Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(C) પુલને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $=$ ટ્રેનની લંબાઈ $+$ પુલની લંબાઈ.
કુલ અંતર $= 150 \,m + 850 \,m = 1000 \,m$.
વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવતા: $45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \,m/s$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{1000 \,m}{12.5 \,m/s} = 80 \,sec$.

(D) ટ્રેનની લંબાઈ $= 100\, m$.
ટ્રેનનો વેગ $= 45\, km/hr = 45 \times \frac{5}{18} = 12.5\, m/s$.
પુલની લંબાઈ $= 1\, km = 1000\, m$.
પુલને સંપૂર્ણ રીતે ઓળંગવા માટે,ટ્રેને ટ્રેનની લંબાઈ અને પુલની લંબાઈના સરવાળા જેટલું કુલ અંતર કાપવું પડે.
કુલ અંતર $= 100\, m + 1000\, m = 1100\, m$.
લીધેલ સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{1100\, m}{12.5\, m/s} = 88\, s$.

(B) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$3\,cm$ અંદર ગયા પછી,તેનો વેગ $u/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
ધારો કે ગોળી સ્થિર થતા પહેલા વધારાનું $x$ અંતર કાપે છે.
આ ગતિ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u/2$,અંતિમ વેગ $0$ અને પ્રવેગ $-a = -u^2/8$ છે.
$v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (u/2)^2 - 2(u^2/8)x$
$0 = u^2/4 - (u^2/4)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\,cm$.

(B) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. ધારો કે અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ $10 \,s$ માટે $(t_1 = 10 \,s)$:
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
${S_1} = 0 \times 10 + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$ .....$(i)$
પછીની $10 \,s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,પહેલા $t = 10 \,s$ સમયે વેગ શોધીએ:
$v = u + at = 0 + a(10) = 10a$.
પછીની $10 \,s$ $(t_2 = 10 \,s)$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $10a$ છે:
${S_2} = (10a)(10) + \frac{1}{2}a(10)^2$
${S_2} = 100a + 50a = 150a$ .....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા:
${S_1} = 50a$ અને ${S_2} = 150a$
તેથી,${S_2} = 3{S_1}$,જેનો અર્થ છે કે ${S_1} = {S_2}/3$.

(C) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $x = a_0 + a_1t + a_2t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a_0 + a_1t + a_2t^2) = 0 + a_1 + 2a_2t$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(a_1 + 2a_2t) = 0 + 2a_2 = 2a_2$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $2a_2$ છે.

(A) આપેલ છે કે વેગ $v$ એ સમય $t$ નું વિધેય છે,$v = kt$,જ્યાં $k = 2 \, m/s^2$ છે.
પ્રથમ $3 \, s$ માં કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં $t = 0$ થી $t = 3$ સુધી સંકલન કરીશું.
$S = \int_{0}^{3} v \, dt = \int_{0}^{3} kt \, dt$.
$k = 2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = \int_{0}^{3} 2t \, dt = [t^2]_{0}^{3}$.
$S = (3)^2 - (0)^2 = 9 \, m$.
તેથી,કાપેલું અંતર $9 \, m$ છે.

(A) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $S$ એ સમય $t$ ના ઘન ના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $S = kt^3$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $S$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^3) = 3kt^2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3kt^2) = 6kt$.
આમ $a = 6kt$ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(a \propto t)$.
તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે.

(A) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_1 = \frac{1}{2}a(p - 1)^2$
$S_2 = \frac{1}{2}ap^2$
આ બંને સ્થાનાંતરોનો સરવાળો કરતા:
$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}a(p^2 - 2p + 1) + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}a(2p^2 - 2p + 1)$
હવે,$n^{th}$ સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = (p^2 - p + 1)$ માટે,સ્થાનાંતર:
$S_{(p^2 - p + 1)^{th}} = 0 + \frac{a}{2}[2(p^2 - p + 1) - 1] = \frac{a}{2}[2p^2 - 2p + 2 - 1] = \frac{a}{2}(2p^2 - 2p + 1)$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(p^2 - p + 1)^{th}$ સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર $S_1 + S_2$ જેટલું છે.

