Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Gujarati

(D) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળોનો બીજગણિતીય સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $1$ ($0$ થી $2\,s$): $2 \times 8 = 16\,m$
ક્ષેત્રફળ $2$ ($2$ થી $4\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
ક્ષેત્રફળ $3$ ($4$ થી $8\,s$): $4 \times 4 = 16\,m$
ક્ષેત્રફળ $4$ ($8$ થી $10\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
સ્થાનાંતર $= 16 - 8 + 16 - 8 = 16\,m$
અંતર એ ક્ષેત્રફળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
અંતર $= |16| + |-8| + |16| + |-8| = 16 + 8 + 16 + 8 = 48\,m$
સ્થાનાંતર અને અંતરનો ગુણોત્તર $= \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ અથવા $1: 3$.

(A) કણનું સ્થાન $x = 4t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t$.
હવે,આપેલ સમય $t = 5 \, s$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 8 \times 5 = 40 \, ms^{-1}$.
તેથી,$t = 5 \, s$ સમયે કણનો વેગ $40 \, ms^{-1}$ છે.

(A) વેગ $v$ એ $x-t$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $x-t$ આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે વધતો ઢાળ સૂચવે છે. આમ,$v$ સમય સાથે વધે છે. આ આલેખ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ $x-t$ આલેખ ઘટતી સ્થિતિ અને ઘટતો ઢાળ (મૂલ્ય) દર્શાવે છે,જે શૂન્યની નજીક જાય છે. આ એક ઋણ વેગને અનુરૂપ છે જેનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ ઘટે છે. આ આલેખ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ $x-t$ આલેખ અચળ ધન ઢાળ અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ ઢાળ દર્શાવે છે. આ અચળ ધન વેગ અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ વેગને અનુરૂપ છે. આ આલેખ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ $x-t$ આલેખ અચળ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે અચળ ધન વેગ સૂચવે છે. આ આલેખ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(III), (D)-(I)$ છે.

(A) અચળ ધન પ્રવેગ $(a > 0)$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,સ્થાન-સમયનું સમીકરણ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$।
જો આપણે પ્રારંભિક સ્થાન $x_0 = 0$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 0$ લઈએ,તો સમીકરણ $x = \frac{1}{2} a t^2$ બને છે.
આ સમીકરણ $x-t$ સમતલમાં ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
જેમ જેમ $t$ વધે છે,તેમ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ (જે વેગ $v = \frac{dx}{dt} = at$ દર્શાવે છે) પણ વધે છે,જે સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે વધી રહ્યો છે,જે ધન પ્રવેગની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ ધન પ્રવેગ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે.

(C) વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,અંતર નહીં (અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે). તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં 'અંતર' શબ્દનો ઉલ્લેખ છે.
પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $\int a \, dt = \int \frac{dv}{dt} \, dt = \Delta v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વેગમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) $1$. સ્થાન-સમયનો આલેખ $x$-અક્ષ પર શાળાથી અંતર અને $t$-અક્ષ પર સમય દર્શાવે છે. શાળા ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર છે.
$2$. આલેખમાં,$A$ નો $x$-અંતઃખંડ $B$ ના $x$-અંતઃખંડ કરતા ઓછો છે. તેથી,$A$ શાળાની નજીક રહે છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$3$. સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે. રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$B$ એ $A$ કરતા ઝડપથી મુસાફરી કરે છે. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
$4$. તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(C) પથલંબાઈ એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે (બધા ક્ષેત્રફળોને ધન લેતા),અને સ્થાનાંતર એ ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ છે (સમય અક્ષની નીચેના ક્ષેત્રફળને ઋણ લેતા).
$1$. $t=0$ થી $t=5\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\,m$.
$2$. $t=5$ થી $t=10\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (લંબચોરસ): $5 \times 10 = 50\,m$.
$3$. $t=10$ થી $t=15\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (સમલંબ ચતુષ્કોણ): $\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = 75\,m$.
$4$. $t=15$ થી $t=20\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50\,m$.
$5$. $t=20$ થી $t=25\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times (-20) = -50\,m$.
કુલ પથલંબાઈ $= 25 + 50 + 75 + 50 + |-50| = 250\,m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 25 + 50 + 75 + 50 - 50 = 150\,m$.
પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $= \frac{250}{150} = \frac{5}{3}$.

