Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Gujarati

(D) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં કણનો વેગ રેખાના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\tan \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખા સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
કણ $A$ માટે,ખૂણો $\theta_A = 30^\circ$ છે,તેથી $V_A = \tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}$.
કણ $B$ માટે,ખૂણો $\theta_B = 60^\circ$ છે,તેથી $V_B = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $V_A:V_B$ એ $1:3$ છે.

(D) $x-t$ (સ્થાન-સમય) આલેખ પર કોઈપણ ક્ષણે વક્રને દોરેલો સ્પર્શક પદાર્થનો તત્કાલીન વેગ આપે છે.
વાહનમાં રહેલું સ્પીડોમીટર દરેક ક્ષણે પદાર્થનો તત્કાલીન વેગ દર્શાવે છે.
આમ,પદાર્થનો તત્કાલીન વેગ આલેખની રીતે અને સ્પીડોમીટર દ્વારા એમ બંને રીતે માપી શકાય છે.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $s = 6t^2 - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{d}{dt}(6t^2 - t^3) = 12t - 3t^2$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,આપણે $v = 0$ લઈએ છીએ:
$12t - 3t^2 = 0$.
$3t(4 - t) = 0$.
આનાથી $t = 0 \ s$ અને $t = 4 \ s$ મળે છે.
કણ $t = 0 \ s$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તે $t = 4 \ s$ સમયે ફરીથી શૂન્ય વેગ પ્રાપ્ત કરશે.

(B) કણનું સ્થાન સમીકરણ $x = a + bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાત્ક્ષણિક વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$
અહીં $a$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય છે. તેથી,$v = 2bt$.
આપેલ છે કે $b = 3 \, cm/s^2$ અને $t = 3 \, s$,આ કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 2 \times 3 \times 3 = 18 \, cm/s$.
આમ,$t = 3 \, s$ સમયે તાત્ક્ષણિક વેગ $18 \, cm/s$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ: $3t = \sqrt{3x} + 6$.
$\sqrt{3x}$ માટે ગોઠવતા: $\sqrt{3x} = 3t - 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3x = (3t - 6)^2 = 9t^2 - 36t + 36$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = 3t^2 - 12t + 12$.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 12) = 6t - 12$.
વેગ શૂન્ય થવા માટે: $6t - 12 = 0 \Rightarrow t = 2 \ s$.
સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં $t = 2 \ s$ મૂકતા: $x = 3(2)^2 - 12(2) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0 \ m$.

(A) કણનો વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 5t + 6t^2)$
$v = 0 - 5 + 12t$
$v = (12t - 5) \ m/s$
પ્રારંભિક વેગ શોધવા માટે,આપણે વેગના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકીએ છીએ:
$v(0) = 12(0) - 5 = -5 \ m/s$
આમ,કણનો પ્રારંભિક વેગ $-5 \ m/s$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $x = a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t}$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t})$
$v = -a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t}$.
સમય સાથે વેગ કેવી રીતે બદલાય છે તે જાણવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a_{acc}$ શોધીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t})$
$a_{acc} = a\alpha^2 e^{-\alpha t} + b\beta^2 e^{\beta t}$.
અહીં $a, b, \alpha, \beta$ ધન અચળાંકો છે અને ઘાતાંકીય વિધેયો $e^{-\alpha t}$ અને $e^{\beta t}$ કોઈપણ સમય $t$ માટે હંમેશા ધન હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a_{acc}$ હંમેશા ધન રહે છે.
પ્રવેગ ધન હોવાથી,વેગ $v$ સમય સાથે વધતો જશે.

(B) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,કુલ અંતર એ ચાર ભૌમિતિક આકારો $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$1$. ક્ષેત્રફળ $A_1$ ($t=0$ થી $t=1$ સુધીનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 20 = 10 \; m$.
$2$. ક્ષેત્રફળ $A_2$ ($t=1$ થી $t=2$ સુધીનો લંબચોરસ): $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 1 \times 20 = 20 \; m$.
$3$. ક્ષેત્રફળ $A_3$ ($t=2$ થી $t=3$ સુધીનો સમલંબ ચતુષ્કોણ): $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (20 + 10) \times 1 = 15 \; m$.
$4$. ક્ષેત્રફળ $A_4$ ($t=3$ થી $t=4$ સુધીનો લંબચોરસ): $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 1 \times 10 = 10 \; m$.
કુલ અંતર = $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 10 + 20 + 15 + 10 = 55 \; m$.

