Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Gujarati

(C) આલેખ પરથી:
કાર માટે,વેગ $15\,s$ માં $0$ થી $45\,m/s$ સુધી સમાન રીતે વધે છે. $15\,s$ માં કાર દ્વારા કાપેલું અંતર એ ત્રિકોણ $OAC$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15\,s \times 45\,m/s = 337.5\,m$ છે.
સ્કૂટર માટે,વેગ $30\,m/s$ અચળ છે. $15\,s$ માં સ્કૂટર દ્વારા કાપેલું અંતર $30\,m/s \times 15\,s = 450\,m$ છે.
$(i)$ $15\,s$ માં કાપેલા અંતર વચ્ચેનો તફાવત $450\,m - 337.5\,m = 112.5\,m$ છે.
$(ii)$ $15\,s$ પછી,કાર $45\,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. ધારો કે કાર $t$ સમયે સ્કૂટરને પકડી પાડે છે (જ્યાં $t > 15\,s$).
$t$ સમયે સ્કૂટરનું અંતર $= 30t$.
$t$ સમયે કારનું અંતર $= 337.5 + 45(t - 15)$.
અંતરને સરખાવતા: $30t = 337.5 + 45t - 675$.
$15t = 337.5 \Rightarrow t = 22.5\,s$.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ અચળ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $a = -C$,જ્યાં $C$ એ ધન અચળાંક છે.
ગતિના સમીકરણ $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v \frac{dv}{dx} = -C$
$v \, dv = -C \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int v \, dv = \int -C \, dx$
$\frac{v^2}{2} = -Cx + k$
$v^2 = -2Cx + 2k$
આ સમીકરણ $v^2 = -Ax + B$ સ્વરૂપનું પરવલય દર્શાવે છે,જે વેગ-અંતરના આલેખને અનુરૂપ છે જે નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે,જે ધન વેગથી શરૂ થાય છે અને અંતર વધવાની સાથે ઘટીને શૂન્ય થાય છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) તાત્ક્ષણિક વેગ $v$ એ સ્થાન-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
આલેખ એક સીધી રેખા હોવાથી,તેનો ઢાળ દરેક બિંદુએ અચળ રહે છે.
આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પાસે,સ્થાનાંતર $\Delta x = 4\,m$ એ $\Delta t = 8\,s$ સમયમાં થાય છે.
તેથી,$v_A = \frac{4\,m}{8\,s} = 0.5\,m/s$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ પાસે,રેખાનો ઢાળ સમાન રહે છે.
આમ,$v_B = 0.5\,m/s$.
તેથી,$v_A = v_B = 0.5\,m/s$.

(D) કોઈપણ સમય $t$ પર કણનું સ્થાન એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $t = 0$ થી $t = 5\,s$ સુધીનું છે.
$1$. $t = 0$ થી $t = 2\,s$ સુધી,આલેખ એ $2\,s$ પાયો અને $2\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\,m$.
$2$. $t = 2\,s$ થી $t = 4\,s$ સુધી,આલેખ એ $2\,s$ પહોળાઈ અને $2\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ = $2 \times 2 = 4\,m$.
$3$. $t = 4\,s$ થી $t = 5\,s$ સુધી,આલેખ એ $1\,s$ પહોળાઈ અને $3\,m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \times 3 = 3\,m$.
$t = 5\,s$ પર કુલ સ્થાન = $2 + 4 + 3 = 9\,m$.

(A) પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$.
આપેલ $v-t$ આલેખમાં,શરૂઆતમાં વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ અચળ અને ઋણ છે. આમ,પ્રવેગ અચળ અને ઋણ છે.
ન્યૂનતમ વેગ સુધી પહોંચ્યા પછી,વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ અચળ અને ધન છે. આમ,પ્રવેગ અચળ અને ધન છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ અચળ ઋણ પ્રવેગ અને ત્યારબાદ અચળ ધન પ્રવેગ દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખમાં,સમય $t$ ની કોઈપણ ક્ષણે,વેગ $v$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય હોવું જોઈએ.
જો આપણે આલેખ પર કોઈપણ સમયે $t$ પર એક શિરોલંબ રેખા દોરીએ,તો તે વક્રને માત્ર એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ.
વિકલ્પ $(B)$ માં,વક્ર એક વર્તુળ છે. કોઈપણ સમયે $t$ (વર્તુળની મર્યાદામાં) દોરેલી શિરોલંબ રેખા વર્તુળને બે બિંદુઓ પર છેદશે,જેનો અર્થ છે કે કણ પાસે એક જ સમયે બે અલગ-અલગ વેગ છે,જે એક પરિમાણમાં ગતિ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વર્તુળાકાર આલેખ એક પરિમાણમાં ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો નથી.

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર = $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ.
$v-t$ આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $8t$ અને $(t + 8t + t) = 10t$ છે,અને ઊંચાઈ $v_{max} = 60\,km/h$ છે.
કુલ અંતર = $\frac{1}{2} \times (8t + 10t) \times 60 = \frac{1}{2} \times 18t \times 60 = 540t$.
કુલ સમય = $t + 8t + t = 10t$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{540t}{10t} = 54\,km/h$.

(C) વેગ-સમયના આલેખમાં,ઢાળ પ્રવેગ $(a = dv/dt)$ દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ પર,આલેખનો ઢાળ ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ ઋણ છે (મંદન).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. પ્રવેગ ઋણ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ પણ ઋણ હોવું જોઈએ.
ધન દિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું ઋણ બળ સૂચવે છે કે બળ પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પર,ગતિનો વિરોધ કરતું બળ લાગે છે.

