Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Gujarati

(A) અચળ ધન પ્રવેગ $a > 0$ સાથેની ગતિ માટે,ગતિનું સમીકરણ $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ $t$ માં દ્વિઘાત હોવાથી અને $t^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,$x-t$ આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય મળે છે.
આ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે,જે સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.

(B) વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int v \, dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે આપેલ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફાર અથવા સ્થાનાંતર $(\Delta x)$ જેટલું હોય છે.

(B) ના,કોઈ ગતિમાન પદાર્થ માટે સ્થાન-સમયનો આલેખ સ્થાન અક્ષની સમાંતર હોઈ શકે નહીં.
જો આલેખ સ્થાન અક્ષની સમાંતર હોય,તો તેનો અર્થ એ થાય કે પદાર્થ એક જ સમયે અનેક સ્થાનો પર છે.
આનો અર્થ એ થાય કે પદાર્થનો વેગ અનંત છે,જે ગતિમાન પદાર્થ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(B) પ્રવેગ-સમયના આલેખમાં $y$-અક્ષ પર પ્રવેગ $a$ અને $x$-અક્ષ પર સમય $t$ લેવામાં આવે છે.
પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int a \, dt$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $dv = a \, dt$ થાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int_{v_1}^{v_2} dv = \int_{t_1}^{t_2} a \, dt$,જે $\Delta v = v_2 - v_1$ આપે છે.
આમ,પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ આપેલા સમયગાળા દરમિયાન કણના વેગમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે.

(A) $v-t$ આલેખનો ઢાળ $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે પ્રવેગ દર્શાવે છે.
$v-t$ આલેખ વડે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

(B) સ્પીડોમીટર સમયના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે વેગનું મૂલ્ય માપે છે,જેને તત્કાલીન ઝડપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે ગતિની દિશા વિશે માહિતી આપતું નથી,તેથી તે વેગ માપી શકતું નથી.

(A) સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વેગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આલેખ સુરેખ હોવાથી,તેનો ઢાળ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો વેગ અચળ છે.
પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વેગ અચળ હોવાથી,વેગમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય છે.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $0 \ m/s^2$ છે અને વેગ અચળ છે.

(A) $v-t$ આલેખનો ઢાળ એ પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.
ઢાળ $a = \tan \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સમય અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta_{1} = 30^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 45^{\circ}$ આપેલ છે.
તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,પ્રવેગનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{3}$ છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે છે.
જો પદાર્થનો વેગ ઋણ હોય (એટલે કે પદાર્થ પસંદ કરેલી ધન દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોય),તો $x-t$ આલેખનો ઢાળ ઋણ મળે છે.

(B) $x-t$ આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
જો પ્રવેગ અચળ હોય,તો વેગ સમાન દરે બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ અચળ નથી.
વેગ એ $x-t$ આલેખનો ઢાળ હોવાથી,બદલાતો વેગ એ સૂચવે છે કે $x-t$ આલેખનો ઢાળ બદલાઈ રહ્યો છે.
તેથી,અચળ પ્રવેગ માટે $x-t$ આલેખ પરવલયાકાર (parabola) હોય છે,સીધી રેખા નથી.
આમ,આપેલું વિધાન ખોટું છે.

(N/A) સ્થાન-સમય $(x-t)$ આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે છે.
આપેલા બંને આલેખોમાં,ઢાળ અચળ અને ઋણ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,બંને કિસ્સાઓમાં પદાર્થનો વેગ ઋણ છે.

(A-III, B-II, C-IV, D-I) આપણે દરેક વક્રના ઢાળનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ,જે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ દર્શાવે છે,અને વક્રતા,જે પ્રવેગ $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ સાથે સંબંધિત છે.
$1$. આલેખ $(A)$: વક્ર $t$-અક્ષને બિંદુ $B$ પર છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે અમુક $t > 0$ માટે સ્થાનાંતર $x = 0$ છે. તેથી,$(A)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
$2$. આલેખ $(B)$: વક્ર $t$-અક્ષની ઉપર રહે છે $(x > 0)$. તે $B_1$ પર ટોચ ધરાવે છે જ્યાં ઢાળ $v = 0$ છે. તેમાં $B_1$ અને $C_1$ ની વચ્ચે વળાંક બદલાવાનું બિંદુ પણ છે જ્યાં $a = 0$ છે. તેથી,$(B)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$3$. આલેખ $(C)$: ઢાળ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ઋણ છે $(v < 0)$ અને વક્ર ઉપરની તરફ ખુલ્લો છે (ઢાળ ઓછો ઋણ બને છે),જેનો અર્થ છે કે $a > 0$ છે. તેથી,$(C)$ એ $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
$4$. આલેખ $(D)$: ઢાળ ધન છે $(v > 0)$ અને વક્ર નીચેની તરફ વળેલો છે (ઢાળ ઘટે છે),જેનો અર્થ છે કે $a < 0$ છે. તેથી,$(D)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
અંતિમ જોડાણ: $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(i)$.