(A) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ કણનો વેગ દર્શાવે છે $(v = dx/dt)$.
જેમ જેમ સમય વધે છે,તેમ વક્રનો ઢાળ સતત ઘટતો જાય છે,જે સૂચવે છે કે કણનો વેગ ઘટી રહ્યો છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગતિ પ્રતિપ્રવેગી (retarded) છે.
અંતે,આડી રેખા પર વક્રનો ઢાળ શૂન્ય થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ શૂન્ય થાય છે અને કણ અટકી જાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) જ્યારે એક દડાને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે નીચેની તરફ લાગતા અચળ ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g$ ની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે.
ગતિના સમીકરણ મુજબ,$v = u - gt$.
$1$. ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,વેગ ધન હોય છે અને સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,જ્યાં સુધી તે મહત્તમ ઊંચાઈએ શૂન્ય ન થાય.
$2$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ શૂન્ય હોય છે.
$3$. નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,વેગ ઋણ બને છે (કારણ કે તે નીચેની તરફ હોય છે) અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$4$. વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ $-g$ છે,જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,આલેખ એ ઋણ ઢાળવાળી એક સીધી રેખા છે જે ધન વેગ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે,સમય અક્ષને ઓળંગે છે અને ઋણ વેગના વિસ્તારમાં આગળ વધે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) કણનો પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરના સમયની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે,$a = \frac{d^2x}{dt^2}$,જે $x-t$ આલેખની વક્રતા (concavity) દર્શાવે છે.
$1$. વિભાગ $OA$: આલેખ સમયની ધરી તરફ વળેલો છે (નીચેની તરફ અંતર્ગોળ). ઢાળ (વેગ) ઘટી રહ્યો છે,તેથી પ્રવેગ ઋણ $(-)$ છે.
$2$. વિભાગ $AB$: આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા છે. ઢાળ (વેગ) અચળ અને શૂન્ય છે. તેથી,પ્રવેગ શૂન્ય $(0)$ છે.
$3$. વિભાગ $BC$: આલેખ સ્થાનાંતરની ધરી તરફ વળેલો છે (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ). ઢાળ (વેગ) વધી રહ્યો છે,તેથી પ્રવેગ ધન $(+)$ છે.
$4$. વિભાગ $CD$: આલેખ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. વેગ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય $(0)$ છે.
આમ,$OA, AB, BC, CD$ માટે પ્રવેગની સંજ્ઞાઓ અનુક્રમે $-, 0, +, 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) મહત્તમ પ્રવેગ એ $v - t$ આલેખના સૌથી વધુ ઢાળને અનુરૂપ છે,જે વેગમાં થતા ફેરફારનો મહત્તમ દર દર્શાવે છે.
$1$. સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 20 \, sec$ માટે: $a = \frac{20 - 0}{20 - 0} = 1 \, cm/sec^2$.
$2$. સમયગાળા $t = 20$ થી $t = 30 \, sec$ માટે: $a = 0 \, cm/sec^2$ (અચળ વેગ).
$3$. સમયગાળા $t = 30$ થી $t = 40 \, sec$ માટે: $a = \frac{80 - 20}{40 - 30} = \frac{60}{10} = 6 \, cm/sec^2$.
$4$. સમયગાળા $t = 40$ થી $t = 80 \, sec$ માટે: $a = \frac{0 - 80}{80 - 40} = \frac{-80}{40} = -2 \, cm/sec^2$.
બધા સમયગાળામાં પ્રવેગના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ પ્રવેગ $6 \, cm/sec^2$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $x - t$ (સ્થાનાંતર-સમય) આલેખમાં,આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે છે.
$t < t_1$ માટે,આલેખ અચળ ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે.
$t > t_1$ માટે,આલેખ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ શૂન્ય છે. આ દર્શાવે છે કે પદાર્થનું સ્થાનાંતર બદલાતું નથી,તેથી વેગ શૂન્ય છે (પદાર્થ સ્થિર છે).
તેથી,પદાર્થ $t_1$ સમય સુધી અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે અને પછી અટકી જાય છે.