(D) વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખ દર્શાવે છે કે પ્રથમ અંતરાલમાં વેગ $0$ થી વધીને મહત્તમ મૂલ્ય $v$ સુધી પહોંચે છે,જે અચળ ધન પ્રવેગ સૂચવે છે.
અચળ ધન પ્રવેગ માટે,સ્થાનાંતર-સમય $(x-t)$ આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હોવો જોઈએ $(x \propto t^2)$.
બીજા અંતરાલમાં,વેગ અચળ અને ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે કણ અચળ ઋણ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
અચળ ઋણ વેગ માટે,$x-t$ આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ પરવલયાકાર વધારો અને ત્યારબાદ સીધી રેખામાં ઘટાડો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

(D) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$1$. સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 1 \, s$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $= 1 \, s$ અને ઊંચાઈ $= 25 \, m/s$ છે.
ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 25 = 12.5 \, m$.
$2$. સમયગાળા $t = 1$ થી $t = 2 \, s$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $= 1 \, s$ અને ઊંચાઈ $= 25 \, m/s$ છે.
ક્ષેત્રફળ$_2 = 1 \times 25 = 25 \, m$.
$3$. સમયગાળા $t = 2$ થી $t = 3 \, s$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $25 \, m/s$ અને $20 \, m/s$ છે અને ઊંચાઈ $= 1 \, s$ છે.
ક્ષેત્રફળ$_3 = \frac{1}{2} \times (25 + 20) \times 1 = 22.5 \, m$.
$4$. સમયગાળા $t = 3$ થી $t = 4 \, s$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $= 1 \, s$ અને ઊંચાઈ $= 20 \, m/s$ છે.
ક્ષેત્રફળ$_4 = 1 \times 20 = 20 \, m$.
કુલ અંતર $= 12.5 + 25 + 22.5 + 20 = 80 \, m$.

(C) શાહીના ડાઘનું ક્ષેત્રફળ વિધેય $A(t) = 3t^2 + 7$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરવું પડશે,જે $\frac{dA}{dt}$ છે.
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dt}(3t^2 + 7) = 3(2t) + 0 = 6t$.
હવે,આપણે આ દરનું મૂલ્ય $t = 2 \, s$ સમયે શોધીએ:
$\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 6(2) = 12 \, cm^2/s$.
આમ,$t = 2 \, s$ સમયે ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર $12 \, cm^2/s$ છે.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
$1$. સ્થાન-સમય $(x-t)$ આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ (અથવા ઝડપ) દર્શાવે છે. વધુ ઢાળ એટલે વધુ ઝડપ.
$2$. આલેખ પરથી,છોકરા $B$ ને દર્શાવતી રેખા છોકરા $A$ ને દર્શાવતી રેખા કરતા વધુ ઢાળવાળી છે,જેનો અર્થ છે કે $B$ એ $A$ કરતા ઝડપથી ચાલે છે.
$3$. આલેખ દર્શાવે છે કે $A$ અને $B$ માટેની રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે. આ છેદબિંદુ સૂચવે છે કે તે ચોક્કસ સમયે,બંને છોકરાઓ એક જ સ્થાને છે. $B$ મોડો શરૂ કરે છે પરંતુ $A$ જેટલા જ સ્થાને પહોંચે છે અને આગળ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $B$ ઘરે જવાના રસ્તામાં $A$ ને ઓવરટેક કરે છે.
$4$. તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું છે.

(B) આપેલ સ્થાન-સમય સમીકરણ: $x = 2t + 1$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \, m/s$.
અહીં વેગ $v = 2 \, m/s$ એ સમય $t$ થી સ્વતંત્ર અચળ મૂલ્ય છે,તેથી $v-t$ આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા મળશે.
$v = 2$ પરની આડી રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = ct^2 + b$ છે. આ એક પરવલયનું સમીકરણ છે.
જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે $x = b$ થાય. $b$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને ધન મૂલ્ય $b$ પર છેદવો જોઈએ (એટલે કે $y$-અંતઃખંડ ધન છે).
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $x$ એ $t$ સાથે વર્ગના પ્રમાણમાં વધે છે. $x-t$ આલેખનો ઢાળ $v = \frac{dx}{dt} = 2ct$ દ્વારા મળે છે. $c > 0$ હોવાથી,વેગ $v$ ધન છે અને સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્મુખ (concave upwards) છે.
તેથી,આલેખ એક પરવલય છે જે ઉપરની તરફ ખુલે છે અને $x = b$ પર ધન $y$-અંતઃખંડ ધરાવે છે.

(C) કણનું સ્થાન વિધેય $y(t) = 3t^2 - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
કણ જ્યારે મહત્તમ ધન સ્થાન પ્રાપ્ત કરે તે સમય શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dy}{dt} = 6t - 3t^2$.
$\frac{dy}{dt} = 0$ લેતા,$3t(2 - t) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 0$ અથવા $t = 2$.
મહત્તમ સ્થાન ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ છીએ: $\frac{d^2y}{dt^2} = 6 - 6t$.
$t = 2$ સમયે,$\frac{d^2y}{dt^2} = 6 - 6(2) = -6$ થાય છે. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $t = 2 \ s$ સમયે મહત્તમ સ્થાન પ્રાપ્ત કરે છે.

