C) \rightarrow p \& s, (D) \rightarrow q \& p$
D
$(A) \rightarrow r, (B) \rightarrow p \& r, (C) \rightarrow s \& s, (D) \rightarrow r \& s$
Solution
$(C)$ આદર્શ વાયુનું શૂન્યાવકાશમાં મુક્ત વિસ્તરણ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે જ્યાં $W = 0$ અને $Q = 0$, તેથી $\Delta U = 0$. આદર્શ વાયુ માટે, $\Delta U = nC_v\Delta T = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\Delta T = 0$. આમ, તાપમાન અચળ રહે છે. આ $(q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{અચળ}$ જ્યાં $x = 2$. એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 5/3$. કારણ કે $x > \gamma$, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_v + R/(1-x) = 3R/2 + R/(1-2) = 3R/2 - R = R/2 > 0$. ઉપરાંત, $T \propto PV \propto V^{-2} \cdot V = V^{-1}$, તેથી જેમ $V$ વધે છે, $T$ ઘટે છે. કારણ કે $C > 0$ અને $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T < 0$, એટલે કે વાયુ ઉષ્મા ગુમાવે છે. આ $(p)$ અને $(r)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા જ્યાં $x = 4/3$. કારણ કે $x < \gamma$ $(4/3 < 5/3)$, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = 3R/2 + R/(1-4/3) = 3R/2 - 3R = -3R/2 < 0$. ઉપરાંત, $T \propto V^{-4/3} \cdot V = V^{-1/3}$, તેથી જેમ $V$ વધે છે, $T$ ઘટે છે. કારણ કે $C < 0$ અને $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T > 0$, એટલે કે વાયુ ઉષ્મા મેળવે છે. આ $(p)$ અને $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ આલેખ દર્શાવે છે કે $V$ વધે છે, જો $P$ ઘટે છે જેમ $V$ વધે છે, તો વાયુ કાર્ય કરે છે. જો પ્રક્રિયા એવી હોય કે $T$ વધે, તો તે ઉષ્મા મેળવે છે. આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ, $(D)$ એ $(q)$ અને $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{અચળ}$ જ્યાં $x = 2$. એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 5/3$. કારણ કે $x > \gamma$, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_v + R/(1-x) = 3R/2 + R/(1-2) = 3R/2 - R = R/2 > 0$. ઉપરાંત, $T \propto PV \propto V^{-2} \cdot V = V^{-1}$, તેથી જેમ $V$ વધે છે, $T$ ઘટે છે. કારણ કે $C > 0$ અને $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T < 0$, એટલે કે વાયુ ઉષ્મા ગુમાવે છે. આ $(p)$ અને $(r)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા જ્યાં $x = 4/3$. કારણ કે $x < \gamma$ $(4/3 < 5/3)$, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = 3R/2 + R/(1-4/3) = 3R/2 - 3R = -3R/2 < 0$. ઉપરાંત, $T \propto V^{-4/3} \cdot V = V^{-1/3}$, તેથી જેમ $V$ વધે છે, $T$ ઘટે છે. કારણ કે $C < 0$ અને $\Delta T < 0$, $Q = nC\Delta T > 0$, એટલે કે વાયુ ઉષ્મા મેળવે છે. આ $(p)$ અને $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ આલેખ દર્શાવે છે કે $V$ વધે છે, જો $P$ ઘટે છે જેમ $V$ વધે છે, તો વાયુ કાર્ય કરે છે. જો પ્રક્રિયા એવી હોય કે $T$ વધે, તો તે ઉષ્મા મેળવે છે. આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ, $(D)$ એ $(q)$ અને $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
0 likes
View Solution202
AdvancedMCQ
એક ગેસને ગતિશીલ ઘર્ષણરહિત પિસ્ટન ધરાવતા સિલિન્ડરમાં બંધ કરવામાં આવ્યો છે. તેની પ્રારંભિક થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિ $P_i = 10^5 \text{ Pa}$ અને કદ $V_i = 10^{-3} \text{ m}^3$ થી બદલાઈને અંતિમ સ્થિતિ $P_f = (1/32) \times 10^5 \text{ Pa}$ અને $V_f = 8 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ થાય છે, જે એક એડિબેટિક ક્વોસી-સ્ટેટિક પ્રક્રિયા છે, જેમાં $P^3 V^5 = \text{constant}$ છે. બીજી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાનો વિચાર કરો જે સિસ્ટમને સમાન પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી સમાન અંતિમ સ્થિતિમાં બે તબક્કામાં લાવે છે: $P_i$ પર આઇસોબેરિક વિસ્તરણ, ત્યારબાદ $V_f$ કદ પર આઇસોકોરિક (આઇસોવોલ્યુમેટ્રિક) પ્રક્રિયા. બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ગરમી આશરે કેટલી છે: ($\text{ J}$ માં)
A
$112$
B
$294$
C
$588$
D
$83$
Solution
(C) આપેલ એડિબેટિક પ્રક્રિયા $P^3 V^5 = \text{constant}$ ને અનુસરે છે, જેને $P V^{5/3} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે. આને $P V^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\gamma = 5/3$ મળે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $\Delta Q = 0$, તેથી $\Delta U = -W$. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$.
આમ, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$.
બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં:
$1$. $(P_i, V_i)$ થી $(P_i, V_f)$ સુધી આઇસોબેરિક વિસ્તરણ:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$.
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$.
$2$. $(P_i, V_f)$ થી $(P_f, V_f)$ સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા:
$W_2 = 0$.
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$.
કુલ ગરમી $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $\Delta Q = 0$, તેથી $\Delta U = -W$. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$.
આમ, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$.
બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં:
$1$. $(P_i, V_i)$ થી $(P_i, V_f)$ સુધી આઇસોબેરિક વિસ્તરણ:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$.
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$.
$2$. $(P_i, V_f)$ થી $(P_f, V_f)$ સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા:
$W_2 = 0$.
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$.
કુલ ગરમી $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$.
0 likes
View Solution203
EasyMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુનું પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_A, V_0)$ થી અંતિમ અવસ્થા $(T_f, 5 V_0)$ સુધી એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) વિસ્તરણ થાય છે. તે જ વાયુના બીજા એક મોલનું અલગ પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_B, V_0)$ થી તે જ અંતિમ અવસ્થા $(T_f, 5 V_0)$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ થાય છે. આ આદર્શ વાયુ માટે અચળ દબાણ અને અચળ કદ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ છે. તો ગુણોત્તર $T_A / T_B$ શું હશે?
A
$5^{\gamma-1}$
B
$5^{1-\gamma}$
C
$5^{\gamma}$
D
$5^{\gamma-1}$
Solution
(A) $(T_A, V_0)$ થી $(T_f, 5 V_0)$ સુધીના એડિબેટિક વિસ્તરણ માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે。
તેથી, $T_A V_0^{\gamma-1} = T_f (5 V_0)^{\gamma-1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_A = T_f (5)^{\gamma-1}$ મળે છે。
$(T_B, V_0)$ થી $(T_f, 5 V_0)$ સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ માટે, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $T_B = T_f$.
હવે, આપણે ગુણોત્તર $T_A / T_B = [T_f (5)^{\gamma-1}] / T_f = 5^{\gamma-1}$ મેળવીએ છીએ。
તેથી, $T_A V_0^{\gamma-1} = T_f (5 V_0)^{\gamma-1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_A = T_f (5)^{\gamma-1}$ મળે છે。
$(T_B, V_0)$ થી $(T_f, 5 V_0)$ સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ માટે, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $T_B = T_f$.
હવે, આપણે ગુણોત્તર $T_A / T_B = [T_f (5)^{\gamma-1}] / T_f = 5^{\gamma-1}$ મેળવીએ છીએ。
0 likes
View Solution204
AdvancedMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુ બે અલગ-અલગ ચક્રીય પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ માંથી પસાર થાય છે,જે નીચેના $P-V$ આલેખમાં દર્શાવેલ છે. ચક્ર $I$ માં,પ્રક્રિયાઓ $a, b, c$ અને $d$ અનુક્રમે સમદાબી,સમતાપી,સમદાબી અને સમકદ છે. ચક્ર $II$ માં,પ્રક્રિયાઓ $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ અને $d^{\prime}$ અનુક્રમે સમતાપી,સમકદ,સમદાબી અને સમકદ છે. ચક્ર $I$ દરમિયાન થયેલ કુલ કાર્ય $W_I$ છે અને ચક્ર $II$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W_{II}$ છે. ગુણોત્તર $W_I / W_{II}$ કેટલો થાય?
A
$5$
B
$2$
C
$3$
D
$10$
Solution
(B) ચક્ર $I$ માટે:
થયેલ કાર્ય $W_I = W_a + W_b + W_c + W_d$
$W_a = P \Delta V = (4P_0)(2V_0 - V_0) = 4P_0V_0$
$W_b = nRT \ln(V_f/V_i) = P_i V_i \ln(V_f/V_i) = (4P_0)(2V_0) \ln(4V_0/2V_0) = 8P_0V_0 \ln 2$
$W_c = P \Delta V = (2P_0)(V_0 - 4V_0) = -6P_0V_0$
$W_d = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_I = 4P_0V_0 + 8P_0V_0 \ln 2 - 6P_0V_0 = 8P_0V_0 \ln 2 - 2P_0V_0 = 2P_0V_0(4 \ln 2 - 1)$
ચક્ર $II$ માટે:
થયેલ કાર્ય $W_{II} = W_{a'} + W_{b'} + W_{c'} + W_{d'}$
$W_{a'} = P_i V_i \ln(V_f/V_i) = (4P_0)(V_0) \ln(2V_0/V_0) = 4P_0V_0 \ln 2$
$W_{b'} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_{c'} = P \Delta V = (P_0)(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$
$W_{d'} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_{II} = 4P_0V_0 \ln 2 - P_0V_0 = P_0V_0(4 \ln 2 - 1)$
ગુણોત્તર $W_I / W_{II} = [2P_0V_0(4 \ln 2 - 1)] / [P_0V_0(4 \ln 2 - 1)] = 2$
થયેલ કાર્ય $W_I = W_a + W_b + W_c + W_d$
$W_a = P \Delta V = (4P_0)(2V_0 - V_0) = 4P_0V_0$
$W_b = nRT \ln(V_f/V_i) = P_i V_i \ln(V_f/V_i) = (4P_0)(2V_0) \ln(4V_0/2V_0) = 8P_0V_0 \ln 2$
$W_c = P \Delta V = (2P_0)(V_0 - 4V_0) = -6P_0V_0$
$W_d = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_I = 4P_0V_0 + 8P_0V_0 \ln 2 - 6P_0V_0 = 8P_0V_0 \ln 2 - 2P_0V_0 = 2P_0V_0(4 \ln 2 - 1)$
ચક્ર $II$ માટે:
થયેલ કાર્ય $W_{II} = W_{a'} + W_{b'} + W_{c'} + W_{d'}$
$W_{a'} = P_i V_i \ln(V_f/V_i) = (4P_0)(V_0) \ln(2V_0/V_0) = 4P_0V_0 \ln 2$
$W_{b'} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_{c'} = P \Delta V = (P_0)(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$
$W_{d'} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_{II} = 4P_0V_0 \ln 2 - P_0V_0 = P_0V_0(4 \ln 2 - 1)$
ગુણોત્તર $W_I / W_{II} = [2P_0V_0(4 \ln 2 - 1)] / [P_0V_0(4 \ln 2 - 1)] = 2$
1 likes
View Solution205
Medium
એક આદર્શ વાયુ કોષ્ટકના કોલમ $3$ માં દર્શાવ્યા મુજબ અલગ અલગ રીતે ચક્રીય થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. માત્ર અવસ્થા $1$ થી $2$ સુધીના પથને ધ્યાનમાં લો. $W$ એ સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે. કોષ્ટકમાંના સમીકરણો અને આલેખ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં વપરાતી પ્રમાણિત સંજ્ઞાઓ ધરાવે છે. અહીં $\gamma$ એ અચળ દબાણ અને અચળ કદ પરની ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર છે. વાયુમાં મોલની સંખ્યા $n$ છે.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ એવી પ્રક્રિયાનું એકમાત્ર સાચું નિરૂપણ છે જેમાં $\Delta U = \Delta Q - P \Delta V$ થાય?
$[A] (II) (iii) (P)$ $[B] (II) (iii) (R)$ $[C] (II) (iv) (S)$ $[D] (III) (iii) (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચું સંયોજન છે?
$[A] (III) (ii) (S)$ $[B] (II) (iv) (R)$ $[C] (II) (iv) (P)$ $[D] (IV) (ii) (S)$
$(3)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપ નક્કી કરવામાં સુધારા તરીકે વપરાતી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે?
$[A] (III) (iv) (R)$ $[B] (I) (ii) (Q)$ $[C] (I) (iv) (Q)$ $[D] (I) (iv) (R)$
$(1)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ એવી પ્રક્રિયાનું એકમાત્ર સાચું નિરૂપણ છે જેમાં $\Delta U = \Delta Q - P \Delta V$ થાય?
$[A] (II) (iii) (P)$ $[B] (II) (iii) (R)$ $[C] (II) (iv) (S)$ $[D] (III) (iii) (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચું સંયોજન છે?
$[A] (III) (ii) (S)$ $[B] (II) (iv) (R)$ $[C] (II) (iv) (P)$ $[D] (IV) (ii) (S)$
$(3)$ નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપ નક્કી કરવામાં સુધારા તરીકે વપરાતી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે?
$[A] (III) (iv) (R)$ $[B] (I) (ii) (Q)$ $[C] (I) (iv) (Q)$ $[D] (I) (iv) (R)$
Solution
(B) $(1)$ થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + W$ છે. આપેલ છે કે $\Delta U = \Delta Q - P \Delta V$,જેનો અર્થ છે કે $W = P \Delta V$. આ સમોબેરિક (isobaric) પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યની વ્યાખ્યા છે. કોષ્ટકમાં,$(II)$ એ $W = -P(V_2 - V_1)$ (સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય) દર્શાવે છે,(iii) એ સમોબેરિક છે,અને $(R)$ એ $1$ થી $2$ સુધીની આડી રેખા (અચળ દબાણ) દર્શાવે છે. તેથી,સાચું સંયોજન $(II)(iii)(R)$ છે.
$(2)$ આઈસોકોરિક (isochoric) પ્રક્રિયા એવી છે જેમાં કદ અચળ રહે છે $(V_1 = V_2)$. થયેલ કાર્ય $W = 0$ છે. કોષ્ટકમાં,$(III)$ એ $W = 0$ દર્શાવે છે,(ii) એ આઈસોકોરિક છે,અને $(S)$ એ $1$ થી $2$ સુધીની ઉભી રેખા (અચળ કદ) દર્શાવે છે. તેથી,સાચું સંયોજન $(III)(ii)(S)$ છે.
$(3)$ આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપ એડિયાબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે (લેપ્લેસ સુધારો). કોષ્ટકમાં,$(I)$ એ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{\gamma-1}(P_2V_2 - P_1V_1)$ દર્શાવે છે,(iv) એ એડિયાબેટિક છે,અને $(Q)$ એ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક વળાંક દર્શાવે છે. તેથી,સાચું સંયોજન $(I)(iv)(Q)$ છે.
$(2)$ આઈસોકોરિક (isochoric) પ્રક્રિયા એવી છે જેમાં કદ અચળ રહે છે $(V_1 = V_2)$. થયેલ કાર્ય $W = 0$ છે. કોષ્ટકમાં,$(III)$ એ $W = 0$ દર્શાવે છે,(ii) એ આઈસોકોરિક છે,અને $(S)$ એ $1$ થી $2$ સુધીની ઉભી રેખા (અચળ કદ) દર્શાવે છે. તેથી,સાચું સંયોજન $(III)(ii)(S)$ છે.
$(3)$ આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપ એડિયાબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે (લેપ્લેસ સુધારો). કોષ્ટકમાં,$(I)$ એ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{\gamma-1}(P_2V_2 - P_1V_1)$ દર્શાવે છે,(iv) એ એડિયાબેટિક છે,અને $(Q)$ એ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક વળાંક દર્શાવે છે. તેથી,સાચું સંયોજન $(I)(iv)(Q)$ છે.