(N/A) તત્કાલીન વેગ એટલે સમયના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે અથવા પથના કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ પદાર્થનો વેગ.
ગાણિતિક રીતે,તે સરેરાશ વેગની મર્યાદા છે જ્યારે સમયગાળો $\Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.
અહીં,$dx$ એ અત્યંત સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર છે અને $dt$ એ અત્યંત સૂક્ષ્મ સમયગાળો છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,સ્થાન-સમયના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુએ તત્કાલીન વેગ તે બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકના ઢાળ (slope) જેટલો હોય છે.

(N/A) આલેખ પરથી,$x=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v_{0}$ છે અને $x=x_{0}$ સમયે વેગ $0$ છે.
$(a)$ $v$-અક્ષ પર $v_{0}$ અંતઃખંડ અને $x$-અક્ષ પર $x_{0}$ અંતઃખંડ ધરાવતી સુરેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{v}{v_{0}} + \frac{x}{x_{0}} = 1$
$v = v_{0} \left(1 - \frac{x}{x_{0}}\right) = v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x$
$(b)$ આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
સંબંધ $v = v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x$ પરથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v_{0}}{x_{0}}$
આ કિંમતોને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = \left(v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x\right) \left(-\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)$
$a = -\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}} + \frac{v_{0}^{2}}{x_{0}^{2}}x$
આ $a = mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}^{2}}$ છે અને અંતઃખંડ $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ છે. આલેખ એક સુરેખા છે જે $x=0$ પર $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ થી શરૂ થાય છે અને $a=0$ પર $x=x_{0}$ માંથી પસાર થાય છે.

(N/A) પથલંબાઈ હંમેશાં ધન હોય છે.
$(b)$ પ્રવેગી ગતિ કરતા પદાર્થના વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ અચળ અને શૂન્યતર હોય છે (જે પ્રવેગ દર્શાવે છે).
$(c)$ જો વેગ-સમયનો આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર હોય,તો વેગ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે (પ્રવેગ શૂન્ય છે).

(A) અંતર-સમય $(d-t)$ આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$(1)$ વેગ ઘટે છે: આ નીચેની તરફ વક્ર (concave down) આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં ઢાળ સમય સાથે ઘટે છે. આ આલેખ $(c)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(2)$ વેગ વધે છે: આ ઉપરની તરફ વક્ર (concave up) આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં ઢાળ સમય સાથે વધે છે. આ આલેખ $(b)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(3)$ વેગ અચળ છે: આ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાને અનુરૂપ છે. આ આલેખ $(a)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1-c, 2-b, 3-a)$ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ kg}$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 1 \cdot (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$.
$v_x - t$ આલેખ $(a)$ માટે:
$1$. $0 \le t \le 1 \text{ s}$ માટે,ઢાળ $a_x = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \text{ m/s}^2$. તેથી,$F_x = 1 \times 2 = 2 \text{ N}$.
$2$. $1 \le t \le 2 \text{ s}$ માટે,ઢાળ $a_x = \frac{0 - 2}{2 - 1} = -2 \text{ m/s}^2$. તેથી,$F_x = 1 \times (-2) = -2 \text{ N}$.
$v_y - t$ આલેખ $(b)$ માટે:
$1$. $0 \le t \le 1 \text{ s}$ માટે,ઢાળ $a_y = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \text{ m/s}^2$. તેથી,$F_y = 1 \times 1 = 1 \text{ N}$.
$2$. $t > 1 \text{ s}$ માટે,વેગ અચળ છે,તેથી $a_y = 0$. તેથી,$F_y = 0 \text{ N}$.
પરિણામી બળ $\vec{F}(t)$:
- $0 \le t \le 1 \text{ s}$ માટે: $\vec{F} = 2\hat{i} + 1\hat{j} \text{ N}$.
- $1 < t \le 2 \text{ s}$ માટે: $\vec{F} = -2\hat{i} + 0\hat{j} = -2\hat{i} \text{ N}$.
- $t > 2 \text{ s}$ માટે: $\vec{F} = 0\hat{i} + 0\hat{j} = 0 \text{ N}$.