(B) આપેલ વેગ $v = 4t^3 - 2t$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 2t) = 12t^2 - 2$.
સ્થાન $x = \int v\,dt = \int (4t^3 - 2t)\,dt = t^4 - t^2$ ($t=0$ સમયે $x=0$ લેતા).
જ્યારે પદાર્થ $x = 2\, m$ પર હોય,ત્યારે $t^4 - t^2 = 2$,અથવા $t^4 - t^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $u = t^2$,તો $u^2 - u - 2 = 0$,જેના અવયવ $(u - 2)(u + 1) = 0$ થાય.
$t^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t^2 = 2$,એટલે કે $t = \sqrt{2}\,s$.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $t^2 = 2$ મૂકતા: $a = 12(2) - 2 = 24 - 2 = 22\,m/s^2$.

(B) ધારો કે $u_1, u_2, u_3$ અને $u_4$ એ અનુક્રમે $t = 0, t_1, (t_1 + t_2)$ અને $(t_1 + t_2 + t_3)$ સમયે વેગ છે અને $a$ એ સમાન પ્રવેગ છે.
સરેરાશ વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}, v_2 = \frac{u_2 + u_3}{2}, v_3 = \frac{u_3 + u_4}{2}$
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u_2 = u_1 + at_1$
$u_3 = u_1 + a(t_1 + t_2)$
$u_4 = u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3)$
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા:
$v_1 - v_2 = \frac{u_1 + u_2 - u_2 - u_3}{2} = \frac{u_1 - u_3}{2} = \frac{u_1 - (u_1 + a(t_1 + t_2))}{2} = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$
$v_2 - v_3 = \frac{u_2 + u_3 - u_3 - u_4}{2} = \frac{u_2 - u_4}{2} = \frac{(u_1 + at_1) - (u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3))}{2} = -\frac{a(t_2 + t_3)}{2}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_1 - v_2}{v_2 - v_3} = \frac{-a(t_1 + t_2) / 2}{-a(t_2 + t_3) / 2} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 + t_3}$
આમ,$(v_1 - v_2) : (v_2 - v_3) = (t_1 + t_2) : (t_2 + t_3)$.

(B) આપેલ છે કે પ્રવેગ $a(t) = at$ એ સમયનું વિધેય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,$a = \frac{dv}{dt}$.
તેથી,$dv = a(t) \, dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u$ થી $t$ સમયે અંતિમ વેગ $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} (at) \, dt$.
$[v]_{u}^{v} = a \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t}$.
$v - u = \frac{at^2}{2}$.
$v = u + \frac{at^2}{2}$.
આમ,સાચો સંબંધ $v = u + \frac{at^2}{2}$ છે.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કપાયેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$,પ્રવેગ $a = -2 \ m/s^2$ (કારણ કે તે પ્રતિપ્રવેગ છે),અને $n = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_5 = 10 + \frac{-2}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 10 - 1(10 - 1)$
$S_5 = 10 - 9 = 1 \ m$.
તેથી,$5^{th}$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કપાયેલું અંતર $1 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,અંતર $S = 10\,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (20)^2 + 2 \times a \times 10$.
$0 = 400 + 20a$.
$20a = -400$.
$a = -20\,m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $-20\,m/s^2$ છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $10\,m/s$
સમાન પ્રવેગ $(a)$ = $2\,m/s^2$
સમયગાળો $(t)$ = $4\,s$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + at$
કિંમતો મૂકતા:
$v = 10 + (2 \times 4)$
$v = 10 + 8$
$v = 18\,m/s$
તેથી,$4\,s$ પછીનો વેગ $18\,m/s$ છે.