0 likes
View Solution206
MediumMCQ
એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચક્રીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે (જ્યાં $V$ એ કદ છે અને $T$ એ તાપમાન છે). નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ પ્રક્રિયા $I$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે
$(B)$ પ્રક્રિયા $II$ માં,વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે
$(C)$ પ્રક્રિયા $IV$ માં,વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે
$(D)$ પ્રક્રિયા $I$ અને $III$ સમદાબી નથી
$(A)$ પ્રક્રિયા $I$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે
$(B)$ પ્રક્રિયા $II$ માં,વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે
$(C)$ પ્રક્રિયા $IV$ માં,વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે
$(D)$ પ્રક્રિયા $I$ અને $III$ સમદાબી નથી
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$B, C, D$
D
$A, C$
Solution
(C) આપેલ $T-V$ આલેખમાં:
પ્રક્રિયા $I$: $V$ બદલાય છે,તેથી તે સમકદ નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પ્રક્રિયા $II$: આ સમતાપી વિસ્તરણ છે ($T$ અચળ છે,$V$ વધે છે). $W > 0$ અને $\Delta U = 0$ હોવાથી,વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે $(\Delta Q = W > 0)$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પ્રક્રિયા $III$: આ સમતાપી સંકોચન છે ($T$ અચળ છે,$V$ ઘટે છે). $W < 0$ અને $\Delta U = 0$ હોવાથી,વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે $(\Delta Q = W < 0)$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
પ્રક્રિયા $IV$: આલેખ જોતા,પ્રક્રિયા $I$ અને $III$ વક્ર છે,રેખીય નથી,તેથી તે સમદાબી નથી. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B), (C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
પ્રક્રિયા $I$: $V$ બદલાય છે,તેથી તે સમકદ નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પ્રક્રિયા $II$: આ સમતાપી વિસ્તરણ છે ($T$ અચળ છે,$V$ વધે છે). $W > 0$ અને $\Delta U = 0$ હોવાથી,વાયુ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે $(\Delta Q = W > 0)$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પ્રક્રિયા $III$: આ સમતાપી સંકોચન છે ($T$ અચળ છે,$V$ ઘટે છે). $W < 0$ અને $\Delta U = 0$ હોવાથી,વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે $(\Delta Q = W < 0)$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
પ્રક્રિયા $IV$: આલેખ જોતા,પ્રક્રિયા $I$ અને $III$ વક્ર છે,રેખીય નથી,તેથી તે સમદાબી નથી. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B), (C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution207
AdvancedMCQ
આકૃતિ એક આદર્શ વાયુ માટે $ABCDA$ ચક્ર દરમિયાન $P-V$ આલેખ દર્શાવે છે. ભાગ $ABC$ એક અર્ધવર્તુળ છે અને $CDA$ એ લંબગોળનો અડધો ભાગ છે. તો,
$(A)$ $A \rightarrow B$ માર્ગ દરમિયાન પ્રક્રિયા સમતાપી છે
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ દરમિયાન વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ માર્ગ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે
$(D)$ $ABCDA$ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા ધન કાર્ય કરવામાં આવે છે
$(A)$ $A \rightarrow B$ માર્ગ દરમિયાન પ્રક્રિયા સમતાપી છે
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ દરમિયાન વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ માર્ગ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે
$(D)$ $ABCDA$ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા ધન કાર્ય કરવામાં આવે છે
A
$(B,D)$
B
$(C,D)$
C
$(A,B)$
D
$(A,C)$
Solution
(A) સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
$1$. $(A)$ નું વિશ્લેષણ: આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, વર્તુળાકાર કે લંબગોળાકાર ચાપ નથી। તેથી, $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $(B)$ નું વિશ્લેષણ: $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ માટે, કદ ઘટે છે ($V$, $3$ થી $1$ થાય છે), તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ ઋણ છે। વળી, તાપમાન $T \propto PV$ એ $B$ થી $C$ અને $C$ થી $D$ સુધી ઘટે છે, તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ઋણ છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta U < 0$ અને $W < 0$ હોવાથી, ઉષ્મા $\Delta Q$ ઋણ હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે। તેથી, $(B)$ સાચું છે.
$3$. $(C)$ નું વિશ્લેષણ: $A \rightarrow B \rightarrow C$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ $ABC$ વક્રની નીચે $V$-અક્ષ સાથે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે। આ માર્ગમાં વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ સંકોચનનો સમાવેશ થાય છે, તેથી કુલ કાર્ય શૂન્ય નથી। તેથી, $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $(D)$ નું વિશ્લેષણ: $P-V$ આલેખ પર $ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે। ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્ર માટે, વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ધન હોય છે, જે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। તેથી, $(D)$ સાચું છે.
$1$. $(A)$ નું વિશ્લેષણ: આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, વર્તુળાકાર કે લંબગોળાકાર ચાપ નથી। તેથી, $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $(B)$ નું વિશ્લેષણ: $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ માટે, કદ ઘટે છે ($V$, $3$ થી $1$ થાય છે), તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ ઋણ છે। વળી, તાપમાન $T \propto PV$ એ $B$ થી $C$ અને $C$ થી $D$ સુધી ઘટે છે, તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ઋણ છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta U < 0$ અને $W < 0$ હોવાથી, ઉષ્મા $\Delta Q$ ઋણ હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે। તેથી, $(B)$ સાચું છે.
$3$. $(C)$ નું વિશ્લેષણ: $A \rightarrow B \rightarrow C$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ $ABC$ વક્રની નીચે $V$-અક્ષ સાથે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે। આ માર્ગમાં વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ સંકોચનનો સમાવેશ થાય છે, તેથી કુલ કાર્ય શૂન્ય નથી। તેથી, $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $(D)$ નું વિશ્લેષણ: $P-V$ આલેખ પર $ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે। ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્ર માટે, વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ધન હોય છે, જે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। તેથી, $(D)$ સાચું છે.
0 likes
View Solution208
DifficultMCQ
એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુને $P-V$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $ABCDA$ ચક્રમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે. કોલમ $II$ માં ચક્રમાં સામેલ લાક્ષણિકતાઓ આપેલી છે. તેમને કોલમ $I$ માં આપેલી દરેક પ્રક્રિયા સાથે જોડો.
| કોલમ $I$ | કોલમ $II$ |
| $(A)$ પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ | $(p)$ આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે. |
| $(B)$ પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ | $(q)$ આંતરિક ઉર્જા વધે છે. |
| $(C)$ પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ | $(r)$ ઉષ્મા ગુમાવાય છે. |
| $(D)$ પ્રક્રિયા $D \rightarrow A$ | $(s)$ ઉષ્મા મેળવાય છે. |
| $(t)$ વાયુ પર કાર્ય થાય છે. |
A
$(A) \rightarrow p, q, r \text{ and } s, (B) \rightarrow q, (C) \rightarrow p, q, r \text{ and } s, (D) \rightarrow p, q, r \text{ and } s$
B
$(A) \rightarrow p, r, \text{ and } t, (B) \rightarrow p \text{ and } r, (C) \rightarrow q, \text{ and } s, (D) \rightarrow r \text{ and } t$
C
$(A) \rightarrow p, q, \text{ and } t, (B) \rightarrow s \text{ and } q, (C) \rightarrow q, \text{ and } t, (D) \rightarrow s \text{ and } r$
D
$(A) \rightarrow q, r, \text{ and } t, (B) \rightarrow r \text{ and } t, (C) \rightarrow r, \text{ and } s, (D) \rightarrow p \text{ and } q$
Solution
(B) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે: આ સમદાબી સંકોચન છે ($P$ અચળ છે,$V$ ઘટે છે).
$V$ ઘટતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(t)$. $T$ ઘટતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે $(p)$. $Q = \Delta U + W$ હોવાથી,$\Delta U$ અને $W$ બંને ઋણ છે,તેથી ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(A) \rightarrow p, r, t$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે: આ સમકદ પ્રક્રિયા છે ($V$ અચળ છે,$P$ ઘટે છે).
$V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. $P$ ઘટતું હોવાથી,$T$ ઘટે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે $(p)$. $\Delta U < 0$ અને $W = 0$ હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(B) \rightarrow p, r$.
પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ માટે: આ સમદાબી વિસ્તરણ છે ($P$ અચળ છે,$V$ વધે છે).
$V$ વધતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે. $T$ વધતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા વધે છે $(q)$. $Q = \Delta U + W$ હોવાથી,બંને ધન છે,તેથી ઉષ્મા મેળવાય છે $(s)$. આમ,$(C) \rightarrow q, s$.
પ્રક્રિયા $D \rightarrow A$ માટે: આ સમતાપી સંકોચન છે ($T$ અચળ છે,$P$ વધે છે,$V$ ઘટે છે).
$V$ ઘટતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(t)$. $T$ અચળ હોવાથી,$\Delta U = 0$. $W < 0$ હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(D) \rightarrow r, t$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$V$ ઘટતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(t)$. $T$ ઘટતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે $(p)$. $Q = \Delta U + W$ હોવાથી,$\Delta U$ અને $W$ બંને ઋણ છે,તેથી ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(A) \rightarrow p, r, t$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે: આ સમકદ પ્રક્રિયા છે ($V$ અચળ છે,$P$ ઘટે છે).
$V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. $P$ ઘટતું હોવાથી,$T$ ઘટે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે $(p)$. $\Delta U < 0$ અને $W = 0$ હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(B) \rightarrow p, r$.
પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ માટે: આ સમદાબી વિસ્તરણ છે ($P$ અચળ છે,$V$ વધે છે).
$V$ વધતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે. $T$ વધતું હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા વધે છે $(q)$. $Q = \Delta U + W$ હોવાથી,બંને ધન છે,તેથી ઉષ્મા મેળવાય છે $(s)$. આમ,$(C) \rightarrow q, s$.
પ્રક્રિયા $D \rightarrow A$ માટે: આ સમતાપી સંકોચન છે ($T$ અચળ છે,$P$ વધે છે,$V$ ઘટે છે).
$V$ ઘટતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(t)$. $T$ અચળ હોવાથી,$\Delta U = 0$. $W < 0$ હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવાય છે $(r)$. આમ,$(D) \rightarrow r, t$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
0 likes
View Solution209
AdvancedMCQ
આદર્શ વાયુ માટે એક પ્રતિવર્તી ચક્રીય પ્રક્રિયા નીચે દર્શાવેલ છે. અહીં,$P, V$,અને $T$ અનુક્રમે દબાણ,કદ અને તાપમાન છે. થર્મોડાયનેમિક પરિમાણો $q, w, H$,અને $U$ અનુક્રમે ઉષ્મા,કાર્ય,એન્થાલ્પી અને આંતરિક ઉર્જા છે.
સાચો વિકલ્પ (વિકલ્પો) છે:
$(A)$ $q_{AC} = \Delta U_{BC}$ અને $W_{AB} = P_2(V_2 - V_1)$
$(B)$ $W_{BC} = P_2(V_2 - V_1)$ અને $q_{BC} = H_{AC}$
$(C)$ $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ અને $q_{AC} = \Delta U_{BC}$
$(D)$ $q_{BC} = \Delta H_{AC}$ અને $\Delta H_{CA} > \Delta U_{CA}$
સાચો વિકલ્પ (વિકલ્પો) છે:
$(A)$ $q_{AC} = \Delta U_{BC}$ અને $W_{AB} = P_2(V_2 - V_1)$
$(B)$ $W_{BC} = P_2(V_2 - V_1)$ અને $q_{BC} = H_{AC}$
$(C)$ $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ અને $q_{AC} = \Delta U_{BC}$
$(D)$ $q_{BC} = \Delta H_{AC}$ અને $\Delta H_{CA} > \Delta U_{CA}$
A
$A, B, C$
B
$B, C$
C
$A, C$
D
$A, B$
Solution
(C) $V-T$ આલેખ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: તાપમાન અચળ $(T_1)$ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા છે. આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta U = 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $AC$: કદ અચળ $(V_1)$ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. આપલે થયેલ ઉષ્મા $q_{AC} = \Delta U_{AC} = nC_v(T_2 - T_1)$.
$3$. પ્રક્રિયા $BC$: દબાણ અચળ $(P_2)$ છે,તેથી તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. આપલે થયેલ ઉષ્મા $q_{BC} = \Delta H_{BC} = nC_p(T_2 - T_1)$.
વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ:
- પ્રક્રિયા $CA$ (સમકદ) માટે,$\Delta H_{CA} = nC_p(T_1 - T_2)$ અને $\Delta U_{CA} = nC_v(T_1 - T_2)$. કારણ કે $C_p > C_v$ અને $(T_1 - T_2) < 0$,તેથી $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ સાચું છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: તાપમાન અચળ $(T_1)$ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા છે. આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta U = 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $AC$: કદ અચળ $(V_1)$ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. આપલે થયેલ ઉષ્મા $q_{AC} = \Delta U_{AC} = nC_v(T_2 - T_1)$.
$3$. પ્રક્રિયા $BC$: દબાણ અચળ $(P_2)$ છે,તેથી તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. આપલે થયેલ ઉષ્મા $q_{BC} = \Delta H_{BC} = nC_p(T_2 - T_1)$.
વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ:
- પ્રક્રિયા $CA$ (સમકદ) માટે,$\Delta H_{CA} = nC_p(T_1 - T_2)$ અને $\Delta U_{CA} = nC_v(T_1 - T_2)$. કારણ કે $C_p > C_v$ અને $(T_1 - T_2) < 0$,તેથી $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ સાચું છે.
0 likes
View Solution210
MediumMCQ
આદર્શ વાયુ માટે એક પ્રતિવર્તી ચક્રીય પ્રક્રિયા નીચે દર્શાવેલ છે. અહીં,$P, V$,અને $T$ અનુક્રમે દબાણ,કદ અને તાપમાન છે. થર્મોડાયનેમિક પરિમાણો $q, w, H$,અને $U$ અનુક્રમે ઉષ્મા,કાર્ય,એન્થાલ્પી અને આંતરિક ઉર્જા છે.
સાચો વિકલ્પ (વિકલ્પો) છે:
$(A)$ $q_{AC} = \Delta U_{AC}$ અને $W_{AB} = 0$
$(B)$ $W_{BC} = P_2(V_1 - V_2)$ અને $q_{BC} = \Delta H_{BC}$
$(C)$ $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ અને $q_{AC} = \Delta U_{AC}$
$(D)$ $q_{BC} = \Delta H_{BC}$ અને $\Delta H_{CA} > \Delta U_{CA}$
સાચો વિકલ્પ (વિકલ્પો) છે:
$(A)$ $q_{AC} = \Delta U_{AC}$ અને $W_{AB} = 0$
$(B)$ $W_{BC} = P_2(V_1 - V_2)$ અને $q_{BC} = \Delta H_{BC}$
$(C)$ $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ અને $q_{AC} = \Delta U_{AC}$
$(D)$ $q_{BC} = \Delta H_{BC}$ અને $\Delta H_{CA} > \Delta U_{CA}$
A
$(A), (B)$
B
$(A), (C)$
C
$(B), (C)$
D
$(B), (D)$
Solution
(D) $V-T$ આલેખ પરથી:
$AB$: $T$ અચળ $(T_1)$ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા છે. આમ,$\Delta U_{AB} = 0$ અને $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_2/V_1)$.
$AC$: $V$ અચળ $(V_1)$ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. આમ,$W_{AC} = 0$ અને $q_{AC} = \Delta U_{AC} = nC_v(T_2 - T_1)$.
$BC$: $P$ અચળ $(P_2)$ છે,તેથી તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. આમ,$W_{BC} = P_2(V_1 - V_2)$ અને $q_{BC} = \Delta H_{BC} = nC_p(T_1 - T_2)$.
પ્રક્રિયા $CA$ માટે: $\Delta H_{CA} = nC_p(T_1 - T_2)$ અને $\Delta U_{CA} = nC_v(T_1 - T_2)$. કારણ કે $C_p > C_v$ અને $(T_1 - T_2) < 0$,તેથી $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ થાય.
તેથી,વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
$AB$: $T$ અચળ $(T_1)$ છે,તેથી તે સમતાપી પ્રક્રિયા છે. આમ,$\Delta U_{AB} = 0$ અને $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_2/V_1)$.
$AC$: $V$ અચળ $(V_1)$ છે,તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે. આમ,$W_{AC} = 0$ અને $q_{AC} = \Delta U_{AC} = nC_v(T_2 - T_1)$.
$BC$: $P$ અચળ $(P_2)$ છે,તેથી તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. આમ,$W_{BC} = P_2(V_1 - V_2)$ અને $q_{BC} = \Delta H_{BC} = nC_p(T_1 - T_2)$.
પ્રક્રિયા $CA$ માટે: $\Delta H_{CA} = nC_p(T_1 - T_2)$ અને $\Delta U_{CA} = nC_v(T_1 - T_2)$. કારણ કે $C_p > C_v$ અને $(T_1 - T_2) < 0$,તેથી $\Delta H_{CA} < \Delta U_{CA}$ થાય.
તેથી,વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution211
AdvancedMCQ
એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ એક થર્મોડાયનેમિક ચક્રમાંથી પસાર થાય છે,જે વોલ્યુમ વિરુદ્ધ તાપમાન $(V-T)$ આલેખમાં દર્શાવેલ છે. સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે :
[$R$ એ વાયુ અચળાંક છે]
$(1)$ આ થર્મોડાયનેમિક ચક્ર $(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1)$ માં થયેલ કાર્ય $|W| = \frac{1}{2} RT_0$ છે.
$(2)$ પ્રક્રિયાઓ $1 \rightarrow 2$ અને $2 \rightarrow 3$ દરમિયાન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો ગુણોત્તર $\left|\frac{Q_{1 \rightarrow 2}}{Q_{2 \rightarrow 3}}\right| = \frac{5}{3}$ છે.
$(3)$ ઉપરનું થર્મોડાયનેમિક ચક્ર માત્ર સમકદ (isochoric) અને સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે.
$(4)$ પ્રક્રિયાઓ $1 \rightarrow 2$ અને $3 \rightarrow 4$ દરમિયાન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો ગુણોત્તર $\left|\frac{Q_{1 \rightarrow 2}}{Q_{3 \rightarrow 4}}\right| = \frac{1}{2}$ છે.
[$R$ એ વાયુ અચળાંક છે]
$(1)$ આ થર્મોડાયનેમિક ચક્ર $(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1)$ માં થયેલ કાર્ય $|W| = \frac{1}{2} RT_0$ છે.