(B) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બનતો આકાર એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 5\, s$ અને ઊંચાઈ $h = 8\, m/s$ છે.
અંતર $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
અંતર $= \frac{1}{2} \times 5\, s \times 8\, m/s = 20\, m$.
તેથી,કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $20\, m$ છે.

(A) કાપેલું કુલ અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
$1$. ક્ષેત્રફળ $A_1$ ($t=0$ થી $t=4$ સુધી): આ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $4 \; s$ અને $1 \; s$ છે,અને ઊંચાઈ $4 \; m/s$ છે.
$A_1 = \frac{1}{2} \times (4 + 1) \times 4 = 10 \; m$.
$2$. ક્ષેત્રફળ $A_2$ ($t=4$ થી $t=6$ સુધી): આ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(6 - 4) = 2 \; s$ અને ઊંચાઈ $2 \; m/s$ છે.
$A_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \; m$.
કુલ અંતર $= |A_1| + |A_2| = 10 + 2 = 12 \; m$.

(A) આપેલ વેગ-સ્થળાંતર આલેખ પરથી,$0 \leq x \leq 200 \ m$ માટે,આલેખ $(0, 10)$ અને $(200, 50)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
રેખાનું સમીકરણ $v = mx + C$ છે.
ઢાળ $m = \frac{50 - 10}{200 - 0} = \frac{40}{200} = \frac{1}{5} \ m^{-1}s^{-1}$.
આંતરછેદ $C = 10 \ m/s$.
તેથી,$v = \frac{1}{5}x + 10$.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx} = (\frac{1}{5}x + 10) \frac{d}{dx}(\frac{1}{5}x + 10) = (\frac{1}{5}x + 10)(\frac{1}{5}) = \frac{x}{25} + 2$.
$x = 0$ પર,$a = 2 \ m/s^2$.
$x = 200$ પર,$a = \frac{200}{25} + 2 = 8 + 2 = 10 \ m/s^2$.
$x > 200 \ m$ માટે,$v = 50 \ m/s$ (અચળ).
જેમ કે $v$ અચળ છે,$a = \frac{dv}{dt} = 0$.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ એ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોનું સૌથી નજીકનું પ્રતિનિધિત્વ છે.

(C) ધારો કે $t _{1}$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t _{2}$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v _{0}$ છે.
ગતિના સમીકરણો પરથી:
$v _{0} = \alpha t _{1} \Rightarrow t _{1} = \frac{v _{0}}{\alpha}$
$0 = v _{0} - \beta t _{2} \Rightarrow t _{2} = \frac{v _{0}}{\beta}$
કુલ સમય $t = t _{1} + t _{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$t = \frac{v _{0}}{\alpha} + \frac{v _{0}}{\beta} = v _{0} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$
આમ,મહત્તમ વેગ $v _{0} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ મળે છે.
કાપેલું કુલ અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $t$ પાયો અને $v _{0}$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે:
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times t \times v _{0}$
$v _{0}$ ની કિંમત મૂકતા:
અંતર $= \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{\alpha \beta t ^{2}}{2(\alpha + \beta)}$

(C) આપેલ આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ સ્થળાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v = -\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = v \frac{dv}{dx}$
સૌ પ્રથમ,વિકલન $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v_{0}}{x_{0}}$
હવે,$a$ ના સમીકરણમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \left[-\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}\right] \left[-\frac{v_{0}}{x_{0}}\right]$
$a = \left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}x - \frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$
આ સમીકરણ ધન ઢાળ $\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}$ અને ઋણ આંતરછેદ $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. વિકલ્પો જોતા,આલેખ $C$ એ રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $a$ એ ઋણ મૂલ્યથી શરૂ કરીને $x$ સાથે વધે છે,જે આપણા તારવેલા સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.