(C) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ધારો કે અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $2$ સેકન્ડ ($t = 2$ s) માટે,અંતર $x$ છે:
$x = 0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2a$.
પ્રથમ $4$ સેકન્ડ ($t = 4$ s) માટે,કુલ કાપેલું અંતર $x + y$ છે:
$x + y = 0(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 8a$.
સમીકરણમાં $x = 2a$ મૂકતા:
$2a + y = 8a$
$y = 6a$.
હવે,$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{y}{x} = \frac{6a}{2a} = 3$.
તેથી,$y = 3x$.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 7 \, m/s$,પ્રવેગ $a = 4 \, m/s^2$,અને સમય $n = 5 \, s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_5 = 7 + \frac{4}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 7 + 2(10 - 1)$
$S_5 = 7 + 2(9)$
$S_5 = 7 + 18 = 25 \, m$.
તેથી,$5^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $25 \, m$ છે.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલા અંતરનું સૂત્ર છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$.
પ્રવેગ $a = 8\,m/s^2$.
સમય $n = 5$ મી સેકન્ડ.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$S_5 = 0 + \frac{8}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 4(10 - 1)$
$S_5 = 4 \times 9$
$S_5 = 36\,m$.
આમ,પાંચમી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $36\,m$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 1 \, km/s = 1000 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 9 \, km/s = 9000 \, m/s$,અંતર $s = 4 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(9000)^2 = (1000)^2 + 2 \times a \times 4$
$81,000,000 - 1,000,000 = 8a$
$80,000,000 = 8a$
$a = 10^7 \, m/s^2$.
હવે,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9000 = 1000 + 10^7 \times t$
$8000 = 10^7 \times t$
$t = \frac{8000}{10^7} = 8 \times 10^{-4} \, s$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$
અંતિમ વેગ $v = -2 \, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે)
સમય $t = 4 \, s$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$
કિંમતો મૂકતા: $-2 = 10 + a \times 4$
$-2 - 10 = 4a$
$-12 = 4a$
$a = -3 \, m/s^2$
તેથી,ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $-3 \, m/s^2$ છે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = a + bt + ct^2 - dt^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt + ct^2 - dt^4) = b + 2ct - 4dt^3$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b + 2ct - 4dt^3) = 2c - 12dt^2$.
પ્રારંભિક સમય $t = 0$ પર:
પ્રારંભિક વેગ $v_{initial} = b + 2c(0) - 4d(0)^3 = b$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $a_{initial} = 2c - 12d(0)^2 = 2c$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $b$ છે અને પ્રારંભિક પ્રવેગ $2c$ છે.

(A) વાહનનું સ્ટોપિંગ અંતર $S$ એ સૂત્ર $S = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
સમાન કાર અને સમાન બ્રેકિંગ ફોર્સ માટે $a$ અચળ હોવાથી,આપણને $S \propto u^2$ મળે છે.
અહીં $u_1 = 40 \, km/h$ અને $S_1 = 2 \, m$ આપેલ છે.
$u_2 = 80 \, km/h$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{S_2}{2} = \left( \frac{80}{40} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$S_2 = 2 \times 4 = 8 \, m$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\,m/s$ (કારણ કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે).
પ્રવેગ,$a = 5\,m/s^2$.
સમય,$t = 10\,s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + at$
કિંમતો મૂકતા:
$v = 0 + (5\,m/s^2 \times 10\,s)$
$v = 50\,m/s$.
તેથી,$10\,s$ ના અંતે તેની તત્કાલીન ઝડપ $50\,m/s$ છે.

(A) પદાર્થ દ્વારા $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ થાય.
$4^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 4)$: $S_4 = \frac{a}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{a}{2}(7) = \frac{7a}{2}$.
$3^{rd}$ સેકન્ડ માટે $(n = 3)$: $S_3 = \frac{a}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{a}{2}(5) = \frac{5a}{2}$.
$4^{th}$ સેકન્ડ અને $3^{rd}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર: $\frac{S_4}{S_3} = \frac{7a/2}{5a/2} = \frac{7}{5}$.

(B) પ્રવેગ $a$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \frac{dv}{dt}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $dv = a\,dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $v = \int a\,dt + C$ મળે છે.
અહીં $a = 3t^2 + 2t + 2$ આપેલ છે,તેથી $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$v = \int (3t^2 + 2t + 2) dt = t^3 + t^2 + 2t + C$.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $u = 2\,m/s$ છે,તેથી $2 = (0)^3 + (0)^2 + 2(0) + C$,જે પરથી $C = 2$ મળે છે.
આમ,વેગનું વિધેય $v(t) = t^3 + t^2 + 2t + 2$ છે.
$t = 2\,s$ સમયે,વેગ $v(2) = (2)^3 + (2)^2 + 2(2) + 2 = 8 + 4 + 4 + 2 = 18\,m/s$ થાય.

