Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Gujarati

(D) કણનો તત્કાલીન વેગ અંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ છે.
અંતર-સમયના આલેખમાં,ઢાળ એ કોઈપણ બિંદુએ વક્રના ચઢાણ (steepness) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $C$ પર વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુએ ઢાળ મહત્તમ છે.
તેથી,બિંદુ $C$ ની આસપાસ તત્કાલીન વેગ મહત્તમ છે.

(A) કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{dx}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સ્થાનાંતરનો સંબંધ: $x = \frac{k}{b}\,[1 - {e^{ - bt}}]$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt} \left[ \frac{k}{b} (1 - e^{-bt}) \right]$
$v = \frac{k}{b} \left[ \frac{d}{dt}(1) - \frac{d}{dt}(e^{-bt}) \right]$
અચળ પદનું વિકલન $0$ થાય છે અને $\frac{d}{dt}(e^{-bt}) = -b e^{-bt}$ હોવાથી:
$v = \frac{k}{b} [0 - (-b) e^{-bt}]$
$v = \frac{k}{b} [b e^{-bt}]$
$v = k e^{-bt}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પક્ષીનો વેગ $v(t) = |t - 2| \, m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4 \, s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 4 \, s$ સુધી સમયની સાપેક્ષમાં ઝડપનું સંકલન કરીએ છીએ:
$S = \int_{0}^{4} |t - 2| \, dt$
આપણે $t = 2$ પર સંકલનને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ કારણ કે નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરનું પદ ચિહ્ન બદલે છે:
$S = \int_{0}^{2} -(t - 2) \, dt + \int_{2}^{4} (t - 2) \, dt$
$S = \int_{0}^{2} (2 - t) \, dt + \int_{2}^{4} (t - 2) \, dt$
$S = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} + [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4}$
$S = (4 - 2) - (0) + [(8 - 8) - (2 - 4)]$
$S = 2 + [0 - (-2)] = 2 + 2 = 4 \, m$.
વૈકલ્પિક રીતે,અંતર એ વેગ-સમય આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે બે કાટકોણ ત્રિકોણ ધરાવે છે,જેમાંથી દરેકનો પાયો $2 \, s$ અને ઊંચાઈ $2 \, m/s$ છે.
$S = 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 2) = 4 \, m$.

(C) સ્થાન-સમય આલેખ એ ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને નીચેની તરફ જતો સાઈન વક્ર છે,જેને સમીકરણ $x(t) = -A \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,એટલે કે $v(t) = \frac{dx}{dt}$.
સ્થાન વિધેયનું વિકલન કરતા: $v(t) = \frac{d}{dt} [-A \sin(\omega t)] = -A \omega \cos(\omega t)$.
$t = 0$ સમયે,વેગ $v(0) = -A \omega \cos(0) = -A \omega$ થાય,જે ઋણ છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખ ઋણ કોસાઇન વિધેય દર્શાવે છે ($t=0$ સમયે ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે),તે વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે $a = -k v + c$ સંબંધ દર્શાવે છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી ($t=0$ સમયે $v=0$),અંતઃખંડ $c$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $a = a_0 - k v$.
$a = \frac{d v}{d t}$ મૂકતા,આપણને $\frac{d v}{d t} = a_0 - k v$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{d v}{a_0 - k v} = d t$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$-\frac{1}{k} \ln(a_0 - k v) = t + C$.
$t=0, v=0$ માટે,$C = -\frac{1}{k} \ln(a_0)$.
આનાથી $\ln\left(\frac{a_0 - k v}{a_0}\right) = -k t$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v(t) = \frac{a_0}{k}(1 - e^{-k t})$ થાય છે.
આ સમીકરણ એક એવા વળાંકને દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને અનંતે અચળ અંતિમ વેગ તરફ જાય છે. આ છેલ્લા વિકલ્પમાં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનો વેગ નીચેની દિશામાં (ઋણ લેવામાં આવે છે) વધે છે. જ્યારે તે સખત સપાટી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે ઉપરની દિશામાં (ધન લેવામાં આવે છે) ચોક્કસ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે. અથડાયા પછી,પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ મહત્તમ ઊંચાઈએ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે. આ ગતિ એક એવા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં વેગ શૂન્યથી શરૂ થાય છે,વધુ ને વધુ ઋણ બને છે,પછી અચાનક ધન મૂલ્ય પર કૂદકો મારે છે,અને અંતે રેખીય રીતે ઘટીને શૂન્ય થાય છે.

(D) ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = m \cdot a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે.
પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt}$.
આપેલ વેગ $v = \ln x$ માટે,આપણે પ્રવેગને સ્થાન $x$ ના પદમાં દર્શાવવા માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dx}(\ln x) \cdot v$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ અને $v = \ln x$,તેથી:
$a = \frac{1}{x} \cdot \ln x = \frac{\ln x}{x}$.
ચોખ્ખું બળ ત્યારે શૂન્ય થાય જ્યારે $F = m \cdot a = 0$ હોય. $m \neq 0$ હોવાથી,$a = 0$ હોવું જોઈએ:
$\frac{\ln x}{x} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\ln x = 0$,જે આપણને $x = e^0 = 1 \, m$ આપે છે.
તેથી,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $x = 1 \, m$ પર શૂન્ય થાય છે.