$(2)$ પ્રક્રિયાઓ $1 \rightarrow 2$ અને $2 \rightarrow 3$ દરમિયાન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો ગુણોત્તર $\left|\frac{Q_{1 \rightarrow 2}}{Q_{2 \rightarrow 3}}\right| = \frac{5}{3}$ છે.
$(3)$ ઉપરનું થર્મોડાયનેમિક ચક્ર માત્ર સમકદ (isochoric) અને સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે.
$(4)$ પ્રક્રિયાઓ $1 \rightarrow 2$ અને $3 \rightarrow 4$ દરમિયાન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો ગુણોત્તર $\left|\frac{Q_{1 \rightarrow 2}}{Q_{3 \rightarrow 4}}\right| = \frac{1}{2}$ છે.
A
$1, 3$
B
$1, 2$
C
$1, 4$
D
$1, 3, 4$
Solution
(B) $V-T$ આલેખ પરથી:
પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$: $V$ એ $T$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે (સમદાબી). $P_1 = P_2 = \frac{RT_0}{V_0}$.
પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$: $V$ અચળ $(2V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 4$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $4 \rightarrow 1$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
થયેલ કાર્ય $W = P-V$ આલેખમાં ચક્રનું ક્ષેત્રફળ.
$W = (P_{12} - P_{34}) \Delta V = (\frac{RT_0}{V_0} - \frac{RT_0}{2V_0}) (2V_0 - V_0) = \frac{RT_0}{2V_0} \cdot V_0 = \frac{1}{2} RT_0$. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$Q_{1 \rightarrow 2} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (2T_0 - T_0) = \frac{5}{2} RT_0$.
$Q_{2 \rightarrow 3} = n C_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3R}{2} \cdot (T_0 - 2T_0) = -\frac{3}{2} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{2 \rightarrow 3}| = 5/3$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં સમદાબી પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$Q_{3 \rightarrow 4} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (T_0/2 - T_0) = -\frac{5}{4} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{3 \rightarrow 4}| = |(5/2) / (-5/4)| = 2$. વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$: $V$ એ $T$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે (સમદાબી). $P_1 = P_2 = \frac{RT_0}{V_0}$.
પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$: $V$ અચળ $(2V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 4$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
પ્રક્રિયા $4 \rightarrow 1$: $V$ અચળ $(V_0)$ છે,તેથી તે સમકદ છે.
થયેલ કાર્ય $W = P-V$ આલેખમાં ચક્રનું ક્ષેત્રફળ.
$W = (P_{12} - P_{34}) \Delta V = (\frac{RT_0}{V_0} - \frac{RT_0}{2V_0}) (2V_0 - V_0) = \frac{RT_0}{2V_0} \cdot V_0 = \frac{1}{2} RT_0$. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$Q_{1 \rightarrow 2} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (2T_0 - T_0) = \frac{5}{2} RT_0$.
$Q_{2 \rightarrow 3} = n C_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3R}{2} \cdot (T_0 - 2T_0) = -\frac{3}{2} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{2 \rightarrow 3}| = 5/3$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં સમદાબી પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$Q_{3 \rightarrow 4} = n C_p \Delta T = 1 \cdot \frac{5R}{2} \cdot (T_0/2 - T_0) = -\frac{5}{4} RT_0$. ગુણોત્તર $|Q_{1 \rightarrow 2} / Q_{3 \rightarrow 4}| = |(5/2) / (-5/4)| = 2$. વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
0 likes
View Solution212
AdvancedMCQ
એક $m$ દળનો નાનો કણ એક ભારે, પોલી અને સીધી નળીમાં નળીની અક્ષ પર ગતિ કરે છે અને બંને છેડે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. નળીમાં કોઈ ઘર્ષણ નથી અને તે એક છેડે સપાટ સપાટી દ્વારા બંધ છે જ્યારે બીજો છેડો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ભારે હલનચલન કરી શકે તેવા સપાટ પિસ્ટન સાથે જોડાયેલ છે. જ્યારે પિસ્ટનનું બંધ છેડાથી અંતર $L = L_0$ હોય ત્યારે કણની ઝડપ $v = v_0$ છે. પિસ્ટનને ખૂબ જ ઓછી ઝડપ $V$ થી અંદરની તરફ ખસેડવામાં આવે છે જેથી $V \ll \frac{dL}{L} v_0$, જ્યાં $dL$ એ પિસ્ટનનું અત્યંત નાનું સ્થાનાંતર છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(1)$ જે દરે કણ પિસ્ટન સાથે અથડાય છે તે $v / (2L)$ છે
$(2)$ પિસ્ટન સાથેની દરેક અથડામણ પછી, કણની ઝડપ $2V$ જેટલી વધે છે
$(3)$ જ્યારે પિસ્ટનને $L_0$ થી $L_0 / 2$ સુધી અંદરની તરફ ખસેડવામાં આવે ત્યારે કણની ગતિ ઊર્જા $4$ ના ગુણાંકમાં વધે છે
$(4)$ જો પિસ્ટન $dL$ જેટલું અંદરની તરફ ખસે, તો કણની ઝડપ $v \frac{dL}{L}$ જેટલી વધે છે
$(1)$ જે દરે કણ પિસ્ટન સાથે અથડાય છે તે $v / (2L)$ છે
$(2)$ પિસ્ટન સાથેની દરેક અથડામણ પછી, કણની ઝડપ $2V$ જેટલી વધે છે
$(3)$ જ્યારે પિસ્ટનને $L_0$ થી $L_0 / 2$ સુધી અંદરની તરફ ખસેડવામાં આવે ત્યારે કણની ગતિ ઊર્જા $4$ ના ગુણાંકમાં વધે છે
$(4)$ જો પિસ્ટન $dL$ જેટલું અંદરની તરફ ખસે, તો કણની ઝડપ $v \frac{dL}{L}$ જેટલી વધે છે
A
$2, 3$
B
$2, 4$
C
$1, 3$
D
$1, 2, 3$
Solution
(A) કણ $L$ અંતર ધરાવતી બે દીવાલો વચ્ચે ગતિ કરે છે. એક રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે લાગતો સમય $\Delta t = 2L/v$ છે. પિસ્ટન સાથે અથડામણની આવૃત્તિ $f = 1/\Delta t = v/(2L)$ છે. આમ, વિધાન $(1)$ ખોટું છે કારણ કે તે $v/L$ જણાવે છે.
$V$ ઝડપથી કણ તરફ ગતિ કરતા પિસ્ટન સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણનો વેગ $v$ થી બદલાઈને $v + 2V$ થાય છે. ઝડપમાં ફેરફાર $(v + 2V) - v = 2V$ છે. આમ, વિધાન $(2)$ સાચું છે.
પિસ્ટનના નાના સ્થાનાંતર $dL$ માટે, ઝડપમાં ફેરફાર $dv = 2V \times (\text{સમય } dt \text{ માં અથડામણોની સંખ્યા})$ છે. કારણ કે $dt = dL/V$, અથડામણોની સંખ્યા $dt / (2L/v) = (dL/V) \cdot (v/2L) = v dL / (2LV)$ છે.
તેથી, $dv = 2V \cdot (v dL / 2LV) = v dL / L$. આમ, વિધાન $(4)$ ખોટું છે કારણ કે તે $2v dL/L$ જણાવે છે.
$dv/v = dL/L$ નું સંકલન કરતા ($L$ ઘટતું હોવાથી, $dv/v = -dL/L$), આપણને $\ln(v/v_0) = -\ln(L/L_0) = \ln(L_0/L)$ મળે છે, તેથી $vL = v_0 L_0$. જો $L$ એ $L_0/2$ થાય, તો $v = 2v_0$. ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ એ $\frac{1}{2}m(2v_0)^2 = 4 \times (\frac{1}{2}mv_0^2) = 4 KE_0$ થાય છે. આમ, વિધાન $(3)$ સાચું છે.
સાચા વિધાનો $(2)$ અને $(3)$ છે.
$V$ ઝડપથી કણ તરફ ગતિ કરતા પિસ્ટન સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણનો વેગ $v$ થી બદલાઈને $v + 2V$ થાય છે. ઝડપમાં ફેરફાર $(v + 2V) - v = 2V$ છે. આમ, વિધાન $(2)$ સાચું છે.
પિસ્ટનના નાના સ્થાનાંતર $dL$ માટે, ઝડપમાં ફેરફાર $dv = 2V \times (\text{સમય } dt \text{ માં અથડામણોની સંખ્યા})$ છે. કારણ કે $dt = dL/V$, અથડામણોની સંખ્યા $dt / (2L/v) = (dL/V) \cdot (v/2L) = v dL / (2LV)$ છે.
તેથી, $dv = 2V \cdot (v dL / 2LV) = v dL / L$. આમ, વિધાન $(4)$ ખોટું છે કારણ કે તે $2v dL/L$ જણાવે છે.
$dv/v = dL/L$ નું સંકલન કરતા ($L$ ઘટતું હોવાથી, $dv/v = -dL/L$), આપણને $\ln(v/v_0) = -\ln(L/L_0) = \ln(L_0/L)$ મળે છે, તેથી $vL = v_0 L_0$. જો $L$ એ $L_0/2$ થાય, તો $v = 2v_0$. ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ એ $\frac{1}{2}m(2v_0)^2 = 4 \times (\frac{1}{2}mv_0^2) = 4 KE_0$ થાય છે. આમ, વિધાન $(3)$ સાચું છે.
સાચા વિધાનો $(2)$ અને $(3)$ છે.
0 likes
View Solution213
Advanced
ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ પરની થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રક્રિયામાં,વાયુ દ્વારા શોષાયેલી સૂક્ષ્મ ઉષ્મા $T \Delta X$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સિસ્ટમનું તાપમાન છે અને $\Delta X$ એ સિસ્ટમના થર્મોડાયનેમિક જથ્થા $X$ માં થતો સૂક્ષ્મ ફેરફાર છે. એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,$X = \frac{3}{2} R \ln \left(\frac{T}{T_A}\right) + R \ln \left(\frac{V}{V_A}\right)$. અહીં,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$V$ એ વાયુનું કદ છે,$T_A$ અને $V_A$ અચળાંકો છે.
નીચેની $List-I$ પ્રક્રિયામાં સામેલ કેટલીક રાશિઓ આપે છે અને $List-II$ આ રાશિઓના કેટલાક સંભવિત મૂલ્યો આપે છે.
જો એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ પર કરવામાં આવતી પ્રક્રિયા $PV$-આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય,જેમાં $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ હોય,તો સાચી જોડ છે:
$(1)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow P, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
જો એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ પરની પ્રક્રિયા $TV$-આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય,જેમાં $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ હોય,તો સાચી જોડ છે:
$(1)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow T, III \rightarrow Q, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો.
આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ પરની થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રક્રિયામાં,વાયુ દ્વારા શોષાયેલી સૂક્ષ્મ ઉષ્મા $T \Delta X$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સિસ્ટમનું તાપમાન છે અને $\Delta X$ એ સિસ્ટમના થર્મોડાયનેમિક જથ્થા $X$ માં થતો સૂક્ષ્મ ફેરફાર છે. એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,$X = \frac{3}{2} R \ln \left(\frac{T}{T_A}\right) + R \ln \left(\frac{V}{V_A}\right)$. અહીં,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$V$ એ વાયુનું કદ છે,$T_A$ અને $V_A$ અચળાંકો છે.
નીચેની $List-I$ પ્રક્રિયામાં સામેલ કેટલીક રાશિઓ આપે છે અને $List-II$ આ રાશિઓના કેટલાક સંભવિત મૂલ્યો આપે છે.
| List-$I$ | List-$II$ |
| $(I)$ પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ માં સિસ્ટમ દ્વારા થયેલ કાર્ય | $(P)$ $\frac{1}{3} R T_0 \ln 2$ |
| $(II)$ પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ માં આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર | $(Q)$ $\frac{1}{3} R T_0$ |
| $(III)$ પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ માં સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા | $(R)$ $R T_0$ |
| $(IV)$ પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ માં સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા | $(S)$ $\frac{4}{3} R T_0$ |
| $(T)$ $\frac{1}{3} R T_0 (3 + \ln 2)$ | |
| $(U)$ $\frac{5}{6} R T_0$ |
જો એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ પર કરવામાં આવતી પ્રક્રિયા $PV$-આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય,જેમાં $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ હોય,તો સાચી જોડ છે:
$(1)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow P, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
જો એક મોલ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ પરની પ્રક્રિયા $TV$-આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય,જેમાં $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ હોય,તો સાચી જોડ છે:
$(1)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow T, III \rightarrow Q, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો.
Solution
(B) $PV$-આકૃતિ પ્રક્રિયા માટે:
$(I)$ થયેલ કાર્ય $W = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0 \Rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} (P_3 V_3 - P_1 V_1) = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) = \frac{3}{2} (3 P_0 V_0 - P_0 V_0) = 3 P_0 V_0 = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 = \frac{4}{3} R T_0 \Rightarrow (S)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ માટે,$\Delta Q = \Delta U + W = \frac{3}{2} (P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) + P_0 V_0 = \frac{3}{2} P_0 V_0 + P_0 V_0 = \frac{5}{2} P_0 V_0 = \frac{5}{6} R T_0 \Rightarrow (U)$.
આમ,$(1)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$ છે,જે વિકલ્પ $(3)$ છે.
$TV$-આકૃતિ પ્રક્રિયા માટે:
$(I)$ $W = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} = n R T \ln(V_2/V_1) + 0 = \frac{R T_0}{3} \ln 2 \Rightarrow (P)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{3}{2} R (T_3 - T_1) = \frac{3}{2} R (T_0 - T_0/3) = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 = \frac{1}{3} R T_0 (3 + \ln 2) \Rightarrow (T)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ (સમતાપી) માટે,$\Delta Q = W = \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 \Rightarrow (P)$.
આમ,$(2)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$ છે,જે વિકલ્પ $(4)$ છે.
$(I)$ થયેલ કાર્ય $W = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0 \Rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} (P_3 V_3 - P_1 V_1) = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) = \frac{3}{2} (3 P_0 V_0 - P_0 V_0) = 3 P_0 V_0 = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 = \frac{4}{3} R T_0 \Rightarrow (S)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ માટે,$\Delta Q = \Delta U + W = \frac{3}{2} (P_0 \cdot 2 V_0 - P_0 V_0) + P_0 V_0 = \frac{3}{2} P_0 V_0 + P_0 V_0 = \frac{5}{2} P_0 V_0 = \frac{5}{6} R T_0 \Rightarrow (U)$.
આમ,$(1)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$ છે,જે વિકલ્પ $(3)$ છે.
$TV$-આકૃતિ પ્રક્રિયા માટે:
$(I)$ $W = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} = n R T \ln(V_2/V_1) + 0 = \frac{R T_0}{3} \ln 2 \Rightarrow (P)$.
$(II)$ $\Delta U = \frac{3}{2} R (T_3 - T_1) = \frac{3}{2} R (T_0 - T_0/3) = R T_0 \Rightarrow (R)$.
$(III)$ $\Delta Q = \Delta U + W = R T_0 + \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 = \frac{1}{3} R T_0 (3 + \ln 2) \Rightarrow (T)$.
$(IV)$ $1 \rightarrow 2$ (સમતાપી) માટે,$\Delta Q = W = \frac{1}{3} R T_0 \ln 2 \Rightarrow (P)$.
આમ,$(2)$ માટે,સાચી જોડ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$ છે,જે વિકલ્પ $(4)$ છે.
0 likes
View Solution214
MediumMCQ
એક મોલ હિલિયમ વાયુને એક પાત્રમાં પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ અને કદ $V_1$ પર રાખેલ છે. તે સમતાપી રીતે $4 V_1$ કદ સુધી વિસ્તરે છે. ત્યારબાદ,વાયુ સમોષ્મી રીતે વિસ્તરે છે અને તેનું કદ $32 V_1$ થાય છે. સમતાપી અને સમોષ્મી વિસ્તરણ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય અનુક્રમે $W_{\text{iso}}$ અને $W_{\text{adia}}$ છે. જો ગુણોત્તર $\frac{W_{\text{iso}}}{W_{\text{adia}}} = f \ln 2$ હોય,તો $f$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1.78$
B
$1.80$
C
$1.85$
D
$1.90$
Solution
(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_{\text{intermediate}} (4 V_1)$,તેથી $P_{\text{intermediate}} = \frac{P_1}{4}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_{\text{intermediate}} (4 V_1)^\gamma = P_2 (32 V_1)^\gamma$,જ્યાં હિલિયમ માટે $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$\frac{P_1}{4} (4 V_1)^{5/3} = P_2 (32 V_1)^{5/3}$
$P_2 = \frac{P_1}{4} \left( \frac{4 V_1}{32 V_1} \right)^{5/3} = \frac{P_1}{4} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3} = \frac{P_1}{4} \times \frac{1}{32} = \frac{P_1}{128}$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_{\text{iso}} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = P_1 V_1 \ln \left( \frac{4 V_1}{V_1} \right) = P_1 V_1 \ln 4 = 2 P_1 V_1 \ln 2$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_{\text{adia}} = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} = \frac{\frac{P_1}{4} (4 V_1) - \frac{P_1}{128} (32 V_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{P_1 V_1 - \frac{P_1 V_1}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{4} P_1 V_1}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{8} P_1 V_1$.
