Torque and Couple Questions in Hindi

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{F} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ दिया गया है।
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 7 & 4 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 \times 4 - 1 \times 7) - \hat{j}(2 \times 4 - 1 \times 3) + \hat{k}(2 \times 7 - 2 \times 3)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(8 - 7) - \hat{j}(8 - 3) + \hat{k}(14 - 6)$
$\vec{\tau} = 1\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$.

(C) पहिये की त्रिज्या $r = 10\,cm = 0.1\,m$ है।
$1$. $S$ पर $12\,N$ बल के कारण बलाघूर्ण: यह बल स्पर्शरेखीय है,अतः $\tau_1 = F_1 \times r = 12 \times 0.1 = 1.2\,Nm$ (वामावर्त)।
$2$. $P$ पर $5\,N$ बल के कारण बलाघूर्ण: $C$ से बल की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $r \sin(30^\circ) = 0.1 \times 0.5 = 0.05\,m$ है। अतः,$\tau_2 = 5 \times 0.05 = 0.25\,Nm$ (वामावर्त)।
$3$. $Q$ पर $8\,N$ बल के कारण बलाघूर्ण: बल की क्रिया रेखा केंद्र $C$ से होकर गुजरती है,अतः $\tau_3 = 0$.
$4$. $R$ पर $4\,N$ बल के कारण बलाघूर्ण: यह बल स्पर्शरेखीय है,अतः $\tau_4 = F_4 \times r = 4 \times 0.1 = 0.4\,Nm$ (दक्षिणावर्त)।
कुल बलाघूर्ण $\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 - \tau_4 = 1.2 + 0.25 - 0.4 = 1.05\,Nm$ (वामावर्त)।

(C) द्रव्यमान केंद्र के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{N}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष अभिलंब बल $\vec{N}$ के अनुप्रयोग बिंदु का स्थिति सदिश है।
यदि अभिलंब बल सीधे द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरता है,तो बल आघूर्ण शून्य होता है।
हालाँकि,कई भौतिक स्थितियों में,जैसे कि नत समतल पर रखा ब्लॉक या किसी पिंड का पलटना (toppling),अभिलंब बल द्रव्यमान केंद्र से विस्थापित बिंदु पर कार्य करता है।
ऐसे मामलों में,स्थिति सदिश $\vec{r}$ शून्यतर होता है और अभिलंब बल $\vec{N}$ के समानांतर नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक शून्यतर बल आघूर्ण प्राप्त होता है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः अभिलंब प्रतिक्रिया के कारण बल आघूर्ण बल के अनुप्रयोग बिंदु के आधार पर शून्यतर हो सकता है।

(B) किसी बिंदु के परितः बल का आघूर्ण $\tau = \pm F \cdot d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $d$ धुरी से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है। परिपाटी के अनुसार, वामावर्त आघूर्ण धनात्मक $(+)$ और दक्षिणावर्त आघूर्ण ऋणात्मक $(-)$ होते हैं।
$(i)$ बल $F$ के लिए: बल $F$, $A$ से $2a$ की दूरी पर नीचे की ओर कार्य करता है। यह दक्षिणावर्त आघूर्ण उत्पन्न करता है।
आघूर्ण $= -F \cdot (2a) = -2Fa$.
$(ii)$ बल $2F$ के लिए: बल $2F$, $A$ से $a$ की दूरी पर ऊपर की ओर कार्य करता है। यह वामावर्त आघूर्ण उत्पन्न करता है।
आघूर्ण $= +(2F) \cdot a = +2Fa$.
$(iii)$ बल $3F$ के लिए: बल $3F$, $B$ पर ($A$ से $4a$ की दूरी पर) छड़ के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है। $A$ से लंबवत दूरी $d = 4a \sin 30^{\circ} = 4a \cdot (1/2) = 2a$ है। यह बल वामावर्त आघूर्ण उत्पन्न करता है।
आघूर्ण $= +(3F) \cdot (2a) = +6Fa$.
अतः, आघूर्ण $-2Fa, +2Fa, +6Fa$ हैं।