(B) આપેલા વેગ-સમયના આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વેગ $v$ એ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અચળ અને ધન છે,જે આપેલા પ્રવેગ-સમયના આલેખ સાથે સુસંગત છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,અને $v$ એ સમયનું રેખીય વિધેય છે (એટલે કે,$v = at + u$),તેથી સ્થાન $x$ એ સમયની સાપેક્ષે વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$x = \int v \, dt = \int (at + u) \, dt = \frac{1}{2}at^2 + ut + x_0$
આ સમીકરણ એક પરવલય દર્શાવે છે. પ્રવેગ $a$ ધન હોવાથી,સ્થાન-સમયનો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય (concave up) હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે સમય સાથે સ્થાનમાં પરવલયાકાર વધારો દર્શાવે છે.

(D) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $x = 1 - t - t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - t - t^2) = -1 - 2t$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-1 - 2t) = -2 \, m/s^2$.
અહીં પ્રવેગ $a = -2 \, m/s^2$ અચળ અને ઋણ હોવાથી,$x-t$ આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય હોવો જોઈએ.
$t = 0$ સમયે,$x = 1 - 0 - 0^2 = 1 \, m$. તેથી,આલેખ ઉભા અક્ષ પર $x = 1$ થી શરૂ થાય છે.
$t = 0$ સમયે,વેગ $v = -1 - 2(0) = -1 \, m/s$ છે. વેગ ઋણ હોવાથી,$t = 0$ સમયે આલેખનો ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ $x = 1$ થી શરૂ થાય છે,જેનો ઢાળ ઋણ છે અને જે નીચેની તરફ વળે છે (અચળ ઋણ પ્રવેગ દર્શાવે છે),તે આલેખ $D$ છે.

(C) આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v(t) = 6t^2 - 6t^3$.
અત્યંત બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરીએ: $\frac{dv}{dt} = 12t - 18t^2$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $6t(2 - 3t) = 0$ મળે છે,જે $t = 0 \ s$ અને $t = 2/3 \ s$ પર નિર્ણાયક બિંદુઓ આપે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36t$.
$t = 0$ માટે: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36(0) = 12 > 0$. દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$t = 0 \ s$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$t = 2/3$ માટે: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36(2/3) = 12 - 24 = -12 < 0$. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$t = 2/3 \ s$ એ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$t = 0 \ s$ પર,વેગ $v = 6(0)^2 - 6(0)^3 = 0 \ m/s$ થાય છે. આમ,ન્યૂનતમ વેગ $0 \ m/s$ છે.

(C) પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારનો દર છે,જે $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $v-t$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
$1$. શરૂઆતમાં $(t=0)$,$v-t$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે,તેથી $a=0$ છે.
$2$. જેમ $t$ વધે છે,તેમ ઢાળ ઋણ બને છે અને તેનું મૂલ્ય વધે છે,જે વળાંકના બિંદુ (જ્યાં વળાંક અંતર્મુખમાંથી બહિર્મુખમાં બદલાય છે) પર મહત્તમ ઋણ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
$3$. જે બિંદુએ વેગ $v$ એ $t$-અક્ષને છેદે છે,ત્યાં ઢાળ તેનું મહત્તમ ઋણ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$4$. જેમ $t$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ ઢાળ ઋણ રહે છે પરંતુ તેનું મૂલ્ય ઘટે છે,અને વળાંક સપાટ થતાં તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જે આલેખ $a=0$ થી શરૂ થાય છે,ઋણ બને છે,ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને ફરીથી $0$ તરફ પાછો ફરે છે,તે વિકલ્પ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(B) $v-t$ આલેખનો ઢાળ પ્રવેગ અથવા પ્રતિપ્રવેગ આપે છે. બંને કાર માટે પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \frac{20\,m/s}{4\,s} = 5\,m/s^2$ છે.
કાર $A$ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને પ્રવેગિત થાય છે,તેથી $t$ સમયે તેનું સ્થાનાંતર $s_A = \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$ છે.
કાર $B$ એ $20\,m/s$ ના પ્રારંભિક વેગથી શરૂ થાય છે અને પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી $t$ સમયે તેનું સ્થાનાંતર $s_B = 20t - \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$ છે.
જ્યારે બંને કારના સ્થાનાંતરનો સરવાળો તેમની વચ્ચેના પ્રારંભિક અંતર જેટલો થાય ત્યારે તેઓ એકબીજાને ઓળંગશે:
$s_A + s_B = 60$
$\frac{1}{2} \times 5 \times t^2 + (20t - \frac{1}{2} \times 5 \times t^2) = 60$
$20t = 60$
$t = 3\,s$.

(D) કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $1\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે $20\,m/s$ ની મહત્તમ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે. પ્રવેગ માટે લાગતો સમય $t_1 = v/a = 20/1 = 20\,s$ છે. આ તબક્કા દરમિયાન કાપેલું અંતર $d_1 = (1/2) \times a \times t_1^2 = (1/2) \times 1 \times 20^2 = 200\,m$ છે.
કાર $20\,m/s$ થી સ્થિર સ્થિતિમાં $2\,m/s^2$ ના પ્રતિપ્રવેગ સાથે આવે છે. પ્રતિપ્રવેગ માટે લાગતો સમય $t_3 = v/a' = 20/2 = 10\,s$ છે. આ તબક્કા દરમિયાન કાપેલું અંતર $d_3 = (1/2) \times a' \times t_3^2 = (1/2) \times 2 \times 10^2 = 100\,m$ છે.
કુલ અંતર $1\,km = 1000\,m$ છે. અચળ ઝડપે કાપેલું અંતર $d_2 = 1000 - (200 + 100) = 700\,m$ છે. અચળ ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = d_2 / v = 700 / 20 = 35\,s$ છે.
કુલ લાગતો સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = 20 + 35 + 10 = 65\,s$ છે.