(D) સ્થાનાંતર $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a = 0$ લો:
$6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકો:
$v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m s^{-1}$.

(D) ખોટું છે: ધારો કે એક દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,તે ક્ષણિક સ્થિર $(v = 0)$ હોય છે,પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ હજુ પણ નીચેની તરફ કાર્યરત હોય છે.
$B$ ખોટું છે: ધીમી પડતી ગતિ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ (deceleration) ધન હોય છે.
$C$ ખોટું છે: કાપેલું અંતર હંમેશા ધન અદિશ રાશિ છે,ગતિની દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વગર.
$D$ સાચું છે: ગતિશાસ્ત્રના બીજા સમીકરણ મુજબ,$x = x_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$. $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન $(x_0)$,પ્રારંભિક વેગ $(u)$ અને અચળ પ્રવેગ $(a)$ જાણીને,આપણે કોઈપણ ભવિષ્યના સમય $t$ પર સ્થાનાંતર $(x)$ નક્કી કરી શકીએ છીએ.

(C) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતરનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \,m/s$ છે.
$6^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર $S_6 = 120 \,cm = 1.2 \,m$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.2 = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 6 - 1)$
$1.2 = \frac{a}{2}(11)$
$a = \frac{1.2 \times 2}{11} = \frac{2.4}{11} \approx 0.218 \,m/s^2$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $a \approx 0.22 \,m/s^2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 144 \, km/h = 144 \times \frac{5}{18} \, m/s = 40 \, m/s$,અને સમય $t = 20 \, s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$40 = 0 + a \times 20 \Rightarrow a = 2 \, m/s^2$.
હવે,ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$:
$s = 0 \times 20 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \, m$.
તેથી,કાપેલું અંતર $400 \, m$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \text{ m/s}$ (કારણ કે ટ્રેન સ્થિર થાય છે).
અંતર $s = 200 \text{ m}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2as$,જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે.
$0^2 = (20)^2 - 2 \times a \times 200$.
$0 = 400 - 400a$.
$400a = 400$.
$a = 1 \text{ m/s}^2$.
તેથી,પ્રતિપ્રવેગ $1 \text{ m/s}^2$ છે.

(A) સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,સમય $t$ પછીનું સ્થાનાંતર $S$ ગતિના બીજા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન પ્રવેગી ગતિ માટેના ગતિના સમીકરણો મુજબ:
$v = u + at$
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$v^2 = u^2 + 2aS$
જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$v$ એ અંતિમ વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે,$t$ એ સમય છે અને $S$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સંબંધ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.

(B) ધારો કે કાર $A$ અને $B$ સમય $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે. મળવાના બિંદુએ,બંને કાર દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
કાર $A$ માટે જે સમાન વેગથી ગતિ કરે છે: $S_A = v_A \times t = 40t$.
કાર $B$ માટે જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે: $S_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 = 2t^2$.
કારણ કે $S_A = S_B$,તેથી $40t = 2t^2$.
બંને બાજુને $2t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને),આપણને $t = 20\, s$ મળે છે.

(C) જ્યારે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ અચળ પ્રવેગ $(a)$ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે,ત્યારે $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S = \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે સમયગાળો $T = 5\, s$ છે.
પ્રથમ $5\, s$ $(t=T)$ માં કાપેલું અંતર: ${S_1} = \frac{1}{2}aT^2$.
પ્રથમ $10\, s$ $(t=2T)$ માં કાપેલું અંતર: ${S_1} + {S_2} = \frac{1}{2}a(2T)^2 = 4 \times (\frac{1}{2}aT^2) = 4{S_1}$. તેથી,${S_2} = 3{S_1}$.
પ્રથમ $15\, s$ $(t=3T)$ માં કાપેલું અંતર: ${S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}a(3T)^2 = 9 \times (\frac{1}{2}aT^2) = 9{S_1}$. તેથી,${S_3} = 9{S_1} - ({S_1} + {S_2}) = 9{S_1} - 4{S_1} = 5{S_1}$.
આમ,ગુણોત્તર ${S_1}:{S_2}:{S_3} = 1:3:5$ મળે છે.
આથી,${S_1} = \frac{1}{3}{S_2} = \frac{1}{5}{S_3}$ થાય.