(C) લિફ્ટ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ કુલ ઊંચાઈ (સ્થાનાંતર) એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે.
આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $10 - 2 = 8$ અને $12 - 0 = 12$ છે, અને ઊંચાઈ (વેગ) $3.6$ છે।
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (8 + 12) \times 3.6$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 20 \times 3.6 = 10 \times 3.6 = 36\,m$.

(A) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળોનો બીજગણિતીય સરવાળો છે.
સ્થાનાંતર $= A_1 + (-A_2) + A_3$
$= (2 \, s \times 4 \, m/s) + (2 \, s \times -2 \, m/s) + (2 \, s \times 2 \, m/s)$
$= 8 \, m - 4 \, m + 4 \, m = 8 \, m$
અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
અંતર $= |A_1| + |A_2| + |A_3|$
$= |8 \, m| + |-4 \, m| + |4 \, m|$
$= 8 \, m + 4 \, m + 4 \, m = 16 \, m$
આમ,સ્થાનાંતર $8 \, m$ છે અને અંતર $16 \, m$ છે.

(B) જે સમયગાળામાં પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ શૂન્ય નથી તે $t = 20 \, s$ થી $t = 40 \, s$ છે.
સ્થાનાંતર એ $v-t$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 20 \, s$ થી $t = 40 \, s$ ના સમયગાળા માટે,આ ક્ષેત્રફળમાં $1 \, m/s$ ઊંચાઈ અને $20 \, s$ પહોળાઈનો લંબચોરસ,અને $20 \, s$ પાયો તથા $(4 - 1) = 3 \, m/s$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= (20 \times 1) + (\frac{1}{2} \times 20 \times 3)$
ક્ષેત્રફળ $= 20 + 30 = 50 \, m$.

(C) સમાન પ્રવેગ માટે સ્થાનાંતર-સમયનું સમીકરણ $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા કણ માટે $(u=0)$,આ સમીકરણ $x = x_0 + \frac{1}{2} a t^2$ બને છે,જે પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(i)$ માં,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ (જે વેગ દર્શાવે છે) સમય સાથે વધે છે,જે સૂચવે છે કે કણ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરી રહ્યો છે.
આકૃતિ $(ii)$ માં,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ સમય સાથે ઘટે છે,જે સૂચવે છે કે કણ સમાન પ્રતિપ્રવેગી (મંદન) ગતિ કરી રહ્યો છે.
તેથી,કણ $(i)$ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરે છે જ્યારે કણ $(ii)$ સમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.

(B) વેગ-સમયના આલેખમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$1$. $7 \text{ s}$ માં કાપેલું કુલ અંતર (સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ):
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (7 - 1 + 5 - 3) \times 10 = \frac{1}{2} \times (6 + 2) \times 10 = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \text{ m}$.
$2$. છેલ્લી $2 \text{ s}$ માં કાપેલું અંતર ($t = 5 \text{ s}$ થી $t = 7 \text{ s}$ સુધી):
આ $t = 5$ અને $t = 7$ ની વચ્ચે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (7 - 5) \times 10 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \text{ m}$.
$3$. જરૂરી ગુણોત્તર:
$\text{Fraction} = \frac{\text{છેલ્લી } 2 \text{ s માં કાપેલું અંતર}}{\text{કુલ અંતર}} = \frac{10}{40} = 0.25$.

(A) વેગ-સમયના આલેખમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં,આલેખ હેઠળનો આકાર એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $10 \; s$ ($10 \; s$ થી $20 \; s$ સુધી) અને $30 \; s$ ($0 \; s$ થી $30 \; s$ સુધી) છે,અને ઊંચાઈ $10 \; m/s$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
અંતર $= \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 10$
અંતર $= \frac{1}{2} \times 40 \times 10 = 200 \; m$.