(B) $x-t$ આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જેને સમીકરણ $x = at - bt^2$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન અચળાંકો છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષે સ્થાન $x$ નું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at - bt^2) = a - 2bt$.
આ સમીકરણ $v = a - 2bt$ એ ઋણ ઢાળ $(-2b)$ અને ધન આંતરછેદ $(a)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$t = 0$ સમયે,$v = a$ (ધન).
$t = T$ સમયે,$x-t$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે,તેથી $v = 0$. આનાથી $a - 2bT = 0$ મળે છે,અથવા $a = 2bT$.
$t = 2T$ સમયે,$v = a - 2b(2T) = a - 4bT = 2bT - 4bT = -2bT = -a$ (ઋણ).
આમ,વેગ ધન મૂલ્યથી ઘટીને $t = T$ સમયે શૂન્ય થાય છે અને ત્યારબાદ ઋણ બને છે,જે $t = 2T$ સમયે $-a$ સુધી પહોંચે છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ $x-t$ આલેખ એક પરવલય (parabola) છે. $0 < t < T$ માટે,આલેખ નીચેની તરફ અંતર્મુખ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ અચળ અને ઋણ છે. $T < t < 2T$ માટે પણ,આલેખ નીચેની તરફ અંતર્મુખ છે,જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ ઋણ પ્રવેગ સૂચવે છે. $x-t$ આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે. $0 < t < T$ માટે ઢાળ ધન છે અને ઘટી રહ્યો છે,અને $T < t < 2T$ માટે ઢાળ ઋણ છે અને ઘટી રહ્યો છે. વેગમાં ફેરફારનો દર (પ્રવેગ) બંને અંતરાલોમાં અચળ અને ઋણ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ ઋણ પ્રવેગ દર્શાવે છે તે સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ $x-t$ આલેખ એક પરવલય છે,જે અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે.
$0 < t < T$ માટે,કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી અંતર $0$ થી $x_{max}$ સુધી વધે છે.
$T < t < 2T$ માટે,કણ ઉગમબિંદુ તરફ પાછો ફરે છે,તેથી અંતર $x_{max}$ થી $2x_{max}$ સુધી વધવાનું ચાલુ રાખે છે.
કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોવાથી,અંતર એ સ્થાનાંતરનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
અંતર-સમયનો આલેખ હંમેશા વધતું વિધેય હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ એવો આલેખ દર્શાવે છે જે સતત વધતો જાય છે,જે સમય સાથે કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર દર્શાવે છે.

(A) આપેલ $x-t$ આલેખ એક પરવલય (parabola) છે. $0 \le t \le T$ માટે,આલેખ $x = kt^2$ (જ્યાં $k > 0$) છે,તેથી વેગ $v = dx/dt = 2kt$,જે $t$ નું સુરેખ વિધેય છે જે $0$ થી શરૂ થઈને વધે છે.
$T \le t \le 2T$ માટે,આલેખ નીચેની તરફનો પરવલય છે,$x = -k'(t-2T)^2 + x_{max}$. વેગ $v = dx/dt = -2k'(t-2T) = 2k'(2T-t)$. આ એક સુરેખ વિધેય છે જે $t = 2T$ સમયે ઘટીને $0$ થાય છે.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય $|v|$ હોવાથી,ઝડપ $t = 0$ થી $t = T$ સુધી સુરેખ રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ $t = 2T$ સુધી સુરેખ રીતે ઘટીને $0$ થાય છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે.

(C) જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે સ્થિર થાય છે.
વેગ-સમયના આલેખને જોતા,જ્યારે આલેખ સમયની ધરી ($t$-ધરી) ને છેદે છે ત્યારે વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે.
$t = 0 \text{ s}$ પર,વેગ $0 \text{ m/s}$ છે.
$t = 4.5 \text{ s}$ (આશરે,$4$ અને $5$ ની વચ્ચે) પર,આલેખ $t$-ધરીને ઓળંગે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ શૂન્ય છે.
$t = 8 \text{ s}$ પર,વેગ $0 \text{ m/s}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં $4.5 \text{ s}$ ન હોવાથી,આપણે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ $(0 \text{ s})$ અને વિકલ્પ $C$ $(8 \text{ s})$ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કણ સ્થિર છે.
સામાન્ય રીતે,આવા પ્રશ્નો અંતિમ સ્થિતિ અથવા ચોક્કસ રસના બિંદુનો સંદર્ભ આપે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$8 \text{ s}$ એ એક માન્ય બિંદુ છે જ્યાં કણ સ્થિર છે.

(C) વેગના ફેરફારનો દર $\left| \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \right|$ એ પ્રવેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે વેગ-સમયના આલેખના ઢાળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
દરેક અંતરાલ માટે ઢાળની ગણતરી કરો:
$1$. $0$ થી $2 \, s$ માટે: $\text{ઢાળ} = \frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \, m/s^2$.
$2$. $2$ થી $4 \, s$ માટે: $\text{ઢાળ} = 0 \, m/s^2$.
$3$. $4$ થી $6 \, s$ માટે: $\text{ઢાળ} = \frac{-20 - 10}{6 - 4} = \frac{-30}{2} = -15 \, m/s^2$. મૂલ્ય $15 \, m/s^2$ છે.
$4$. $6$ થી $8 \, s$ માટે: $\text{ઢાળ} = \frac{0 - (-20)}{8 - 6} = \frac{20}{2} = 10 \, m/s^2$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $5, 0, 15, 10$. મહત્તમ મૂલ્ય $15 \, m/s^2$ છે,જે $4$ થી $6 \, s$ ના અંતરાલમાં જોવા મળે છે.