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{F} = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$ दिया गया है,इसलिए सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(B) पहिये की त्रिज्या $r = 20\, cm = 0.2\, m$ है।
टॉर्क $\tau = r \cdot F \cdot \sin \theta$,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश और बल सदिश के बीच का कोण है।
$1$. $A$ पर $4\, N$ बल के लिए: बल स्पर्शरेखीय है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$। यह वामावर्त टॉर्क उत्पन्न करता है: $\tau_A = 0.2 \times 4 \times \sin 90^{\circ} = 0.8\, N-m$ (वामावर्त)।
$2$. $B$ पर $8\, N$ बल के लिए: त्रिज्या रेखा और बल के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। यह दक्षिणावर्त टॉर्क उत्पन्न करता है: $\tau_B = 0.2 \times 8 \times \sin 30^{\circ} = 1.6 \times 0.5 = 0.8\, N-m$ (दक्षिणावर्त)।
$3$. $C$ पर $6\, N$ बल के लिए: बल केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$। $\tau_C = 0.2 \times 6 \times \sin 0^{\circ} = 0\, N-m$।
$4$. $D$ पर $9\, N$ बल के लिए: बल स्पर्शरेखीय है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$। यह दक्षिणावर्त टॉर्क उत्पन्न करता है: $\tau_D = 0.2 \times 9 \times \sin 90^{\circ} = 1.8\, N-m$ (दक्षिणावर्त)।
कुल टॉर्क $\tau_{net} = \tau_A - \tau_B - \tau_D = 0.8 - 0.8 - 1.8 = -1.8\, N-m$।
ऋणात्मक चिह्न दक्षिणावर्त दिशा को दर्शाता है। अतः,कुल टॉर्क $1.8\, N-m$ (दक्षिणावर्त) है।

(C) बल आघूर्ण $\vec \tau$ को स्थिति सदिश $\vec r$ और बल सदिश $\vec F$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec \tau = \vec r \times \vec F$
यहाँ $\vec r = 3\hat i + 2\hat j + 3\hat k$ और $\vec F = 2\hat i - 3\hat j + 4\hat k$ दिया गया है,इसलिए सारणिक की गणना करने पर:
$\vec \tau = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec \tau = \hat i(2 \times 4 - 3 \times (-3)) - \hat j(3 \times 4 - 3 \times 2) + \hat k(3 \times (-3) - 2 \times 2)$
$\vec \tau = \hat i(8 + 9) - \hat j(12 - 6) + \hat k(-9 - 4)$
$\vec \tau = 17\hat i - 6\hat j - 13\hat k$

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।
यहाँ $\vec{r} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{F} = 7 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ दिया गया है।
सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}((-1)(-5) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(7)) + \hat{k}((1)(3) - (-1)(7))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(5 - 3) - \hat{j}(-5 - 7) + \hat{k}(3 + 7)$
$\vec{\tau} = 2 \hat{i} + 12 \hat{j} + 10 \hat{k}$।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार एक दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले एक बल-युग्म पर विचार करें। बल $F$ और $-F$ क्रमशः बिंदुओं $B$ और $A$ पर कार्य करते हैं। मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष इन बिंदुओं के स्थिति सदिश $r_1$ और $r_2$ हैं।
आइए मूल बिंदु $O$ के परितः बलों के आघूर्ण की गणना करें।
बल-युग्म का आघूर्ण,बल-युग्म बनाने वाले दोनों बलों के आघूर्णों का योग होता है:
$\text{आघूर्ण} = r_1 \times (-F) + r_2 \times F$
$= r_2 \times F - r_1 \times F$
$= (r_2 - r_1) \times F$
सदिश योग के त्रिभुज नियम से,हमारे पास $r_1 + AB = r_2$ है,जिसका अर्थ है $AB = r_2 - r_1$।
इस मान को आघूर्ण के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{आघूर्ण} = AB \times F$
चूंकि $AB$ दो बलों के बीच के पृथक्करण को दर्शाने वाला सदिश है,इसलिए बल-युग्म का आघूर्ण केवल बलों और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है,न कि आघूर्ण की गणना के लिए चुने गए मूल बिंदु $O$ पर। अतः,बल-युग्म का आघूर्ण उस बिंदु से स्वतंत्र होता है जिसके परितः आघूर्ण लिया जाता है।