ગુણોત્તર: $\frac{W_{\text{iso}}}{W_{\text{adia}}} = \frac{2 P_1 V_1 \ln 2}{\frac{9}{8} P_1 V_1} = \frac{16}{9} \ln 2 = f \ln 2$.
તેથી,$f = \frac{16}{9} \approx 1.7778 \approx 1.78$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_{\text{intermediate}} (4 V_1)^\gamma = P_2 (32 V_1)^\gamma$,જ્યાં હિલિયમ માટે $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$\frac{P_1}{4} (4 V_1)^{5/3} = P_2 (32 V_1)^{5/3}$
$P_2 = \frac{P_1}{4} \left( \frac{4 V_1}{32 V_1} \right)^{5/3} = \frac{P_1}{4} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3} = \frac{P_1}{4} \times \frac{1}{32} = \frac{P_1}{128}$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_{\text{iso}} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = P_1 V_1 \ln \left( \frac{4 V_1}{V_1} \right) = P_1 V_1 \ln 4 = 2 P_1 V_1 \ln 2$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_{\text{adia}} = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} = \frac{\frac{P_1}{4} (4 V_1) - \frac{P_1}{128} (32 V_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{P_1 V_1 - \frac{P_1 V_1}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{4} P_1 V_1}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{8} P_1 V_1$.
ગુણોત્તર: $\frac{W_{\text{iso}}}{W_{\text{adia}}} = \frac{2 P_1 V_1 \ln 2}{\frac{9}{8} P_1 V_1} = \frac{16}{9} \ln 2 = f \ln 2$.
તેથી,$f = \frac{16}{9} \approx 1.7778 \approx 1.78$.
0 likes
View Solution215
DifficultMCQ
એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુને $PV$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે ચક્રીય પ્રક્રિયાઓ $E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow E$ અને $E \rightarrow F \rightarrow H \rightarrow E$ પર લઈ જવામાં આવે છે. સામેલ પ્રક્રિયાઓ સંપૂર્ણપણે સમકદ (isochoric),સમદાબી (isobaric),સમતાપી (isothermal) અથવા એડિબેટિક છે. યાદી-$I$ માં આપેલા માર્ગોને યાદી-$II$ માં આપેલા કાર્યના મૂલ્યો સાથે જોડો અને યાદીની નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો.
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
| યાદી-$I$ | યાદી-$II$ |
| $P. \quad G \rightarrow E$ | $1. \quad 160 P_0 V_0 \ln 2$ |
| $Q. \quad G \rightarrow H$ | $2. \quad 36 P_0 V_0$ |
| $R. \quad F \rightarrow H$ | $3. \quad 24 P_0 V_0$ |
| $S. \quad F \rightarrow G$ | $4. \quad 31 P_0 V_0$ |
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
A
$4 \quad 3 \quad 2 \quad 1$
B
$4 \quad 3 \quad 1 \quad 2$
C
$3 \quad 1 \quad 2 \quad 4$
D
$1 \quad 3 \quad 2 \quad 4$
Solution
(A) માર્ગ $F \rightarrow G$ (સમતાપી) માટે: કાર્ય $W_{FG} = nRT \ln(V_f/V_i)$. આપેલ છે $P_F = 32P_0$,$V_F = V_0$,$P_G = P_0$,$V_G = 32V_0$. કારણ કે $P_F V_F = P_G V_G$,તાપમાન અચળ છે. $W_{FG} = P_F V_F \ln(V_G/V_F) = (32P_0 V_0) \ln(32V_0/V_0) = 32 P_0 V_0 \ln(2^5) = 160 P_0 V_0 \ln 2$.
માર્ગ $G \rightarrow E$ (સમદાબી) માટે: કાર્ય $W_{GE} = P_0 (V_E - V_G) = P_0 (V_0 - 32V_0) = -31 P_0 V_0$. મૂલ્ય $31 P_0 V_0$ છે.
માર્ગ $F \rightarrow H$ (એડિબેટિક) માટે: $W_{FH} = \frac{nR(T_F - T_H)}{\gamma - 1} = \frac{P_F V_F - P_H V_H}{\gamma - 1}$. મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$\gamma = 5/3$. $P_F V_F = 32 P_0 V_0$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે $P_F V_F^\gamma = P_H V_H^\gamma \Rightarrow (32P_0) V_0^{5/3} = P_0 V_H^{5/3} \Rightarrow V_H = (32)^{3/5} V_0 = 8 V_0$. $W_{FH} = \frac{32 P_0 V_0 - P_0 (8 V_0)}{5/3 - 1} = \frac{24 P_0 V_0}{2/3} = 36 P_0 V_0$.
માર્ગ $G \rightarrow H$ (સમદાબી) માટે: $W_{GH} = P_0 (V_H - V_G) = P_0 (8V_0 - 32V_0) = -24 P_0 V_0$. મૂલ્ય $24 P_0 V_0$ છે.
જોડકાં: $P-4, Q-3, R-2, S-1$.
માર્ગ $G \rightarrow E$ (સમદાબી) માટે: કાર્ય $W_{GE} = P_0 (V_E - V_G) = P_0 (V_0 - 32V_0) = -31 P_0 V_0$. મૂલ્ય $31 P_0 V_0$ છે.
માર્ગ $F \rightarrow H$ (એડિબેટિક) માટે: $W_{FH} = \frac{nR(T_F - T_H)}{\gamma - 1} = \frac{P_F V_F - P_H V_H}{\gamma - 1}$. મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$\gamma = 5/3$. $P_F V_F = 32 P_0 V_0$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે $P_F V_F^\gamma = P_H V_H^\gamma \Rightarrow (32P_0) V_0^{5/3} = P_0 V_H^{5/3} \Rightarrow V_H = (32)^{3/5} V_0 = 8 V_0$. $W_{FH} = \frac{32 P_0 V_0 - P_0 (8 V_0)}{5/3 - 1} = \frac{24 P_0 V_0}{2/3} = 36 P_0 V_0$.
માર્ગ $G \rightarrow H$ (સમદાબી) માટે: $W_{GH} = P_0 (V_H - V_G) = P_0 (8V_0 - 32V_0) = -24 P_0 V_0$. મૂલ્ય $24 P_0 V_0$ છે.
જોડકાં: $P-4, Q-3, R-2, S-1$.
0 likes
View Solution216
AdvancedMCQ
એક થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમને પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ (જેમાં આંતરિક ઉર્જા $U_i = 100 \ J$ છે) થી અંતિમ અવસ્થા $f$ સુધી બે અલગ-અલગ માર્ગો $iaf$ અને $ibf$ દ્વારા લઈ જવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. સિસ્ટમ દ્વારા $ia$,$af$,$ib$ અને $bf$ માર્ગો પર કરવામાં આવેલ કાર્ય અનુક્રમે $W_{ia} = 50 \ J$,$W_{af} = 200 \ J$,$W_{ib} = 50 \ J$ અને $W_{bf} = 100 \ J$ છે. $iaf$ અને $ibf$ માર્ગો પર સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા અનુક્રમે $Q_{iaf}$ અને $Q_{ibf}$ છે. જો અવસ્થા $b$ માં સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા $U_b = 200 \ J$ હોય અને $Q_{iaf} = 500 \ J$ હોય,તો ગુણોત્તર $Q_{ibf} / Q_{iaf}$ શોધો:
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$,અથવા $Q = \Delta U + W$.
$iaf$ માર્ગ માટે:
$W_{iaf} = W_{ia} + W_{af} = 50 \ J + 200 \ J = 250 \ J$.
આપેલ છે કે $Q_{iaf} = 500 \ J$,તેથી $\Delta U_{if} = Q_{iaf} - W_{iaf} = 500 \ J - 250 \ J = 300 \ J$.
$U_i = 100 \ J$ હોવાથી,અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = U_i + \Delta U_{if} = 100 \ J + 300 \ J = 400 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે:
$W_{ibf} = W_{ib} + W_{bf} = 50 \ J + 100 \ J = 150 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{if} = U_f - U_i = 400 \ J - 100 \ J = 300 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$Q_{ibf} = \Delta U_{if} + W_{ibf} = 300 \ J + 150 \ J = 450 \ J$.
પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો $Q_{bf} / Q_{ib}$ નો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો હોય,તો તે $(U_f - U_b + W_{bf}) / (U_b - U_i + W_{ib}) = (400 - 200 + 100) / (200 - 100 + 50) = 300 / 150 = 2$ થાય.
$iaf$ માર્ગ માટે:
$W_{iaf} = W_{ia} + W_{af} = 50 \ J + 200 \ J = 250 \ J$.
આપેલ છે કે $Q_{iaf} = 500 \ J$,તેથી $\Delta U_{if} = Q_{iaf} - W_{iaf} = 500 \ J - 250 \ J = 300 \ J$.
$U_i = 100 \ J$ હોવાથી,અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = U_i + \Delta U_{if} = 100 \ J + 300 \ J = 400 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે:
$W_{ibf} = W_{ib} + W_{bf} = 50 \ J + 100 \ J = 150 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{if} = U_f - U_i = 400 \ J - 100 \ J = 300 \ J$.
$ibf$ માર્ગ માટે પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$Q_{ibf} = \Delta U_{if} + W_{ibf} = 300 \ J + 150 \ J = 450 \ J$.
પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો $Q_{bf} / Q_{ib}$ નો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો હોય,તો તે $(U_f - U_b + W_{bf}) / (U_b - U_i + W_{ib}) = (400 - 200 + 100) / (200 - 100 + 50) = 300 / 150 = 2$ થાય.
0 likes
View Solution217
AdvancedMCQ
આકૃતિમાં એક પાત્ર દર્શાવેલ છે જેની ઉપર એક ગતિશીલ (ઘર્ષણરહિત) પિસ્ટન છે. પાત્ર અને પિસ્ટન સંપૂર્ણપણે અવાહક પદાર્થમાંથી બનેલા છે,જે બહાર અને અંદરની વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું વહન થવા દેતા નથી. પાત્રને ઉષ્માના વહન માટે સક્ષમ એવા પદાર્થથી બનેલા સખત વિભાજક દ્વારા બે ભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. નીચેના ભાગમાં $700 \ K$ તાપમાને $2$ મોલ આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ છે અને ઉપરના ભાગમાં $400 \ K$ તાપમાને $2$ મોલ આદર્શ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ છે. મોલર ઉષ્મા ધારિતાઓ: એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_v = \frac{3}{2} R, C_p = \frac{5}{2} R$; દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_v = \frac{5}{2} R, C_p = \frac{7}{2} R$.
$1.$ ધારો કે વિભાજક સ્થિર છે જેથી તે હલતું નથી. જ્યારે સંતુલન પ્રાપ્ત થાય,ત્યારે વાયુઓનું અંતિમ તાપમાન કેટલું હશે?
$(A) 550 \ K$ $(B) 525 \ K$ $(C) 513 \ K$ $(D) 490 \ K$
$2.$ હવે ધારો કે વિભાજક ઘર્ષણ વિના મુક્ત રીતે હલનચલન કરી શકે છે જેથી બંને ભાગોમાં વાયુઓનું દબાણ સમાન રહે. તો સંતુલન પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી વાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય કેટલું હશે?
$(A) 250 \ R$ $(B) 200 \ R$ $(C) 100 \ R$ $(D) -100 \ R$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.
$1.$ ધારો કે વિભાજક સ્થિર છે જેથી તે હલતું નથી. જ્યારે સંતુલન પ્રાપ્ત થાય,ત્યારે વાયુઓનું અંતિમ તાપમાન કેટલું હશે?
$(A) 550 \ K$ $(B) 525 \ K$ $(C) 513 \ K$ $(D) 490 \ K$
$2.$ હવે ધારો કે વિભાજક ઘર્ષણ વિના મુક્ત રીતે હલનચલન કરી શકે છે જેથી બંને ભાગોમાં વાયુઓનું દબાણ સમાન રહે. તો સંતુલન પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી વાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય કેટલું હશે?
$(A) 250 \ R$ $(B) 200 \ R$ $(C) 100 \ R$ $(D) -100 \ R$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.
A
$(D, D)$
B
$(A, C)$
C
$(B, D)$
D
$(B, C)$
Solution
(D) ભાગ $1$: વિભાજક સ્થિર હોવાથી,દરેક વાયુનું કદ અચળ રહે છે. એકપરમાણ્વિક વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$n_1 C_{v1} (T_1 - T) = n_2 C_{v2} (T - T_2)$
$2 \times \frac{3}{2} R (700 - T) = 2 \times \frac{5}{2} R (T - 400)$
$3(700 - T) = 5(T - 400)$
$2100 - 3T = 5T - 2000$
$8T = 4100 \Rightarrow T = 512.5 \ K \approx 513 \ K$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
ભાગ $2$: જ્યારે વિભાજક મુક્ત હોય,ત્યારે અંતિમ દબાણ $P$ બંને ભાગોમાં સમાન હોય છે. તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે પાત્ર અવાહક છે.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = 4100R$.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = 8R T_f$.
વાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \Delta U = U_i - U_f$. ગણતરી મુજબ $W = 100 R$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$n_1 C_{v1} (T_1 - T) = n_2 C_{v2} (T - T_2)$
$2 \times \frac{3}{2} R (700 - T) = 2 \times \frac{5}{2} R (T - 400)$
$3(700 - T) = 5(T - 400)$
$2100 - 3T = 5T - 2000$
$8T = 4100 \Rightarrow T = 512.5 \ K \approx 513 \ K$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
ભાગ $2$: જ્યારે વિભાજક મુક્ત હોય,ત્યારે અંતિમ દબાણ $P$ બંને ભાગોમાં સમાન હોય છે. તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે પાત્ર અવાહક છે.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = 4100R$.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = 8R T_f$.
વાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \Delta U = U_i - U_f$. ગણતરી મુજબ $W = 100 R$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
0 likes
View Solution218
MediumMCQ
એક આદર્શ મોનોએટોમિક વાયુને સ્પ્રિંગ-લોડેડ પિસ્ટન દ્વારા આડા સિલિન્ડરમાં રાખવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). શરૂઆતમાં વાયુ તાપમાન $T_1$,દબાણ $P_1$ અને કદ $V_1$ પર છે અને સ્પ્રિંગ તેની મુક્ત સ્થિતિમાં છે. ત્યારબાદ વાયુને ખૂબ જ ધીમેથી તાપમાન $T_2$,દબાણ $P_2$ અને કદ $V_2$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન પિસ્ટન $x$ જેટલા અંતરે બહારની તરફ ખસે છે. પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના ઘર્ષણને અવગણતા,સાચું વિધાન(નો) કયું(કયા) છે:
$(A)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{1}{4}P_1V_1$ છે.
$(B)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $3P_1V_1$ છે.
$(C)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\frac{7}{3}P_1V_1$ છે.
$(D)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\frac{41}{6}P_1V_1$ છે.
$(A)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{1}{4}P_1V_1$ છે.
$(B)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $3P_1V_1$ છે.
$(C)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\frac{7}{3}P_1V_1$ છે.
$(D)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\frac{41}{6}P_1V_1$ છે.
A
$(A), (B)$
B
$(A), (B), (D)$
C
$(B), (C), (D)$
D
$(A), (B), (C)$
Solution
(D) વાયુનું દબાણ $P = P_1 + \frac{kx}{A}$ છે. $V = V_1 + Ax$ હોવાથી,$x = \frac{V-V_1}{A}$ મળે. તેથી,$P = P_1 + \frac{k(V-V_1)}{A^2}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$.
$P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$ હોવાથી,$\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$.
કિસ્સો $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$. $PV=nRT$ પરથી,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$.
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$. ($A$ સાચું છે)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$. ($B$ સાચું છે)
કિસ્સો $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$. $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$.
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$. ($C$ સાચું છે)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$. ($D$ સાચું છે)
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$.
$P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$ હોવાથી,$\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$.
કિસ્સો $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$. $PV=nRT$ પરથી,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$.
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$. ($A$ સાચું છે)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$. ($B$ સાચું છે)
કિસ્સો $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$. $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$.
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$. ($C$ સાચું છે)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$. ($D$ સાચું છે)
0 likes
View Solution219
AdvancedMCQ
$List-I$ ચાર અલગ-અલગ સિસ્ટમોમાં થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે. $List-II$ પ્રક્રિયાને કારણે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતા સંભવિત ફેરફારોનું મૂલ્ય (ચોક્કસ અથવા નજીકના અંદાજ તરીકે) આપે છે.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ $100^{\circ} C$ તાપમાને $10^{-3} \, kg$ પાણીને તે જ તાપમાને $10^5 \, Pa$ ના દબાણે વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમનું કદ $10^{-6} \, m^3$ થી $10^{-3} \, m^3$ માં બદલાય છે. પાણીની ગુપ્ત ઉષ્મા $= 2250 \, kJ/kg$. | $(P)$ $2 \, kJ$ |
| $(II)$ $500 \, K$ તાપમાને $V$ કદ ધરાવતા $0.2 \, mol$ દ્વિ-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુનું સમદાબી વિસ્તરણ $3V$ કદ સુધી થાય છે. $R = 8.0 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ લો. | $(Q)$ $7 \, kJ$ |
| $(III)$ એક મોલ એક-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુને $V = 1/3 \, m^3$ કદ અને $2 \, kPa$ દબાણથી $V/8$ કદ સુધી એડિબેટિકલી સંકોચવામાં આવે છે. | $(R)$ $4 \, kJ$ |
| $(IV)$ ત્રણ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ, જેના અણુઓ કંપન કરી શકે છે, તેને $9 \, kJ$ ઉષ્મા આપવામાં આવે છે અને તેનું સમદાબી વિસ્તરણ થાય છે. | $(S)$ $5 \, kJ$ |
| $(T)$ $3 \, kJ$ |
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
A
$I \rightarrow T, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow Q$
B
$I \rightarrow S, II \rightarrow P, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$
C
$I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow Q$
D
$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow T$
Solution
(C) $(I)$ $\Delta Q = mL = 10^{-3} \times 2250 \times 10^3 \, J = 2250 \, J = 2.25 \, kJ$. કાર્ય $\Delta W = P\Delta V = 10^5 \times (10^{-3} - 10^{-6}) \approx 10^5 \times 10^{-3} = 100 \, J = 0.1 \, kJ$. $\Delta U = \Delta Q - \Delta W = 2.25 - 0.1 = 2.15 \, kJ \approx 2 \, kJ$ $(P)$.