(A) આપેલ સમયગાળામાં કણનું સ્થાનાંતર વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0 \, s$ થી $t = 2 \, s$ ના સમયગાળા માટે,ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 2 \, s$ અને ઊંચાઈ $h = 10 \, m/s$ છે.
સ્થાનાંતર $\Delta x = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \, m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્થાનાંતર $\Delta x = x_f - x_0$,જ્યાં $x_f$ એ અંતિમ સ્થાન છે અને $x_0$ એ પ્રારંભિક સ્થાન છે.
આપેલ છે કે $x_0 = -15 \, m$,તેથી $10 = x_f - (-15)$.
$10 = x_f + 15$.
$x_f = 10 - 15 = -5 \, m$.
તેથી,$t = 2 \, s$ સમયે તેનું સ્થાન $-5 \, m$ હશે.

(A) કણનું સ્થાનાંતર વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર શોધવા માટે, આપણે $t = 0$ થી તે સમય સુધીના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ જ્યારે વેગ પ્રથમ વખત શૂન્ય થાય છે.
વેગ $t = 0 \, s$ પર અને ફરીથી $t = 4.67 \, s$ (આશરે $14/3 \, s$) પર શૂન્ય થાય છે.
$t = 0$ થી $t = 2 \, s$ સુધીના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક ત્રિકોણ છે: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \, m$.
$t = 2 \, s$ થી $t = 4 \, s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ છે: $\text{Area}_2 = 2 \times 10 = 20 \, m$.
$t = 4 \, s$ પર, વેગ ઘટવાનું શરૂ થાય છે. રેખા $t = 4 + \Delta t$ પર શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $\frac{-20 - 10}{6 - 4} = -15 \, m/s^2$ છે. $t > 4$ માટે રેખાનું સમીકરણ $v = 10 - 15(t - 4)$ છે. $v = 0$ મૂકતા, આપણને $10 = 15(t - 4)$ મળે છે, તેથી $t - 4 = 2/3$, અથવા $t = 4.67 \, s$.
$t = 4 \, s$ થી $t = 4.67 \, s$ સુધીના નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (2/3) \times 10 = 3.33 \, m$ છે.
કુલ મહત્તમ સ્થાનાંતર $= 10 + 20 + 3.33 = 33.33 \, m$.

(A) કુલ કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $1$ ($t=0$ થી $t=4.67$ s સુધી): ત્રિકોણનો પાયો $4.67$ s અને ઊંચાઈ $10$ m/s છે. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4.67 \times 10 = 23.35$ m.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($t=4.67$ થી $t=8$ s સુધી): ત્રિકોણનો પાયો $(8 - 4.67) = 3.33$ s અને ઊંચાઈ $|-20| = 20$ m/s છે. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3.33 \times 20 = 33.3$ m.
કુલ અંતર $= 23.35 + 33.3 = 56.65$ m. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $66.6$ m છે.

(B) પ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે,જે $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળા $0 \le t < 2 \ s$ માટે: ઢાળ $\frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \ m/s^2$ છે.
સમયગાળા $2 \le t < 4 \ s$ માટે: વેગ અચળ $(10 \ m/s)$ છે,તેથી ઢાળ $0 \ m/s^2$ છે.
સમયગાળા $4 \le t < 6 \ s$ માટે: ઢાળ $\frac{-20 - 10}{6 - 4} = \frac{-30}{2} = -15 \ m/s^2$ છે.
સમયગાળા $6 \le t < 8 \ s$ માટે: ઢાળ $\frac{0 - (-20)}{8 - 6} = \frac{20}{2} = 10 \ m/s^2$ છે.
આ મૂલ્યોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો પ્રવેગ-સમયનો આલેખ નીચે મુજબના મૂલ્યો દર્શાવે છે: $t \in [0, 2)$ માટે $5 \ m/s^2$,$t \in [2, 4)$ માટે $0 \ m/s^2$,$t \in [4, 6)$ માટે $-15 \ m/s^2$,અને $t \in [6, 8)$ માટે $10 \ m/s^2$. આ વિકલ્પ $B$ માં આપેલા આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સ્થાનાંતર $x$ એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે.
$1$. $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધી,વેગ રેખીય રીતે વધે છે,તેથી સ્થાનાંતર $x$ પરવલયાકાર રીતે વધે છે (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ).
$2$. $t = 2 \ s$ થી $t = 4 \ s$ સુધી,વેગ અચળ $(10 \ m/s)$ છે,તેથી સ્થાનાંતર $x$ રેખીય રીતે વધે છે.
$3$. $t = 4 \ s$ થી $t = 5 \ s$ સુધી,વેગ $10 \ m/s$ થી ઘટીને $0$ થાય છે,તેથી સ્થાનાંતર $x$ ઘટતા ઢાળ સાથે વધે છે (નીચેની તરફ અંતર્ગોળ) જ્યાં સુધી તે $t = 5 \ s$ પર મહત્તમ ન થાય.
$4$. $t = 5 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધી,વેગ ઋણ બને છે,તેથી સ્થાનાંતર $x$ ઘટવાનું શરૂ થાય છે.
$5$. $t = 6 \ s$ થી $t = 8 \ s$ સુધી,વેગ $-20 \ m/s$ થી વધીને $0$ થાય છે,તેથી સ્થાનાંતર $x$ ઘટવાનું ચાલુ રાખે છે પરંતુ વધતા ઢાળ સાથે (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ) જ્યાં સુધી તે $t = 8 \ s$ પર ચોક્કસ મૂલ્ય પર પાછું ન આવે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,વિકલ્પ $C$ એ સ્થાનાંતર-સમયનો સાચો આલેખ દર્શાવે છે.