(N/A) घूर्णी गति में टॉर्क की भूमिका स्थानांतरण गति में बल की भूमिका के समान है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले कण $P$ पर एक बल $\vec{F}$ कार्य कर रहा है। $\vec{r}$ और $\vec{F}$ के बीच का कोण $\theta$ है। $\vec{r}$ और $\vec{F}$ का सदिश गुणनफल मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कण पर कार्य करने वाले टॉर्क $\vec{\tau}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
टॉर्क का परिमाण इस प्रकार है:
$\tau = r F \sin \theta$
जहाँ $|\vec{r}| = r$ और $|\vec{F}| = F$ है।
चूँकि $\tau = r F \sin \theta$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tau = (r \sin \theta) F = r_{\perp} F$
जहाँ $r_{\perp} = r \sin \theta$ मूल बिंदु से बल की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है।
वैकल्पिक रूप से:
$\tau = r (F \sin \theta) = r F_{\perp}$
जहाँ $F_{\perp} = F \sin \theta$ स्थिति सदिश के लंबवत बल का घटक है।
इस प्रकार,टॉर्क बिंदु $O$ के सापेक्ष बल का आघूर्ण है।

(N/A) बल-युग्म (Couple) समान और विपरीत बलों का एक जोड़ा है जो किसी पिंड पर अलग-अलग क्रिया रेखाओं (lines of action) के साथ कार्य करते हैं। एक बल-युग्म बिना स्थानांतरण के घूर्णन उत्पन्न करता है।
उदाहरण $1$:
चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार,जब हम किसी बोतल के ढक्कन को घुमाकर खोलते हैं,तो हमारी उंगलियां ढक्कन पर एक बल-युग्म लगाती हैं। ढक्कन स्थानांतरणीय संतुलन (शुद्ध बल शून्य) में होता है लेकिन घूर्णन संतुलन में नहीं होता है।
उदाहरण $2$:
चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार,पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र दिक्सूचक (compass) की सुई के ध्रुवों पर समान और विपरीत बल लगाता है। उत्तरी ध्रुव पर बल उत्तर की ओर और दक्षिणी ध्रुव पर बल दक्षिण की ओर होता है।
जब सुई उत्तर-दक्षिण दिशा में नहीं होती है,तो इन दोनों बलों की क्रिया रेखाएं अलग-अलग होती हैं। अतः,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण सुई पर एक बल-युग्म कार्य करता है,जिससे यह बिना स्थानांतरणीय गति के घूर्णन गति करती है।

(B) बल आघूर्ण (couple) को एक दृढ़ पिंड पर अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बलों के जोड़े के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है $(F_{net} = F - F = 0)$,इसलिए इसमें कोई स्थानांतरीय गति नहीं होती है।
हालाँकि,ये दो बल किसी भी बिंदु के परितः एक नेट टॉर्क उत्पन्न करते हैं,जो पिंड को घुमाता है।
इसलिए,एक बल युग्म शुद्ध घूर्णन गति उत्पन्न करता है।

(N/A) दृढ़ पिंड की घूर्णन गति में जड़त्व आघूर्ण और टॉर्क की भूमिका,स्थानांतरण गति में द्रव्यमान और बल की भूमिका के समान है।
दृढ़ पिंड की घूर्णन गति में,केवल घूर्णन अक्ष के समानांतर टॉर्क के घटकों पर विचार किया जाना चाहिए क्योंकि ये घटक अक्ष के सापेक्ष पिंड को घुमाने के लिए जिम्मेदार होते हैं।
घूर्णन अक्ष के लंबवत टॉर्क के घटक अक्ष को उसकी स्थिति से घुमाने का प्रयास करते हैं। इन लंबवत घटकों के प्रभाव को रद्द करने के लिए,आधार द्वारा आवश्यक प्रतिक्रिया टॉर्क उत्पन्न होता है,जिससे अक्ष स्थिर रहता है। इसलिए,टॉर्क के लंबवत घटकों को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए।
संक्षेप में,टॉर्क की गणना के लिए निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:
$(1)$ हमें केवल उन बलों पर विचार करना चाहिए जो अक्ष के लंबवत समतलों में स्थित होते हैं।
$(2)$ हमें स्थिति सदिश के केवल उन घटकों पर विचार करना चाहिए जो अक्ष के लंबवत होते हैं।