(D) કણનો તત્કાલીન વેગ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના તે બિંદુએ મળતા ઢાળ (slope) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$v = \frac{ds}{dt}$.
- બિંદુ $C$ પર,ઢાળ ધન છે કારણ કે સ્થાનાંતર વધી રહ્યું છે.
- બિંદુ $D$ પર,ઢાળ શૂન્ય છે કારણ કે તે વક્રનું મહત્તમ બિંદુ છે.
- બિંદુ $E$ પર,ઢાળ ઋણ છે કારણ કે સમય સાથે સ્થાનાંતર ઘટી રહ્યું છે.
- બિંદુ $F$ પર,ઢાળ ધન છે કારણ કે સ્થાનાંતર ફરીથી વધી રહ્યું છે.
તેથી,બિંદુ $E$ પર તત્કાલીન વેગ ઋણ છે.

(A) સમાન ગતિ એટલે એવી ગતિ જેમાં પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે. સ્થાન-સમય $(s-t)$ ના આલેખમાં,આ એક અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,કારણ કે વેગ $(v = \frac{ds}{dt})$ અચળ રહે છે. આલેખ $(A)$ સ્થાન અને સમય વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે અચળ વેગ સૂચવે છે,જે સમાન ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) પદાર્થનો વેગ $v$ એ સ્થળાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $v = \frac{ds}{dt}$.
$1$. શરૂઆતમાં,સ્થળાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ ધન છે અને ઘટી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ ધન છે અને ઘટી રહ્યો છે.
$2$. આલેખના શિખર પર,ઢાળ શૂન્ય છે,તેથી વેગ શૂન્ય છે.
$3$. શિખર પછી,ઢાળ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ ઋણ બને છે.
$4$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ વેગને ધન મૂલ્યથી શરૂ થતો,શૂન્ય સુધી ઘટતો અને પછી ઋણ બનતો દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $A$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) પ્રવેગ એ ઝડપ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગ $AB$ માટે: ઢાળ $= \frac{20 - 0}{0.75 - 0} = \frac{20}{0.75} \approx 26.67 \; km\, h^{-2}$.
ભાગ $BC$ માટે: ઢાળ $= 0$ (અચળ ઝડપ).
ભાગ $CD$ માટે: ઢાળ $= \frac{60 - 20}{1.25 - 1.00} = \frac{40}{0.25} = 160 \; km\, h^{-2}$.
ભાગ $DE$ માટે: ઢાળ $= \frac{0 - 60}{2.00 - 1.25} = \frac{-60}{0.75} = -80 \; km\, h^{-2}$ (મંદન).
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ પ્રવેગ $160 \; km\, h^{-2}$ છે,જે વિભાગ $CD$ ને અનુરૂપ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે સૂત્ર $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $dv = a \cdot dt$ મળે છે.
સમયગાળા $t_1$ થી $t_2$ દરમિયાન વેગમાં થતો કુલ ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ સંકલન કરીએ છીએ: $\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a \cdot dt$.
ભૌમિતિક રીતે,સંકલન $\int a \cdot dt$ એ પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
તેથી,પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થના વેગમાં થતો ફેરફાર આપે છે.

(A) નિયમિત પ્રવેગ માટે,ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોય,તો $s = \frac{1}{2}at^2$ થાય.
આ સમીકરણ એક પરવલય દર્શાવે છે જ્યાં $s \propto t^2$ છે.
આલેખ $(A)$ એક પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે,જે અચળ (નિયમિત) પ્રવેગ સાથેની ગતિની લાક્ષણિકતા છે.