(B) ગતિને વેગ-સમયના આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કુલ કાપેલું અંતર આપે છે.
ધારો કે $v$ એ પ્રાપ્ત કરેલો મહત્તમ વેગ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે (પ્રવેગ): અંતર $S = \frac{1}{2} \times t_1 \times v \Rightarrow t_1 = \frac{2S}{v}$.
બીજા ભાગ માટે (સમાન ગતિ): અંતર $2S = v \times t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{2S}{v}$.
ત્રીજા ભાગ માટે (પ્રતિપ્રવેગ): અંતર $3S = \frac{1}{2} \times t_3 \times v \Rightarrow t_3 = \frac{6S}{v}$.
કુલ અંતર $D = S + 2S + 3S = 6S$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{2S}{v} + \frac{2S}{v} + \frac{6S}{v} = \frac{10S}{v}$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{6S}{10S/v} = 0.6v$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_{avg}}{v} = 0.6$ થાય.

(C) આલેખ પરથી,$t = 0\, s$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 1\, m/s$ અને $t = 1\, s$ સમયે અંતિમ વેગ $v = 2\, m/s$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ $v-t$ આલેખનો ઢાળ છે:
$a = \tan(45^{\circ}) = 1\, m/s^2$.
કાપેલું અંતર એ $v-t$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે:
$s = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (u + v) \times t = \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 1 = 1.5\, m$.
સરેરાશ ઝડપ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{1.5\, m}{1\, s} = 1.5\, m/s$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આલેખ પરથી,સુરેખ રેખાનું સમીકરણ ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં આ મુજબ છે: $\frac{1}{v} = mt + c$.
ઢાળ $m = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
$t = 3\,s$ સમયે,$\frac{1}{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $\frac{1}{v} = -t + c$ માં $t = 3\,s$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = -3 + c \implies c = 3 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સમીકરણ $\frac{1}{v} = -t + (3 + \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
$v$ માટે ગોઠવતા: $v = \frac{1}{(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $a = \frac{d}{dt} [(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^{-1} = -1 \cdot [-1] \cdot [(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^{-2} = \frac{1}{[(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^2}$.
$t = 3\,s$ સમયે,પદ $[(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t] = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
તેથી,$a = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3\,m/s^2$.

(D) ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ax$ છે. આલેખ પરથી,$v^2$ ને $x$ ની સાપેક્ષમાં દર્શાવેલ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જેનો ઢાળ $m = \frac{dv^2}{dx} = 2a$ છે.
આલેખ પરથી,ઢાળ $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$2a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,પ્રવેગ $a = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,m/s^2$. ઢાળ અચળ હોવાથી,$x$ ના તમામ મૂલ્યો માટે પ્રવેગ અચળ રહે છે.

(C) આ ગતિને વેગ-સમયના આલેખ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જે $2T$ પાયો અને $v_m$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે ($t=0$ થી $t=T$),કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a$ પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v_m = aT$ છે.
કાપેલું કુલ અંતર $s$ એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
$s = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2T) \times v_m = T \times v_m$.
$v_m = aT$ મૂકતા,આપણને $s = T(aT) = aT^2$ મળે છે.
લાગતો કુલ સમય $t_{total} = 2T$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{aT^2}{2T} = \frac{aT}{2}$ થાય છે.

(B) સમય અંતરાલ $(0, T)$ દરમિયાન સરેરાશ વેગને કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $v_{avg} = \frac{x(T) - x(0)}{T}$.
સરેરાશ વેગ શૂન્ય થવા માટે (એટલે કે $v_{avg} = 0$),સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x(T) = x(0)$.
આનો અર્થ એ છે કે સમય $T$ પર કણનું સ્થાન સમય $t = 0$ પરના તેના સ્થાન જેટલું જ હોવું જોઈએ.
આપેલા આલેખોને જોતા:
આલેખ $B$ માં,વક્ર $t = 0$ સમયે ચોક્કસ સ્થાન $x(0)$ થી શરૂ થાય છે અને પછીના કોઈ સમય $T$ પર તે જ સ્થાન $x(T)$ પર પાછો આવે છે. આ ઉકેલની આકૃતિમાં સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ છે જ્યાં $OA = BT$,જેનો અર્થ છે કે અંતરાલ $(0, T)$ દરમિયાન સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.
તેથી,આલેખ $B$ માટે સરેરાશ વેગ શૂન્ય થઈ શકે છે.

(C) આપેલ સ્થાન વિધેય: $x(t) = 4t^3 - 3t^2 + 2$.
વેગ $v(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3t^2 + 2) = 12t^2 - 6t$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 6t) = 24t - 6$.
$t = 2 \, s$ સમયે:
વેગ $v(2) = 12(2)^2 - 6(2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 \, ms^{-1}$.
પ્રવેગ $a(2) = 24(2) - 6 = 48 - 6 = 42 \, ms^{-2}$.
તેથી,પ્રવેગ $42 \, ms^{-2}$ અને વેગ $36 \, ms^{-1}$ છે.

(C) સમાન ગતિમાં,પદાર્થ અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમયે $t$ પર તેના વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
વેગ સમય સાથે બદલાતો ન હોવાથી,વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
સમાન ગતિમાં વેગ અચળ હોય છે,તે સમયના વર્ગના પ્રમાણમાં વધતો નથી. તેથી,$Reason$ ખોટું છે.