(B) किसी वस्तु को एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णी गति करने के लिए, उस पर बल आघूर्ण $(\tau)$ का अनुभव होना आवश्यक है।
बल आघूर्ण को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\vec{r}$ घूर्णन अक्ष से बल के अनुप्रयोग बिंदु तक का स्थिति सदिश है और $\vec{F}$ प्रयुक्त बल है।
यदि बल की क्रिया रेखा घूर्णन अक्ष से होकर गुजरती है, तो लंबवत दूरी (लीवर आर्म) शून्य होती है, जिसके परिणामस्वरूप बल आघूर्ण शून्य हो जाता है।
इसलिए, घूर्णी गति उत्पन्न करने के लिए, बल की क्रिया रेखा ऐसी होनी चाहिए जो घूर्णन अक्ष को प्रतिच्छेद न करे, जिससे यह सुनिश्चित हो सके कि एक गैर-शून्य बल आघूर्ण कार्य कर रहा है।

(A) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के क्रॉस प्रोडक्ट के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
जब किसी विशिष्ट अक्ष के परितः टॉर्क की गणना की जाती है,तो हम स्थिति सदिश $\vec{r}$ के उस घटक पर विचार करते हैं जो घूर्णन अक्ष के लंबवत होता है।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ का कोई भी घटक जो घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है,वह अक्ष के समानांतर होता है।
चूंकि किसी भी सदिश का घूर्णन अक्ष के समानांतर सदिश के साथ क्रॉस प्रोडक्ट एक ऐसा घटक देता है जो अक्ष के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{r}$ के समानांतर घटक उस अक्ष के अनुदिश टॉर्क में योगदान नहीं करते हैं।
इसलिए,किसी दिए गए अक्ष के परितः टॉर्क निर्धारित करने के लिए केवल स्थिति सदिश के लंबवत घटक ही प्रासंगिक होते हैं।

(C) रेखीय गति में,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ के अनुसार,किसी वस्तु की गति की अवस्था को बदलने के लिए बल $(F)$ जिम्मेदार होता है।
घूर्णन गति में,बल के समान भूमिका निभाने वाली भौतिक राशि बल आघूर्ण या टॉर्क $(\tau)$ है।
टॉर्क को बल का घूर्णन समकक्ष माना जाता है और यह किसी वस्तु की कोणीय गति की अवस्था को बदलने के लिए जिम्मेदार होता है,जिसे संबंध $\tau = I\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।

(C) टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ की दिशा दाएं हाथ के पेंच (स्क्रू) के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि हम एक दाएं हाथ के पेंच को स्थिति सदिश $\vec{r}$ की दिशा से बल सदिश $\vec{F}$ की दिशा में छोटे कोण के माध्यम से घुमाते हैं,तो जिस दिशा में पेंच आगे बढ़ता है,वह टॉर्क सदिश की दिशा देता है।
वैकल्पिक रूप से,यह $\vec{r}$ और $\vec{F}$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होता है।

(C) किसी दृढ़ पिंड के $Z$-अक्ष के परितः घूर्णन के लिए टॉर्क का केवल $Z$-घटक ही उत्तरदायी होता है।
टॉर्क सदिश $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क का $Z$-घटक $\tau_{z} = (x F_{y} - y F_{x})$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,$Z$-अक्ष के परितः घूर्णन के लिए उत्तरदायी घटक $\tau_{z}$ है।

(N/A) बल-युग्म का आघूर्ण,दोनों बलों में से किसी एक बल के परिमाण और दोनों बलों की क्रिया रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र: $\tau = F \times d$
जहाँ:
$\tau$ बल-युग्म का आघूर्ण है,
$F$ किसी एक बल का परिमाण है,
$d$ दोनों बलों के बीच की लंबवत दूरी है।