(B) પ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખના ઢાળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$.
આપેલ $v-t$ આલેખમાં,$AM$ વિભાગ એ અચળ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. તેથી,આ સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ અચળ અને ઋણ રહે છે.
$MB$ વિભાગ એ અચળ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. તેથી,આ સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ અચળ અને ધન રહે છે.
આમ,પ્રવેગ-સમયનો આલેખ પહેલા અચળ ઋણ મૂલ્ય અને ત્યારબાદ અચળ ધન મૂલ્ય દર્શાવશે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે સ્કૂટર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ છે.
પ્રવેગના તબક્કા દરમિયાન,અંતિમ વેગ $v_{\max} = 0 + a_{1}t_{1}$ છે,તેથી $t_{1} = \frac{v_{\max}}{a_{1}}$.
પ્રતિપ્રવેગના તબક્કા દરમિયાન,અંતિમ વેગ $0 = v_{\max} - a_{2}t_{2}$ છે,તેથી $t_{2} = \frac{v_{\max}}{a_{2}}$.
બંને સમયનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{v_{\max} / a_{1}}{v_{\max} / a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,વેગ-સમયના આલેખનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગના ભાગનો ઢાળ $a_{1} = \tan \theta_{1} = \frac{v_{\max}}{t_{1}}$ છે અને પ્રતિપ્રવેગના ભાગના ઢાળનું મૂલ્ય $a_{2} = \tan \theta_{2} = \frac{v_{\max}}{t_{2}}$ છે.
આમ,$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$.

(A) આ ઉકેલવા માટે,આપણે સ્થાન-સમય $(x-t)$ આલેખનો ઢાળ વિશ્લેષિત કરીશું,જે વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે,અને વક્રતા,જે પ્રવેગ $(a = d^2x/dt^2)$ દર્શાવે છે.
$1$. આલેખ $(A)$: વક્ર $t$-અક્ષને બિંદુ $B$ પર છેદે છે,જ્યાં સ્થાનાંતર $x = 0$ છે. તેથી,$(A) \rightarrow (r)$.
$2$. આલેખ $(B)$: વક્ર $t$-અક્ષની ઉપર રહે છે ($x > 0$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન). ટોચના બિંદુ $B_1$ પર,ઢાળ શૂન્ય છે $(v = 0)$. $B_1$ અને $D_1$ ની વચ્ચે એક વળાંકનું બિંદુ છે જ્યાં વક્રતા બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 0$. તેથી,$(B) \rightarrow (q)$.
$3$. આલેખ $(C)$: ઢાળ હંમેશા ઋણ છે $(v < 0)$ અને વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ છે $(a > 0)$. તેથી,$(C) \rightarrow (s)$.
$4$. આલેખ $(D)$: ઢાળ હંમેશા ધન છે $(v > 0)$ અને વક્ર નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે $(a < 0)$. તેથી,$(D) \rightarrow (p)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$ છે.

(C) કણનો વેગ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{dx}{dt} = \tan \theta$
અહીં આપેલા ખૂણા $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે,તેથી તેમના વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{3}$ છે.

(A) બુલેટ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહી છે. ધારો કે નીચેની દિશા ઋણ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = -100\,m/s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$ નીચેની તરફ છે,તેથી $a = -10\,m/s^2$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ ($0 \le t \le 10\,s$ માટે) વેગ $v = u + at = -100 - 10t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0\,s$ પર,$v = -100\,m/s$ છે.
$t = 10\,s$ પર,$v = -100 - 10(10) = -200\,m/s$ છે.
$t = 10\,s$ પછી,બુલેટ જમીન સાથે અથડાય છે અને સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $10\,s < t \le 20\,s$ માટે $v = 0$ છે.
આલેખ $-100\,m/s$ થી શરૂ થાય છે,$t = 10\,s$ પર $-200\,m/s$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે,અને પછી $t = 10\,s$ થી $t = 20\,s$ સુધી $0$ પર રહે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $t = \sqrt{x} + 4$ છે.
પ્રથમ,$\sqrt{x}$ ને અલગ કરો:
$\sqrt{x} = t - 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = (t - 4)^2$
$x = t^2 - 8t + 16$
હવે,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 8t + 16)$
$\frac{dx}{dt} = 2t - 8$
અંતે,$t = 4$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 2(4) - 8$
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 8 - 8 = 0$

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
$1$. બ્લોક $1$ માટે,વેગ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન $v$ જેટલો અચળ રહે છે કારણ કે ટ્રેક આડો અને ઘર્ષણરહિત છે.
$2$. બ્લોક $2$ માટે,જેમ તે ખાડામાં પ્રવેશે છે,તે સ્થિતિ ઊર્જા મેળવે છે જે ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આમ,ખાડામાં હોય ત્યારે તેની ઝડપ $v$ કરતા વધી જાય છે.
$3$. ખાડો પસાર કર્યા પછી,બ્લોક ફરીથી આડા સ્તર પર ચઢે ત્યારે તેની મૂળ ઝડપ $v$ પર પાછો આવે છે.
$4$. કારણ કે બ્લોક $2$ ટ્રેકનો અમુક ભાગ $v$ કરતા વધારે ઝડપ સાથે કાપે છે,તેથી સમગ્ર અંતર માટે તેની સરેરાશ ઝડપ બ્લોક $1$ ની અચળ ઝડપ $v$ કરતા વધારે હોય છે.
$5$. પરિણામે,બ્લોક $2$ સમાન કુલ આડું અંતર બ્લોક $1$ કરતા ઓછા સમયમાં કાપે છે.