$(II)$ સમદાબી વિસ્તરણ માટે, $\Delta U = nC_v\Delta T$. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $C_v = \frac{5}{2}R$. $V \propto T$ હોવાથી, $T_2 = 3T_1 = 1500 \, K$. $\Delta U = 0.2 \times \frac{5}{2} \times 8 \times (1500 - 500) = 0.2 \times 20 \times 1000 = 4000 \, J = 4 \, kJ$ $(R)$.
$(III)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{constant}$. એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 5/3$. $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{\gamma} = 2 \times (8)^{5/3} = 2 \times 32 = 64 \, kPa$. $\Delta U = nC_v\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(64 \times \frac{1}{24} - 2 \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3} - \frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \, kJ$ $(T)$.
$(IV)$ કંપન કરી શકતા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $C_p = \frac{9}{2}R$ અને $C_v = \frac{7}{2}R$. $\Delta Q = nC_p\Delta T = 9 \, kJ$. $\Delta U = nC_v\Delta T = \frac{C_v}{C_p} \Delta Q = \frac{7/2}{9/2} \times 9 = 7 \, kJ$ $(Q)$.
$(II)$ સમદાબી વિસ્તરણ માટે, $\Delta U = nC_v\Delta T$. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $C_v = \frac{5}{2}R$. $V \propto T$ હોવાથી, $T_2 = 3T_1 = 1500 \, K$. $\Delta U = 0.2 \times \frac{5}{2} \times 8 \times (1500 - 500) = 0.2 \times 20 \times 1000 = 4000 \, J = 4 \, kJ$ $(R)$.
$(III)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{constant}$. એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 5/3$. $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{\gamma} = 2 \times (8)^{5/3} = 2 \times 32 = 64 \, kPa$. $\Delta U = nC_v\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(64 \times \frac{1}{24} - 2 \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3} - \frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \, kJ$ $(T)$.
$(IV)$ કંપન કરી શકતા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $C_p = \frac{9}{2}R$ અને $C_v = \frac{7}{2}R$. $\Delta Q = nC_p\Delta T = 9 \, kJ$. $\Delta U = nC_v\Delta T = \frac{C_v}{C_p} \Delta Q = \frac{7/2}{9/2} \times 9 = 7 \, kJ$ $(Q)$.
0 likes
View Solution220
Medium
આપેલ $P-V$ આકૃતિમાં,એક મોનોએટોમિક વાયુ $\left(\gamma = \frac{5}{3}\right)$ ને પ્રથમ અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $B$ સુધી એડિબેટિકલી સંકુચિત કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તે અવસ્થા $B$ થી અવસ્થા $C$ સુધી આઇસોથર્મલી વિસ્તરે છે. [આપેલ છે: $\left(\frac{1}{3}\right)^{0.6} \simeq 0.5, \ln 2 \simeq 0.7$].
નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C$ માં થયેલ કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $144 \text{ kJ}$ છે.
$(B)$ પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $84 \text{ kJ}$ છે.
$(C)$ પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $60 \text{ kJ}$ છે.
$(D)$ પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય છે.
નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C$ માં થયેલ કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $144 \text{ kJ}$ છે.
$(B)$ પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $84 \text{ kJ}$ છે.
$(C)$ પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $60 \text{ kJ}$ છે.
$(D)$ પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય છે.
Solution
(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા $(A \rightarrow B)$ માટે:
$P_A V_A^\gamma = P_B V_B^\gamma$
$100 \times (0.8)^{5/3} = 300 \times (V_B)^{5/3}$
$(V_B)^{5/3} = \frac{1}{3} \times (0.8)^{5/3}$
$V_B = 0.8 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3/5} = 0.8 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{0.6} \simeq 0.8 \times 0.5 = 0.4 \text{ m}^3$.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માં થયેલ કાર્ય:
$W_{AB} = \frac{P_A V_A - P_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{100 \times 10^3 \times 0.8 - 300 \times 10^3 \times 0.4}{5/3 - 1}$
$W_{AB} = \frac{80000 - 120000}{2/3} = -40000 \times \frac{3}{2} = -60000 \text{ J} = -60 \text{ kJ}$.
મૂલ્ય $|W_{AB}| = 60 \text{ kJ}$. (વિધાન $C$ સાચું છે).
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માં થયેલ કાર્ય (આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા):
$W_{BC} = nRT \ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right) = P_B V_B \ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)$
કારણ કે $V_C = V_A = 0.8 \text{ m}^3$:
$W_{BC} = (300 \times 10^3) \times 0.4 \times \ln\left(\frac{0.8}{0.4}\right) = 120000 \times \ln(2) \simeq 120000 \times 0.7 = 84000 \text{ J} = 84 \text{ kJ}$. (વિધાન $B$ સાચું છે).
પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માં થયેલ કાર્ય (આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા):
કારણ કે $\Delta V = 0$,તેથી $W_{CA} = 0$. (વિધાન $D$ સાચું છે).
કુલ કાર્ય $W_{ABC} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = -60 + 84 + 0 = 24 \text{ kJ}$.
આમ,વિધાનો $(B, C, D)$ સાચા છે.
$P_A V_A^\gamma = P_B V_B^\gamma$
$100 \times (0.8)^{5/3} = 300 \times (V_B)^{5/3}$
$(V_B)^{5/3} = \frac{1}{3} \times (0.8)^{5/3}$
$V_B = 0.8 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3/5} = 0.8 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{0.6} \simeq 0.8 \times 0.5 = 0.4 \text{ m}^3$.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માં થયેલ કાર્ય:
$W_{AB} = \frac{P_A V_A - P_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{100 \times 10^3 \times 0.8 - 300 \times 10^3 \times 0.4}{5/3 - 1}$
$W_{AB} = \frac{80000 - 120000}{2/3} = -40000 \times \frac{3}{2} = -60000 \text{ J} = -60 \text{ kJ}$.
મૂલ્ય $|W_{AB}| = 60 \text{ kJ}$. (વિધાન $C$ સાચું છે).
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માં થયેલ કાર્ય (આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા):
$W_{BC} = nRT \ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right) = P_B V_B \ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)$
કારણ કે $V_C = V_A = 0.8 \text{ m}^3$:
$W_{BC} = (300 \times 10^3) \times 0.4 \times \ln\left(\frac{0.8}{0.4}\right) = 120000 \times \ln(2) \simeq 120000 \times 0.7 = 84000 \text{ J} = 84 \text{ kJ}$. (વિધાન $B$ સાચું છે).
પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માં થયેલ કાર્ય (આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા):
કારણ કે $\Delta V = 0$,તેથી $W_{CA} = 0$. (વિધાન $D$ સાચું છે).
કુલ કાર્ય $W_{ABC} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = -60 + 84 + 0 = 24 \text{ kJ}$.
આમ,વિધાનો $(B, C, D)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution221
AdvancedMCQ
$P-T$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ ચક્રીય પ્રક્રિયા $J \rightarrow K \rightarrow L \rightarrow M \rightarrow J$ માંથી પસાર થાય છે. $List-I$ માં દર્શાવેલ જથ્થાઓને $List-II$ માં તેમના મૂલ્યો સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો. [$R$ એ વાયુ અચળાંક છે]
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(P)$ સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય | $(1)$ $R T_0 - 4 R T_0 \ln 2$ |
| $(Q)$ પ્રક્રિયા $JK$ માં વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર | $(2)$ $0$ |
| $(R)$ પ્રક્રિયા $KL$ માં વાયુને આપેલી ઉષ્મા | $(3)$ $3 R T_0$ |
| $(S)$ પ્રક્રિયા $MJ$ માં વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર | $(4)$ $-2 R T_0 \ln 2$ |
| $(5)$ $-3 R T_0 \ln 2$ |
A
$P \rightarrow 1 ; Q \rightarrow 3 ; R \rightarrow 5 ; S \rightarrow 4$
B
$P \rightarrow 4 ; Q \rightarrow 3 ; R \rightarrow 5 ; S \rightarrow 2$
C
$P \rightarrow 4 ; Q \rightarrow 1 ; R \rightarrow 2 ; S \rightarrow 2$
D
$P \rightarrow 2 ; Q \rightarrow 5 ; R \rightarrow 3 ; S \rightarrow 4$
Solution
(B) $P-T$ આકૃતિ પરથી:
$J: (P_0, T_0) \Rightarrow V_J = \frac{RT_0}{P_0}$
$K: (P_0, 3T_0) \Rightarrow V_K = \frac{3RT_0}{P_0} = 3V_J$
$L: (2P_0, 3T_0) \Rightarrow V_L = \frac{3RT_0}{2P_0} = 1.5V_J$
$M: (2P_0, T_0) \Rightarrow V_M = \frac{RT_0}{2P_0} = 0.5V_J$
$(P)$ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય: $W_{net} = \oint P dV$. દરેક પથ માટે ગણતરી કરતા: $W_{JK} = P_0(3V_J - V_J) = 2RT_0$; $W_{KL} = nRT_0 \ln(V_L/V_K) = 3RT_0 \ln(0.5) = -3RT_0 \ln 2$; $W_{LM} = 2P_0(0.5V_J - 1.5V_J) = -2RT_0$; $W_{MJ} = nRT_0 \ln(V_J/V_M) = RT_0 \ln 2$. સરવાળો કરતા: $W_{net} = 2RT_0 - 3RT_0 \ln 2 - 2RT_0 + RT_0 \ln 2 = -2RT_0 \ln 2$. તેથી,$P \rightarrow 4$.
$(Q)$ $\Delta U_{JK} = n C_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3}{2} R (3T_0 - T_0) = 3RT_0$. તેથી,$Q \rightarrow 3$.
$(R)$ પ્રક્રિયા $KL$ સમતાપી છે $(T=3T_0)$. $\Delta U = 0$,તેથી $Q_{KL} = W_{KL} = nRT \ln(V_L/V_K) = 3RT_0 \ln(1.5/3) = -3RT_0 \ln 2$. તેથી,$R \rightarrow 5$.
$(S)$ પ્રક્રિયા $MJ$ સમતાપી છે $(T=T_0)$. $\Delta U = 0$. તેથી,$S \rightarrow 2$.
સાચો વિકલ્પ $B$ $(P \rightarrow 4, Q \rightarrow 3, R \rightarrow 5, S \rightarrow 2)$ છે.
$J: (P_0, T_0) \Rightarrow V_J = \frac{RT_0}{P_0}$
$K: (P_0, 3T_0) \Rightarrow V_K = \frac{3RT_0}{P_0} = 3V_J$
$L: (2P_0, 3T_0) \Rightarrow V_L = \frac{3RT_0}{2P_0} = 1.5V_J$
$M: (2P_0, T_0) \Rightarrow V_M = \frac{RT_0}{2P_0} = 0.5V_J$
$(P)$ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય: $W_{net} = \oint P dV$. દરેક પથ માટે ગણતરી કરતા: $W_{JK} = P_0(3V_J - V_J) = 2RT_0$; $W_{KL} = nRT_0 \ln(V_L/V_K) = 3RT_0 \ln(0.5) = -3RT_0 \ln 2$; $W_{LM} = 2P_0(0.5V_J - 1.5V_J) = -2RT_0$; $W_{MJ} = nRT_0 \ln(V_J/V_M) = RT_0 \ln 2$. સરવાળો કરતા: $W_{net} = 2RT_0 - 3RT_0 \ln 2 - 2RT_0 + RT_0 \ln 2 = -2RT_0 \ln 2$. તેથી,$P \rightarrow 4$.
$(Q)$ $\Delta U_{JK} = n C_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3}{2} R (3T_0 - T_0) = 3RT_0$. તેથી,$Q \rightarrow 3$.
$(R)$ પ્રક્રિયા $KL$ સમતાપી છે $(T=3T_0)$. $\Delta U = 0$,તેથી $Q_{KL} = W_{KL} = nRT \ln(V_L/V_K) = 3RT_0 \ln(1.5/3) = -3RT_0 \ln 2$. તેથી,$R \rightarrow 5$.
$(S)$ પ્રક્રિયા $MJ$ સમતાપી છે $(T=T_0)$. $\Delta U = 0$. તેથી,$S \rightarrow 2$.
સાચો વિકલ્પ $B$ $(P \rightarrow 4, Q \rightarrow 3, R \rightarrow 5, S \rightarrow 2)$ છે.
0 likes
View Solution222
AdvancedMCQ
$5$ મોલ આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુના વિસ્તરણ માટે નીચે આપેલ કદ-તાપમાન $(V-T)$ આલેખ ધ્યાનમાં લો. માત્ર $P-V$ કાર્ય સામેલ છે તેમ માનીને,$X \rightarrow Y \rightarrow Z$ ક્રમમાં અવસ્થાના રૂપાંતરણ માટે એન્થાલ્પીમાં કુલ ફેરફાર (જૂલમાં) કેટલો થશે? $\qquad$ [આપેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરો: આપેલ તાપમાન શ્રેણી માટે વાયુની મોલર ઉષ્મા ધારિતા,$C_{v,m} = 12 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ અને વાયુ અચળાંક,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$]
A
$8020$
B
$8030$
C
$8220$
D
$8120$
Solution
(D) આદર્શ વાયુ માટે,એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર $(\Delta H)$ માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન પર આધાર રાખે છે,કારણ કે એન્થાલ્પી એ અવસ્થા વિધેય છે.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા,$n = 5 \ mol$
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_1 = 335 \ K$
અંતિમ તાપમાન,$T_2 = 415 \ K$
અચળ કદે મોલર ઉષ્મા ધારિતા,$C_{v,m} = 12 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
વાયુ અચળાંક,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
પગલું $1$: અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_{p,m})$ ની ગણતરી કરો.
$C_{p,m} = C_{v,m} + R = 12 + 8.3 = 20.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
પગલું $2$: એન્થાલ્પીમાં કુલ ફેરફાર $(\Delta H)$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta H = n \times C_{p,m} \times (T_2 - T_1)$
$\Delta H = 5 \times 20.3 \times (415 - 335)$
$\Delta H = 5 \times 20.3 \times 80$
$\Delta H = 8120 \ J$
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા,$n = 5 \ mol$
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_1 = 335 \ K$
અંતિમ તાપમાન,$T_2 = 415 \ K$
અચળ કદે મોલર ઉષ્મા ધારિતા,$C_{v,m} = 12 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
વાયુ અચળાંક,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
પગલું $1$: અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $(C_{p,m})$ ની ગણતરી કરો.
$C_{p,m} = C_{v,m} + R = 12 + 8.3 = 20.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
પગલું $2$: એન્થાલ્પીમાં કુલ ફેરફાર $(\Delta H)$ ની ગણતરી કરો.
$\Delta H = n \times C_{p,m} \times (T_2 - T_1)$
$\Delta H = 5 \times 20.3 \times (415 - 335)$
$\Delta H = 5 \times 20.3 \times 80$
$\Delta H = 8120 \ J$
0 likes
View Solution223
MediumMCQ
યાદી-$I$ ને યાદી-$II$ સાથે જોડો:
| યાદી-$I$ | યાદી-$II$ |
|---|---|
| $A$. આદર્શ વાયુનું દબાણ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે. | $I$. એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા |
| $B$. શોષાયેલી ઉષ્માનો કેટલોક ભાગ આંતરિક ઉર્જા વધારવા અને કેટલોક ભાગ કાર્ય કરવા માટે વપરાય છે. | $II$. સમકદ પ્રક્રિયા |
| $C$. તંત્ર દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ કે ઉત્સર્જન થતું નથી. | $III$. સમતાપી પ્રક્રિયા |
| $D$. વાયુ પર કે વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી. | $IV$. સમદાબ પ્રક્રિયા |
A
$A-I, B-IV, C-II, D-III$
B
$A-III, B-I, C-IV, D-II$
C
$A-I, B-III, C-II, D-IV$
D
$A-III, B-IV, C-I, D-II$
Solution
(D) . આદર્શ વાયુ માટે,જો દબાણ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય $(P \propto 1/V)$,તો $PV = \text{અચળ}$. આ સમતાપી પ્રક્રિયા $(III)$ ને અનુરૂપ છે.
$B$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. સમદાબ પ્રક્રિયા $(IV)$ માં,શોષાયેલી ઉષ્મા આંતરિક ઉર્જા વધારવા અને કાર્ય કરવા બંને માટે વપરાય છે.
$C$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $(I)$ માં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
$D$. સમકદ પ્રક્રિયા $(II)$ માં,કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = 0$.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.