(C) વેગ-સમયનો આલેખ બદલાતા વેગ સાથે સીધી રેખામાં કારની ગતિ દર્શાવે છે.
કાપેલું કુલ અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ જેની ત્રિજ્યા $r = 1 \, m/s$ અને પાયાની લંબાઈ $T = 2 \, s$ છે,તે નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} \, m$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
$V_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{\pi / 2}{2} = \frac{\pi}{4} \, m/s$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આલેખ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અચળ છે. $F = ma$ હોવાથી,અચળ પ્રવેગનો અર્થ એ છે કે બળ પણ અચળ છે.
જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેનો વેગ ઋણમાંથી ધન થાય છે. $v-t$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. આલેખ સમયની ધરીને ઓળંગતો હોવાથી,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય થઈ શકે છે,જેનો અર્થ છે કે કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાનને ઓળંગે છે.
જોકે,ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય $|v|$ છે. જેમ કણ ઋણ વેગથી શૂન્ય તરફ અને પછી ધન મૂલ્યો તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેની ઝડપ પહેલા ઘટે છે (જેમ તે શૂન્યની નજીક આવે છે) અને પછી વધે છે. તેથી,ઝડપ સતત વધે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) જ્યારે કણ $E$ ની ડાબી બાજુએ હોય,ત્યારે બળ $F$ જમણી દિશામાં હોય છે,જે ધન છે. $F$ નું મૂલ્ય અચળ $F_0$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = F_0 / m$ એ ધન અચળાંક છે.
$a = dv/dt$ હોવાથી,$v-t$ આલેખનો ઢાળ ધન અચળાંક છે. આમ,જ્યાં સુધી કણ $E$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
કણ $E$ ને પસાર કર્યા પછી,બળ $F$ ડાબી દિશામાં લાગે છે,જે ઋણ છે. આમ,પ્રવેગ ઋણ અચળાંક બને છે,અને $v-t$ આલેખનો ઢાળ ઋણ અચળાંક છે.
વેગ રેખીય રીતે ઘટે છે,શૂન્ય થાય છે,અને પછી જ્યારે કણ $E$ ની જમણી બાજુએ જાય છે ત્યારે તે ઋણ બને છે.
આ ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે,જેના પરિણામે વેગ-સમયના આલેખ માટે ત્રિકોણાકાર તરંગ પેટર્ન મળે છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે વેગમાં રેખીય વધારો અને ઘટાડો દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ અચળ $(a = -g)$ રહે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u - gt$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ઉપરની તરફની ગતિ (ચઢાણ) દરમિયાન,વેગ ધન હોય છે અને સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે જ્યાં સુધી તે મહત્તમ ઊંચાઈ પર શૂન્ય ન થઈ જાય.
નીચેની તરફની ગતિ (પતન) દરમિયાન,વેગ ઋણ બને છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય રેખીય રીતે વધે છે,જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ વેગના ધન મૂલ્યથી શૂન્ય સુધીના આ રેખીય ઘટાડાને અને ત્યારબાદ ઋણ દિશામાં રેખીય વધારાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) વેગ $v = x^2 + x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ ને $a = \frac{dv}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1$.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા: $a = (x^2 + x)(2x + 1)$.
જ્યારે $x = 2 \ m$ હોય ત્યારે:
$a = (2^2 + 2)(2(2) + 1) = (4 + 2)(4 + 1) = 6 \times 5 = 30 \ m/s^2$.

(D) વેગ-સમય આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થના સ્થાનાંતરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આપેલ આલેખમાં,ક્ષેત્રફળ $X$ એ દડાના $1^{st}$ અથડામણ પછી સપાટી પરથી ઉપર જતી વખતે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધીનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $Y$ એ દડાના તે મહત્તમ ઊંચાઈથી $2^{nd}$ અથડામણ પહેલાં સપાટી પર પાછા આવતી વખતે તેનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે દડો સમાન ઊભું અંતર કાપીને ઉપર જાય છે અને નીચે આવે છે,તેથી ઉપરની ગતિ માટેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય નીચેની ગતિ માટેના સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $X$ અને $Y$ સમાન છે કારણ કે દડો $1^{st}$ અને $2^{nd}$ અથડામણ વચ્ચે સમાન અંતર કાપીને ઉપર જાય છે અને નીચે આવે છે.

(B) સમાન પ્રવેગી ગતિ કરતા કણ માટે,કોઈપણ બિંદુએ તત્કાલીન વેગ એ તે બિંદુએ $x-t$ આલેખના સ્પર્શકનો ઢાળ છે,એટલે કે $v = \tan \theta$.
બિંદુ $(i)$ પર,ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી વેગ $v_1 = \tan 45^{\circ} = 1 \ ms^{-1}$.
બિંદુ $(ii)$ પર,ખૂણો $\theta_2$ છે જ્યાં $\tan \theta_2 = 3$,તેથી વેગ $v_2 = 3 \ ms^{-1}$.
સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ એ તે બિંદુઓ પરના તત્કાલીન વેગનો સરેરાશ છે:
$v_{\text{average}} = \frac{v_1 + v_2}{2}$
$v_{\text{average}} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \ ms^{-1}$.