(B) टॉर्क को बल के घूर्णी अनुरूप के रूप में परिभाषित किया गया है। यह किसी अक्ष के परितः वस्तु की घूर्णी अवस्था को बदलने में बल की प्रभावशीलता को मापता है। गणितीय रूप से,यह स्थिति सदिश और बल सदिश का क्रॉस गुणनफल है,जिसे $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है। इसलिए,यह बल के घूर्णी प्रभाव को दर्शाता है।

(B) आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\tau = \vec{r} \times \vec{F}$ है,जहाँ $\vec{r}$ स्थिति सदिश (हत्थे की लंबाई) है और $\vec{F}$ लगाया गया बल है।
हत्थे की लंबाई बढ़ाने से स्थिति सदिश $\vec{r}$ का परिमाण बढ़ जाता है।
चूंकि $\tau \propto r$,इसलिए हत्थे की लंबाई बढ़ाने से पेंच पर लगने वाला आघूर्ण बढ़ जाता है।
इससे कम प्रयास में पेंच को घुमाना आसान हो जाता है।

(B) टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = \vec{r} \times \vec{F}$ होता है,जहाँ $\vec{r}$ घूर्णन अक्ष (कब्जे) से उस बिंदु तक का स्थिति सदिश है जहाँ बल $\vec{F}$ लगाया जाता है।
हैंडल को कब्जों के विपरीत सिरे पर लगाने से दूरी $r$ अधिकतम हो जाती है।
चूंकि $\tau = rF \sin \theta$ होता है,इसलिए $r$ बढ़ने से समान बल के लिए टॉर्क का मान बढ़ जाता है।
इससे कम बल लगाकर दरवाजे या खिड़की को आसानी से खोला या बंद किया जा सकता है।

(B) नहीं,यह आवश्यक नहीं है कि यह किसी भी मनमाने बिंदु के परितः शून्य हो।
बिंदु $P$ के परितः बलाघूर्ण $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau}_P = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_P) \times \vec{F}_i$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
यदि हम बिंदु को $P'$ पर स्थानांतरित करते हैं,तो नया बलाघूर्ण $\vec{\tau}_{P'} = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_{P'}) \times \vec{F}_i = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_P + \vec{r}_P - \vec{r}_{P'}) \times \vec{F}_i$ होगा।
यह सरल होकर $\vec{\tau}_{P'} = \vec{\tau}_P + (\vec{r}_P - \vec{r}_{P'}) \times \sum \vec{F}_i$ बन जाता है।
चूंकि कुल बल $\sum \vec{F}_i \neq 0$ है,इसलिए बलाघूर्ण $\vec{\tau}_{P'}$ केवल तभी शून्य होगा यदि सदिश $(\vec{r}_P - \vec{r}_{P'})$ कुल बल सदिश $\sum \vec{F}_i$ के समानांतर हो।

(N/A) नहीं,दरवाजे का भार घूर्णन के ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोई बल आघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न नहीं करता है।
टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मामले में,घूर्णन का ऊर्ध्वाधर अक्ष $Y$-अक्ष है। दरवाजे का भार $W$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर कार्य करता है,जो कि ऋणात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में है (अर्थात,$\vec{F} = -W \hat{j}$)।
दरवाजे पर किसी भी बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}$,$XY$ तल में स्थित होता है। चूंकि बल सदिश $\vec{F}$ घूर्णन के अक्ष ($Y$-अक्ष) के समानांतर है,इसलिए भार की कार्य-रेखा घूर्णन के अक्ष से होकर गुजरती है।
गणितीय रूप से,घूर्णन के अक्ष से बल की कार्य-रेखा तक की लंबवत दूरी शून्य है। इसलिए,ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।

(B) बिंदु $\vec{r}_2$ के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,घूर्णन बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश की गणना करें:
$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ की गणना करें:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(3) - (-2)(2)) - \hat{j}(3(3) - (-2)(1)) + \hat{k}(3(2) - 1(1))$
$= \hat{i}(3 + 4) - \hat{j}(9 + 2) + \hat{k}(6 - 1) = 7\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$.
बल आघूर्ण का परिमाण $|\vec{\tau}| = \sqrt{7^2 + (-11)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 121 + 25} = \sqrt{195}$.
इसे $\sqrt{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 195$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\vec{F} = 3 \hat{j} \text{ N}$ और $\vec{r} = 2 \hat{k} \text{ m}$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (2 \hat{k}) \times (3 \hat{j})$.
इकाई सदिशों के सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करने पर: $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
अतः,$\vec{\tau} = 6 (\hat{k} \times \hat{j}) = 6(-\hat{i}) = -6 \hat{i} \text{ Nm}$.