(A) ધારો કે $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ $5\,s$ માટે,અંતર $s_5 = 10\,m$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow 10 = 5u + \frac{1}{2}a(5)^2 \Rightarrow 10 = 5u + 12.5a \Rightarrow 2u + 5a = 4$ ...$(i)$
પ્રથમ $8\,s$ $(5\,s + 3\,s)$ માટે,અંતર $s_8 = 10\,m + 10\,m = 20\,m$:
$20 = 8u + \frac{1}{2}a(8)^2 \Rightarrow 20 = 8u + 32a \Rightarrow 2u + 8a = 5$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(2u + 8a) - (2u + 5a) = 5 - 4 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}\,m/s^2$.
$a$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $2u + 5(\frac{1}{3}) = 4 \Rightarrow 2u = 4 - \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \Rightarrow u = \frac{7}{6}\,m/s$.
હવે,કુલ $10\,s$ માં કાપેલું અંતર $(s_{10})$:
$s_{10} = u(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = (\frac{7}{6})(10) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3})(100) = \frac{70}{6} + \frac{50}{3} = \frac{70 + 100}{6} = \frac{170}{6} \approx 28.33\,m$.
પછીની $2\,s$ માં કાપેલું અંતર $s_{10} - s_8 = 28.33 - 20 = 8.33\,m \approx 8.3\,m$.

(A) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $s \propto t^2$.
આને $s = kt^2$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,પ્રવેગ $a = 2k$ પણ અચળ છે. તેથી,કણ અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(D) આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v = at$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતર $x$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું સંકલન છે: $x = \int v \ dt$.
આપેલ સમીકરણ મૂકતા: $x = \int (at) \ dt = \frac{1}{2}at^2$.
પ્રથમ $4 \ s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $t = 4 \ s$ મૂકીએ:
$x = \frac{1}{2} \times a \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times a \times 16 = 8a$.
તેથી,કાપેલું અંતર $8a$ છે.

(B) આપેલ છે: અંતર $(s)$ = $3.06 \ m$,સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ = $0.34 \ ms^{-1}$,વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ = $0.18 \ ms^{-1}$.
સૌ પ્રથમ,સમય $(t)$ શોધો: $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{3.06}{0.34} = 9 \ s$.
હવે,સમાન પ્રવેગ $(a)$ શોધો: $a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{0.18}{9} = 0.02 \ ms^{-2}$.