(D) અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે $s = 2.5 t^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલીન ઝડપ $v$ ને અંતર $s$ ના સમયની સાપેક્ષ વિકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ છે.
$s$ માટેનું પદ મૂકતા: $v = \frac{d}{dt}(2.5 t^2)$.
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dt}(t^n) = n t^{n-1}$,આપણને $v = 2.5 \times 2 \times t = 5t$ મળે છે.
$t = 5\,s$ સમયે તત્કાલીન ઝડપ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 5$ મૂકો:
$v = 5 \times 5 = 25\,m/s$.

(C) કણનું સ્થાન સમીકરણ $x = 5t^2 - 4t + 5$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 5)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $v = 10t - 4$ મળે છે.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \, s$ મૂકતા:
$v = 10(2) - 4 = 20 - 4 = 16 \, ms^{-1}$.
તેથી,$t = 2 \, s$ સમયે વેગનું મૂલ્ય $16 \, ms^{-1}$ છે.

(D) કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0$ થી $t = 2 \ s$ માટે,આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $200 \ m/s$ અને $400 \ m/s$ છે,અને ઊંચાઈ $2 \ s$ છે.
ક્ષેત્રફળ $1 = \frac{1}{2} \times (200 + 400) \times 2 = 600 \ m$.
$t = 2 \ s$ થી $t = 30.5 \ s$ માટે,વેગ $400 \ m/s$ અચળ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 30.5 - 2 = 28.5 \ s$.
ક્ષેત્રફળ $2 = 400 \times 28.5 = 11400 \ m$.
કુલ અંતર $= 600 + 11400 = 12000 \ m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $12000 \ m = 12 \ km$.

(A) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0 \; s$ અને $t = 4 \; s$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 4$ સુધીના આલેખની નીચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
આ પ્રદેશમાં $t = 0$ થી $t = 2$ સુધીનો ત્રિકોણ અને $t = 2$ થી $t = 4$ સુધીનો લંબચોરસનો સમાવેશ થાય છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t = 0$ થી $t = 2$ સુધી) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2 \; s \times 10 \; m/s = 10 \; m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ($t = 2$ થી $t = 4$ સુધી) $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (4 - 2) \; s \times 10 \; m/s = 2 \; s \times 10 \; m/s = 20 \; m$.
કુલ અંતર $= 10 \; m + 20 \; m = 30 \; m$.

(D) સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તત્કાલીન વેગ એ $x-t$ આલેખનો ઢાળ છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $t = 0$ થી $t = 3\ s$ સુધી: $x_i = 0$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 0}{3 - 0} = \frac{5}{3}\ m/s$. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ $t = 3$ થી $t = 5\ s$ સુધી: $x_i = 5$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 5}{5 - 3} = 0\ m/s$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $t = 2\ s$ પર,આલેખ $(1, -5)$ અને $(3, 5)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ઢાળ $= \frac{5 - (-5)}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5\ m/s$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $t = 5$ થી $t = 7\ s$ સુધી: $x_i = 5$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 5}{7 - 5} = -2.5\ m/s$. $t = 6.5\ s$ પર,ઢાળ $= \frac{0 - 10}{7 - 6} = -10\ m/s$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ $t = 0$ થી $t = 9\ s$ સુધી: $x_i = 0$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 0}{9 - 0} = 0\ m/s$. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
આમ,$(B), (C), (E)$ સાચા છે.

