Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Gujarati

(A) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ છે. તેથી,$\eta_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{T_2'}{T_1'} = \frac{3}{4}$ છે. તેથી,$\eta_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કાર્યક્ષમતામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{\frac{4-3}{12}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{1/12}{1/3} \times 100 = \frac{3}{12} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.

(C) સિંકનું તાપમાન, $T_2 = 300 \,K$. એન્જિનની કાર્યક્ષમતા, $\eta_1 = 0.25$.
કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \,K$.
જ્યારે સોર્સનું તાપમાન $100 \,K$ વધારવામાં આવે, ત્યારે નવું સોર્સ તાપમાન $T_1' = 400 + 100 = 500 \,K$ થાય.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{T_1'} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.40$.
કાર્યક્ષમતામાં વધારો $\Delta\eta = \eta_2 - \eta_1 = 0.40 - 0.25 = 0.15$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનમાં,સિંકને થર્મલ એનર્જી રિઝર્વોયર (ઉષ્માના સંગ્રાહક) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. થર્મલ રિઝર્વોયર એ અનંત ઉષ્મા ધારિતા ધરાવતી સિસ્ટમ છે,જેનો અર્થ છે કે તે તેના તાપમાનમાં ફેરફાર કર્યા વિના કોઈપણ માત્રામાં ઉષ્મા શોષી શકે છે અથવા મુક્ત કરી શકે છે. તેથી,જેમ વાયુ સિંકને ઉષ્મા ઉર્જા આપે છે,તેમ સિંકનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન એક આદર્શ પ્રતિવર્તી ચક્ર પર કાર્ય કરે છે. સ્ત્રોતને અનંત ઉષ્મા ધારિતા ધરાવતા થર્મલ રિઝર્વોયર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,જ્યારે કાર્યકારી પદાર્થ (વાયુ) સમતાપી વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે $(T_1 > T_2)$.
જ્યારે બંને તાપમાનમાં $100 \ K$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,ત્યારે નવા તાપમાન $T_1' = T_1 - 100$ અને $T_2' = T_2 - 100$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2 - 100}{T_1 - 100} = \frac{(T_1 - 100) - (T_2 - 100)}{T_1 - 100} = \frac{T_1 - T_2}{T_1 - 100}$ છે.
કારણ કે $T_1 - 100 < T_1$,નવી કાર્યક્ષમતાનો છેદ મૂળ કાર્યક્ષમતા કરતા નાનો છે,જ્યારે અંશ સમાન રહે છે.
તેથી,$\eta_2 > \eta_1$,જેનો અર્થ છે કે એન્જિનની કાર્યક્ષમતા વધે છે.

(A) કારના એન્જિનનો પાવર $P = 20 kW = 20,000 W$ છે.
મુસાફરી માટેનો સમય $t = 1$ કલાક $= 3600 s$ છે.
એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ ઉપયોગી કાર્ય $W = P \times t = 20,000 \times 3600 = 7.2 \times 10^7 J$ છે.
એન્જિનની થર્મલ કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_{in}$ એ બળતણના દહન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $\eta = 40 \% = 0.4$, તેથી $Q_{in} = \frac{W}{\eta}$.
$Q_{in} = \frac{7.2 \times 10^7 J}{0.4} = 18 \times 10^7 J$.
$kJ$ માં રૂપાંતરિત કરતા, $Q_{in} = 180,000 kJ$ મળે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 40\% = 0.4$ અને $T_{\text{sink}} = 27^{\circ}C = 300 K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,સમાન સિંક તાપમાન સાથે કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50\% = 0.5$ છે.
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}} \Rightarrow \frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.5 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.5} = 600 K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં થયેલો વધારો $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 600 K - 500 K = 100 K$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ અને $T_{\text{sink}} = 250 \ K$.
$0.25 = 1 - \frac{250}{T_{\text{source}}} \implies \frac{250}{T_{\text{source}}} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
તેથી,$T_{\text{source}} = \frac{1000}{3} \ K$.
કિસ્સો $2$: અંતિમ કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50 \% = 0.50$ અને $T_{\text{source}}$ અચળ રહે છે.
$0.50 = 1 - \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} \implies \frac{T'_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}} = 0.50$.
$T'_{\text{sink}} = 0.50 \times \frac{1000}{3} = \frac{500}{3} \ K$.