(A) $s-t$ આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = ds/dt)$ દર્શાવે છે.
$1$. વિસ્તાર $M$ માટે: ઢાળ ધન અને વધતો જાય છે. તેથી,વેગ ધન અને વધતો જાય છે,જે $A$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. વિસ્તાર $N$ માટે: ઢાળ ધન અને ઘટતો જાય છે. તેથી,વેગ ધન અને ઘટતો જાય છે,જે $R$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. વિસ્તાર $P$ માટે: ઢાળ ઋણ અને ઘટતો જાય છે (વધુ ઋણ બને છે). તેથી,વેગ ઋણ અને ઘટતો જાય છે,જે $R^{-1}$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. વિસ્તાર $Q$ માટે: ઢાળ ઋણ અને વધતો જાય છે (શૂન્યની નજીક પહોંચે છે). તેથી,વેગ ઋણ અને વધતો જાય છે,જે $A^{-1}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડી છે: $(A \rightarrow r, B \rightarrow s, C \rightarrow q, D \rightarrow p)$.

(C) વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે.
આપેલ છે કે $x = a + b t^{2}$.
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + b t^{2}) = 0 + 2bt = 2bt$.
આપેલ કિંમત $b = 2.5 \; m s^{-2}$ મૂકતા:
$v = 2 \times 2.5 \times t = 5.0 t \; m s^{-1}$.
$t = 0 \; s$ સમયે,$v = 5.0 \times 0 = 0 \; m s^{-1}$.
$t = 2.0 \; s$ સમયે,$v = 5.0 \times 2.0 = 10 \; m s^{-1}$.

(A-D) $OP < OQ$ હોવાથી,$A$ એ $B$ કરતા શાળાની વધુ નજીક રહે છે.
$(b)$ $x=0$ માટે,$A$ માટે $t=0$ છે,જ્યારે $B$ માટે $t$ નું કોઈ નિશ્ચિત ધન મૂલ્ય છે. તેથી,$A$ એ $B$ કરતા શાળાએથી વહેલા નીકળે છે.
$(c)$ નિયમિત ગતિના કિસ્સામાં વેગ એ $x-t$ આલેખના ઢાળ જેટલો હોય છે અને $B$ માટે $x-t$ આલેખનો ઢાળ $A$ કરતા વધારે છે,તેથી $B$ એ $A$ કરતા ઝડપથી ચાલે છે.
$(d)$ આપેલા આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $A$ અને $B$ બંને તેમના ઘરે સમાન સમયે પહોંચે છે.
$(e)$ $B$ એ $A$ કરતા પછીથી શરૂઆત કરે છે અને તેની ઝડપ $A$ કરતા વધારે છે. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $B$ રસ્તા પર $A$ ને માત્ર એક જ વાર ઓવરટેક કરે છે.

(N/A) $1$. ઓફિસ પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
સ્ત્રીની ઝડપ $= 5\; km\; h^{-1}$.
તેની ઓફિસ અને ઘર વચ્ચેનું અંતર $= 2.5\; km$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5}{5} = 0.5\; h = 30\; min$.
તેથી, તે સવારે $9.30$ વાગ્યે ઓફિસ પહોંચે છે.
$2$. ઓફિસમાં વિતાવેલો સમય:
તે સવારે $9.30$ થી સાંજે $5.00$ વાગ્યા સુધી ઓફિસમાં રહે છે.
$3$. ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય:
ઓટોની ઝડપ $= 25\; km\; h^{-1}$.
અંતર $= 2.5\; km$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5}{25} = 0.1\; h = 6\; min$.
તે સાંજે $5.06$ વાગ્યે ઘરે પહોંચે છે.
$x-t$ આલેખ $y$-અક્ષ પર સ્થાન $x$ ($km$ માં) અને $x$-અક્ષ પર સમય $t$ દર્શાવે છે. આલેખ $(9.00, 0)$ થી $(9.30, 2.5)$ સુધીની સીધી રેખા, $(9.30, 2.5)$ થી $(5.00, 2.5)$ સુધીની આડી રેખા અને $(5.00, 2.5)$ થી $(5.06, 0)$ સુધીની સીધી રેખા છે.

(N/A) તાત્ક્ષણિક વેગને સરેરાશ વેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે સમયનો ગાળો $\Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે,જે $v = \frac{dx}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ અત્યંત સૂક્ષ્મ સમયગાળા $dt$ માં,કણ દ્વારા કાપેલું પથલંબાઈનું અંતર તેના સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે કારણ કે કણ પાસે તેની ગતિની દિશા બદલવા માટે પૂરતો સમય હોતો નથી.
તાત્ક્ષણિક ઝડપ એ અંતરના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય છે અને તાત્ક્ષણિક વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,અને અત્યંત સૂક્ષ્મ સમયગાળા માટે $dx = |dx|$ હોવાથી,તાત્ક્ષણિક ઝડપ હંમેશા તાત્ક્ષણિક વેગના મૂલ્ય જેટલી જ હોય છે.

(N/A) આપેલ $x-t$ આલેખ નીચે મુજબની ગતિ દર્શાવે છે:
$1$. શરૂઆતમાં,પદાર્થ ઋણ સ્થાન પર સ્થિર છે.
$2$. ત્યારબાદ પદાર્થ અચળ ધન વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને બિંદુ $A$ પર મહત્તમ ધન સ્થાનાંતર પ્રાપ્ત કરે છે.
$3$. બિંદુ $A$ પર,પદાર્થ તેની દિશા બદલે છે અને અચળ ઋણ વેગ સાથે ગતિ કરીને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$4$. અંતે,પદાર્થ ઋણ સ્થાન પર આવીને સ્થિર થાય છે.
આ આલેખ માટે એક યોગ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિ એ છે કે જમીનની સપાટીની નીચેના કોઈ બિંદુ (દા.ત. ખાડા) થી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલો દડો,જે બિંદુ $A$ પર છત સાથે અથડાય છે,પાછો ફરે છે,શરૂઆતના સ્તરને પસાર કરે છે અને અંતે જમીન પર આવીને સ્થિર થઈ જાય છે.