(A) સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમય વડે ભાગવાથી મળે છે. સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ધારો કે $t_1$ સમયે મહત્તમ વેગ $V_{max}$ છે. આલેખ પરથી:
$V_{max} = t_1 \tan(30^\circ) = t_2 \tan(60^\circ)$
$V_{max} = t_1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = t_2 (\sqrt{3})$
તેથી,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 = 3t_2$.
$t_1$ સમય દરમિયાન સ્થાનાંતર $S_1 = \frac{1}{2} \times t_1 \times V_{max}$ છે.
$t_1$ દરમિયાન સરેરાશ વેગ $V_{avg1} = \frac{S_1}{t_1} = \frac{1}{2} V_{max}$ છે.
$t_2$ સમય દરમિયાન સ્થાનાંતર $S_2 = \frac{1}{2} \times t_2 \times V_{max}$ છે.
$t_2$ દરમિયાન સરેરાશ વેગ $V_{avg2} = \frac{S_2}{t_2} = \frac{1}{2} V_{max}$ છે.
આમ,સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_{avg1}}{V_{avg2}} = \frac{\frac{1}{2} V_{max}}{\frac{1}{2} V_{max}} = 1 : 1$ થાય છે.

(A) આપેલ $v-x$ આલેખ પરથી,સીધી રેખાનું સમીકરણ $v = mx + c$ છે.
અહીં,અંતઃખંડ $c = 20$ અને ઢાળ $m = \frac{0 - 20}{10 - 0} = -2$ છે.
તેથી,સમીકરણ $v = -2x + 20$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ છે.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x + 20) = -2$ શોધો.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકો:
$a = (-2x + 20)(-2) = 4x - 40$.
આ $4$ ના ઢાળ અને $-40$ ના y-અંતઃખંડ સાથેની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.
$x = 0$ પર,$a = -40$.
$x = 10$ પર,$a = 4(10) - 40 = 0$.
આમ,આલેખ $x = 0$ પર $a = -40$ થી શરૂ થતી અને $x = 10$ પર $a = 0$ સુધી પહોંચતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ગતિશીલ પદાર્થનો પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$a = \frac{dv}{dt}$.
વેગ-સમય આલેખમાં,ઢાળને $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે તત્કાલીન અથવા સરેરાશ પ્રવેગ દર્શાવે છે.
તેથી,વેગ-સમય આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ આપે છે.

(D) વેગ-સમય આલેખમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતર એ આપેલ સમયગાળા વચ્ચેના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પગલું $1$: $t = 6 \ s$ થી $t = 9 \ s$ સુધીના આલેખનો આકાર ઓળખો.
$t = 6 \ s$ પર,$v = 20 \ m/s$ છે. $t = 9 \ s$ પર,વેગ $35 \ m/s$ છે (કારણ કે આલેખ $(6, 20)$ થી $(10, 40)$ સુધીની સીધી રેખા છે,તેથી ઢાળ $m = (40-20)/(10-6) = 5$ છે. આમ,$t = 9 \ s$ પર,$v = 20 + 5(9-6) = 35 \ m/s$ મળે).
પગલું $2$: $t = 6 \ s$ અને $t = 9 \ s$ વચ્ચે બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
સમાંતર બાજુઓ $v_1 = 20 \ m/s$ અને $v_2 = 35 \ m/s$ છે. ઊંચાઈ (સમયગાળો) $h = 9 - 6 = 3 \ s$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times h = \frac{1}{2} \times (20 + 35) \times 3 = \frac{1}{2} \times 55 \times 3 = 82.5 \ m$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,જેમ સમય $t$ વધે છે તેમ પદાર્થનું સ્થાન $x$ અચળ રહે છે.
સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે,અને આડી રેખાનો ઢાળ શૂન્ય હોવાથી,પદાર્થનો વેગ શૂન્ય છે.
તેથી,આલેખ સૂચવે છે કે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.

(B) કપાયેલ અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કુલ અંતર $t = 1 \ s$ થી $t = 7 \ s$ ના સમયગાળામાં (આલેખ મુજબ,ગતિ $t = 7 \ s$ પર પૂર્ણ થાય છે):
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $(5-3) = 2 \ s$ અને $(7-1) = 6 \ s$ છે,અને ઊંચાઈ $10 \ m/s$ છે.
કુલ અંતર $S = \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 10 = 40 \ m$.
છેલ્લી બે સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર ($t = 5 \ s$ થી $t = 7 \ s$):
આ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(7-5) = 2 \ s$ અને ઊંચાઈ $10 \ m/s$ છે.
$S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \ m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(C) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં વેગની સંજ્ઞા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પથલંબાઈ (અંતર) એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં વેગનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે.
$t = 0$ થી $2 \ s$ માટે: વેગ $v = 3 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 2 = 6 \ m$.
$t = 2$ થી $3 \ s$ માટે: વેગ $v = -2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 3$ થી $5 \ s$ માટે: વેગ $v = 2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 5$ થી $6 \ s$ માટે: વેગ $v = -2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 6$ થી $8 \ s$ માટે: વેગ $v = 2 \ m/s$. ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 6 - 2 + 4 - 2 + 4 = 10 \ m$.
કુલ પથલંબાઈ $= |6| + |-2| + |4| + |-2| + |4| = 6 + 2 + 4 + 2 + 4 = 18 \ m$.
સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈનો ગુણોત્તર $= 10 / 18 = 5 / 9$.