(C) દડાની ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
$1$. $A$ થી $B$ સુધી: સપાટી સમક્ષિતિજ છે,તેથી દડો અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. અંતર-સમયનો આલેખ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
$2$. $B$ થી $C$ સુધી: સપાટી ઢળતી છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે દડો પ્રવેગિત થાય છે. વેગ વધે છે,અને અંતર-સમયનો આલેખ વધતા ઢાળ સાથેનો પરવલયાકાર વળાંક છે.
$3$. $C$ થી $D$ સુધી: સપાટી ફરીથી સમક્ષિતિજ છે,તેથી દડો નવા અચળ વેગથી (પ્રારંભિક વેગ કરતા વધારે) ગતિ કરે છે. અંતર-સમયનો આલેખ $A B$ વિભાગ કરતા વધારે અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં પ્રારંભિક સીધા વિભાગ પછી ઢાળ વધે છે અને ત્યારબાદ ઉચ્ચ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.

(B) પ્રથમ $4 \, s$ માટે,વસ્તુ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ $a = 1 \, m/s^2$ ના સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાન $x$ એ $x = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.
$t = 4 \, s$ પર,વેગ $v = u + at = 0 + (1)(4) = 4 \, m/s$ છે. $t = 4 \, s$ પર સ્થાન $x = \frac{(4)^2}{2} = 8 \, m$ છે.
$t > 4 \, s$ માટે,વસ્તુ $4 \, m/s$ ના અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાન $x$ એ $x = x_0 + v(t - t_0) = 8 + 4(t - 4) = 8 + 4t - 16 = 4t - 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $4 \, m/s$ ના અચળ ધન ઢાળ સાથેની સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આલેખમાં $0 \le t \le 4 \, s$ માટે પરવલયાકાર વક્ર અને $t > 4 \, s$ માટે $t = 4 \, s$ પર સતત ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ. વિકલ્પ $(b)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,કોઈપણ બિંદુએ વેગ તે બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,તેથી ઢાળનું મૂલ્ય ઝડપ દર્શાવે છે.
બિંદુ $P$ પર,સ્પર્શક આડો છે,તેથી ઢાળ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે ઝડપ $0$ છે.
બિંદુ $Q$ પર,ઢાળ નાનો છે (વક્ર પ્રમાણમાં સપાટ છે).
બિંદુ $R$ પર,સ્પર્શક ખૂબ જ તીવ્ર છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળનું મૂલ્ય $|m| = |\tan \theta|$ ત્રણેય બિંદુઓમાં સૌથી વધુ છે.
ઝડપ એ ઢાળનું મૂલ્ય હોવાથી,બિંદુ $R$ પર ઝડપ સૌથી વધુ છે. તેથી,આલેખના અગાઉના ભાગથી બિંદુ $R$ તરફ જતાં ઝડપ વધી રહી છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$1$. કણનો વેગ $v$ એ સ્થાન-સમય $(x-t)$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
$2$. શરૂઆતમાં,$x-t$ આલેખનો ઢાળ ઋણ છે અને વધે છે (ઓછો ઋણ બને છે),ત્યારબાદ તે ધન બને છે અને વધે છે,અને અંતે,તે ધન બને છે અને ઘટે છે (ટોચ પર ઢાળ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે).
$3$. પ્રવેગ $a$ એ વેગના ફેરફારનો દર છે,એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$,જે વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખના ઢાળને અનુરૂપ છે.
$4$. આપેલા $x-t$ આલેખ પરથી,વક્રતા અંતર્મુખ (concave up) થી બહિર્મુખ (concave down) માં બદલાય છે. આ સૂચવે છે કે પ્રવેગ શરૂઆતમાં ધન છે (જેમ વેગ વધે છે) અને અંતે ઋણ બને છે (જેમ વેગ ઘટે છે).
$5$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સમીકરણ $a = p - qt$ (જ્યાં $p, q > 0$) એવા પ્રવેગને દર્શાવે છે જે ધન મૂલ્ય $p$ થી શરૂ થાય છે અને સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,અને અંતે ઋણ બને છે. આ આલેખમાં જોવા મળતી ભૌતિક વર્તણૂક સાથે સુસંગત છે.