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(5, 5 \sqrt{3})$ cm हैं। बिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0)$ और बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(10, 0)$ हैं।
दिया गया बल $\overrightarrow{F} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ है।
$O$ के सापेक्ष $P$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_1 = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ है।
$O$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau}_O = \overrightarrow{r}_1 \times \overrightarrow{F} = (5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (-15 \hat{k} - 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (-15 - 20 \sqrt{3}) \hat{k}$ है।
$Q$ के सापेक्ष $P$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_2 = (5-10) \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} = -5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ है।
$Q$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau}_Q = \overrightarrow{r}_2 \times \overrightarrow{F} = (-5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (15 \hat{k} + 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (15 + 20 \sqrt{3}) \hat{k}$ है।
अतः,मान $(-15 - 20 \sqrt{3})$ और $(15 + 20 \sqrt{3})$ हैं।

(B) स्थिति सदिश $\vec{r}$,घूर्णन बिंदु $(2, 3, 4)$ से बल के अनुप्रयोग बिंदु तक का सदिश है।
$x = 2$ समतल और $x$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0, 0)$ है।
अतः,$\vec{r} = (2 - 2)\hat{i} + (0 - 3)\hat{j} + (0 - 4)\hat{k} = -3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
बल $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
आघूर्ण $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -4 \\ 4 & 3 & 4 \end{vmatrix}$।
$\vec{\tau} = \hat{i}(-12 - (-12)) - \hat{j}(0 - (-16)) + \hat{k}(0 - (-12))$।
$\vec{\tau} = 0\hat{i} - 16\hat{j} + 12\hat{k}$।
आघूर्ण का परिमाण $|\vec{\tau}| = \sqrt{0^2 + (-16)^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ है।

(B) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(1)(-2) - (2)(4)] - \hat{j} [(2)(-2) - (2)(3)] + \hat{k} [(2)(4) - (1)(3)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-2 - 8] - \hat{j} [-4 - 6] + \hat{k} [8 - 3]$
$\vec{\tau} = -10 \hat{i} + 10 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(C) बलाघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
सदिश गुणनफल के लिए सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -7 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(-7) - (1)(3)] - \hat{j} [(2)(-7) - (1)(5)] + \hat{k} [(2)(3) - (2)(5)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-14 - 3] - \hat{j} [-14 - 5] + \hat{k} [6 - 10]$
$\vec{\tau} = -17 \hat{i} + 19 \hat{j} - 4 \hat{k}$

(B) कुल टॉर्क $\tau_{\text{net}}$ केंद्रीय अक्ष के परितः प्रत्येक बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क का योग है।
$1$. बाहरी रिम पर $45^{\circ}$ के कोण पर बल $F$ के कारण टॉर्क: इस बल का स्पर्शरेखीय घटक $F \cos(45^{\circ})$ है। टॉर्क $\tau_1 = R \cdot F \cos(45^{\circ}) = R \cdot F \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 RF$ है।
$2$. आंतरिक धुरी पर बल $F$ के कारण टॉर्क: यह बल $R/2$ त्रिज्या पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है। टॉर्क $\tau_2 = \frac{R}{2} \cdot F = 0.5 RF$ है।
$3$. बाहरी रिम पर बल $2F$ के कारण टॉर्क: यह बल $R$ त्रिज्या पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है। टॉर्क $\tau_3 = R \cdot 2F = 2 RF$ है।
ये सभी टॉर्क एक ही घूर्णन दिशा (वामावर्त) में कार्य करते हैं। इसलिए,कुल टॉर्क:
$\tau_{\text{net}} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = 0.707 RF + 0.5 RF + 2 RF = 3.207 RF$ है।
निकटतम मान लेने पर,कुल टॉर्क का परिमाण लगभग $3.2 FR$ है।