$B$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. સમદાબ પ્રક્રિયા $(IV)$ માં,શોષાયેલી ઉષ્મા આંતરિક ઉર્જા વધારવા અને કાર્ય કરવા બંને માટે વપરાય છે.
$C$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $(I)$ માં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
$D$. સમકદ પ્રક્રિયા $(II)$ માં,કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = 0$.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.
0 likes
View Solution224
MediumMCQ
નીચે બે વિધાનો આપેલા છે. એકને વિધાન $(A)$ અને બીજાને કારણ $(R)$ તરીકે લેબલ કરવામાં આવ્યું છે.
વિધાન $(A) :$ આદર્શ વાયુના દબાણમાં વધારો થતાં,સમતાપી પ્રક્રિયામાં કદ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયાની તુલનામાં વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
કારણ $(R) :$ સમતાપી પ્રક્રિયામાં,$PV =$ અચળ,જ્યારે સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં $PV^\gamma =$ અચળ છે. અહીં $\gamma$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે,$P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ આદર્શ વાયુનું કદ છે. ઉપરના વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો $:$
વિધાન $(A) :$ આદર્શ વાયુના દબાણમાં વધારો થતાં,સમતાપી પ્રક્રિયામાં કદ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયાની તુલનામાં વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
કારણ $(R) :$ સમતાપી પ્રક્રિયામાં,$PV =$ અચળ,જ્યારે સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં $PV^\gamma =$ અચળ છે. અહીં $\gamma$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે,$P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ આદર્શ વાયુનું કદ છે. ઉપરના વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો $:$
A
વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે પરંતુ કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
B
વિધાન $(A)$ સાચું છે પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.
C
વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.
D
વિધાન $(A)$ ખોટું છે પરંતુ કારણ $(R)$ સાચું છે.
Solution
(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$PV = K$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે,તેથી $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{P}{V}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$PV^\gamma = K$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dP}{dV} V^\gamma + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે,તેથી $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{P}{V}$.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,સમોષ્મી વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $|\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}}| > |\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}}|$.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણમાં આપેલ વધારા માટે,સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં કદ સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે,અને કારણ $(R)$ સાચું છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$PV^\gamma = K$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dP}{dV} V^\gamma + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે,તેથી $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{P}{V}$.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,સમોષ્મી વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $|\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}}| > |\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}}|$.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણમાં આપેલ વધારા માટે,સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં કદ સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે,અને કારણ $(R)$ સાચું છે.
0 likes
View Solution225
DifficultMCQ
એક આદર્શ વાયુ $P_0$ દબાણ અને $V_0$ કદ ધરાવતી સ્થિતિમાં છે. તેનું સમતાપી રીતે તેના પ્રારંભિક કદ $(V_0)$ ના $4$ ગણા સુધી વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ સમદાબી રીતે તેના મૂળ કદ સુધી સંકોચન કરવામાં આવે છે. અંતે, તંત્રને તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં લાવવા માટે સમકદ રીતે ગરમ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં વિનિમય પામેલી ઉષ્માનો જથ્થો કેટલો છે?
A
$P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$
B
$P_0 V_0(\ln 2 - 0.75)$
C
$P_0 V_0(\ln 2 - 0.25)$
D
$P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.25)$
Solution
(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે. તેથી, વિનિમય પામેલી કુલ ઉષ્મા $Q_T$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે, એટલે કે $Q_T = W$.
$1$. $(P_0, V_0)$ થી $(P_0/4, 4V_0)$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ:
થયેલ કાર્ય $W_1 = nRT \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4 = 2 P_0 V_0 \ln 2$.
$2$. $(P_0/4, 4V_0)$ થી $(P_0/4, V_0)$ સુધી સમદાબી સંકોચન:
થયેલ કાર્ય $W_2 = P \Delta V = (P_0/4)(V_0 - 4V_0) = (P_0/4)(-3V_0) = -0.75 P_0 V_0$.
$3$. $(P_0/4, V_0)$ થી $(P_0, V_0)$ સુધી સમકદ ગરમ કરવું:
કદ અચળ હોવાથી થયેલ કાર્ય $W_3 = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 + W_3 = 2 P_0 V_0 \ln 2 - 0.75 P_0 V_0 = P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$.
$Q_T = W$ હોવાથી, વિનિમય પામેલી કુલ ઉષ્મા $P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$ છે.
$1$. $(P_0, V_0)$ થી $(P_0/4, 4V_0)$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ:
થયેલ કાર્ય $W_1 = nRT \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4 = 2 P_0 V_0 \ln 2$.
$2$. $(P_0/4, 4V_0)$ થી $(P_0/4, V_0)$ સુધી સમદાબી સંકોચન:
થયેલ કાર્ય $W_2 = P \Delta V = (P_0/4)(V_0 - 4V_0) = (P_0/4)(-3V_0) = -0.75 P_0 V_0$.
$3$. $(P_0/4, V_0)$ થી $(P_0, V_0)$ સુધી સમકદ ગરમ કરવું:
કદ અચળ હોવાથી થયેલ કાર્ય $W_3 = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 + W_3 = 2 P_0 V_0 \ln 2 - 0.75 P_0 V_0 = P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$.
$Q_T = W$ હોવાથી, વિનિમય પામેલી કુલ ઉષ્મા $P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$ છે.
0 likes
View Solution226
MediumMCQ
યાદી-$I$ ને યાદી-$II$ સાથે જોડો.
$\Delta Q = \text{આપેલી ઉષ્મા}$,$\Delta W = \text{તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય}$,$\Delta U = \text{આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર}$,$P = \text{તંત્રનું દબાણ}$,$\Delta V = \text{તંત્રના કદમાં ફેરફાર}$. નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
| $A$. સમદાબી (Isobaric) | $I$. $\Delta Q = \Delta W$ |
| $B$. સમકદ (Isochoric) | $II$. $\Delta Q = \Delta U$ |
| $C$. એડિબેટિક (Adiabatic) | $III$. $\Delta Q = 0$ |
| $D$. સમતાપી (Isothermal) | $IV$. $\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$ |
$\Delta Q = \text{આપેલી ઉષ્મા}$,$\Delta W = \text{તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય}$,$\Delta U = \text{આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર}$,$P = \text{તંત્રનું દબાણ}$,$\Delta V = \text{તંત્રના કદમાં ફેરફાર}$. નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
$(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(II), (D)-(I)$
B
$(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$
C
$(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$
D
$(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(III), (D)-(I)$
Solution
(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે,જ્યાં $\Delta W = P \Delta V$.
$(A)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ $(P = C)$ રહે છે. કાર્ય $P \Delta V$ છે. તેથી,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$. જે $(IV)$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ સમકદ પ્રક્રિયા: કદ અચળ $(V = C)$ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$ અને $\Delta W = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta U$. જે $(II)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: ઉષ્માનો કોઈ વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$. જે $(III)$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta W$. જે $(I)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$ છે.
$(A)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ $(P = C)$ રહે છે. કાર્ય $P \Delta V$ છે. તેથી,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$. જે $(IV)$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ સમકદ પ્રક્રિયા: કદ અચળ $(V = C)$ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$ અને $\Delta W = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta U$. જે $(II)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: ઉષ્માનો કોઈ વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$. જે $(III)$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta W$. જે $(I)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$ છે.
0 likes
View Solution227
MediumMCQ
List-$I$ ને List-$II$ સાથે જોડો.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
| List-$I$ | List-$II$ |
| $(A)$ સમતાપી (Isothermal) | $(I)$ $\Delta W = 0$ |
| $(B)$ સમોષ્મી (Adiabatic) | $(II)$ $\Delta Q = 0$ |
| $(C)$ સમદાબી (Isobaric) | $(III)$ $\Delta U \neq 0$ |
| $(D)$ સમકદ (Isochoric) | $(IV)$ $\Delta U = 0$ |
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
$(A)-(III), (B)-(II), (C)-(I), (D)-(IV)$
B
$(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$
C
$(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$
D
$(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$
Solution
(C) સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. તેથી,$(A)-(IV)$.
$(B)$ સમોષ્મી પ્રક્રિયા: આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે. તેથી,$(B)-(II)$.
$(C)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ રહે છે. તાપમાન બદલાતા આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે,તેથી $\Delta U \neq 0$ થાય છે. તેથી,$(C)-(III)$.
$(D)$ સમકદ પ્રક્રિયા: કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = 0$ થાય છે. તેથી,$(D)-(I)$.
$(B)$ સમોષ્મી પ્રક્રિયા: આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે. તેથી,$(B)-(II)$.
$(C)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ રહે છે. તાપમાન બદલાતા આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે,તેથી $\Delta U \neq 0$ થાય છે. તેથી,$(C)-(III)$.
$(D)$ સમકદ પ્રક્રિયા: કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = 0$ થાય છે. તેથી,$(D)-(I)$.
0 likes
View Solution228
DifficultMCQ
બે વાયુઓ $A$ અને $B$ ને સમાન દબાણે અલગ-અલગ નળાકારોમાં ભરવામાં આવ્યા છે,જેમાં અનુક્રમે $r_A$ અને $r_B$ ત્રિજ્યાના ફરતા પિસ્ટન છે. અચળ દબાણે બંને સિસ્ટમોને સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મા આપતા,વાયુ $A$ અને $B$ ના પિસ્ટન અનુક્રમે $16 \ cm$ અને $9 \ cm$ જેટલા સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો તેમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B}$ કેટલો થાય?
A
$\frac{4}{3}$
B
$\frac{3}{4}$
C
$\frac{2}{\sqrt{3}}$
D
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Solution
(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
કારણ કે આપેલી ઉષ્મા $Q$ સમાન છે અને બંને વાયુઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ સમાન છે,તેથી કરેલું કાર્ય $W$ પણ સમાન હોવું જોઈએ.
$W_A = W_B$
અચળ દબાણ $P$ માટે,કરેલું કાર્ય $W = P \Delta V = P (A \Delta x)$ છે,જ્યાં $A$ એ પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$P (\pi r_A^2) \Delta x_A = P (\pi r_B^2) \Delta x_B$
આપેલ છે કે $\Delta x_A = 16 \ cm$ અને $\Delta x_B = 9 \ cm$.
$r_A^2 (16) = r_B^2 (9)$
$\frac{r_A^2}{r_B^2} = \frac{9}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{r_A}{r_B} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
કારણ કે આપેલી ઉષ્મા $Q$ સમાન છે અને બંને વાયુઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ સમાન છે,તેથી કરેલું કાર્ય $W$ પણ સમાન હોવું જોઈએ.
$W_A = W_B$
અચળ દબાણ $P$ માટે,કરેલું કાર્ય $W = P \Delta V = P (A \Delta x)$ છે,જ્યાં $A$ એ પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$P (\pi r_A^2) \Delta x_A = P (\pi r_B^2) \Delta x_B$
આપેલ છે કે $\Delta x_A = 16 \ cm$ અને $\Delta x_B = 9 \ cm$.
$r_A^2 (16) = r_B^2 (9)$
$\frac{r_A^2}{r_B^2} = \frac{9}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{r_A}{r_B} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
0 likes
View Solution229
MediumMCQ
કોલમ-$I$ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓના આલેખ દર્શાવે છે, અને કોલમ-$II$ વિવિધ થર્મોડાયનેમિક ચલો વિશે માહિતી ધરાવે છે. કોલમ-$I$ ને કોલમ-$II$ ની માહિતી સાથે જોડો.
| કોલમ-$I$ | કોલમ-$II$ |
| $(A)$ $PV$ વિરુદ્ધ $V$ (સમતાપી વિસ્તરણ) | $(P)$ $W$ > 0 |
| $(B)$ $P$ વિરુદ્ધ $T$ (સમકદ ગરમ થવું) | $(Q)$ $W$ < 0 |
| $(C)$ $P$ વિરુદ્ધ $V$ (સમદાબ વિસ્તરણ) | $(R)$ $\Delta Q$ > 0 |
| $(D)$ $V$ વિરુદ્ધ $T$ (સમદાબ સંકોચન) | $(S)$ $\Delta U$ > 0 |
| $(T)$ $\Delta U$ < 0 |
A
$A-PR, B-RS, C-PR, D-QT$
B
$A-PR, B-RS, C-PRS, D-QT$
C
$A-PR, B-QS, C-RS, D-Q$
D
$A-RS, B-PS, C-QR, D-QT$
Solution
$(A)$ $PV = \text{અચળ}$ (સમતાપી પ્રક્રિયા). $T$ અચળ હોવાથી, $\Delta U = 0$. જેમ $V$ વધે છે, $W$ > 0. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = W + \Delta U = W$ > 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(P, R)$.
$(B)$ $P \propto T$ (સમકદ પ્રક્રિયા). $W = 0$. જેમ $T$ વધે છે, $\Delta U$ > 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U$ > 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(R, S)$.
$(C)$ $P = \text{અચળ}$ (સમદાબ વિસ્તરણ). જેમ $V$ વધે છે, $W$ > 0. $T$ વધતું હોવાથી, $\Delta U$ > 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = W + \Delta U$ > 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(P, R, S)$.
$(D)$ $V \propto T$ (સમદાબ સંકોચન). જેમ $V$ ઘટે છે, $W$ < 0. $T$ ઘટતું હોવાથી, $\Delta U$ < 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = W + \Delta U$ < 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(Q, T)$.
$(B)$ $P \propto T$ (સમકદ પ્રક્રિયા). $W = 0$. જેમ $T$ વધે છે, $\Delta U$ > 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U$ > 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(R, S)$.
$(C)$ $P = \text{અચળ}$ (સમદાબ વિસ્તરણ). જેમ $V$ વધે છે, $W$ > 0. $T$ વધતું હોવાથી, $\Delta U$ > 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = W + \Delta U$ > 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(P, R, S)$.
$(D)$ $V \propto T$ (સમદાબ સંકોચન). જેમ $V$ ઘટે છે, $W$ < 0. $T$ ઘટતું હોવાથી, $\Delta U$ < 0. પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = W + \Delta U$ < 0. મેળ ખાતા વિકલ્પો: $(Q, T)$.
0 likes
View Solution230
EasyMCQ
નીચેનાને જોડો $:-$
| કોલમ-$I$ | કોલમ-$II$ |
|---|---|
| $(i)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા | $(a)$ અચળ તાપમાન |
| $(ii)$ અલગ કરેલી સિસ્ટમ | $(b)$ ઉર્જા અને દ્રવ્યની કોઈ આપ-લે નહીં |
| $(iii)$ આઇસોથર્મલ ફેરફાર | $(c)$ થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ |
| $(iv)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ | $(d)$ માત્ર ઉષ્માનું કોઈ સ્થાનાંતર નહીં |
A
$(i) \longrightarrow (d), (ii) \longrightarrow (b), (iii) \longrightarrow (a), (iv) \longrightarrow (c)$
B
$(i) \longrightarrow (c), (ii) \longrightarrow (a), (iii) \longrightarrow (b), (iv) \longrightarrow (d)$
C
$(i) \longrightarrow (b), (ii) \longrightarrow (c), (iii) \longrightarrow (a), (iv) \longrightarrow (d)$
D
$(i) \longrightarrow (d), (ii) \longrightarrow (a), (iii) \longrightarrow (b), (iv) \longrightarrow (c)$
Solution
(A) $(i)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા એ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માનું કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી,એટલે કે $dQ = 0$. તેથી,$(i) \longrightarrow (d)$.
$(ii)$ અલગ કરેલી સિસ્ટમ (Isolated system) એવી સિસ્ટમ છે જે તેની આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉર્જા અથવા દ્રવ્યની આપ-લે કરી શકતી નથી. તેથી,$(ii) \longrightarrow (b)$.
$(iii)$ આઇસોથર્મલ ફેરફાર એ એવી પ્રક્રિયા છે જે અચળ તાપમાને થાય છે,એટલે કે $dT = 0$. તેથી,$(iii) \longrightarrow (a)$.
$(iv)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ એ થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,જે જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું રૂપાંતર થઈ શકે છે. તેથી,$(iv) \longrightarrow (c)$.
આમ,સાચી જોડી $(i) \longrightarrow (d), (ii) \longrightarrow (b), (iii) \longrightarrow (a), (iv) \longrightarrow (c)$ છે.
$(ii)$ અલગ કરેલી સિસ્ટમ (Isolated system) એવી સિસ્ટમ છે જે તેની આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉર્જા અથવા દ્રવ્યની આપ-લે કરી શકતી નથી. તેથી,$(ii) \longrightarrow (b)$.
$(iii)$ આઇસોથર્મલ ફેરફાર એ એવી પ્રક્રિયા છે જે અચળ તાપમાને થાય છે,એટલે કે $dT = 0$. તેથી,$(iii) \longrightarrow (a)$.
$(iv)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ એ થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,જે જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું રૂપાંતર થઈ શકે છે. તેથી,$(iv) \longrightarrow (c)$.
આમ,સાચી જોડી $(i) \longrightarrow (d), (ii) \longrightarrow (b), (iii) \longrightarrow (a), (iv) \longrightarrow (c)$ છે.
0 likes
View Solution231
MediumMCQ
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુની એક પ્રક્રિયામાં મોલર ઉષ્મા ધારિતા કેટલી હશે,જો તેને $Q$ જેટલી ઉષ્મા આપવામાં આવે ત્યારે તે $\frac{Q}{4}$ જેટલું કાર્ય કરે છે?