(B) ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે. જો કોઈ પદાર્થની ઝડપ બદલાતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેના વેગનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાય છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી વેગના મૂલ્યમાં ફેરફારનો અર્થ એ છે કે વેગ સદિશ પોતે બદલાતો હોવો જોઈએ.
તેથી,જો ઝડપ બદલાતી હોય,તો વેગ પણ બદલાતો હોવો જોઈએ.

(B) કણનું સ્થાન $x = 10t - 2t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $(v)$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનનું સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(10t - 2t^2) = 10 - 4t$.
કણ ક્ષણિક સ્થિર થાય તે માટે,તેનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$v = 0$.
વેગ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$10 - 4t = 0$.
$4t = 10$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, s$.
આમ,કણ $t = 2.5 \, s$ સમયે સ્થિર થાય છે.

(C) પદાર્થનો વેગ એ સ્થાન-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $v = \frac{dx}{dt}$ છે.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તે સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ આલેખમાં,જ્યાં વક્ર પાસે સ્થાનિક મહત્તમ (local maximum) અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ (local minimum) બિંદુઓ છે ત્યાં ઢાળ શૂન્ય છે.
$O$ અને $A$ ની વચ્ચે એક સ્થાનિક મહત્તમ અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોવાથી,આ બે બિંદુઓ પર ઢાળ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,પદાર્થ $2$ વખત સ્થિર થાય છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ઝડપ-સમયના આલેખમાં,ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે અને તે હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન હોવી જોઈએ.
આલેખ $A$ દર્શાવે છે કે ઝડપ ઘટીને શૂન્ય થાય છે અને પછી ફરીથી વધે છે,જે સીધી રેખામાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ભૌતિક રીતે શક્ય છે.
આલેખ $B$ માં ઝડપ ઋણ બને છે,જે અશક્ય છે કારણ કે ઝડપ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
આલેખ $C$ દર્શાવે છે કે સમયની એક જ ક્ષણે,પદાર્થની બે અલગ-અલગ ઝડપ છે,જે અશક્ય છે.
આલેખ $D$ એ સ્થાન-સમયનો આલેખ છે જ્યાં એક જ સ્થાન પર પદાર્થ અનેક સમયે અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે શક્ય છે,પરંતુ પ્રશ્ન સીધી રેખામાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટેના આલેખ વિશે છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,$A$ એ એક માન્ય ઝડપ-સમયનો આલેખ છે જ્યાં ઝડપ હંમેશા $\ge 0$ રહે છે.

(D) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં કણનો વેગ એ રેખાના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\tan \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખા સમયની ધરી ($X$-અક્ષ) સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ આલેખ પરથી:
કણ $A$ માટે,$X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_A = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$A$ નો વેગ $v_A = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
કણ $B$ માટે,$X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_B = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$B$ નો વેગ $v_B = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$v_A : v_B$ નો ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(C) $1$. સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
$2$. આલેખ પરથી,$t=0 \,s$ સમયે,$x=0 \,m$ છે. $t=6 \,s$ સમયે,$x=0 \,m$ છે.
$3$. કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x = x(6) - x(0) = 0 - 0 = 0 \,m$.
$4$. તેથી,સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{0}{6} = 0 \,m/s$.
$5$. તત્કાલીન વેગ એ આપેલા સમયે $x-t$ આલેખનો ઢાળ છે: $v = \frac{dx}{dt}$.
$6$. $t=3 \,s$ સમયે,કણ $t=1 \,s$ થી $t=4 \,s$ ના ગાળામાં છે,જ્યાં સ્થાન $x$ એ $10 \,m$ અચળ છે.
$7$. સ્થાન અચળ હોવાથી,આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે. આમ,$t=3 \,s$ સમયે તત્કાલીન વેગ $0 \,m/s$ છે.