સિંકના તાપમાનમાં ફેરફાર $\frac{1000}{6} \ K$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 400 \,K$, સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 \,K$, અને કાર્ય $W = 400 \,J$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ છે, જ્યાં $Q_1$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 - \frac{300}{400} = \frac{400}{Q_1}$.
$\frac{1}{4} = \frac{400}{Q_1} \Rightarrow Q_1 = 1600 \,J$.
એન્જિન દ્વારા મુક્ત કરવામાં આવતી ઉર્જા $(Q_2)$ એ $Q_2 = Q_1 - W$ દ્વારા મળે છે.
$Q_2 = 1600 \,J - 400 \,J = 1200 \,J$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે, જ્યાં $T_L = 300 \,K$ અને $T_H = 600 \,K$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$ મળે છે.
પ્રતિ ચક્ર થતું કાર્ય $W$ એ $W = \eta \times Q_H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_H = 800 \,J$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
તેથી, $W = 0.5 \times 800 \,J = 400 \,J$.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_C$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન અને $T_H$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: $T_C = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $\eta = 20 \% = 0.2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.2 = 1 - \frac{400}{T_H}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{400}{T_H} = 1 - 0.2 = 0.8$.
$T_H$ માટે ઉકેલતા: $T_H = \frac{400}{0.8} = 500 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, સિંકનું તાપમાન $T_{\text{sink}} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ માટે:
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},1}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},1}} = 0.6 \Rightarrow T_{\text{source},1} = \frac{300}{0.6} = 500 K$.
અંતિમ કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ માટે:
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_{\text{source},2}}$
$\frac{300}{T_{\text{source},2}} = 0.4 \Rightarrow T_{\text{source},2} = \frac{300}{0.4} = 750 K$.
સ્ત્રોતના તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{\text{source},2} - T_{\text{source},1} = 750 K - 500 K = 250 K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$.
આપેલ છે કે ત્રણેય એન્જિન સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે,ધારો કે $\eta_1 = \eta_2 = \eta_3 = \eta$.
પ્રથમ એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$.
બીજા એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_3}{T_2} \Rightarrow \frac{T_3}{T_2} = 1 - \eta$.
ત્રીજા એન્જિન માટે: $\eta = 1 - \frac{T_4}{T_3} \Rightarrow \frac{T_4}{T_3} = 1 - \eta$.
જેમ કે $1 - \eta$ અચળ છે,તેથી $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = k$,જ્યાં $k = 1 - \eta$.
આના પરથી,$T_2 = T_1 k$,$T_3 = T_2 k = T_1 k^2$,અને $T_4 = T_3 k = T_1 k^3$.
તેથી,$k^3 = \frac{T_4}{T_1} \Rightarrow k = \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_2 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{1/3} = T_1^{2/3} T_4^{1/3} = (T_1^2 T_4)^{1/3}$.
$T_3 = T_1 \left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{2/3} = T_1^{1/3} T_4^{2/3} = (T_1 T_4^2)^{1/3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,$T_1$ એ સ્ત્રોત (ગરમ રિઝર્વોયર) નું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંક (ઠંડા રિઝર્વોયર) નું તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્યક્ષમતા માત્ર સ્ત્રોત અને સિંકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે એન્જિનમાં વપરાતા કાર્યકારી પદાર્થના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.6$,$T_2 = 300 \ K$,અને આપણે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1'$ શોધવાનું છે.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) આપેલ છે કે, તાપમાન $T_1 = 500 \ K$ અને $T_2 = 300 \ K$ છે.
આ તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત એન્જિનની મહત્તમ સૈદ્ધાંતિક કાર્યક્ષમતા (કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા) $\eta_{max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta_{max} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ અથવા $40\%$.
હવે, દરેક ડિઝાઇન માટે કાર્યક્ષમતા $(\eta = \frac{W}{Q_{in}})$ ગણો:
ડિઝાઇન $A$ માટે: $\eta_A = \frac{150}{1000} = 0.15$ $(15\%)$.
ડિઝાઇન $B$ માટે: $\eta_B = \frac{450}{1000} = 0.45$ $(45\%)$.
ડિઝાઇન $C$ માટે: $\eta_C = \frac{300}{1000} = 0.30$ $(30\%)$.
થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ મુજબ, કોઈ પણ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં. અહીં $\eta_B = 0.45 > 0.4$ હોવાથી, ડિઝાઇન $B$ બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે અને તે અશક્ય છે. ડિઝાઇન $C$ ની કાર્યક્ષમતા $0.3$ છે, જે $0.4$ કરતા ઓછી છે, તેથી તે ભૌતિક રીતે શક્ય છે. તેથી, ડિઝાઇન $C$ સૌથી યોગ્ય પસંદગી છે.