(C) ન્યૂનતમ સમય શોધવા માટે,આપણે વેગ-સમય આલેખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાંથી $10\ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે $10\ m/s$ સુધી પહોંચે છે,જેમાં $t_1 = \frac{10}{10} = 1\ s$ સમય લાગે છે. ત્યારબાદ તે $5\ m/s^2$ ના પ્રતિપ્રવેગ સાથે $10\ m/s$ થી સ્થિર સ્થિતિમાં આવે છે,જેમાં $t_2 = \frac{10}{5} = 2\ s$ સમય લાગે છે. ધારો કે $t$ એ સમય છે જેના માટે તે $10\ m/s$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે. કુલ કાપેલું અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે: $Area = \frac{1}{2} \times (base_1 + base_2) \times height = \frac{1}{2} \times (t + (t + 1 + 2)) \times 10 = 135$. સાદું રૂપ આપતા,$5(2t + 3) = 135$,તેથી $2t + 3 = 27$,જે $2t = 24$ આપે છે,એટલે કે $t = 12\ s$. કુલ સમય $T = t_1 + t + t_2 = 1 + 12 + 2 = 15\ s$ છે.

(C) જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તે સ્થિર કહેવાય છે. સ્થાન-સમયના આલેખના સંદર્ભમાં,આનો અર્થ એ છે કે આલેખનો ઢાળ (જે વેગ દર્શાવે છે) શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે સમયગાળા દરમિયાન સ્થાન અચળ રહે છે.
$x-t$ આલેખ જોતા,$t = 2\ s$ અને $t = 3\ s$ ની વચ્ચે સ્થાન $x$ અચળ (આડી રેખા) છે.
$y-t$ આલેખ જોતા,$t = 1\ s$ અને $t = 3\ s$ ની વચ્ચે સ્થાન $y$ અચળ ($y = 0$ પર આડી રેખા) છે.
કણ દ્વિ-પરિમાણમાં સ્થિર રહે તે માટે,તેના વેગના $x$ અને $y$ બંને ઘટકો એકસાથે શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,કણ તે સમયગાળા દરમિયાન સ્થિર છે જ્યારે બંને આલેખ આડા હોય છે,જે $t = 2\ s$ અને $t = 3\ s$ ની વચ્ચે છે.

(A) $1$. જ્યારે દડો ઢાળ $AB$ પર નીચે ગબડે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી તેની ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. સમક્ષિતિજ સપાટી $BC$ પર,ગતિની દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી (ઘર્ષણને અવગણતા),તેથી ઝડપ અચળ રહે છે.
$3$. જ્યારે દડો ઢાળ $CD$ પર ઉપર ચઢે છે,ત્યારે તે ગતિ ઊર્જાના ભોગે સ્થિતિ ઊર્જા મેળવે છે,તેથી તેની ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
$4$. અંતે,સમક્ષિતિજ સપાટી $DE$ પર,ઝડપ ફરીથી $BC$ કરતા ઓછી કિંમતે અચળ રહે છે.
$5$. આ વર્તણૂકની આપેલ આલેખો સાથે સરખામણી કરતા,આકૃતિ $(1)$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: ઝડપ વધે છે,અચળ રહે છે,ઘટે છે,અને પછી નીચી કિંમતે અચળ રહે છે.

(C) $V-S$ આલેખમાં આપેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ $V = -mS + V_0$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળનું મૂલ્ય છે અને $V_0$ એ આંતરછેદ છે.
આલેખનો ઢાળ $\frac{dV}{dS} = -m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = V \left(\frac{dV}{dS}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $a = (-mS + V_0)(-m)$ મળે છે.
$a = m^2S - mV_0$.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,પ્રવેગ વિરુદ્ધ સ્થળાંતરનો આલેખ એક સીધી રેખા છે.

(D) વેગ-સમયનો આલેખ પ્રવેગ-સમયના આલેખનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે,કારણ કે $v = \int a \, dt$ થાય છે.
$1$. $0$ થી $t_{1}$ સમયગાળામાં,પ્રવેગ $a$ અચળ અને ધન છે. તેથી,વેગ સમય સાથે સુરેખ રીતે વધે છે (ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા).
$2$. $t_{1}$ થી $t_{2}$ સમયગાળામાં,પ્રવેગ $a = 0$ છે. તેથી,વેગ અચળ રહે છે (આડી રેખા).
$3$. $t_{2}$ થી $t_{3}$ સમયગાળામાં,પ્રવેગ $a$ ફરીથી અચળ અને ધન છે. તેથી,વેગ સમય સાથે ફરીથી સુરેખ રીતે વધે છે (ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા).
આ વર્તણૂકની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,$823$-d272 માં દર્શાવેલ આલેખ આ ગતિને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) ધારો કે $t_1$ એ $\alpha$ દરથી પ્રવેગિત થઈને મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે,અને $t_2$ એ $\beta$ દરથી પ્રતિપ્રવેગિત થઈને સ્થિર થવા માટેનો સમય છે.
વેગ-સમયના આલેખ પરથી,પ્રવેગના તબક્કાનો ઢાળ $\alpha = \frac{v_{\max}}{t_1}$ છે,જે આપે છે $t_1 = \frac{v_{\max}}{\alpha}$.
પ્રતિપ્રવેગના તબક્કાનો ઢાળ $\beta = \frac{v_{\max}}{t_2}$ છે,જે આપે છે $t_2 = \frac{v_{\max}}{\beta}$.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2$ છે.
$t_1$ અને $t_2$ ના પદોને મૂકતા: $t = \frac{v_{\max}}{\alpha} + \frac{v_{\max}}{\beta}$.
$t = v_{\max} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$.
$v_{\max}$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $v_{\max} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$.