A
$\frac{2}{5} R$
B
$\frac{5}{2} R$
C
$\frac{10}{3} R$
D
$\frac{6}{7} R$
Solution
(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = W + \Delta U$.
આપેલ છે કે $W = \frac{Q}{4}$,તેથી $Q = \frac{Q}{4} + \Delta U$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = \frac{3Q}{4}$.
વાયુ માટે,$\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $Q = n C \Delta T$,જ્યાં $C$ એ મોલર ઉષ્મા ધારિતા છે.
આમ,$n C \Delta T = Q$ અને $n C_v \Delta T = \frac{3}{4} Q$.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$\frac{C}{C_v} = \frac{Q}{3Q/4} = \frac{4}{3}$,તેથી $C = \frac{4}{3} C_v$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
આ કિંમત મૂકતા,$C = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} R = \frac{10}{3} R$.
આપેલ છે કે $W = \frac{Q}{4}$,તેથી $Q = \frac{Q}{4} + \Delta U$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = \frac{3Q}{4}$.
વાયુ માટે,$\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $Q = n C \Delta T$,જ્યાં $C$ એ મોલર ઉષ્મા ધારિતા છે.
આમ,$n C \Delta T = Q$ અને $n C_v \Delta T = \frac{3}{4} Q$.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$\frac{C}{C_v} = \frac{Q}{3Q/4} = \frac{4}{3}$,તેથી $C = \frac{4}{3} C_v$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
આ કિંમત મૂકતા,$C = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} R = \frac{10}{3} R$.
0 likes
View Solution232
AdvancedMCQ
$1000 K$ તાપમાને રાખેલ હોટ રિઝર્વોયર સાથે કામ કરતા કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $0.4$ છે. તે હોટ રિઝર્વોયરમાંથી પ્રતિ ચક્ર $150 J$ ઉષ્મા મેળવે છે. આ એન્જિનમાંથી મેળવેલ કાર્યનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ હીટ પંપ ચલાવવા માટે થાય છે જેનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $10$ છે. હીટ પંપનું હોટ રિઝર્વોયર $300 K$ તાપમાને છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો સાચું/સાચા છે:
$(A)$ એક ચક્રમાં કાર્નો એન્જિનમાંથી મેળવેલ કાર્ય $60 J$ છે.
$(B)$ કાર્નો એન્જિનના કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $600 K$ છે.
$(C)$ હીટ પંપના કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $270 K$ છે.
$(D)$ એક ચક્રમાં હીટ પંપના હોટ રિઝર્વોયરને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $540 J$ છે.
$(A)$ એક ચક્રમાં કાર્નો એન્જિનમાંથી મેળવેલ કાર્ય $60 J$ છે.
$(B)$ કાર્નો એન્જિનના કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $600 K$ છે.
$(C)$ હીટ પંપના કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $270 K$ છે.
$(D)$ એક ચક્રમાં હીટ પંપના હોટ રિઝર્વોયરને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $540 J$ છે.
A
$(A, C, D)$
B
$(B, C, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(A, B, C)$
Solution
(D) કાર્નો એન્જિન માટે:
કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.4$,$T_1 = 1000 K$,$Q_1 = 150 J$.
થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = 0.4 \times 150 = 60 J$. (વિધાન $A$ સાચું છે)
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies 0.4 = 1 - \frac{T_2}{1000} \implies \frac{T_2}{1000} = 0.6 \implies T_2 = 600 K$. (વિધાન $B$ સાચું છે)
હીટ પંપ માટે:
પરફોર્મન્સ ગુણાંક $COP = 10$,$T_3 = 300 K$,કાર્ય ઇનપુટ $W = 60 J$.
$COP = \frac{Q_3}{W} \implies 10 = \frac{Q_3}{60} \implies Q_3 = 600 J$ (કોલ્ડ રિઝર્વોયરમાંથી મેળવેલ ઉષ્મા).
હોટ રિઝર્વોયરને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_4 = Q_3 + W = 600 + 60 = 660 J$. (વિધાન $D$ ખોટું છે)
$COP = \frac{T_3}{T_3 - T_4} \implies 10 = \frac{300}{300 - T_4} \implies 300 - T_4 = 30 \implies T_4 = 270 K$. (વિધાન $C$ સાચું છે)
આમ,વિધાન $A, B,$ અને $C$ સાચા છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.4$,$T_1 = 1000 K$,$Q_1 = 150 J$.
થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = 0.4 \times 150 = 60 J$. (વિધાન $A$ સાચું છે)
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies 0.4 = 1 - \frac{T_2}{1000} \implies \frac{T_2}{1000} = 0.6 \implies T_2 = 600 K$. (વિધાન $B$ સાચું છે)
હીટ પંપ માટે:
પરફોર્મન્સ ગુણાંક $COP = 10$,$T_3 = 300 K$,કાર્ય ઇનપુટ $W = 60 J$.
$COP = \frac{Q_3}{W} \implies 10 = \frac{Q_3}{60} \implies Q_3 = 600 J$ (કોલ્ડ રિઝર્વોયરમાંથી મેળવેલ ઉષ્મા).
હોટ રિઝર્વોયરને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_4 = Q_3 + W = 600 + 60 = 660 J$. (વિધાન $D$ ખોટું છે)
$COP = \frac{T_3}{T_3 - T_4} \implies 10 = \frac{300}{300 - T_4} \implies 300 - T_4 = 30 \implies T_4 = 270 K$. (વિધાન $C$ સાચું છે)
આમ,વિધાન $A, B,$ અને $C$ સાચા છે.
0 likes
View Solution233
AdvancedMCQ
$n$ મોલ ધરાવતા એક આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુને $W-X-Y-Z-W$ ચક્રમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ $V-T$ આલેખ મુજબ ક્રમિક એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) અને આઈસોબેરિક (સમદાબ) પ્રક્રિયાઓ ધરાવે છે. $W, X$ અને $Y$ બિંદુઓ પર વાયુનું કદ અનુક્રમે $64 \ cm^3, 125 \ cm^3$ અને $250 \ cm^3$ છે. જો $W$ બિંદુ પર વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_W$ એવું હોય કે જેથી $nRT_W = 1 \ J$ ($R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે),તો $XY$ પથ દરમિયાન વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ($J$ માં) કેટલી હશે?
A
$(3.60)$
B
$(2.60)$
C
$(1.60)$
D
$(4.60)$
Solution
(C) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિયાબેટિક અચળાંક $\gamma = 5/3$ છે.
$V-T$ આલેખમાં,$XY$ પ્રક્રિયા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે સમદાબ પ્રક્રિયા $(V \propto T)$ દર્શાવે છે.
$YZ$ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક $(TV^{\gamma-1} = \text{અચળ})$ છે,અને $ZW$ સમદાબ છે.
આપેલ છે: $V_W = 64 \ cm^3, V_X = 125 \ cm^3, V_Y = 250 \ cm^3$.
$XY$ સમદાબ હોવાથી,$P_X = P_Y$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $YZ$ માટે,$T_Y V_Y^{\gamma-1} = T_Z V_Z^{\gamma-1}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $WX$ માટે,$T_W V_W^{\gamma-1} = T_X V_X^{\gamma-1}$.
$XY$ સમદાબ હોવાથી,$V_X/T_X = V_Y/T_Y \Rightarrow T_Y = T_X (V_Y/V_X) = T_X (250/125) = 2T_X$.
સમદાબ પ્રક્રિયા $XY$ માં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = nC_P \Delta T = n(5R/2)(T_Y - T_X) = (5/2)nR(2T_X - T_X) = (5/2)nRT_X$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $WX$ પરથી,$T_X = T_W (V_W/V_X)^{\gamma-1} = T_W (64/125)^{5/3-1} = T_W (64/125)^{2/3} = T_W (4/5)^2 = T_W (16/25)$.
આમ,$Q = (5/2) nRT_W (16/25) = (5/2) (1 \ J) (16/25) = (1/2) (16/5) \ J = 8/5 \ J = 1.6 \ J$.
$V-T$ આલેખમાં,$XY$ પ્રક્રિયા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે સમદાબ પ્રક્રિયા $(V \propto T)$ દર્શાવે છે.
$YZ$ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક $(TV^{\gamma-1} = \text{અચળ})$ છે,અને $ZW$ સમદાબ છે.
આપેલ છે: $V_W = 64 \ cm^3, V_X = 125 \ cm^3, V_Y = 250 \ cm^3$.
$XY$ સમદાબ હોવાથી,$P_X = P_Y$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $YZ$ માટે,$T_Y V_Y^{\gamma-1} = T_Z V_Z^{\gamma-1}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $WX$ માટે,$T_W V_W^{\gamma-1} = T_X V_X^{\gamma-1}$.
$XY$ સમદાબ હોવાથી,$V_X/T_X = V_Y/T_Y \Rightarrow T_Y = T_X (V_Y/V_X) = T_X (250/125) = 2T_X$.
સમદાબ પ્રક્રિયા $XY$ માં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = nC_P \Delta T = n(5R/2)(T_Y - T_X) = (5/2)nR(2T_X - T_X) = (5/2)nRT_X$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા $WX$ પરથી,$T_X = T_W (V_W/V_X)^{\gamma-1} = T_W (64/125)^{5/3-1} = T_W (64/125)^{2/3} = T_W (4/5)^2 = T_W (16/25)$.
આમ,$Q = (5/2) nRT_W (16/25) = (5/2) (1 \ J) (16/25) = (1/2) (16/5) \ J = 8/5 \ J = 1.6 \ J$.
0 likes
View Solution234
MediumMCQ
એક મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ $\frac{Q}{3}$ જેટલું કાર્ય કરે છે,જ્યારે તેને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q$ છે. આ પ્રક્રિયામાં વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા કેટલી હશે?
A
$\frac{15 R}{4}$
B
$\frac{9 R}{4}$
C
$\frac{7 R}{4}$
D
$\frac{3 R}{4}$
Solution
(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
અહીં $W = \frac{Q}{3}$ આપેલ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q - W = Q - \frac{Q}{3} = \frac{2}{3} Q$ થશે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે. $n = 1$ હોવાથી,$\Delta U = C_v \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T$.
$\Delta U$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2}{3} Q = \frac{5}{2} R \Delta T$,જેનો અર્થ છે કે $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ની વ્યાખ્યા $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ છે.
$n = 1$ અને $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{\frac{15}{4} R \Delta T}{1 \cdot \Delta T} = \frac{15 R}{4}$ મળે છે.
અહીં $W = \frac{Q}{3}$ આપેલ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q - W = Q - \frac{Q}{3} = \frac{2}{3} Q$ થશે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે. $n = 1$ હોવાથી,$\Delta U = C_v \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T$.
$\Delta U$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2}{3} Q = \frac{5}{2} R \Delta T$,જેનો અર્થ છે કે $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ની વ્યાખ્યા $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ છે.
$n = 1$ અને $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{\frac{15}{4} R \Delta T}{1 \cdot \Delta T} = \frac{15 R}{4}$ મળે છે.
0 likes
View Solution235
MediumMCQ
$P$ દબાણ અને $V$ કદ ધરાવતો એક પરમાણ્વીય વાયુ સમતાપી રીતે $2V$ કદ સુધી વિસ્તરે છે અને ત્યારબાદ એડિબેટિક રીતે $16V$ કદ સુધી વિસ્તરે છે. વાયુનું અંતિમ દબાણ કેટલું હશે? ($\gamma = 5/3$ લો)
A
$P/64$
B
$P/32$
C
$16P$
D
$32P$
Solution
(A) પગલું $1$: $V$ થી $2V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
$P(V) = P_2(2V) \implies P_2 = P/2$.
પગલું $2$: $2V$ થી $16V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = P/2$,$V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,અને $\gamma = 5/3$ આપેલ છે.
$P_3 = P_2 (V_2 / V_3)^\gamma = (P/2) (2V / 16V)^{5/3}$.
$P_3 = (P/2) (1/8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,$(1/8)^{5/3} = (1/2^3)^{5/3} = (1/2)^5 = 1/32$.
$P_3 = (P/2) \times (1/32) = P/64$.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
$P(V) = P_2(2V) \implies P_2 = P/2$.
પગલું $2$: $2V$ થી $16V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = P/2$,$V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,અને $\gamma = 5/3$ આપેલ છે.
$P_3 = P_2 (V_2 / V_3)^\gamma = (P/2) (2V / 16V)^{5/3}$.
$P_3 = (P/2) (1/8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,$(1/8)^{5/3} = (1/2^3)^{5/3} = (1/2)^5 = 1/32$.
$P_3 = (P/2) \times (1/32) = P/64$.
0 likes
View Solution236
MediumMCQ
એક મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે. આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી કુલ ઉષ્માની ટકાવારી અને બાહ્ય કાર્ય કરવા માટે વપરાતી ઉષ્માની ટકાવારી અનુક્રમે $A$ અને $B$ છે. તો ગુણોત્તર $A: B$ કેટલો થાય?
A
$5: 3$
B
$2: 3$
C
$3: 2$
D
$2: 5$
Solution
(C) મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{5}{2}R$ અને અચળ કદે $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
જ્યારે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આપવામાં આવતી કુલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v dT = n (\frac{3}{2}R) dT$ છે.
વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = dQ - dU = n (C_p - C_v) dT = n R dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જા માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $A = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (3/2) R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{3}{5}$ છે.
બાહ્ય કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $B = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $A: B = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3: 2$ થાય.
જ્યારે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આપવામાં આવતી કુલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v dT = n (\frac{3}{2}R) dT$ છે.
વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = dQ - dU = n (C_p - C_v) dT = n R dT$ છે.
આંતરિક ઊર્જા માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $A = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (3/2) R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{3}{5}$ છે.
બાહ્ય કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $B = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n (5/2) R dT} = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $A: B = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3: 2$ થાય.
0 likes
View Solution237
MediumMCQ
પિસ્ટન ધરાવતા બે સિલિન્ડર $A$ અને $B$ માં $303 \ K$ તાપમાને સમાન જથ્થામાં આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ ભરેલો છે. સિલિન્ડર $A$ નો પિસ્ટન મુક્ત રીતે હલનચલન કરી શકે છે અને સિલિન્ડર $B$ નો પિસ્ટન સ્થિર રાખવામાં આવ્યો છે. દરેક સિલિન્ડરમાં વાયુને સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. જો સિલિન્ડર $B$ માં વાયુના તાપમાનમાં થતો વધારો $49 \ K$ હોય,તો $A$ માં વાયુના તાપમાનમાં થતો વધારો કેટલો હશે ($K$ માં)?
A
$30$
B
$35$
C
$70$
D
$75$
Solution
(B) દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ અને અચળ દબાણે $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર છે,તેથી પ્રક્રિયા સમકદ (constant volume) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_V \Delta T_B$ છે.
અહીં $\Delta T_B = 49 \ K$ આપેલ છે,તેથી $Q = n (\frac{5}{2}R) (49)$.
સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત છે,તેથી પ્રક્રિયા સમદાબી (constant pressure) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T_A$ છે.
બંને કિસ્સામાં $Q$ સમાન હોવાથી,$n (\frac{5}{2}R) (49) = n (\frac{7}{2}R) \Delta T_A$.
$n$,$R$ અને $2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા: $5 \times 49 = 7 \times \Delta T_A$.
$\Delta T_A = \frac{5 \times 49}{7} = 5 \times 7 = 35 \ K$.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર છે,તેથી પ્રક્રિયા સમકદ (constant volume) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_V \Delta T_B$ છે.
અહીં $\Delta T_B = 49 \ K$ આપેલ છે,તેથી $Q = n (\frac{5}{2}R) (49)$.
સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત છે,તેથી પ્રક્રિયા સમદાબી (constant pressure) છે. આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T_A$ છે.
બંને કિસ્સામાં $Q$ સમાન હોવાથી,$n (\frac{5}{2}R) (49) = n (\frac{7}{2}R) \Delta T_A$.
$n$,$R$ અને $2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા: $5 \times 49 = 7 \times \Delta T_A$.
$\Delta T_A = \frac{5 \times 49}{7} = 5 \times 7 = 35 \ K$.
0 likes
View Solution238
MediumMCQ
અચળ દબાણે દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુને ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. $\Delta Q: \Delta U: \Delta W$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
[આપેલ છે $\rightarrow \Delta Q=$ આપેલી ઉષ્મા,$\Delta U=$ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર,$\Delta W$ $=$ કરેલું કાર્ય]
[આપેલ છે $\rightarrow \Delta Q=$ આપેલી ઉષ્મા,$\Delta U=$ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર,$\Delta W$ $=$ કરેલું કાર્ય]
A
$2: 3: 5$
B
$5: 3: 2$
C
$2: 5: 7$
D
$7: 5: 2$
Solution
(D) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
કરેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
સંબંધ $C_p = \frac{f+2}{2} R$ અને $C_v = \frac{f}{2} R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{5+2}{2} \right) R \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$.
$\Delta U = n \left( \frac{5}{2} \right) R \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
$\Delta W = n R \Delta T = \frac{2}{2} n R \Delta T$.
આમ,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ થાય.
અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
કરેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
સંબંધ $C_p = \frac{f+2}{2} R$ અને $C_v = \frac{f}{2} R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{5+2}{2} \right) R \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$.
$\Delta U = n \left( \frac{5}{2} \right) R \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
$\Delta W = n R \Delta T = \frac{2}{2} n R \Delta T$.
આમ,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ થાય.