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ ઉષ્મા પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણ વ્યવસ્થાનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે: $\eta = 30\% = 0.3$ અને $T_1 = 500 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.3 = 1 - \frac{T_2}{500}$
$\frac{T_2}{500} = 1 - 0.3 = 0.7$
$T_2 = 0.7 \times 500 = 350 \ K$.
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે,આપણે $T(^{\circ}C) = T(K) - 273$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$T_2 = 350 - 273 = 77^{\circ} C$.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ તાપમાનના તફાવત $(T_1 - T_2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ સ્ત્રોત અને સિંક વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત વધે છે,તેમ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા વધે છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ ...$(i)$ છે.
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
$100 \%$ કાર્યક્ષમતા માટે,આપણે $\eta = 1$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2}{T_1} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 0$.
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $100 \%$ ત્યારે જ હોય જ્યારે સિંકનું તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય $(0 \ K)$ હોય.

(B) કાર્નો એન્જિન દ્વારા લેવામાં આવેલી ઉષ્મા,$Q = 3 \times 10^6 \text{ cal} = 4.2 \times 3 \times 10^6 \text{ J} = 12.6 \times 10^6 \text{ J}$.
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = (627 + 273) \text{ K} = 900 \text{ K}$.
સિંકનું તાપમાન,$T_2 = (27 + 273) \text{ K} = 300 \text{ K}$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{300}{900}$.
$\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \text{ J} = 8.4 \times 10^6 \text{ J}$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = 1/3$,તેથી $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $40 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2^{\prime} = T_2 - 0.40 T_2 = 0.6 T_2$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta^{\prime} = 1 - \frac{T_2^{\prime}}{T_1} = 1 - \frac{0.6 T_2}{T_1}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\eta^{\prime} = 1 - 0.6 \times \frac{2}{3} = 1 - 0.4 = 0.6$ મળે છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$\eta^{\prime} = 0.6 \times 100 \% = 60 \%$ થાય.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે: $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
હવે,કાર્યક્ષમતા વધારીને $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ કરવાની છે અને $T_1$ ને $400 \ K$ પર અચળ રાખવાનું છે.
ધારો કે નવું સિંક તાપમાન $T_2'$ છે.
તેથી,$0.4 = 1 - \frac{T_2'}{400} \Rightarrow \frac{T_2'}{400} = 1 - 0.4 = 0.6$.
$T_2' = 0.6 \times 400 = 240 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,અપૂર્ણાંક $\frac{T_2}{T_1}$ નું મૂલ્ય શક્ય તેટલું નાનું હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે અંશ $T_2$ (સિંકનું તાપમાન) શક્ય તેટલું નીચું હોય અને છેદ $T_1$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) શક્ય તેટલું ઊંચું હોય.
તેથી,કાર્યક્ષમતા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $T_1$ ઊંચું હોય અને $T_2$ નીચું હોય.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
દરેક કિસ્સા માટે કાર્યક્ષમતાની ગણતરી:
$(A)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 300 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ ($iii$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(B)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 350 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{350}{500} = 1 - 0.7 = 0.3$ ($ii$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(C)$ $T_1 = 800 \text{ K}, T_2 = 400 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$ ($iv$ સાથે મેળ ખાય છે)
$(D)$ $T_1 = 450 \text{ K}, T_2 = 360 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{360}{450} = 1 - 0.8 = 0.2$ ($i$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-ii, C-iv, D-i$ છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ જે સ્ત્રોત તાપમાન $T_1$ અને સિંક તાપમાન $T_2$ વચ્ચે કાર્ય કરે છે,તે $\eta = (1 - \frac{T_2}{T_1}) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે,આપણે સમાન સિંક તાપમાન $T_2 = 300 \ K$ સાથે $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.
આમ,જરૂરી સ્ત્રોત તાપમાન $750 \ K$ છે.

(B) કાર્નોટ ઉષ્મા એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે ઉષ્મા એન્જિન $X$ અને $Y$ સમાન કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે, તેથી $\eta_X = \eta_Y$.
એન્જિન $X$ માટે, સ્ત્રોતનું તાપમાન $900 \,K$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T \,K$ છે. તેથી, $\eta_X = 1 - \frac{T}{900}$.