(A) પદાર્થનો વેગ એ તેના સ્થાન વિધેયનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે,$V(t) = \frac{dR}{dt}$.
કાર $A$ માટે: $V_{A}(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$.
કાર $B$ માટે: $V_{B}(t) = \frac{d}{dt}(xt - t^2) = x - 2t$.
જ્યારે કારનો વેગ સમાન હોય તે સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $V_{A} = V_{B}$ લઈએ:
$a + 2bt = x - 2t$
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bt + 2t = x - a$
$t(2b + 2) = x - a$
$t = \frac{x - a}{2(b + 1)}$.

(B) પદાર્થનો પ્રવેગ તેના વેગ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \tan \theta$,જ્યાં $\theta$ એ રેખાએ સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પદાર્થ $A$ માટે,સમયની ધરી સાથેનો ખૂણો $25^{\circ}$ છે. તેથી,$a_A = \tan 25^{\circ}$.
પદાર્થ $B$ માટે,સમયની ધરી સાથેનો ખૂણો $50^{\circ}$ છે. તેથી,$a_B = \tan 50^{\circ}$.
તેથી,$A$ ના પ્રવેગ અને $B$ ના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_A}{a_B} = \frac{\tan 25^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$ થશે.

(B) $v-t$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
$s = \text{v-t આલેખનું ક્ષેત્રફળ}$
આપેલ આલેખમાં, સમાન સમયગાળા માટે અચળ વેગી ગતિ (લંબચોરસ) હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ અચળ પ્રવેગી ગતિ (સમલંબ ચતુષ્કોણ) હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.
તેથી, અચળ પ્રવેગી ગતિ દરમિયાનનું સ્થાનાંતર એ અચળ વેગી ગતિ દરમિયાનના સ્થાનાંતર કરતા ઓછું છે.

(A) આપેલ આલેખ એ $v$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
તેનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
$v = -mx + v_0 \dots(1)$
જ્યાં $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ એ ઢાળનું મૂલ્ય છે.
પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -m$
આ કિંમતને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = v(-m) = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે જેનો ઢાળ ધન $(m^2)$ છે અને પ્રવેગ અક્ષ પર અંતઃખંડ ઋણ $(-mv_0)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $(A)$ એ ઋણ અંતઃખંડ અને ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) અંતર-સમયના આલેખમાં,કોઈપણ બિંદુએ કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ તે બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$v = \frac{ds}{dt} = \tan(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ સ્પર્શકે સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
જ્યાં વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવતો હોય ત્યાં ઢાળ મહત્તમ હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $Q$ પાસે વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવે છે. તેથી,બિંદુ $Q$ ની આસપાસ તાત્ક્ષણિક વેગ મહત્તમ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ એ વેગ દર્શાવે છે.
$v = \tan \theta$
અહીં આપેલા ખૂણા $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે.
તેમના વેગનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$ છે,તેથી:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{3}$ છે.