(A) $n$મી સેકન્ડમાં પદાર્થે કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$5$મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{A,5} = 0 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_1}{2}$ છે.
પદાર્થ $B$ એ $A$ ના $2$ સેકન્ડ પછી ગતિ શરૂ કરે છે. તેથી,$A$ ની ગતિ શરૂ થયાની $5$મી સેકન્ડ એ પદાર્થ $B$ માટે તેની ગતિની $(5 - 2) = 3$જી સેકન્ડ થાય.
પદાર્થ $B$ દ્વારા તેની $3$જી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{B,3} = 0 + \frac{a_2}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_2}{2}$ છે.
આપેલ છે કે આ અંતરો સમાન છે: $\frac{9a_1}{2} = \frac{5a_2}{2}$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $9a_1 = 5a_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{9}$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 200\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 100\,m/s$,સ્થાનાંતર $s = 10\,cm = 0.1\,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(100)^2 = (200)^2 + 2 \times a \times 0.1$.
$10000 = 40000 + 0.2a$.
$0.2a = 10000 - 40000 = -30000$.
$a = -30000 / 0.2 = -150000\,m/s^2 = -15 \times 10^4\,m/s^2$.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,જે $15 \times 10^4\,m/s^2$ છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. જો બળ $F$ નું મૂલ્ય અને દિશા બંને નિશ્ચિત હોય,તો પ્રવેગ $a = F/m$ પણ મૂલ્ય અને દિશામાં અચળ રહે છે.
જો કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે અથવા બળની દિશામાં ગતિ કરે,તો વેગ ફક્ત તે જ રેખા પર બદલાશે.
જો કણ પાસે બળને સમાંતર ન હોય તેવો પ્રારંભિક વેગ હોય,તો માર્ગ પરવલયાકાર હોય છે (જેમ કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ).
જો કે,આ ભૌતિક વિજ્ઞાનની સમસ્યાના સંદર્ભમાં,જ્યારે બળ નિશ્ચિત હોય,ત્યારે કણ સુરેખ માર્ગે ગતિ કરે છે.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે,અને $s$ એ સ્ટોપિંગ અંતર છે.
$v = 0$ હોવાથી,આપણને $-u^2 = 2as$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $s = \frac{u^2}{2|a|}$.
આ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ અંતર $s \propto u^2$ છે.
આપેલ છે કે $u_1 = 50 \,km/hr$ અને $s_1 = 6 \,m$.
$u_2 = 100 \,km/hr$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ થાય.
$\frac{s_2}{6} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$s_2 = 4 \times 6 = 24 \,m$.

(A) પદાર્થ $A$ માટે,$u = 0$ પ્રારંભિક વેગ અને $a$ પ્રવેગ સાથે $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર ગતિના સમીકરણ મુજબ: $s_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે,$v$ જેટલા અચળ વેગ સાથે $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર: $s_B = vt$ છે.
બંને પદાર્થો એક જ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $t$ સમય પછી મળે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ: $s_A = s_B$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2}at^2 = vt$.
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને): $\frac{1}{2}at = v$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $t = \frac{2v}{a}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતિમ વેગ $v = 27.5 \,m/s$ સમય $t = 10 \,s$ પર.
પ્રથમ,પ્રવેગ $a$ ની ગણતરી કરો:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{27.5 - 0}{10} = 2.75 \,m/s^2$.
પછીની $10 \,s$ માટે,પ્રારંભિક વેગ એ પ્રથમ $10 \,s$ ના અંતે રહેલો વેગ છે,જે $u' = 27.5 \,m/s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = u't + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરીને પછીની $10 \,s$ માટે:
$S = (27.5 \times 10) + \frac{1}{2} \times 2.75 \times (10)^2$
$S = 275 + \frac{1}{2} \times 2.75 \times 100$
$S = 275 + 137.5 = 412.5 \,m$.

(C) આપેલ છે કે કણનો વેગ $v = (180 - 16x)^{1/2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ ને $a = \frac{dv}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dt} = v$,તેથી $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ થાય.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}(180 - 16x)^{-1/2} \cdot (-16) = -8(180 - 16x)^{-1/2}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = (180 - 16x)^{1/2} \cdot [-8(180 - 16x)^{-1/2}]$.
$a = -8 \cdot (180 - 16x)^{1/2 - 1/2} = -8 \cdot (180 - 16x)^0$.
$a = -8 \cdot 1 = -8 \text{ m/s}^2$.

(D) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x$ એ સમય $t$ ના ઘન ના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$x = K t^3$,જ્યાં $K$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(K t^3) = 3 K t^2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3 K t^2) = 6 K t$.
અહીં $6$ અને $K$ અચળાંક હોવાથી,$a \propto t$ મળે છે.
તેથી,કણનો પ્રવેગ સમયના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 2(t - 1)$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$dv = 2(t - 1) \, dt$
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 5$ સુધી સંકલન કરતા:
$v = \int_{0}^{5} 2(t - 1) \, dt$
$v = 2 \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{0}^{5}$
$v = 2 \left[ \left( \frac{5^2}{2} - 5 \right) - (0 - 0) \right]$
$v = 2 \left( \frac{25}{2} - 5 \right) = 2 \left( 12.5 - 5 \right) = 2(7.5) = 15 \, m/s$.