એન્જિન $Y$ માટે, સ્ત્રોતનું તાપમાન $T \,K$ છે અને સિંકનું તાપમાન $400 \,K$ છે. તેથી, $\eta_Y = 1 - \frac{400}{T}$.
કાર્યક્ષમતાઓને સરખાવતા:
$1 - \frac{T}{900} = 1 - \frac{400}{T}$
$\frac{T}{900} = \frac{400}{T}$
$T^2 = 900 \times 400$
$T^2 = 360000$
$T = \sqrt{360000} = 600 \,K$.
તેથી, તાપમાન $T$ એ $600 \,K$ છે.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક સૂચકાંક $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
કાર્નો ચક્રમાં,એડિબેટિક વિસ્તરણ અવસ્થા $C$ થી અવસ્થા $D$ સુધી થાય છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1}$.
અહીં $V_C = V$ અને $V_D = 32 V$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{V_D}{V_C}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{32 V}{V}\right)^{\frac{7}{5}-1} = (32)^{\frac{2}{5}}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,આપણને મળે છે:
$\frac{T_C}{T_D} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_D}{T_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\eta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે,$Q$ એ ઇનપુટ ઉષ્મા છે,$T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = \frac{1}{4}$. તેથી,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{4} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \implies T_2 = \frac{3}{4}T_1$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $50 \ K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 50$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 33 \frac{1}{3} \% = \frac{1}{3}$ છે.
આમ,$1 - \frac{T_2 - 50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{T_2}{T_1} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ માંથી $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$1 - \frac{3}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
$T_1 = 50 \times 12 = 600 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{3}{4} \times 600 = 450 \ K$.
તેથી,પ્રારંભિક તાપમાન $600 \ K$ અને $450 \ K$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન ત્રણ ગણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_1' = 3T_1$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{3T_1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\eta_2 = 2\eta_1$.
તેથી,$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2(1 - \frac{T_2}{T_1})$.
$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - \frac{2T_2}{T_1}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{2T_2}{T_1} - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - 1$.
$\frac{6T_2 - T_2}{3T_1} = 1$.
$\frac{5T_2}{3T_1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{5} = 0.6$.
આ કિંમતને પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta_1 = 1 - 0.6 = 0.4$.
આમ,પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $40 \%$ છે.

(D) ધારો કે સ્ત્રોતનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ અને સિંકનું તાપમાન $T_2$ છે. પ્રારંભિક કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $25 \%$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_1' = 1.25 T_1$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{T_2}{1.25 T_1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\eta' = \eta + 0.80 \eta = 1.8 \eta$.
સમીકરણો મૂકતા: $1 - \frac{T_2}{1.25 T_1} = 1.8 \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right)$.
સરળતા માટે $T_1 = 100 \text{ K}$ લેતા,$\eta = 1 - \frac{T_2}{100}$.
તેથી $1 - \frac{T_2}{125} = 1.8 \left( 1 - \frac{T_2}{100} \right)$.
$1 - \frac{T_2}{125} = 1.8 - 0.018 T_2$.
$0.018 T_2 - 0.008 T_2 = 1.8 - 1 \Rightarrow 0.01 T_2 = 0.8 \Rightarrow T_2 = 80 \text{ K}$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{80}{125} = \frac{125 - 80}{125} = \frac{45}{125} = 0.36 = 36 \%$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ છે.
મલ્ટી-સ્ટેજ કાર્નોટ એન્જિનમાં,એકંદર કાર્યક્ષમતા ફક્ત પ્રારંભિક સ્ત્રોત તાપમાન અને અંતિમ સિંક તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
અહીં,પ્રારંભિક સ્ત્રોત તાપમાન $T_{\text{source}} = T$ છે અને અંતિમ સિંક તાપમાન $T_{\text{sink}} = \beta T$ છે.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{\beta T}{T} = 1 - \beta$.

(D) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{200}{400} = 1 - 0.5 = 0.5$,તેથી $W = 0.5 Q_1$.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $COP = \frac{Q_4}{W} = \frac{T_4}{T_3 - T_4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{Q_4}{W} = \frac{250}{350 - 250} = \frac{250}{100} = 2.5$,તેથી $W = \frac{Q_4}{2.5} = 0.4 Q_4$.
એન્જિન રેફ્રિજરેટરને ચલાવે છે,તેથી એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કાર્ય $W$ એ રેફ્રિજરેટર દ્વારા વપરાયેલ કાર્ય $W$ જેટલું જ છે.