(B) ગતિમાન પદાર્થ માટે,સમય $t$ ની કોઈપણ એક ક્ષણે,વેગ $v$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય હોઈ શકે છે.
આલેખ $A$,$C$ અને $D$ માં,સમય $t$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,આલેખ વેગ $v$ ના અનેક મૂલ્યો દર્શાવે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
આલેખ $B$ એક વાસ્તવિક પરિસ્થિતિ દર્શાવે છે જ્યાં વેગ સમય સાથે સતત બદલાય છે,અને દરેક ક્ષણ $t$ માટે તેનું એક અનન્ય મૂલ્ય છે.

(A) સમાન ગતિ એટલે અચળ વેગ સાથેની ગતિ,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ છે.
વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખમાં,ઢાળ પ્રવેગ દર્શાવે છે.
આલેખ $(A)$ માટે,વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે,જેના પરિણામે સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી રેખા મળે છે. આ રેખાનો ઢાળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 0$. તેથી,આલેખ $(A)$ સમાન ગતિ દર્શાવે છે.
આલેખ $(B)$,$(C)$,અને $(D)$ અસમાન ગતિ દર્શાવે છે કારણ કે તેમના ઢાળ શૂન્ય નથી અથવા બદલાતા રહે છે,જે પ્રવેગ સૂચવે છે.

(D) પ્રવેગ-સમયના આલેખ પરથી,આપણે ગતિના ત્રણ અલગ-અલગ તબક્કાઓ જોઈ શકીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ તબક્કામાં,પ્રવેગ $a$ અચળ અને ધન છે. કારણ કે $v = \int a \, dt$,વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,જે વેગ-સમયના આલેખ પર ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,પ્રવેગ $a = 0$ છે. આનો અર્થ એ છે કે વેગ અચળ રહે છે,જે વેગ-સમયના આલેખ પર આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,પ્રવેગ $a$ ફરીથી અચળ અને ધન છે. આનો અર્થ એ છે કે વેગ ફરીથી સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,જે ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ વેગમાં રેખીય વધારો,ત્યારબાદ અચળ વેગ અને પછી ફરીથી રેખીય વધારો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ આલેખ એ ધન આંતરછેદ $v_0$ અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$v = -mx + v_0$ ... $(i)$
જ્યાં $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ એ ઢાળનું મૂલ્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -m$
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે જેનો ઢાળ ધન $(m^2)$ છે અને $a$-અક્ષ પરનો આંતરછેદ ઋણ $(-mv_0)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $B$ એ $a$-અક્ષ પર ઋણ આંતરછેદ અને ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,આલેખ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ $a-t$ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવેગ અચળ દરે વધી રહ્યો છે.
$\therefore \frac{da}{dt} = k$ (અચળ) $\implies a = kt$ (સંકલન દ્વારા).
કારણ કે $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $\frac{dv}{dt} = kt \implies dv = kt \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dv = \int kt \, dt \implies v = \frac{1}{2}kt^2$.
આ દર્શાવે છે કે $v$ સમય પર પરવલયાકાર રીતે આધાર રાખે છે,જ્યાં આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
જ્યારે પ્રવેગ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તે અચાનક શૂન્ય થઈ જાય છે. જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય,ત્યારે પદાર્થનો વેગ અચળ બને છે.
તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ પરવલયાકાર વધારો અને ત્યારબાદ અચળ વેગ દર્શાવતી આડી રેખા બતાવશે. આ આલેખ $(d)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ આપે છે. જોકે,ઢાળને $\tan \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખા દ્વારા સમયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલા આલેખમાં,$30^{\circ}$ નો ખૂણો સ્થાનાંતરની ધરી સાથે બનાવેલો છે.
તેથી,સમયની ધરી સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
આમ,વેગ $v = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \, m/s$ મળે છે.

(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
$v-t$ આલેખમાં,સ્થાનાંતર એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0$ થી $t = 5$ સેકન્ડના સમયગાળા માટે,ક્ષેત્રફળ એ $5$ પાયો અને $5$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે,તેથી સ્થાનાંતર $s_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \ m$.
$t = 5$ થી $t = 10$ સેકન્ડના સમયગાળા માટે,ક્ષેત્રફળ એ $5$ પાયો અને $-5$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે,તેથી સ્થાનાંતર $s_2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (-5) = -12.5 \ m$.
કુલ સ્થાનાંતર $s = s_1 + s_2 = 12.5 + (-12.5) = 0 \ m$.
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{0}{10} = 0 \ m/s$.