(A) કણનો $v$-$t$ આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
$1$. પ્રથમ ભાગ માટે (સમાન પ્રવેગ):
અંતર $2L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_1 \implies t_1 = \frac{4L}{V_m}$
$2$. બીજા ભાગ માટે (અચળ વેગ):
અંતર $L = V_m \times t_2 \implies t_2 = \frac{L}{V_m}$
$3$. ત્રીજા ભાગ માટે (સમાન પ્રતિપ્રવેગ):
અંતર $3L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_3 \implies t_3 = \frac{6L}{V_m}$
$4$. સરેરાશ ઝડપ $\bar{V} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$
કુલ અંતર $= 2L + L + 3L = 6L$
કુલ સમય $= t_1 + t_2 + t_3 = \frac{4L}{V_m} + \frac{L}{V_m} + \frac{6L}{V_m} = \frac{11L}{V_m}$
$5$. તેથી,$\bar{V} = \frac{6L}{11L/V_m} = \frac{6}{11} V_m$
$\frac{\bar{V}}{V_m} = \frac{6}{11}$

(C) શરૂઆતના વેગ $v_{i}$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થનો વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{f} = v_{i} - gt$
જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
$1$. શરૂઆતમાં,વેગ ધન $(v_{i})$ હોય છે અને જેમ પદાર્થ ઉપર જાય છે તેમ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
$2$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,$t = \frac{v_{i}}{g}$ સમયે વેગ શૂન્ય $(v_{f} = 0)$ થઈ જાય છે.
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,પદાર્થ નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,તેથી વેગ ઋણ બને છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય રેખીય રીતે વધે છે.
આ વર્તણૂક એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેનો ઢાળ અચળ ઋણ $(-g)$ છે,જે ધન $v$-અક્ષમાંથી પસાર થાય છે,$t = \frac{v_{i}}{g}$ સમયે $t$-અક્ષને છેદે છે અને ઋણ $v$-વિસ્તારમાં આગળ વધે છે. આલેખ $C$ વેગમાં ધન મૂલ્યથી ઋણ મૂલ્ય સુધીના આ રેખીય ઘટાડાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન વેગ સમયથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વેગ-સમયના આલેખમાં,આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા તરીકે દોરવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાનો ઢાળ $= \tan \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આડી ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આલેખ પરથી,$\theta = 0^{\circ}$ છે.
તેથી,ઢાળ $= \tan 0^{\circ} = 0$ થાય.

(C) આપેલા આલેખમાં,$y$-અક્ષ સમય $(t)$ દર્શાવે છે અને $x$-અક્ષ સ્થાનાંતર $(s)$ દર્શાવે છે.
ભૌતિક ગતિ માટે,જેમ પદાર્થ ગતિ કરે તેમ સમય હંમેશા વધવો જોઈએ.
આપેલા આલેખમાં,જેમ પદાર્થ $B$ થી $C$ અને પછી $D$ તરફ જાય છે,તેમ સ્થાનાંતર $s$ ઘટે છે જ્યારે સમય $t$ વધતો રહે છે.
જો કે,કોઈપણ આપેલ સમય $t$ પર,પદાર્થ માત્ર એક જ સ્થાન $s$ પર હોઈ શકે છે.
આલેખ જોતા,સમય $t$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,સ્થાનાંતર $s$ ના અનેક મૂલ્યો શક્ય છે,જે ગતિ કરતા એક પદાર્થ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
વધુમાં,આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,જે શક્ય છે,પરંતુ આલેખનો આકાર સૂચવે છે કે એક જ સમયના ક્ષણે પદાર્થ અનેક સ્થાનો પર છે,અથવા વધુ સચોટ રીતે કહીએ તો,$\frac{ds}{dt}$ ને બદલે $\frac{dt}{ds}$ નો આલેખ દોરવામાં આવ્યો છે.
કારણ કે સમય ઘટી શકતો નથી અથવા એક સ્થાન માટે બહુ-મૂલ્યવાન હોઈ શકતો નથી,તેથી આ આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) આલેખ એ $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $2 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(s-2)^2 + v^2 = 2^2$
$(s-2)^2 + v^2 = 4$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2(s-2) \frac{ds}{dt} + 2v \frac{dv}{dt} = 0$
કારણ કે $\frac{ds}{dt} = v$ અને $\frac{dv}{dt} = a$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(s-2)v + 2v \cdot a = 0$
$2v$ વડે ભાગતા (ધારો કે $v \neq 0$):
$(s-2) + a = 0$
$a = -(s-2) = 2-s$
બિંદુ $(s, v) = (2-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ પર:
$a = 2 - (2-\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ ms^{-2}$