તેથી,$0.5 Q_1 = 0.4 Q_4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_4}{Q_1} = \frac{0.5}{0.4} = 1.25$.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટર માટે,$\frac{Q_3}{T_3} = \frac{Q_4}{T_4}$,તેથી $Q_3 = Q_4 \left( \frac{T_3}{T_4} \right) = Q_4 \left( \frac{350}{250} \right) = 1.4 Q_4$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{Q_3}{Q_4} \times \frac{Q_4}{Q_1} = 1.4 \times 1.25 = 1.75$ મેળવીએ છીએ.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન $(T_2 = 500 \ K)$ છે.
$\eta_1 = 50\% = 0.5$ માટે:
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \Rightarrow \frac{500}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 1000 \ K$.
$\eta_2 = 80\% = 0.8$ માટે,ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1' = T_1 + \Delta T$ છે:
$0.8 = 1 - \frac{500}{T_1 + \Delta T} \Rightarrow \frac{500}{T_1 + \Delta T} = 0.2$.
$T_1 + \Delta T = \frac{500}{0.2} = 2500 \ K$.
કારણ કે $T_1 = 1000 \ K$,તેથી વધારો $\Delta T = 2500 \ K - 1000 \ K = 1500 \ K$ થાય.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
એડિબેટિક વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = 0.4 = \frac{2}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે કદ $32$ ના ગુણાંકમાં વધે છે,એટલે કે $V_2 = 32 V_1$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( (2^5)^{-1} \right)^{2/5} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
હવે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$\eta = 75 \%$.

(D) કરેલું કાર્ય, $W = 2000 \,J$.
પર્યાવરણમાં મુક્ત થતી ઉષ્મા, $Q_2 = 4000 \,J$.
ધારો કે એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_1$ છે.
ચક્ર માટે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q_1 = W + Q_2$.
$Q_1 = 2000 \,J + 4000 \,J = 6000 \,J$.
થર્મલ કાર્યક્ષમતા, $\eta = \frac{W}{Q_1} \times 100 \%$.
$\eta = \frac{2000}{6000} \times 100 \% = \frac{1}{3} \times 100 \% \approx 33.3 \%$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ ઇનટેક તાપમાન છે અને $T_2$ એ એક્ઝોસ્ટ તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta_1 = 50 \% = 0.5$ અને $T_1 = 500 \ K$.
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.5 \implies T_2 = 250 \ K$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\eta_2 = 60 \% = 0.6$ અને એક્ઝોસ્ટ તાપમાન $T_2$ સમાન એટલે કે $250 \ K$ રહે છે. ધારો કે નવું ઇનટેક તાપમાન $T_1'$ છે.
$0.6 = 1 - \frac{250}{T_1'} \implies \frac{250}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_1' = \frac{250}{0.4} = \frac{2500}{4} = 625 \ K$.

(A) કાર્નોટ ચક્રમાં,સ્ત્રોત અને સિંક બંનેની ઉષ્મા ધારણ ક્ષમતા અનંત માનવામાં આવે છે.
આ અનંત ઉષ્મા ક્ષમતાને કારણે,તેમાંથી ઉષ્મા લેવાથી કે તેમાં ઉષ્મા મુક્ત કરવાથી તેમના તાપમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ત્રોતનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે,$\eta_1 = 0.4$ અને $T_1 = 500 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \Rightarrow \frac{T_2}{500} = 0.6 \Rightarrow T_2 = 300 \ K$.
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.5$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 \ K$ સમાન રહે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0.5 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
ગોઠવણી કરતા $\frac{300}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q_1$ એ $T_1$ તાપમાને રહેલા સ્ત્રોતમાંથી એન્જિન $C_1$ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા છે,અને $Q_2$ એ $T_2$ તાપમાને $C_1$ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉષ્મા છે.
એન્જિન $C_1$ ની કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$ છે.
એન્જિન $C_2$ એ $C_1$ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉષ્મા $Q_2$ શોષે છે અને $T_3$ તાપમાને ઉષ્મા $Q_3$ મુક્ત કરે છે.
એન્જિન $C_2$ ની કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_3}{T_2} = \frac{Q_2 - Q_3}{Q_2}$ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = (Q_1 - Q_2) + (Q_2 - Q_3) = Q_1 - Q_3$ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $Q_1$ છે.