(D) લિફ્ટ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $12\, s$ અને $(10 - 2) = 8\, s$ છે,અને ઊંચાઈ $3.6\, m/s$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી બે ત્રિકોણ અને એક લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= (\text{પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) + (\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}) + (\text{બીજા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 3.6) + (8 \times 3.6) + (\frac{1}{2} \times 2 \times 3.6)$
ક્ષેત્રફળ $= 3.6 + 28.8 + 3.6 = 36\, m$.
આમ,લિફ્ટ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી કુલ ઊંચાઈ $36\, m$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,તો તે અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
સ્થાનાંતર-સમય $(x-t)$ આલેખમાં,વેગ એ આલેખના ઢાળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો ઢાળ અચળ હોય,તો વેગ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય છે અને કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
આપેલ આલેખમાં,વિભાગ $AB$ અને $CD$ સીધી રેખાઓ છે,જેનો અર્થ છે કે આ વિસ્તારોમાં ઢાળ (વેગ) અચળ છે.
તેથી,$AB$ અને $CD$ વિસ્તારોમાં કણ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.

(C) જ્યારે બેટ્સમેન બોલને ફટકારે છે,ત્યારે તે પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ,તેનો શિરોલંબ વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે જ્યાં સુધી તે તેના ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ ન પહોંચે,જ્યાં શિરોલંબ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. આ બિંદુ પછી,બોલ નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,અને તેનો શિરોલંબ વેગ નીચેની દિશામાં વધે છે (જેને ઋણ વેગ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે). ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ અચળ છે અને સમગ્ર ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ-સમય આલેખનો ઢાળ $(dv/dt = -g)$ અચળ અને ઋણ છે. ધન મૂલ્યથી ઋણ મૂલ્ય સુધીના વેગમાં આ રેખીય ઘટાડો આલેખ $C$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $t = \sqrt{x} + 3$
$x$ માટે ગોઠવતા: $\sqrt{x} = t - 3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = (t - 3)^2$
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$
જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય: $2(t - 3) = 0 \implies t = 3 \text{ s}$
$t = 3 \text{ s}$ સમયે સ્થાન: $x = (3 - 3)^2 = 0 \text{ m}$
$t = 0 \text{ s}$ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન: $x_0 = (0 - 3)^2 = 9 \text{ m}$
સ્થાનાંતર $\Delta x = x - x_0 = 0 - 9 = -9 \text{ m}$
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $9 \text{ m}$ છે.

(B) કણનું સ્થાન $x = a + bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$
અહીં $a$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય છે:
$v = 0 + 2bt = 2bt$
આપેલ છે કે $b = 3 \, cm/s^2$ અને $t = 3 \, s$:
$v = 2 \times 3 \times 3$
$v = 18 \, cm/s$.

(D) વેગ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $1 \ s$ માટે ($t=0$ થી $t=1$):
$v_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{1 - 0} = 30 \ m/s$.
પછીની $2 \ s$ માટે ($t=1$ થી $t=3$):
$v_2 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 30}{3 - 1} = \frac{-30}{2} = -15 \ m/s$.
પછીની $2 \ s$ માં વેગનું મૂલ્ય $|v_2| = 15 \ m/s$ છે.
પ્રથમ $1 \ s$ ના વેગ અને પછીની $2 \ s$ ના વેગના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $\frac{30}{15} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય.

(B) પ્રવેગ એ ઝડપ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા મળે છે.
વિભાગ $AB$ માટે: $a_1 = \frac{20 - 0}{0.75 - 0} = \frac{20}{0.75} \approx 26.67 \ km \ h^{-2}$.
વિભાગ $BC$ માટે: $a_2 = 0 \ km \ h^{-2}$ (અચળ ઝડપ).
વિભાગ $CD$ માટે: $a_3 = \frac{60 - 20}{1.25 - 1.00} = \frac{40}{0.25} = 160 \ km \ h^{-2}$.
વિભાગ $DE$ માટે: $a_4 = \frac{0 - 60}{2.00 - 1.25} = \frac{-60}{0.75} = -80 \ km \ h^{-2}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ પ્રવેગ $160 \ km \ h^{-2}$ મળે છે.