(N/A) $1$. સરેરાશ ઝડપ $x-t$ આલેખના ઢાળના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઢાળ $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમયના અંતરાલો $\Delta t$ સમાન હોવાથી,જે અંતરાલમાં ઢાળ સૌથી વધુ (મહત્તમ મૂલ્ય) હોય ત્યાં સરેરાશ ઝડપ સૌથી વધુ હોય છે,અને જે અંતરાલમાં ઢાળ સૌથી ઓછો (ન્યૂનતમ મૂલ્ય) હોય ત્યાં સરેરાશ ઝડપ સૌથી ઓછી હોય છે.
$2$. આલેખનું અવલોકન કરતા:
- અંતરાલ $1$ માં,ઢાળ ધન અને મધ્યમ છે.
- અંતરાલ $2$ માં,ઢાળ ધન અને ખૂબ જ નાનો છે (આલેખ લગભગ સપાટ છે).
- અંતરાલ $3$ માં,ઢાળ ઋણ અને ખૂબ જ તીવ્ર છે.
$3$. ઢાળના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: ઢાળનું મૂલ્ય અંતરાલ $3$ માં સૌથી વધુ અને અંતરાલ $2$ માં સૌથી ઓછું છે.
$4$. તેથી,સરેરાશ ઝડપ અંતરાલ $3$ માં સૌથી વધુ અને અંતરાલ $2$ માં સૌથી ઓછી છે.
$5$. સરેરાશ વેગની સંજ્ઞા ઢાળની સંજ્ઞાને અનુરૂપ છે:
- અંતરાલ $1$: ધન ઢાળ,તેથી સરેરાશ વેગ ધન છે.
- અંતરાલ $2$: ધન ઢાળ,તેથી સરેરાશ વેગ ધન છે.
- અંતરાલ $3$: ઋણ ઢાળ,તેથી સરેરાશ વેગ ઋણ છે.

(N/A) $1$. સરેરાશ પ્રવેગ અંતરાલ $2$ માં સૌથી વધુ છે.
$2$. સરેરાશ ઝડપ અંતરાલ $3$ માં સૌથી વધુ છે.
$3$. $v$ એ અંતરાલ $1, 2,$ અને $3$ માં ધન છે. $a$ એ અંતરાલ $1$ માં ધન,અંતરાલ $2$ માં ઋણ અને અંતરાલ $3$ માં શૂન્ય છે.
$4$. બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ પર પ્રવેગ શૂન્ય છે.
વિગતવાર સમજૂતી:
- પ્રવેગ એ ઝડપ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંતરાલ $2$ માં આલેખનો ઢાળ સૌથી વધુ હોવાથી,સરેરાશ પ્રવેગ આ અંતરાલમાં સૌથી વધુ છે.
- સરેરાશ ઝડપ એ સમય-અક્ષથી વક્રની સરેરાશ ઊંચાઈ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે અંતરાલ $3$ માં સરેરાશ ઊંચાઈ સૌથી વધુ છે. તેથી,કણની સરેરાશ ઝડપ અંતરાલ $3$ માં સૌથી વધુ છે.
- અંતરાલ $1$ માં: ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ ધન છે,તેથી પ્રવેગ $a$ ધન છે. ઝડપ $v$ ધન છે.
- અંતરાલ $2$ માં: ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ ઋણ છે,તેથી પ્રવેગ $a$ ઋણ છે. ઝડપ $v$ ધન છે.
- અંતરાલ $3$ માં: ઝડપ-સમયનો આલેખ આડો (ક્ષિતિજ સમાંતર) છે (ઢાળ શૂન્ય છે),તેથી પ્રવેગ $a$ શૂન્ય છે. ઝડપ $v$ ધન છે.
- બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ પર,વક્રનો સ્પર્શક સમય-અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ શૂન્ય છે. તેથી,આ બિંદુઓ પર પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(B) ઝડપ-સમયના આલેખમાં કણ દ્વારા કપાયેલ અંતર એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ આલેખ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 10\; s$ અને ઊંચાઈ $h = 12\; m/s$ છે.
અંતર $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
અંતર $= \frac{1}{2} \times 10\; s \times 12\; m/s = 60\; m$.

(C) કણ દ્વારા કપાયેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમયગાળા $t=2\;s$ થી $t=5\;s$ માટે:
ઝડપ $v$ એ $v = at$ દ્વારા મળે છે. $t=5\;s$ સમયે $v=12\;m/s$ હોવાથી,પ્રવેગ $a_1 = 12/5 = 2.4\;m/s^2$ મળે.
$t=2\;s$ સમયે,$v_2 = 2.4 \times 2 = 4.8\;m/s$.
$t=5\;s$ સમયે,$v_5 = 12\;m/s$.
અંતર $s_1$ એ $t=2$ થી $t=5$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$s_1 = \frac{1}{2} \times (v_2 + v_5) \times (5-2) = \frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times 3 = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\;m$.
સમયગાળા $t=5\;s$ થી $t=6\;s$ માટે:
પ્રવેગ $a_2$ એ $t=5$ થી $t=10$ સુધીની રેખાનો ઢાળ છે,જે $a_2 = (0-12)/(10-5) = -2.4\;m/s^2$ છે.
$t=6\;s$ સમયે,ઝડપ $v_6 = v_5 + a_2 \times (6-5) = 12 + (-2.4) \times 1 = 9.6\;m/s$.
અંતર $s_2$ એ $t=5$ થી $t=6$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$s_2 = \frac{1}{2} \times (v_5 + v_6) \times (6-5) = \frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times 1 = \frac{1}{2} \times 21.6 = 10.8\;m$.
કુલ અંતર $s = s_1 + s_2 = 25.2 + 10.8 = 36\;m$.