(C) बल आघूर्ण (टॉर्क) को स्थिति सदिश और बल सदिश के क्रॉस गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।
यहाँ,बल सदिश $\vec{F} = 20 \hat{i} \, N$ है।
बिंदु $(0, 2, 0)$ के सापेक्ष बल के अनुप्रयोग बिंदु $(3, 0, 0)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = (3 - 0) \hat{i} + (0 - 2) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \, m$ है।
अब,क्रॉस गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \times (20 \hat{i})$
$\vec{\tau} = 3 \hat{i} \times 20 \hat{i} - 2 \hat{j} \times 20 \hat{i}$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ होता है:
$\vec{\tau} = 0 - 40 (-\hat{k}) = 40 \hat{k} \, N \cdot m$।
अतः,टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}| = 40 \, N \cdot m$ है।

(D) जिस बिंदु के परितः आघूर्ण ज्ञात करना है,उसके सापेक्ष बल के अनुप्रयोग बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 7 \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} \, m$.
आघूर्ण $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$.
सारणिक की गणना करने पर: $\vec{\tau} = \hat{i} [ (2)(-5) - (4)(3) ] - \hat{j} [ (1)(-5) - (4)(2) ] + \hat{k} [ (1)(3) - (2)(2) ]$.
$\vec{\tau} = \hat{i} [ -10 - 12 ] - \hat{j} [ -5 - 8 ] + \hat{k} [ 3 - 4 ]$.
$\vec{\tau} = -22 \hat{i} + 13 \hat{j} - \hat{k} \, N m$.

(C) किसी बिंदु के परितः टॉर्क $\vec{\tau}$ का सूत्र $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ है।
यहाँ,बल $\vec{F} = -P \hat{k}$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर कार्य करता है।
बिंदु $(2, -3)$ के सापेक्ष मूल बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = (0 - 2)\hat{i} + (0 - (-3))\hat{j} = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ है।
अब,सदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$\vec{\tau} = (-2\hat{i} + 3\hat{j}) \times (-P\hat{k})$
$\vec{\tau} = -P [(-2)(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{j} \times \hat{k})]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,इसलिए:
$\vec{\tau} = -P [(-2)(-\hat{j}) + 3(\hat{i})]$
$\vec{\tau} = -P [2\hat{j} + 3\hat{i}] = P(-3\hat{i} - 2\hat{j})$.
इसे $P(a\hat{i} + b\hat{j})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,इसलिए $\frac{3}{2} = \frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(C) बलाघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times 2 - 1 \times 2) + \hat{k}(1 \times 1 - 1 \times 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 - 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i} - 0\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$.

(A) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ m$ और $\vec{F} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ N$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - 2\hat{k} \ N \cdot m$
$z$-दिशा में टॉर्क $\hat{k}$ इकाई सदिश से जुड़ा घटक है,जो $-2 \ N \cdot m$ है।
इस घटक का परिमाण $|-2| = 2 \ N \cdot m$ है।

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i} (3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j} (7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k} (7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i} (15 - 1) - \hat{j} (35 + 3) + \hat{k} (7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14 \hat{i} - 38 \hat{j} + 16 \hat{k}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए कि केंद्र $O$ से समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबवत दूरी $r$ है।
बल $F$ के कारण बलाघूर्ण $\tau = F \cdot r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है।
चित्र में बलों की दिशाओं को देखने पर,बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ बिंदु $O$ के परितः समान घूर्णन दिशा (जैसे दक्षिणावर्त) में बलाघूर्ण उत्पन्न करते हैं,जबकि $\overrightarrow{F}_{3}$ विपरीत दिशा (जैसे वामावर्त) में बलाघूर्ण उत्पन्न करता है।
बिंदु $O$ पर कुल बलाघूर्ण शून्य होने के लिए,बलाघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए:
$\tau_{1} + \tau_{2} - \tau_{3} = 0$
$rF_{1} + rF_{2} - rF_{3} = 0$
$r$ से भाग देने पर (चूंकि $r \neq 0$):
$F_{1} + F_{2} - F_{3} = 0$
$F_{3} = F_{1} + F_{2}$