(C) સરેરાશ વેગ $v_{av}$ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે: $v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$.
સરેરાશ વેગ શૂન્ય થવા માટે,કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ સ્થાન $x_f$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $x_i$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આલેખ પરથી,$t_i = 0 \, s$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 6 \, m$ છે.
આપણે એવો સમય $t$ શોધવો છે જ્યાં સ્થાન $x(t) = 6 \, m$ હોય.
આલેખ જોતા,વક્ર $x = 6 \, m$ રેખાને $t = 0 \, s$ પર અને ફરીથી $t = 6 \, s$ પર છેદે છે.
તેથી,$t = 6 \, s$ સમયે,સ્થાનાંતર $\Delta x = 6 \, m - 6 \, m = 0 \, m$ થાય છે.
આમ,$t = 6 \, s$ સમયે સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે.

(D) પદાર્થે કાપેલું અંતર એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમયગાળા $t = 0 \,s$ થી $t = 3 \,s$ માટે, આ ક્ષેત્રફળ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 3 \,s$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \,m/s$ છે।
અંતર $= \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \,m$.
આમ, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
સમયગાળા $t = 0 \,s$ થી $t = 2 \,s$ માટે, અંતર $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \,m$ થાય.
સમયગાળા $t = 0 \,s$ થી $t = 2 \,s$ માં પ્રવેગ એ આલેખનો ઢાળ છે: $a = \frac{4-0}{2-0} = 2 \,ms^{-2}$.
સમયગાળા $t = 2 \,s$ થી $t = 3 \,s$ માં પ્રવેગ એ આલેખનો ઢાળ છે: $a = \frac{0-4}{3-2} = -4 \,ms^{-2}$.

(A) કણનો વેગ સ્થાન-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
$1$. કણ ત્યારે સ્થિર થાય છે જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય,જે તે બિંદુઓ છે જ્યાં $x-t$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય હોય છે (વક્રના શિખરો અને ખાડાઓ).
$2$. આલેખ જોતા,આશરે $t \approx 3.5 \, s$ અને $t \approx 8.5 \, s$ પર શિખરો છે,અને આશરે $t \approx 1 \, s$ અને $t \approx 6 \, s$ પર ખાડાઓ છે. આમ,કણ $4$ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર સ્થિર થાય છે.
$3$. $t=8 \, s$ પર,આલેખ ઉપરની તરફ ઢળે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ ધન છે.
$4$. $t=2 \, s$ અને $t=6 \, s$ ની વચ્ચે,આલેખ શિખરથી ખાડા તરફ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ ઋણ છે (વેગ ઋણ છે).
$5$. ઢાળ બદલાતો હોવાથી,વેગ અચળ નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે કણ $4$ વખત સ્થિર થયો છે.

(A) કણનું સ્થાન $x = 4 - 2t + t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4 - 2t + t^2)$
$v = -2 + 2t$
આ સમીકરણ $v = 2t - 2$ એ ધન ઢાળ $(2)$ અને ઋણ $y$-અંતઃખંડ $(-2)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $v$ એ $t = 0$ સમયે $-2$ થી વધીને $t = 1$ સમયે $0$ થાય છે,અને $t > 1$ માટે તે ધન બને છે.
આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) સરેરાશ પ્રવેગ એ વેગમાં થતો ફેરફાર અને સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે: $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
સ્થાન-સમયના આલેખ પરથી:
$t=0$ થી $t=2 \, s$ ના સમયગાળા માટે,વેગ $v_1 = \frac{40 - 0}{2 - 0} = 20 \, m/s$.
$t=6$ થી $t=8 \, s$ ના સમયગાળા માટે,વેગ $v_2 = \frac{0 - 40}{8 - 6} = -20 \, m/s$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = v_2 - v_1 = -20 - 20 = -40 \, m/s$.
કુલ સમયગાળો $\Delta t = 8 - 0 = 8 \, s$.
તેથી,$a_{\text{avg}} = \frac{-40}{8} = -5 \, m/s^2$.

(D) વેગ $v = 2 t^2 e^{-t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર છે,$a = \frac{dv}{dt}$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $a = 2 \left[ t^2 \frac{d}{dt}(e^{-t}) + e^{-t} \frac{d}{dt}(t^2) \right]$.
$a = 2 [ t^2 (-e^{-t}) + e^{-t} (2t) ]$.
$a = 2 e^{-t} (2t - t^2)$.
પ્રવેગ શૂન્ય હોવા માટે,$a = 0$ લેતા:
$2 e^{-t} (2t - t^2) = 0$.
અહીં $2 e^{-t}$ ક્યારેય શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $2t - t^2 = 0$ હોવું જોઈએ.
$t(2 - t) = 0$.
આથી $t = 0 \ s$ અથવા $t = 2 \ s$ મળે છે.
આમ,$t = 0 \ s$ અને $t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે.