(C, D, F) કણની ગતિનું વર્ણન કરતા સાચા સૂત્રો $(c)$,$(d)$ અને $(f)$ છે.
$1$. આપેલ વેગ-સમયનો આલેખ અરેખીય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a$ અચળ નથી. તેથી,અચળ પ્રવેગ માટેના ગતિના સમીકરણો,જેમ કે $x(t_2) = x(t_1) + v(t_1)(t_2 - t_1) + (1/2)a(t_2 - t_1)^2$ અને $v(t_2) = v(t_1) + a(t_2 - t_1)$,લાગુ પડતા નથી. આથી $(a)$ અને $(b)$ ખોટા છે.
$2$. સરેરાશ વેગની વ્યાખ્યા કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો છે,જે $v_{\text{average}} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ છે. આમ,$(c)$ સાચું છે.
$3$. સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા વેગમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમયગાળો છે,જે $a_{\text{average}} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$ છે. આમ,$(d)$ સાચું છે.
$4$. $(e)$ માં આપેલ સમીકરણ ખોટું છે કારણ કે તે સરેરાશ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને અચળ પ્રવેગના ગતિના સમીકરણ જેવું સ્વરૂપ બનાવવાનો પ્રયાસ કરે છે,જે અનિયમિત ગતિ માટે સાચું નથી.
$5$. એક પરિમાણીય ગતિમાં કણનું સ્થાનાંતર હંમેશા આપેલ સમય મર્યાદા વચ્ચે વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. આમ,$(f)$ સાચું છે.

(A) અંતરાલ $(a)$ $t = 0\; s$ થી $10\; s$ માટે:
અંતર = ઝડપ-સમયના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 10\; s \times 12\; m/s = 60\; m$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{60\; m}{10\; s} = 6\; m/s$.
અંતરાલ $(b)$ $t = 2\; s$ થી $6\; s$ માટે:
ઝડપ $v(t)$ એ $0 \le t \le 5$ માટે $v(t) = 2.4t$ અને $5 < t \le 10$ માટે $v(t) = 12 - 2.4(t-5)$ દ્વારા મળે છે.
$t = 2\; s$ પર,$v(2) = 2.4 \times 2 = 4.8\; m/s$.
$t = 5\; s$ પર,$v(5) = 12\; m/s$.
$t = 6\; s$ પર,$v(6) = 12 - 2.4(6-5) = 9.6\; m/s$.
$t = 2\; s$ થી $5\; s$ સુધીનું અંતર = સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times (5 - 2) = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\; m$.
$t = 5\; s$ થી $6\; s$ સુધીનું અંતર = સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times (6 - 5) = \frac{1}{2} \times 21.6 \times 1 = 10.8\; m$.
કુલ અંતર = $25.2 + 10.8 = 36\; m$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{36\; m}{6\; s - 2\; s} = \frac{36}{4} = 9\; m/s$.

(N/A) પદાર્થની ગતિને સ્થાન-સમય $(x-t)$ આલેખ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
$(i)$ જ્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય,ત્યારે તેનું સ્થાન $x$ સમય સાથે બદલાતું નથી. આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે.
$(ii)$ જ્યારે પદાર્થ ધન દિશામાં અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થાન $x$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આલેખ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.
$(iii)$ જ્યારે પદાર્થ ઋણ દિશામાં અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થાન $x$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.
$(iv)$ જ્યારે પદાર્થ અનિયમિત ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો વેગ સમય સાથે બદલાય છે. આલેખ એક વક્ર રેખા મળે છે,જે દર્શાવે છે કે ઢાળ (વેગ) અચળ નથી.

(N/A) આલેખ $(a)$ માં,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન $x$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખનો ઢાળ ધન છે. વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ એ $x-t$ આલેખનો ઢાળ હોવાથી,વેગ ધન છે.
આલેખ $(b)$ માં,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન $x$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખનો ઢાળ ઋણ છે. તેથી,વેગ ઋણ છે.
આલેખ $(c)$ માં,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન $x$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે. તેથી,વેગ શૂન્ય છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ આપણને જણાવે છે કે કોઈ પદાર્થ આપેલ સમયગાળા દરમિયાન કેટલી ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યો છે,પરંતુ તે એ નથી જણાવતું કે તે સમયગાળા દરમિયાન અલગ-અલગ ક્ષણે તે કેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે. આ માટે,આપણે તત્કાલીન વેગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
કોઈ ક્ષણે વેગને સરેરાશ વેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે સમયગાળો $\Delta t$ અત્યંત સૂક્ષ્મ બને છે.
બીજા શબ્દોમાં,
$v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$
$v = \frac{dx}{dt} = \dot{x}$
કલનશાસ્ત્રની ભાષામાં,તે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે અને તેને $\frac{dx}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે કોઈ ક્ષણે વેગનું મૂલ્ય આલેખની રીતે અથવા સંખ્યાત્મક રીતે મેળવી શકીએ છીએ.
$(1)$ આલેખની રીત:
ધારો કે આપેલો $x-t$ આલેખ કારની અસમાન ગતિ માટે છે અને આપણે $t = 4 \ s$ સમયે વેગનું મૂલ્ય આલેખની રીતે મેળવવા માંગીએ છીએ.
જેમ જેમ આપણે $t = 4 \ s$ ની આસપાસ નાના સમયગાળા $\Delta t_1, \Delta t_2, \Delta t_3, \dots$ લઈએ છીએ,તેમ અનુરૂપ સ્થાનાંતર $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3, \dots$ મળે છે. વક્ર પરના બિંદુઓને જોડતી છેદિકા રેખાનો ઢાળ $t = 4 \ s$ આગળ સ્પર્શક રેખાના ઢાળની નજીક પહોંચે છે. $t = 4 \ s$ આગળ તત્કાલીન વેગ એ તે બિંદુએ $x-t$ આલેખના સ્પર્શકના ઢાળ જેટલો હોય છે.