(C) આપેલ છે કે વેગ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો સંબંધ $v = x^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ ને $a = v \frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (x^2) \cdot (2x) = 2x^3$.
$x = 3 \ m$ આગળ પ્રવેગ શોધવા માટે,$x$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = 2(3)^3 = 2 \cdot 27 = 54 \ m/s^2$.

(C) વેગ-સમયના આલેખમાં,ઢાળ પ્રવેગ $(a = dv/dt)$ દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ પર,આલેખનો ઢાળ ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ ઋણ છે (મંદન).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
પ્રવેગ ઋણ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું બળ પણ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે વેગ (ગતિ) ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરતું બળ લાગે છે.

(B) સ્થાનાંતર $(X)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ ના આલેખમાં,ઢાળ એ કણનો વેગ દર્શાવે છે. ભૌતિક રીતે શક્ય આલેખ માટે,કોઈપણ આપેલ સમય $(t)$ પર કણનું માત્ર એક જ અનન્ય સ્થાન હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(A)$ શક્ય છે કારણ કે તે કણ દૂર જઈને પાછો ફરતો દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(C)$ શક્ય છે કારણ કે તે બંને દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(D)$ શક્ય છે કારણ કે તે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરતા,રીસેટ થતા અને પુનરાવર્તન કરતા કણને દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(B)$ શક્ય નથી કારણ કે સમય $(t)$ ના ચોક્કસ ક્ષણે,આલેખ સ્થાનાંતર $(X)$ ના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો દર્શાવે છે. કારણ કે કણ એક જ સમયે બે જગ્યાએ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(C) રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત કરવામાં આવેલી મહત્તમ ઊંચાઈ એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ છે જ્યાં સુધી વેગ શૂન્ય ન થાય.
આલેખ પરથી,$t = 0$ થી $t = 110 \ s$ સુધી વેગ ધન છે.
$v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 110 \ s$ અને ઊંચાઈ $h = 1000 \ m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $= \frac{1}{2} \times 110 \ s \times 1000 \ m/s$
મહત્તમ ઊંચાઈ $= 55 \times 1000 \ m = 55000 \ m$
કારણ કે $1 \ km = 1000 \ m$,તેથી:
મહત્તમ ઊંચાઈ $= 55 \ km$.

(C) સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,સમય $t$ ના કોઈપણ નિશ્ચિત ક્ષણે,વેગ $v$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય હોઈ શકે છે.
આલેખ $(i)$ માં,સમય $t$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,વેગ $v$ ના એક કરતા વધુ મૂલ્યો મળે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
આલેખ $(ii)$ માં,વેગ સમય સાથે સતત બદલાય છે,જે શક્ય છે.
આલેખ $(iii)$ માં,વેગ અચાનક (અસતત રીતે) બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુઓ પર પ્રવેગ અનંત છે. આદર્શ મોડેલોમાં સૈદ્ધાંતિક રીતે શક્ય હોવા છતાં,ભૌતિક કણ માટે તે સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક ગણાતું નથી.
આલેખ $(iv)$ માં,વેગ સતત બદલાય છે અને તે ધન,શૂન્ય અથવા ઋણ મૂલ્યો લઈ શકે છે,જે ભૌતિક રીતે શક્ય છે.
તેથી,માત્ર આલેખ $(ii)$ અને $(iv)$ ભૌતિક રીતે વાસ્તવિક ગતિ દર્શાવે છે.

(A) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ કણનો વેગ દર્શાવે છે $(v = \frac{dx}{dt})$.
શરૂઆતમાં,ઢાળ ધન અને મોટો છે,જે સૂચવે છે કે કણ ચોક્કસ વેગ સાથે શરૂ થાય છે.
જેમ જેમ સમય વધે છે,તેમ વક્રનો ઢાળ સતત ઘટતો જાય છે અને અંતે શૂન્ય થઈ જાય છે (સ્પર્શક સમક્ષિતિજ બને છે).
ઘટતો ઢાળ એ સૂચવે છે કે વેગ ઘટી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિ પ્રતિપ્રવેગી છે.
અંતિમ ઢાળ શૂન્ય હોવાથી,કણ અંતે સ્થિર થઈ જાય છે.

(A) કાપેલું અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળના કુલ ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જેમાં દરેક ભાગ માટે ક્ષેત્રફળનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $1$ ($t=0$ થી $t=1$ સુધીનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($t=1$ થી $t=3$ સુધીનો લંબચોરસ): $2 \times 4 = 8 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $3$ ($t=3$ થી $t=4$ સુધીનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $4$ ($t=4$ થી $t=5$ સુધીનો ત્રિકોણ): $|\frac{1}{2} \times 1 \times (-2)| = 1 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $5$ ($t=5$ થી $t=7$ સુધીનો લંબચોરસ): $|2 \times (-2)| = 4 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $6$ ($t=7$ થી $t=8$ સુધીનો ત્રિકોણ): $|\frac{1}{2} \times 1 \times (-2)| = 1 \text{ m}$.
કુલ અંતર $= 2 + 8 + 2 + 1 + 4 + 1 = 18 \text{ m}$.