(D) પ્રવેગ $a$ એ સૂત્ર $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સ્થિતિ $x$ ના વિધેય તરીકે વેગ $v$ દર્શાવતી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ. આ રેખા $(0, 4)$ અને $(2, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{v_2 - v_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$ છે.
$y$-અંતઃખંડ $c = 4$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $v = mx + c$ મુજબ $v = -2x + 4$ થાય.
હવે,$\frac{dv}{dx}$ શોધવા માટે આપણે $v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x + 4) = -2$.
છેલ્લે,આપણે પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકીએ:
$a = v \frac{dv}{dx} = (-2x + 4)(-2) = 4x - 8$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) વેગ $(v)$ એ સ્થાન $(x)$-સમય $(t)$ આલેખનો ઢાળ છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
પ્રથમ અંતરાલમાં,વેગ $0$ થી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી રેખીય રીતે વધે છે. કારણ કે $v = at$ (જ્યાં $a$ અચળ પ્રવેગ છે),તેથી સ્થાન $x = \int v dt = \frac{1}{2}at^2$ થાય,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પેરાબોલા છે.
બીજા અંતરાલમાં,વેગ ઋણ છે અને તેનું મૂલ્ય ઘટીને $0$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ ઋણ (મંદન) છે. સ્થાન $x$ એક પેરાબોલિક માર્ગને અનુસરશે જે ઘટતા ઢાળ સાથે પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછો ફરે છે.
સાચો આલેખ સ્થાનમાં પેરાબોલિક વધારો અને ત્યારબાદ પેરાબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે,જે તે આકાર સાથે મેળ ખાય છે જ્યાં $x-t$ આલેખનો ઢાળ આપેલ $v-t$ આલેખને અનુરૂપ હોય છે.

(D) ભૌતિક રીતે શક્ય ઝડપ-સમય $(v-t)$ આલેખમાં,સમય $t$ ની કોઈપણ ક્ષણ માટે,ઝડપ $v$ નું એક અનન્ય મૂલ્ય હોવું આવશ્યક છે.
$1$. આલેખ $A$ માં,અમુક સમયે $t$ પર,ઝડપ $v$ ના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો છે,જે અશક્ય છે.
$2$. આલેખ $B$ માં,એક જ સમય $t$ માટે,ઝડપ $v$ ના અનેક મૂલ્યો છે કારણ કે વક્ર પોતાની ઉપર પાછો વળે છે,જે અશક્ય છે.
$3$. આલેખ $C$ માં,ઝડપ $v$ ઋણ બને છે. વ્યાખ્યા મુજબ,ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે અને હંમેશા અઋણ $(v \ge 0)$ હોય છે. તેથી,ઋણ ઝડપ દર્શાવતો આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
આમ,ત્રણેય આલેખ ઝડપ અને સમયની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓનું ઉલ્લંઘન કરે છે,તેથી તે તમામ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ કણનો વેગ દર્શાવે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
$t = 0$ સમયે,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે અને ઉગમબિંદુ પર વક્રનો સ્પર્શક આડો ($t$-અક્ષને સમાંતર) છે.
$t = 0$ સમયે સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય હોવાથી,કણનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે.
જેમ જેમ સમય વધે છે,તેમ વક્રનો ઢાળ સતત બદલાય છે,જે સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે બદલાય છે.
વેગ સમય સાથે બદલાતો હોવાથી,કણ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
અહીં ઢાળ (વેગ) અચળ દરે બદલાતો નથી (વક્રનો આકાર પરવલયાકાર નથી),તેથી પ્રવેગ ચલિત છે.
તેથી,કણ શૂન્ય વેગ અને ચલિત પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$(i)$ $t=0 \, s$ થી $t=2 \, s$ સુધી,સ્થાન $x=0$ છે,તેથી વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 0$ છે.
$(ii)$ $t=2 \, s$ થી $t=5 \, s$ સુધી,$x-t$ આલેખનો ઢાળ ધન છે (વેગ $v > 0$),પરંતુ આલેખ નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a < 0$ છે. વેગ અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,વેગ પ્રવેગની વિરુદ્ધ છે.
$(iii)$ $t=5 \, s$ થી $t=8 \, s$ સુધી,$x-t$ આલેખનો ઢાળ ઋણ છે (વેગ $v < 0$),અને આલેખ નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે (પ્રવેગ $a < 0$). વેગ અને પ્રવેગ બંને ઋણ હોવાથી,તેઓ સમાન દિશામાં છે.