M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाली एक वलय (ring) | vedclass

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Question

(C) वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = \omega$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{Mm}{(M + 2m)} \omega^2 R^2$

Vedclass · Answer

(C) वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = \omega$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2$ है।चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.$R$ दूरी पर दो $m$ द्रव्यमान जोड़ने के बाद नया जड़त्व आघूर्ण $I_f = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ है।अतः,$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$ है।अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} (M + 2m)R^2 \left( \frac{M \omega}{M + 2m} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$ है।गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 - \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$.$\Delta K = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( 1 - \frac{M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{M + 2m - M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{2m}{M + 2m} \right) = \frac{Mm}{(M + 2m)} \omega^2 R^2$.

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