(A) કાપેલું કુલ અંતર એ $v-t$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ પરથી,મહત્તમ વેગ $V_{max}$ એ $t_1$ સમયે પ્રાપ્ત થાય છે.
આપણી પાસે $\tan \theta_1 = \alpha = \frac{V_{max}}{t_1} \implies t_1 = \frac{V_{max}}{\alpha}$ છે.
તે જ રીતે,$\tan \theta_2 = \beta = \frac{V_{max}}{t_2} \implies t_2 = \frac{V_{max}}{\beta}$ છે.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = V_{max} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = V_{max} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$ છે.
આમ,$V_{max} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ મળે છે.
કુલ અંતર $S$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે જેનો પાયો $t$ અને ઊંચાઈ $V_{max}$ છે:
$S = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times t \times V_{max}$.
$V_{max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $S = \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \right) t^2$ મળે છે.

(B) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
સ્થાનાંતર $\Delta x$ એ $t=4 \,s$ અને $t=6 \,s$ વચ્ચે વેગ-સમયના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
$t=6 \,s$ પર, $v=15 \,ms^{-1}$. આલેખ $(0,0)$ થી $(6,15)$ સુધીની સીધી રેખા છે, તેથી વેગનું સમીકરણ $v(t) = \frac{15}{6}t = 2.5t$ છે.
$t=4 \,s$ પર, $v(4) = 2.5 \times 4 = 10 \,ms^{-1}$.
$t=4 \,s$ અને $t=6 \,s$ વચ્ચે આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $v(4)=10 \,ms^{-1}$ અને $v(6)=15 \,ms^{-1}$ છે, અને ઊંચાઈ $\Delta t = 6-4 = 2 \,s$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (v(4) + v(6)) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (10 + 15) \times 2 = 25 \,m$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{25 \,m}{2 \,s} = 12.5 \,ms^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ટ્રેનો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d_0 = 300 \, m$ છે.
ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર તેના વેગ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ટ્રેન $I$ માટે, $v-t$ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 10 \, s \times 40 \, m/s = 200 \, m$ છે.
ટ્રેન $II$ માટે, $v-t$ આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય $A_2 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \, s \times 20 \, m/s = 80 \, m$ છે.
ટ્રેનો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી, અટકતા પહેલા બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $d_{total} = A_1 + A_2 = 200 \, m + 80 \, m = 280 \, m$ થાય.
જ્યારે બંને ટ્રેનો અટકી જાય ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતિમ અંતર $d_{final} = d_0 - d_{total} = 300 \, m - 280 \, m = 20 \, m$ છે.

(D) પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સુરેખ વિધેય છે.
અંતરાલ $0 \le x \le 100$ માટે,ઢાળ ધન છે. ધારો કે $v = kx$ (જ્યાં $k > 0$). તેથી,$a = v \frac{dv}{dx} = (kx)(k) = k^2 x$. આ દર્શાવે છે કે આ અંતરાલમાં $a$ એ $x$ સાથે સુરેખ રીતે વધે છે.
અંતરાલ $100 \le x \le 200$ માટે,ઢાળ ઋણ છે. ધારો કે $v = -k(x - 200) = -kx + 200k$. તેથી,$a = v \frac{dv}{dx} = (-kx + 200k)(-k) = k^2 x - 200k^2$. આ દર્શાવે છે કે આ અંતરાલમાં પણ $a$ એ $x$ સાથે સુરેખ રીતે વધે છે,પરંતુ ઋણ આંતરછેદ સાથે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ પ્રથમ ભાગમાં પ્રવેગમાં ધન સુરેખ વધારો અને બીજા ભાગમાં ઋણ મૂલ્ય સાથે ધન સુરેખ વધારો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે.
$v_y = \frac{dy}{dt}$
$= \frac{d(P t^2 - Q t^3)}{dt}$
$= 2Pt - 3Qt^2$
મહત્તમ ઊંચાઈએ,કણનો શિરોલંબ વેગ શૂન્ય થશે.
$2Pt - 3Qt^2 = 0$
$t(2P - 3Qt) = 0$
$t=0$ એ ગતિની શરૂઆત હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ માટેનો સમય $t = \frac{2P}{3Q}$ છે.
હવે,આ સમયને સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y_{max} = P(\frac{2P}{3Q})^2 - Q(\frac{2P}{3Q})^3$
$= P(\frac{4P^2}{9Q^2}) - Q(\frac{8P^3}{27Q^3})$
$= \frac{4P^3}{9Q^2} - \frac{8P^3}{27Q^2}$
$= \frac{12P^3 - 8P^3}{27Q^2}$
$= \frac{4P^3}{27Q^2}$