(C) આપેલ છે: પ્રથમ $5 \, s$ માં અંતર $(S_1)$ = $40 \, m$,સમય $(t)$ = $5 \, s$. પછીની $5 \, s$ માં અંતર $(S_2)$ = $65 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $5 \, s$ માટે: $40 = 5u + \frac{1}{2}a(5)^2$ $\Rightarrow 40 = 5u + 12.5a$ ... $(i)$
કુલ $10 \, s$ માટે: $S_1 + S_2 = u(10) + \frac{1}{2}a(10)^2$ $\Rightarrow 40 + 65 = 10u + 50a$ $\Rightarrow 105 = 10u + 50a$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $80 = 10u + 25a$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) માંથી (iii) બાદ કરતા: $(105 - 80) = (10u - 10u) + (50a - 25a)$ $\Rightarrow 25 = 25a$ $\Rightarrow a = 1 \, m/s^2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 1$ મૂકતા: $40 = 5u + 12.5(1)$ $\Rightarrow 5u = 40 - 12.5 = 27.5$ $\Rightarrow u = 5.5 \, m/s$.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$. કારને રોકવામાં આવતી હોવાથી,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
તેથી,$0 = u^2 - 2as$,જે સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s = \frac{u^2}{2a}$ આપે છે.
બંને કાર સમાન હોવાથી અને સમાન બ્રેકિંગ ફોર્સ હેઠળ રોકાતી હોવાથી,પ્રતિપ્રવેગ $a$ બંને માટે સમાન રહેશે.
આમ,$s \propto u^2$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{s_1}{s_2} = \left( \frac{u_1}{u_2} \right)^2 = \left( \frac{u}{4u} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(C) ધારો કે કાર બિંદુ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $S$ અંતર સુધી $f$ પ્રવેગ સાથે બિંદુ $B$ સુધી ગતિ કરે છે.
બિંદુ $B$ પર કારનો વેગ $v = \sqrt{2fS}$ છે ($v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા).
કાર આ અચળ વેગ $v$ સાથે $t$ સમયમાં $BC = x$ અંતર કાપે છે,તેથી $x = vt = \sqrt{2fS} \cdot t$ ... $(i)$.
બિંદુ $C$ પર,કાર બિંદુ $D$ પર સ્થિર ન થાય ત્યાં સુધી $\frac{f}{2}$ ના દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. ધારો કે અંતર $CD = y$ છે.
$v^2 = u^2 - 2a'y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે: $0 = v^2 - 2(\frac{f}{2})y \implies y = \frac{v^2}{f} = \frac{2fS}{f} = 2S$ ... (ii).
કુલ અંતર $AD = AB + BC + CD = S + x + 2S = 15S$.
$3S + x = 15S \implies x = 12S$.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 12S$ મૂકતા: $12S = \sqrt{2fS} \cdot t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $144S^2 = 2fS \cdot t^2$.
$2S$ વડે ભાગતા: $72S = f \cdot t^2 \implies S = \frac{1}{72}ft^2$.

(B) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = 4(t - 2) + a(t - 2)^2$.
વેગ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[4(t - 2) + a(t - 2)^2] = 4 + 2a(t - 2)$.
પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[4 + 2a(t - 2)] = 2a$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v = 4 + 2a(0 - 2) = 4 - 4a$ છે,જે $4$ નથી (જો $a = 0$ ન હોય તો).
$(b)$ પ્રવેગ $2a$ છે,જે અચળ છે અને મેળવેલા પરિણામ સાથે સુસંગત છે.
$(c)$ $t = 0$ સમયે,$x = 4(0 - 2) + a(0 - 2)^2 = -8 + 4a$ છે,જે $0$ નથી (જો $a = 2$ ન હોય તો).
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) $n$ મી સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$.
$5$ મી સેકન્ડ માટે $(n = 5)$:
$S_{5^{th}} = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a}{2}$.
$t$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.
$t = 5$ સેકન્ડ માટે:
$S_5 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (5)^2 = \frac{25a}{2}$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{S_{5^{th}}}{S_5} = \frac{9a/2}{25a/2} = \frac{9}{25}$ થાય.