0 likes
View Solution239
EasyMCQ
કદ $V$ અને દબાણ $P$ ને અનુરૂપ આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુની આંતરિક ઉર્જા $2.5 PV$ છે. વાયુ $10^5 \text{ N/m}^2$ ના અચળ દબાણે $1 \text{ લિટર}$ થી $2 \text{ લિટર}$ સુધી વિસ્તરણ પામે છે. વાયુને આપેલી ઉષ્મા કેટલી હશે ($\text{ J}$ માં)?
A
$350$
B
$300$
C
$250$
D
$200$
Solution
(A) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = 2.5 PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = 2.5 P(V_f - V_i)$ છે।
અહીં $P = 10^5 \text{ N/m}^2$, $V_i = 1 \text{ લિટર} = 10^{-3} \text{ m}^3$, અને $V_f = 2 \text{ લિટર} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ આપેલ છે।
$\Delta U = 2.5 \times 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3} = 250 \text{ J}$.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 10^5 \times 10^{-3} = 100 \text{ J}$ છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ છે।
$Q = 250 \text{ J} + 100 \text{ J} = 350 \text{ J}$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = 2.5 P(V_f - V_i)$ છે।
અહીં $P = 10^5 \text{ N/m}^2$, $V_i = 1 \text{ લિટર} = 10^{-3} \text{ m}^3$, અને $V_f = 2 \text{ લિટર} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ આપેલ છે।
$\Delta U = 2.5 \times 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3} = 250 \text{ J}$.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 10^5 \times 10^{-3} = 100 \text{ J}$ છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ છે।
$Q = 250 \text{ J} + 100 \text{ J} = 350 \text{ J}$.
0 likes
View Solution240
MediumMCQ
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ અને રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ વચ્ચેનો સંબંધ શું છે,જે સમાન તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરે છે?
A
$\eta = \frac{1}{1+\beta}$
B
$\eta = \frac{1}{1-\beta}$
C
$\eta = \frac{\beta}{1-\beta}$
D
$\eta = \frac{1+\beta}{\beta}$
Solution
(A) $T_1$ (સ્ત્રોત) અને $T_2$ (સિંક) તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેફ્રિજરેટરના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{\beta} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{T_1}{T_2} - 1$.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{\beta}{1 + \beta} = \frac{1 + \beta - \beta}{1 + \beta} = \frac{1}{1 + \beta}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ છે.
સમાન તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેફ્રિજરેટરના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{\beta} = \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{T_1}{T_2} - 1$.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{\beta}{1 + \beta} = \frac{1 + \beta - \beta}{1 + \beta} = \frac{1}{1 + \beta}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ છે.
0 likes
View Solution241
DifficultMCQ
બે સિલિન્ડર $A$ અને $B$ કે જેમાં પિસ્ટન લગાવેલા છે,તેમાં $T$ $K$ તાપમાને સમાન જથ્થામાં આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ ભરેલો છે. સિલિન્ડર $A$ નો પિસ્ટન મુક્ત રીતે હલનચલન કરી શકે છે જ્યારે $B$ નો પિસ્ટન સ્થિર રાખવામાં આવ્યો છે. દરેક સિલિન્ડરમાં વાયુને સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. જો $A$ માં વાયુના તાપમાનમાં થતો વધારો $dT_{A}$ હોય,તો સિલિન્ડર $B$ માં વાયુના તાપમાનમાં થતો વધારો કેટલો હશે? (જ્યાં $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$)
A
$2 dT_{A}$
B
$\frac{dT_{A}}{2}$
C
$\gamma dT_{A}$
D
$\frac{dT_{A}}{\gamma}$
Solution
(C) સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી વાયુ અચળ દબાણે વિસ્તરણ પામે છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{A} = n C_{P} dT_{A}$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી વાયુ અચળ કદે ગરમ થાય છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સિલિન્ડરમાં સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q_{A} = Q_{B}$.
તેથી,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$.
$dT_{B}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી સિલિન્ડર $B$ માં તાપમાનમાં થતો વધારો $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ થશે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી વાયુ અચળ કદે ગરમ થાય છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સિલિન્ડરમાં સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q_{A} = Q_{B}$.
તેથી,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$.
$dT_{B}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી સિલિન્ડર $B$ માં તાપમાનમાં થતો વધારો $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ થશે.
0 likes
View Solution242
MediumMCQ
જો એક આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુને $\Delta Q$ જેટલી ઉષ્મા ઉર્જા આપવામાં આવે,તો આંતરિક ઉર્જામાં થતો વધારો $\Delta U$ છે અને વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W$ છે. તો ગુણોત્તર $\Delta W: \Delta U: \Delta Q$ શું થશે?
A
$2: 3: 5$
B
$2: 5: 7$
C
$7: 5: 9$
D
$1: 2: 5$
Solution
(B) આદર્શ વાયુ માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W = nR \Delta T$ છે.
સંબંધ $\Delta Q = n C_p \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{7}{2} R$,આપણને $\Delta Q = \frac{7}{2} nR \Delta T$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q$ આ મુજબ છે:
$\Delta W : \Delta U : \Delta Q = (nR \Delta T) : (\frac{5}{2} nR \Delta T) : (\frac{7}{2} nR \Delta T)$.
$nR \Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W = nR \Delta T$ છે.
સંબંધ $\Delta Q = n C_p \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{7}{2} R$,આપણને $\Delta Q = \frac{7}{2} nR \Delta T$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q$ આ મુજબ છે:
$\Delta W : \Delta U : \Delta Q = (nR \Delta T) : (\frac{5}{2} nR \Delta T) : (\frac{7}{2} nR \Delta T)$.
$nR \Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.
0 likes
View Solution243
EasyMCQ
એક હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ છે અને રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $\beta$ છે. તો:
A
$\eta = \frac{1}{\beta}$
B
$\eta = \frac{1}{\beta + 1}$
C
$\eta \beta = \frac{1}{2}$
D
$\eta = \frac{1}{\beta - 1}$
Solution
(B) રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_1 - T_2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{(T_1 - T_2) + T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \frac{T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \beta$ છે,
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ મળે છે.
હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_1 - T_2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{(T_1 - T_2) + T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \frac{T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \beta$ છે,
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ મળે છે.
0 likes
View Solution244
DifficultMCQ
એક જ વાયુના ત્રણ નમૂના $X, Y$ અને $Z$ ના કદ અને તાપમાન સમાન છે. દરેક નમૂનાનું કદ બમણું કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા $X$ માટે સમતાપી (isothermal),$Y$ માટે સમોષ્મી (adiabatic) અને $Z$ માટે સમદાબી (isobaric) છે. જો ત્રણેય નમૂનાઓ માટે અંતિમ દબાણ સમાન હોય,તો પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર શોધો. (સમોષ્મી ઘાતાંક $\gamma = 3/2$ લો)
A
$1: \sqrt{2}: 2$
B
$2: 2\sqrt{2}: 1$
C
$3: 3\sqrt{3}: 1$
D
$1: 2\sqrt{2}: 2$
Solution
(B) ધારો કે નમૂના $X, Y$ અને $Z$ ના પ્રારંભિક દબાણ અનુક્રમે $P_X, P_Y$ અને $P_Z$ છે. પ્રારંભિક કદ $V$ છે. બધા માટે અંતિમ કદ $2V$ છે.
નમૂના $X$ માટે (સમતાપી પ્રક્રિયા): $P_X V = P_{X,f} (2V) \implies P_{X,f} = P_X / 2$.
નમૂના $Y$ માટે (સમોષ્મી પ્રક્રિયા): $P_Y V^{\gamma} = P_{Y,f} (2V)^{\gamma} \implies P_{Y,f} = P_Y / 2^{\gamma}$. આપેલ છે $\gamma = 3/2$,તેથી $P_{Y,f} = P_Y / 2^{3/2} = P_Y / (2\sqrt{2})$.
નમૂના $Z$ માટે (સમદાબી પ્રક્રિયા): $P_Z = P_{Z,f}$.
આપેલ છે કે $P_{X,f} = P_{Y,f} = P_{Z,f} = P_0$,તેથી:
$P_X / 2 = P_0 \implies P_X = 2P_0$.
$P_Y / (2\sqrt{2}) = P_0 \implies P_Y = 2\sqrt{2} P_0$.
$P_Z = P_0$.
આમ,ગુણોત્તર $P_X : P_Y : P_Z = 2P_0 : 2\sqrt{2} P_0 : P_0 = 2 : 2\sqrt{2} : 1$.
નમૂના $X$ માટે (સમતાપી પ્રક્રિયા): $P_X V = P_{X,f} (2V) \implies P_{X,f} = P_X / 2$.
નમૂના $Y$ માટે (સમોષ્મી પ્રક્રિયા): $P_Y V^{\gamma} = P_{Y,f} (2V)^{\gamma} \implies P_{Y,f} = P_Y / 2^{\gamma}$. આપેલ છે $\gamma = 3/2$,તેથી $P_{Y,f} = P_Y / 2^{3/2} = P_Y / (2\sqrt{2})$.
નમૂના $Z$ માટે (સમદાબી પ્રક્રિયા): $P_Z = P_{Z,f}$.
આપેલ છે કે $P_{X,f} = P_{Y,f} = P_{Z,f} = P_0$,તેથી:
$P_X / 2 = P_0 \implies P_X = 2P_0$.
$P_Y / (2\sqrt{2}) = P_0 \implies P_Y = 2\sqrt{2} P_0$.
$P_Z = P_0$.
આમ,ગુણોત્તર $P_X : P_Y : P_Z = 2P_0 : 2\sqrt{2} P_0 : P_0 = 2 : 2\sqrt{2} : 1$.
0 likes
View Solution245
MediumMCQ
$P$ દબાણ અને $V$ કદ ધરાવતો એક બહુપરમાણ્વીય વાયુ સમતાપી રીતે $3V$ કદ સુધી વિસ્તરે છે અને ત્યારબાદ એડિબેટિક રીતે $24V$ કદ સુધી વિસ્તરે છે. વાયુનું અંતિમ દબાણ કેટલું હશે? (બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 6$ લો,તેથી $\gamma = 4/3$):
A
$P/16$
B
$P/24$
C
$P/36$
D
$P/48$
Solution
(D) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: દબાણ = $P$,કદ = $V$.
$2$. $V$ થી $3V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ: સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \cdot V = P_2 \cdot (3V) \implies P_2 = P/3$.
$3$. $3V$ થી $24V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ: એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = 1 + 2/f$. $f = 6$ લેતા,$\gamma = 1 + 2/6 = 4/3$.
$(P/3) \cdot (3V)^{4/3} = P_3 \cdot (24V)^{4/3}$.
$P_3 = (P/3) \cdot (3V / 24V)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/8)^{4/3}$.
$P_3 = (P/3) \cdot (1/2^3)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/2^4) = (P/3) \cdot (1/16) = P/48$.
$2$. $V$ થી $3V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ: સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \cdot V = P_2 \cdot (3V) \implies P_2 = P/3$.
$3$. $3V$ થી $24V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ: એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = 1 + 2/f$. $f = 6$ લેતા,$\gamma = 1 + 2/6 = 4/3$.
$(P/3) \cdot (3V)^{4/3} = P_3 \cdot (24V)^{4/3}$.
$P_3 = (P/3) \cdot (3V / 24V)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/8)^{4/3}$.
$P_3 = (P/3) \cdot (1/2^3)^{4/3} = (P/3) \cdot (1/2^4) = (P/3) \cdot (1/16) = P/48$.
0 likes
View Solution246
EasyMCQ
થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં, નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?
A
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તાપમાન અચળ રહે છે.
B
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં, સિસ્ટમ આસપાસના વાતાવરણથી અવાહક હોય છે.
C
સમકદ પ્રક્રિયામાં, દબાણ અચળ રહે છે.
D
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં, $PV^\gamma = \text{અચળ}$.
Solution
(C) સમકદ પ્રક્રિયામાં, સિસ્ટમનું કદ અચળ રહે છે, દબાણ નહીં. તેથી, 'સમકદ પ્રક્રિયામાં, દબાણ અચળ રહે છે' તે વિધાન ખોટું છે.
- સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન $(T)$ અચળ રહે છે.
- એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા: સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન $(Q = 0)$ થતું નથી, અને તે $PV^\gamma = \text{અચળ}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
- સમકદ પ્રક્રિયા: કદ $(V)$ અચળ રહે છે.
- સમદાબ પ્રક્રિયા: દબાણ $(P)$ અચળ રહે છે.
- સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન $(T)$ અચળ રહે છે.
- એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા: સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન $(Q = 0)$ થતું નથી, અને તે $PV^\gamma = \text{અચળ}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
- સમકદ પ્રક્રિયા: કદ $(V)$ અચળ રહે છે.
- સમદાબ પ્રક્રિયા: દબાણ $(P)$ અચળ રહે છે.
0 likes
View Solution247
MediumMCQ
ચોક્કસ વાયુના બે નમૂના $A$ અને $B$ છે,જે શરૂઆતમાં સમાન તાપમાન અને દબાણે છે. બંનેને કદ $V$ થી ઘટાડીને $\frac{V}{2}$ કરવામાં આવે છે. નમૂના $A$ ને સમતાપી રીતે અને નમૂના $B$ ને સમોષ્મી રીતે સંકોચવામાં આવે છે. $A$ નું અંતિમ દબાણ
A
$B$ કરતા બમણું છે.
B
$B$ જેટલું જ છે.
C
$B$ કરતા વધારે છે.
D
$B$ કરતા ઓછું છે.
Solution
(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$. આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{2}$,તેથી $P_{2,iso} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right) = 2 P_1$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$. તેથી $P_{2,adia} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^\gamma = 2^\gamma P_1$.
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,$2^\gamma > 2$ થાય.
તેથી,$P_{2,adia} > P_{2,iso}$.
આનો અર્થ એ છે કે નમૂના $A$ (સમતાપી) નું અંતિમ દબાણ નમૂના $B$ (સમોષ્મી) ના અંતિમ દબાણ કરતા ઓછું છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$. તેથી $P_{2,adia} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^\gamma = 2^\gamma P_1$.
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,$2^\gamma > 2$ થાય.
તેથી,$P_{2,adia} > P_{2,iso}$.
આનો અર્થ એ છે કે નમૂના $A$ (સમતાપી) નું અંતિમ દબાણ નમૂના $B$ (સમોષ્મી) ના અંતિમ દબાણ કરતા ઓછું છે.
0 likes
View Solution248
MediumMCQ
એક વાયુનું પ્રારંભિક દબાણ અને કદ અનુક્રમે $P$ અને $V$ છે. પ્રથમ તેનું કદ સમતાપી પ્રક્રિયા દ્વારા $4V$ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ તેનું કદ સમોષ્મી પ્રક્રિયા દ્વારા $V$ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. જો $\gamma = \frac{3}{2}$ હોય,તો તેનું અંતિમ દબાણ શોધો.
A
$P$
B
$2P$
C
$3P$
D
$4P$
Solution
(B) પગલું $1$: $V$ થી $4V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V$
$P_2 = \frac{P}{4}$.
પગલું $2$: $4V$ થી $V$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
આપેલ છે કે $P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
$\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_3 \times V^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times \frac{(4V)^{3/2}}{V^{3/2}}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times (2^2)^{3/2} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8$
$P_3 = 2P$.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V$
$P_2 = \frac{P}{4}$.
પગલું $2$: $4V$ થી $V$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
આપેલ છે કે $P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
$\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_3 \times V^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times \frac{(4V)^{3/2}}{V^{3/2}}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times (2^2)^{3/2} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8$
$P_3 = 2P$.
0 likes
View Solution249
MediumMCQ
બે વાયુઓ $A$ અને $B$ સમાન પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P, V, n, T)$ ધરાવે છે. વાયુ $A$ ને સમતાપી પ્રક્રિયા દ્વારા $V/8$ સુધી સંકોચવામાં આવે છે અને વાયુ $B$ ને એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા દ્વારા $V/8$ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. વાયુ $A$ અને $B$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર શોધો (બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વીય છે,$\gamma = 5/3$).
A
$1/8$
B
$1/4$
C
$1/64$
D
$1/12$
Solution
(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે (વાયુ $A$): $P_i V_i = P_f V_f$. આપેલ છે કે $V_f = V_i/8$,તેથી $P_i V_i = P_A (V_i/8) \implies P_A = 8 P_i$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે (વાયુ $B$): $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_f = V_i/8$ અને $\gamma = 5/3$,તેથી $P_i V_i^{5/3} = P_B (V_i/8)^{5/3}$.
$P_B = P_i (8)^{5/3} = P_i (2^3)^{5/3} = P_i (2^5) = 32 P_i$.
વાયુ $A$ અને $B$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $P_A / P_B = (8 P_i) / (32 P_i) = 8/32 = 1/4$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે (વાયુ $B$): $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_f = V_i/8$ અને $\gamma = 5/3$,તેથી $P_i V_i^{5/3} = P_B (V_i/8)^{5/3}$.
$P_B = P_i (8)^{5/3} = P_i (2^3)^{5/3} = P_i (2^5) = 32 P_i$.
વાયુ $A$ અને $B$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $P_A / P_B = (8 P_i) / (32 P_i) = 8/32 = 1/4$ છે.
0 likes
View SolutionThermodynamics — Mix Examples-Thermodynamics · Frequently Asked Questions
1Are these Thermodynamics questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Thermodynamics Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.