(B) સરેરાશ વેગ એ નિશ્ચિત સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થની ગતિ વિશે માહિતી આપે છે,પરંતુ તે એવું જણાવતું નથી કે તે સમયગાળા દરમિયાન કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે પદાર્થ કેવી રીતે ગતિ કરી રહ્યો છે.
ઘણી વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં,પદાર્થનો વેગ સતત બદલાતો રહે છે.
ચોક્કસ ક્ષણે ગતિની સ્થિતિ સમજવા માટે,આપણે તાત્ક્ષણિક વેગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
તેને સરેરાશ વેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે સમયગાળો $\Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.
તેથી,તેનો ઉપયોગ સમયના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ આપણને જણાવે છે કે કોઈ પદાર્થ આપેલ સમયગાળા દરમિયાન કેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે,પરંતુ તે તે સમયગાળા દરમિયાન સમયની અલગ-અલગ ક્ષણો પર પદાર્થ કેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે તે જણાવતું નથી. આ માટે,આપણે તાત્ક્ષણિક વેગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તાત્ક્ષણિક વેગ એટલે સમયની કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે પદાર્થનો વેગ. ગાણિતિક રીતે,તેને સરેરાશ વેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે સમયગાળો $\Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.

(N/A) $x-t$ (સ્થાન-સમય) ગ્રાફ પરથી કોઈ ચોક્કસ સમયે $t$ તત્કાલીન વેગ શોધવા માટે:
$1$. વક્ર પર બિંદુ $P$ શોધો જે તે સમય $t$ ને અનુરૂપ હોય જેના પર તત્કાલીન વેગની જરૂર છે.
$2$. બિંદુ $P$ પર વક્રને સ્પર્શક દોરો.
$3$. આ સ્પર્શક રેખાનો ઢાળ તે સમયે $t$ પર તત્કાલીન વેગ આપે છે.
$4$. ગાણિતિક રીતે,ઢાળની ગણતરી $v = \frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$5$. ગ્રાફમાં બતાવ્યા મુજબ,$t=4 \ s$ ની આસપાસ નાના અને નાના સમયના અંતરાલો $\Delta t$ લઈને,છેદિકા રેખાઓ (જેમ કે $P_1P_2$,$Q_1Q_2$,$T_1T_2$) બિંદુ $P$ પરના સ્પર્શકની નજીક પહોંચે છે,અને તેમના ઢાળ $t=4 \ s$ પરના તત્કાલીન વેગના મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.

(A) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,ડોટ નોટેશન (ન્યૂટનનું નોટેશન) નો ઉપયોગ ચલના સમય સાપેક્ષ વિકલન (time derivative) ને દર્શાવવા માટે થાય છે.
જો $x$ એ પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવતું હોય,તો $\dot x$ ને $\frac{dx}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમયની સાપેક્ષ સ્થાનમાં થતા ફેરફારના દરને વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો હોવાથી,$\dot x$ એ પદાર્થનો તાત્ક્ષણિક વેગ દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે એક પદાર્થ અચળ વેગ $u$ થી ગતિ કરી રહ્યો છે. તેનો વેગ-સમય આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$t=0$ અને $t=T$ વચ્ચે $v-t$ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ $u$ ઊંચાઈ અને $T$ પાયા ધરાવતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= u \times T = uT$ થાય છે,જે આ સમયગાળામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
$t$-ધરીની ઉપર ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ધન ગણવામાં આવે છે,જ્યારે $t$-ધરીની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ઋણ ગણવામાં આવે છે.
નોંધવું જોઈએ કે સૈદ્ધાંતિક $x-t$,$v-t$ અને $a-t$ આલેખમાં ક્યારેક તીક્ષ્ણ વળાંકો (kinks) જોવા મળે છે,પરંતુ વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં આ વિધેયો દરેક બિંદુએ વિકલનીય હોય છે અને આલેખ સુરેખ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ અને વેગના મૂલ્યો કોઈ ક્ષણે અચાનક બદલાઈ શકતા નથી; ફેરફારો હંમેશા સતત હોય છે.

(A) શૂન્ય પ્રવેગ $(a = 0)$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનો વેગ $(v)$ અચળ રહે છે.
ગતિના સમીકરણ $x = x_0 + vt$ મુજબ,જ્યાં $x$ એ સ્થાન છે,$x_0$ એ પ્રારંભિક સ્થાન છે,$v$ એ અચળ વેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,શૂન્ય પ્રવેગ માટેનો $x-t$ આલેખ અચળ ઢાળવાળી એક સીધી રેખા છે,જ્યાં રેખાનો ઢાળ પદાર્થનો અચળ વેગ દર્શાવે છે.