(C) एक बल-युग्म (couple) को एक-दूसरे से कुछ दूरी पर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बलों की जोड़ी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए उनका सदिश योग (परिणामी बल) शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि कोई रेखीय (स्थानांतरित) त्वरण उत्पन्न नहीं होता है।
हालाँकि,क्योंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,वे किसी भी बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) उत्पन्न करते हैं,जिससे वस्तु घूमने लगती है।
इसलिए,एक बल-युग्म केवल घूर्णी गति उत्पन्न करता है।

(B) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
यहाँ $\vec{r} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ और $\vec{F} = (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$ दिया गया है:
$\vec{\tau} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = 4 \hat{i} \times (5 \hat{i}) - 4 \hat{i} \times (10 \hat{j}) - 3 \hat{j} \times (5 \hat{i}) + 3 \hat{j} \times (10 \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,और हम जानते हैं कि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 - 40(\hat{k}) - 15(-\hat{k}) + 0$
$\vec{\tau} = -40 \hat{k} + 15 \hat{k}$
$\vec{\tau} = -25 \hat{k} \text{ N m}$

(C) दरवाजे को खोलने या बंद करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है।
आघूर्ण के सिद्धांत के अनुसार, $\tau = r_1 \times F_1 = r_2 \times F_2$.
यहाँ $r_1 = 1.2 \,m$, $F_1 = 1 \,N$, और $r_2 = 0.2 \,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1.2 \,m \times 1 \,N = 0.2 \,m \times F_2$.
अतः, $F_2 = \frac{1.2}{0.2} \,N = 6 \,N$.

(A) बिंदु $P$ का निर्देशांक $(1, -1)$ है,अतः इसका स्थिति सदिश $\vec{r}_P = \hat{i} - \hat{j}$ है।
चूंकि बल मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर कार्य करता है,बिंदु $P$ के सापेक्ष बल के अनुप्रयोग बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{r}_O - \vec{r}_P = 0 - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + \hat{j}$ होगा।
बिंदु $P$ के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर: $\vec{\tau} = F[(\hat{i} \times \hat{k}) - (\hat{j} \times \hat{k})]$।
सदिश गुणन संबंधों $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = F[-\hat{j} - \hat{i}] = -F(\hat{i} + \hat{j})$।

(C) बल-युग्म का आघूर्ण,बलों में से एक के परिमाण और दोनों बलों की क्रिया रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
माना छड़ और बल की दिशा के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
$l$ लंबाई की छड़ के सिरों पर कार्य करने वाले दो समानांतर बलों $F$ के बीच की लंबवत दूरी $d = l \sin \theta$ है।
बल-युग्म का आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = F \times d = F \times l \sin 30^{\circ}$
दिया है $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर:
$\tau = F \times l \times \frac{1}{2}$
$\tau = \frac{F l}{2}$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = \frac{2 \tau}{l}$

(A) दिया गया है: $\vec{F} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश और बल सदिश के क्रॉस गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
सारणिक विधि का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 2 & -5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-2)(-5) - (1)(2)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(5)) + \hat{k}((1)(2) - (-2)(5))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(10 - 2) - \hat{j}(-5 - 5) + \hat{k}(2 + 10)$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} - (-10)\hat{j} + 12\hat{k}$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} + 10\hat{j} + 12\hat{k}$.

(A) दिया गया है कि,
$F_1 = A \hat{j}, r_1 = a \hat{i}$
$F_2 = B \hat{i}, r_2 = b \hat{j}$
बल का आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल के लिए:
$\tau_1 = r_1 \times F_1 = (a \hat{i}) \times (A \hat{j}) = a A (\hat{i} \times \hat{j}) = a A \hat{k}$
दूसरे बल के लिए:
$\tau_2 = r_2 \times F_2 = (b \hat{j}) \times (B \hat{i}) = b B (\hat{j} \times \hat{i}) = b B (-\hat{k}) = -b B \hat{k}$
$O$ के सापेक्ष कुल आघूर्ण है:
$\tau = \tau_1 + \tau_2 = a A \hat{k} - b B \hat{k} = (a A - b B) \hat{k}$