(A) ધારો કે કુલ સમય $T$ છે અને મહત્તમ વેગ $v$ છે. વેગ-સમયનો આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
$v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કુલ અંતર $S$ આપે છે.
$S = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (T + (T - 2t)) \times v = \frac{1}{2} \times (2T - 2t) \times v = (T - t)v$,જ્યાં $t$ એ પ્રવેગ માટે લીધેલ સમય છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{S}{T} = \frac{(T - t)v}{T}$.
આપેલ છે કે $v_{av} = \frac{7v}{8}$,તેથી $\frac{(T - t)v}{T} = \frac{7v}{8}$.
$1 - \frac{t}{T} = \frac{7}{8} \implies \frac{t}{T} = \frac{1}{8}$.
અચળ વેગ સાથે વિતાવેલો સમય $T_{const} = T - 2t$ છે.
કુલ સમયનો અંશ $\frac{T - 2t}{T} = 1 - 2(\frac{t}{T}) = 1 - 2(\frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$ છે.

(B) કાર $A$ અને $B$ માટેના સ્થાન વિધેયો આપેલા છે:
$X_A(t) = at + bt^2$
$X_B(t) = ft - t^2$
કણનો વેગ એ તેના સ્થાન વિધેયનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે,$v = \frac{dX}{dt}$.
કાર $A$ માટે:
$v_A = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$
કાર $B$ માટે:
$v_B = \frac{d}{dt}(ft - t^2) = f - 2t$
જ્યારે બંને કારનો વેગ સમાન હોય તે સમય શોધવા માટે,આપણે $v_A = v_B$ લઈએ છીએ:
$a + 2bt = f - 2t$
$t$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bt + 2t = f - a$
$t(2b + 2) = f - a$
$t(2(b + 1)) = f - a$
$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$
આમ,$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$ સમયે બંને કારનો વેગ સમાન હશે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય,તો તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v = t^2 - 3t - 4$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 2t - 3$.
પ્રવેગને શૂન્ય લેતા: $2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1.5 \, s$.
હવે,$t = 1.5$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4$
$v = 2.25 - 4.5 - 4$
$v = -6.25 \, m/s$.

(C) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે.
પ્રથમ $2 \text{ s}$ માટે ($t = 0$ થી $t = 2$):
સ્થાનાંતર $0$ થી $20$ થાય છે.
ઝડપનું મૂલ્ય $v_1 = \frac{|\Delta x|}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{2 - 0} = 10 \text{ units/s}$.
પછીની $4 \text{ s}$ માટે ($t = 2$ થી $t = 6$):
સ્થાનાંતર $20$ થી $0$ થાય છે.
ઝડપનું મૂલ્ય $v_2 = \frac{|\Delta x|}{\Delta t} = \frac{|0 - 20|}{6 - 2} = \frac{20}{4} = 5 \text{ units/s}$.
ઝડપના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{10}{5} = 2 : 1$ છે.

(C) આપેલ પ્રવેગ-વેગ $(a-v)$ આલેખ એ ઋણ ઢાળ અને $a$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે. તેને સમીકરણ $a = -kv + c$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ અને $c$ ધન અચળાંકો છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે,$v = 0$. આલેખ પરથી,$v = 0$ સમયે,$a = a_0$ (ધન મૂલ્ય). તેથી,સમીકરણ $a = a_0 - kv$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી:
$\frac{dv}{dt} = a_0 - kv$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\int_{0}^{v} \frac{dv}{a_0 - kv} = \int_{0}^{t} dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$-\frac{1}{k} [\ln(a_0 - kv)]_{0}^{v} = t$
$\ln\left(\frac{a_0 - kv}{a_0}\right) = -kt$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$1 - \frac{kv}{a_0} = e^{-kt}$
$v(t) = \frac{a_0}{k}(1 - e^{-kt})$
આ સમીકરણ એક એવા વક્રને દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ ($t=0$ સમયે $v=0$) થી શરૂ થાય છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ અંતિમ વેગ $v_{max} = \frac{a_0}{k}$ સુધી પહોંચે છે. $v-t$ આલેખનો ઢાળ,જે પ્રવેગ છે,તે વેગ વધવાની સાથે ઘટે છે,જે આપેલ $a-v$ આલેખ સાથે સુસંગત છે. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ દર્શાવે છે કે $0 \le t \le 10 \text{ s}$ માટે,પ્રવેગ $a$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આ રેખાનું સમીકરણ $a = kt$ છે. $t = 10 \text{ s}$ પર,$a = 2 \text{ m/s}^2$,તેથી $2 = k(10)$,જે $k = 0.2 \text{ s}^{-2}$ આપે છે. આમ,$a = 0.2t$. કારણ કે $a = dv/dt$,આપણી પાસે $dv = a \, dt = 0.2t \, dt$ છે. $t = 0$ થી $t = 10 \text{ s}$ સુધી સંકલન કરતા,$v(0) = 0$ સાથે,આપણને $v = \int_0^t 0.2t \, dt = 0.1t^2$ મળે છે. આ એક પરવલય વક્ર (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ) છે. $t = 10 \text{ s}$ પર,$v = 0.1(10)^2 = 10 \text{ m/s}$.
$10 \le t \le 15 \text{ s}$ માટે,પ્રવેગ $a = 1 \text{ m/s}^2$ પર અચળ છે. કારણ કે $a = dv/dt$ અચળ છે,વેગ-સમયનો આલેખ $1 \text{ m/s}^2$ ના ધન ઢાળ સાથેની સીધી રેખા હશે. $t = 15 \text{ s}$ પર વેગ $v = 10 + 1(15 - 10) = 15 \text{ m/s}$ હશે. આમ,આલેખ પ્રથમ ભાગ માટે પરવલય અને બીજા ભાગ માટે સીધી રેખા છે.