સંયુક્ત એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{Q_3}{Q_1}$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રો પરથી: $Q_2 = Q_1(1 - \eta_1) = Q_1 \frac{T_2}{T_1}$ અને $Q_3 = Q_2(1 - \eta_2) = Q_2 \frac{T_3}{T_2}$.
$Q_3$ ના સમીકરણમાં $Q_2$ ની કિંમત મૂકતા: $Q_3 = \left(Q_1 \frac{T_2}{T_1}\right) \frac{T_3}{T_2} = Q_1 \frac{T_3}{T_1}$.
તેથી,સંયુક્ત એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{T_3}{T_1}$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આપણને $d\eta = \frac{T_2}{T_1^2} dT_1 - \frac{1}{T_1} dT_2$ મળે છે.
$T_1$ માં નાના ફેરફાર માટે ($T_2$ અચળ રાખીને),$\Delta \eta_1 = \frac{T_2}{T_1^2} \Delta T_1 = \frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_1}{T_1} \right) = (1 - \eta) \frac{\Delta T_1}{T_1}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta T_1}{T_1} = 0.4 \%$,તેથી $\Delta \eta_1 = (1 - \eta) \times 0.004$.
$T_2$ માં નાના ફેરફાર માટે ($T_1$ અચળ રાખીને),$\Delta \eta_2 = -\frac{1}{T_1} \Delta T_2 = -\frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_2}{T_2} \right) = -(1 - \eta) \frac{\Delta T_2}{T_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta T_2}{T_2} = 0.2 \%$,તેથી $\Delta \eta_2 = -(1 - \eta) \times 0.002$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\Delta \eta_1}{\Delta \eta_2} = \frac{(1 - \eta) \times 0.004}{-(1 - \eta) \times 0.002} = -2$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$ અથવા $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta}$ મળે છે.
$T_2$ ને અચળ રાખીને કાર્યક્ષમતા $1.5 \eta$ સુધી વધારવા માટે,ધારો કે ગરમ રિઝર્વોયરનું નવું તાપમાન $T_1' = T_1 + \Delta T$ છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $1.5 \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1 + \Delta T}$ છે.
ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{T_2}{T_1 + \Delta T} = 1 - 1.5 \eta$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{T_1 + \Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$.
ડાબી બાજુને અલગ કરતા,$\frac{T_1}{T_2} + \frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{1 - \eta} + \frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta}$ મળે છે.
આમ,$\frac{\Delta T}{T_2} = \frac{1}{1 - 1.5 \eta} - \frac{1}{1 - \eta} = \frac{(1 - \eta) - (1 - 1.5 \eta)}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)} = \frac{0.5 \eta}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)}$.
તેથી,$\Delta T = \frac{0.5 T_2 \eta}{(1 - 1.5 \eta)(1 - \eta)}$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની થર્મલ કાર્યક્ષમતા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
આપેલ છે:
થયેલું કાર્ય $W = 300 \,J$
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 400 \,J$
સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 1000 \,K$
ઠારણનું તાપમાન $T_2 = T$
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{300}{400} = 1 - \frac{T}{1000}$
$\frac{3}{4} = 1 - \frac{T}{1000}$
$T$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{T}{1000} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$T = \frac{1000}{4} = 250 \,K$
આમ, ઠારણનું તાપમાન $250 \,K$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{6}$, તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ} C$ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
આમ, $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા: $\frac{1}{3} = 1 - \frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} + \frac{62}{T_1}$.
ગોઠવતા $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$ મળે, તેથી $\frac{1}{6} = \frac{62}{T_1}$, જેનો અર્થ છે કે $T_1 = 372 \,K$.
સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરતા, $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \,K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે。
પ્રથમ કિસ્સા માટે, $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_2 = 300 \,K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.6 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.6} = 500 \,K$.
બીજા કિસ્સા માટે, $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ અને $T_2 = 300 \,K$.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1^{\prime}} \Rightarrow \frac{300}{T_1^{\prime}} = 0.4 \Rightarrow T_1^{\prime} = \frac{300}{0.4} = 750 \,K$.
સોર્સના તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_1^{\prime} - T_1 = 750 \,K - 500 \,K = 250 \,K$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62 \ K$ જેટલું ઘટાડવામાં આવે છે ($62^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $62 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે),ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
આમ,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા: $\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{4}{6} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} \implies T_1 = 372 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ} C$.
ત્યારબાદ $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$. સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.
તેથી,તાપમાન $99^{\circ} C$ અને $37^{\circ} C$ છે.