(D) કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $v = \tan(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આલેખ સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પ્રથમ કણ માટે,$\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી તેનો વેગ $v_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બીજા કણ માટે,$\theta_2 = 45^{\circ}$,તેથી તેનો વેગ $v_2 = \tan(45^{\circ}) = 1$.
તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan(30^{\circ})}{\tan(45^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = 1 : \sqrt{3}$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે, અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। સરેરાશ ઝડપ એ કુલ કાપેલું અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર હોવાથી, આપણે ધન અને ઋણ વેગના અંતરાલો માટે ક્ષેત્રફળના મૂલ્ય (magnitude) ને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
$80 \, s$ માં કાપેલું કુલ અંતર એ બનેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના માનાંકનો સરવાળો છે:
$\text{અંતર } = |Area_{OAB}| + |Area_{BCD}|$
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ ($t=0$ થી $t=40 \, s$ સુધી):
$Area_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times 10 \, m/s = 200 \, m$
ત્રિકોણ $BCD$ નું ક્ષેત્રફળ ($t=40$ થી $t=80 \, s$ સુધી):
$Area_{BCD} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times |\text{વેધ}| = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times |-10 \, m/s| = 200 \, m$
કુલ અંતર $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$
કુલ સમય $= 80 \, s$
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{400 \, m}{80 \, s} = 5 \, m/s$

(B) થી $B$ સુધી કણની ગતિ માટેનો અંતર-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખ પરથી,$A$ થી $C$ અને $D$ થી $B$ વિભાગો માટે અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલોમાં ઝડપ શૂન્યતર છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય. $A$ થી $B$ સુધી કાપેલું કુલ અંતર શૂન્યતર હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ હંમેશા શૂન્યતર હોય છે.
તત્કાલીન ઝડપ એ કોઈપણ ક્ષણે અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ છે. $C$ થી $D$ વિભાગમાં,આલેખ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે સમય સાથે અંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,ઢાળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ દરમિયાન તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય છે.
આમ,સરેરાશ ઝડપ હંમેશા શૂન્યતર હોય છે,પરંતુ તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) કણનું સ્થાન વિધેય $y(t) = 10 t e^{-2 t}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
કણ ક્યારે ક્ષણિક રીતે અટકે છે તે શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $y(t)$ નું વિકલન કરીને તેનો વેગ $v$ મેળવીએ છીએ:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (10 t e^{-2 t})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v = 10 [t \cdot (-2 e^{-2 t}) + e^{-2 t} \cdot 1] = 10 e^{-2 t} (1 - 2 t)$.
જ્યારે $v = 0$ થાય ત્યારે કણ ક્ષણિક રીતે અટકે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - 2 t = 0$,તેથી $t = \frac{1}{2} \ s$.
હવે,ઉગમબિંદુથી અંતર શોધવા માટે $t = \frac{1}{2} \ s$ ને સ્થાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y(\frac{1}{2}) = 10 \times (\frac{1}{2}) \times e^{-2 \times (\frac{1}{2})} = 5 \times e^{-1} = \frac{5}{e} \ m$.

(B) પક્ષીનો વેગ $v(t) = t - 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અંતર એ વેગના મૂલ્યનું સંકલન હોવાથી, આપણે ગણતરી કરીએ:
$\text{અંતર} = \int_{0}^{4} |v(t)| \text{ dt} = \int_{0}^{4} |t - 2| \text{ dt}$.
આપણે સંકલનને $t = 2 \text{ s}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં વેગની દિશા બદલાય છે:
$\text{અંતર} = \int_{0}^{2} -(t - 2) \text{ dt} + \int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt}$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી:
$\int_{0}^{2} (2 - t) \text{ dt} = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - 0 = 2 \text{ m}$.
બીજા ભાગની ગણતરી:
$\int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt} = [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2 \text{ m}$.
કુલ અંતર $= 2 \text{ m} + 2 \text{ m} = 4 \text{ m}$.