(C) વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v$ એ પ્રવેગ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
કણ તેનો પ્રારંભિક વેગ પ્રાપ્ત કરે તે માટે,વેગમાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta v = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a-t$ આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે સમયની ધરીની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે અને સમયની ધરીની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે.
$A_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \ m/s$.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 10}{4 - 0} = -2.5 \ m/s^3$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $a = -2.5t + 10$ છે.
$t_0$ સમયે,પ્રવેગ $a(t_0) = -2.5t_0 + 10$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(t_0 - 4)$ અને વેધ $|a(t_0)| = | -2.5t_0 + 10 | = 2.5t_0 - 10$ છે.
$A_1 = A_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $20 = \frac{1}{2} \times (t_0 - 4) \times (2.5t_0 - 10)$.
$40 = (t_0 - 4) \times 2.5(t_0 - 4)$.
$40 = 2.5(t_0 - 4)^2$.
$(t_0 - 4)^2 = \frac{40}{2.5} = 16$.
$t_0 - 4 = 4$.
$t_0 = 8 \ s$.

(B) કપાયેલ અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમયગાળા $t = 2\,s$ થી $t = 5\,s$ માટે,$t$ સમયે ઝડપ $v = \frac{12}{5}t = 2.4t$ દ્વારા મળે છે.
$t = 2\,s$ પર,$v_1 = 2.4 \times 2 = 4.8\,m/s$.
$t = 5\,s$ પર,$v_2 = 12\,m/s$.
$t=2\,s$ અને $t=5\,s$ વચ્ચે બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times (5 - 2) = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\,m$.
સમયગાળા $t = 5\,s$ થી $t = 6\,s$ માટે,$t$ સમયે ઝડપ $v = 12 - \frac{12}{5}(t - 5) = 24 - 2.4t$ દ્વારા મળે છે.
$t = 5\,s$ પર,$v_2 = 12\,m/s$.
$t = 6\,s$ પર,$v_3 = 12 - 2.4(6 - 5) = 9.6\,m/s$.
$t=5\,s$ અને $t=6\,s$ વચ્ચે બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $S_2 = \frac{1}{2} \times (v_2 + v_3) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times (6 - 5) = \frac{1}{2} \times 21.6 \times 1 = 10.8\,m$.
કુલ અંતર $S = S_1 + S_2 = 25.2 + 10.8 = 36\,m$.

(B) બે પદાર્થો $A$ અને $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_A - v_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોવા માટે,આપણી પાસે $v_A = v_B$ હોવું જોઈએ.
સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે છે.
તેથી,$v_A = v_B$ માટે,$A$ અને $B$ ના સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ.
સમાન ઢાળ ધરાવતી બે રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
આમ,બે સમાંતર ત્રાંસી રેખાઓ દર્શાવતો આલેખ શૂન્ય સાપેક્ષ વેગ સાથે ગતિ કરતા બે પદાર્થોને દર્શાવે છે.

(C) કણને $x = -A$ ($E$ ની ડાબી બાજુ) પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. કારણ કે બળ $F$ અચળ છે અને $E$ તરફ નિર્દેશિત છે,પ્રવેગ $a = F/m$ અચળ અને ધન (જમણી તરફ) છે.
જેમ કણ $x = -A$ થી $x = E$ સુધી ગતિ કરે છે,તેમ તેનો વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે: $v(t) = at = (F/m)t$.
$x = E$ પર,બળ શૂન્ય થઈ જાય છે,અને કણ મહત્તમ વેગ સાથે $E$ માંથી પસાર થાય છે.
એકવાર કણ $E$ ની જમણી બાજુએ આવી જાય,પછી બળ $F$ દિશા બદલે છે (ડાબી તરફ નિર્દેશ કરે છે),જેના કારણે અચળ ઋણ પ્રવેગ $a = -F/m$ ઉત્પન્ન થાય છે.
વેગ તેના મહત્તમ મૂલ્યથી ઘટીને $x = +A$ પર શૂન્ય થાય છે.
આ ચક્ર પુનરાવર્તિત થાય છે,જેના પરિણામે ત્રિકોણાકાર વેગ-સમય આલેખ મળે છે. આલેખ $C$ આ ગતિને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) આપેલ દળ $m = 50 \, g = 0.05 \, kg$ છે.
વેગ-સમયના આલેખ પરથી,પ્રવેગ $a$ એ રેખાનો ઢાળ છે.
$t = 2 \, s$ સમયે,ઢાળ $a = \frac{15 - 0}{3 - 0} = 5 \, m/s^2$ છે. બળ $F = ma = 0.05 \times 5 = 0.25 \, N$ ગતિની દિશામાં લાગે છે.
$t = 4 \, s$ સમયે,વેગ અચળ છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે. આમ,$F = 0$.
$t = 6 \, s$ સમયે,ઢાળ $a = \frac{0 - 15}{8 - 5} = -5 \, m/s^2$ છે. બળ $F = ma = 0.05 \times (-5) = -0.25 \, N$ છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(D) કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 3000\,m.$
$\frac{1}{2} \times 300\,s \times V_{\max} = 3000\,m.$
$150 \times V_{\max} = 3000 \implies V_{\max} = 20\,m/s.$
પ્રવેગ $a_1 = \frac{V_{\max} - 0}{100} = \frac{20}{100} = 0.2\,m/s^2.$
પ્રતિપ્રવેગ $a_2 = \frac{0 - V_{\max}}{200} = -\frac{20}{200} = -0.1\,m/s^2$ (મૂલ્ય $0.1\,m/s^2$ છે).
અહીં $V_{\max} = 20\,m/s$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.