(A) વેગ-સમયનો આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ધારો કે કાર $t_1$ સમય માટે પ્રવેગિત થાય છે અને $t_1$ સમય માટે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. જે સમય માટે તે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે તે $(25 - 2t_1) \ s$ છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = a \times t_1 = 5t_1$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = 72 \ km \ hr^{-1} = 72 \times \frac{5}{18} \ m \ s^{-1} = 20 \ m \ s^{-1}$.
કુલ સ્થાનાંતર $S = v_{avg} \times t_{total} = 20 \times 25 = 500 \ m$.
વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ સ્થાનાંતર છે:
$S = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$500 = \frac{1}{2} \times [ (25 - 2t_1) + 25 ] \times 5t_1$
$1000 = (50 - 2t_1) \times 5t_1$
$1000 = 250t_1 - 10t_1^2$
$10t_1^2 - 250t_1 + 1000 = 0$
$t_1^2 - 25t_1 + 100 = 0$
$(t_1 - 20)(t_1 - 5) = 0$
કારણ કે $t_1$ એ $12.5 \ s$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ (કારણ કે $2t_1 < 25$),તેથી $t_1 = 5 \ s$.
કાર જે સમય માટે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરી તે $25 - 2t_1 = 25 - 2(5) = 15 \ s$ છે.

(B) $v$ વિરુદ્ધ $x$ ના આલેખનું સમીકરણ એ ઋણ ઢાળ અને $v$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે:
$v = C_1 - C_2 x$,જ્યાં $C_1$ અને $C_2$ ધન અચળાંકો છે.
પ્રવેગ $a$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = v \frac{dv}{dx}$
$v$ નું સમીકરણ અને તેનું વિકલન $\frac{dv}{dx} = -C_2$ મૂકતા:
$a = (C_1 - C_2 x) \times (-C_2)$
$a = C_2^2 x - C_1 C_2$
આ સમીકરણ $a = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = C_2^2$ (ધન) અને અંતઃખંડ $c = -C_1 C_2$ (ઋણ) છે.
આમ,$a$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ એ ધન ઢાળ અને $a$-અક્ષ પર ઋણ અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(C) અંતર એ કાપેલું કુલ પથલંબાઈ છે,જે $|v|$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$0$ થી $20 \text{ s}$ ના સમયગાળા માટે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ છે.
$20$ થી $40 \text{ s}$ ના સમયગાળા માટે,વેગનું મૂલ્ય $5 \text{ m/s}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A_2 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ છે.
કુલ અંતર $= A_1 + A_2 = 50 + 50 = 100 \text{ m}$.
સ્થાનંતર એ સ્થાનમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર છે,જે $v$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો બૈજિક સરવાળો છે.
સ્થાનંતર $= A_1 - A_2 = 50 - 50 = 0 \text{ m}$.
સરેરાશ વેગ $= \text{સ્થાનંતર} / \text{કુલ સમય} = 0 / 40 = 0 \text{ m/s}$.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ સમયે $t$ પર તેનો વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u - gt$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
$1$. શરૂઆતમાં,વેગ ધન $(v = u)$ હોય છે.
$2$. જેમ દડો ઉપર જાય છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ને કારણે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$4$. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,દડો નીચે પડવાનું શરૂ કરે છે. આ તબક્કા દરમિયાન,વેગ ઋણ બને છે (કારણ કે તે પ્રારંભિક ઉપરની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે) અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આ રેખીય સંબંધ $v = u - gt$ એ ઋણ ઢાળ $(-g)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આલેખ $(C)$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે ધન પ્રારંભિક વેગથી શરૂ થાય છે,સમય અક્ષને ઓળંગે છે (જ્યાં $v = 0$ થાય છે),અને ઋણ વેગના વિસ્તારમાં આગળ વધે છે.