(A) વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર-સમય $(s-t)$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $v = \frac{ds}{dt}$.
આપેલ $s-t$ આલેખમાં,વક્ર નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જેને સમીકરણ $s = at - bt^2$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન અચળાંકો છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન કરતા,આપણને વેગ $v = \frac{ds}{dt} = a - 2bt$ મળે છે.
આ સમીકરણ $v = a - 2bt$ એ ઋણ ઢાળ $(-2b)$ અને વેગ અક્ષ પર ધન આંતરછેદ $(a)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આમ,વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $30 \ s$ અને $(20 - 10) = 10 \ s$ છે,અને ઊંચાઈ $10 \ m/s$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (30 + 10) \times 10$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 40 \times 10 = 200 \ m$.
તેથી,લિફ્ટ દ્વારા કાપેલું અંતર $200 \ m$ છે.

(B) કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કુલ $7\,s$ માં કાપેલું અંતર એ સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (6 + 2) \times 10 = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40\,m$.
અંતિમ $2\,s$ માં ($t = 5\,s$ થી $t = 7\,s$ સુધી) કાપેલું અંતર એ ત્રિકોણ $CQD$ નું ક્ષેત્રફળ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (7 - 5) \times 10 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10\,m$.
માગેલ ભાગ $\frac{10}{40} = 0.25$ થાય.

(B) આપેલ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે $(a \propto t)$ અને ત્યારબાદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$1$. જે સમયગાળામાં પ્રવેગ રેખીય રીતે વધે છે: $a = kt$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = kt$ મળે.
બંને બાજુ સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int dv = \int kt \, dt$.
આથી $v = \frac{1}{2} kt^2 + C$ મળે. આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો હોવાથી $C = 0$,તેથી $v = \frac{1}{2} kt^2$.
આ સમીકરણ પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.
$2$. જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે,ત્યારે વેગ અચળ બને છે (કારણ કે $\frac{dv}{dt} = 0$).
તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ પરવલયાકાર વધારો અને ત્યારબાદ અચળ વેગ દર્શાવતી આડી રેખા બતાવશે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(D) વેગ-સમયના આલેખમાં,વેગ $v$ ને $y$-અક્ષ પર અને સમય $t$ ને $x$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ આલેખ ભૌતિક રીતે શક્ય હોવા માટે,સમય $t$ ની દરેક ક્ષણે,વેગ $v$ નું એક અનન્ય મૂલ્ય હોવું જોઈએ.
આલેખ $D$ માં,સમય $t$ ની એક જ ક્ષણ માટે,વેગ $v$ ના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો મળે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,આલેખ $D$ શક્ય નથી.

(A) જ્યારે સ્ટીલના દડાને ઊંચાઈએથી નીચે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે,તેથી તેનો વેગ ઋણ દિશામાં (નીચેની તરફ) વધે છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે તે આરસના ભોંયતળિયા સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે,જેના કારણે વેગની દિશામાં ઋણથી ધનમાં ત્વરિત ફેરફાર થાય છે. આ આલેખમાં ઊભી રેખા (જમ્પ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉછળ્યા પછી,તે ધન વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે જે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઘટે છે,જે ધન વેગ વિસ્તારમાં ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ જેમ દડો ઉછળવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ ઉર્જાના વ્યયને કારણે દરેક અનુગામી ઉછાળાની ઊંચાઈ ઘટે છે,જેના પરિણામે વેગમાં નાના ફેરફારો અને ઉછાળા વચ્ચેના સમયના અંતરાલ ટૂંકા થાય છે. ઋણ ઢાળ અને ઊભી છલાંગો ધરાવતા રેખીય વિભાગોની આ પેટર્ન વિકલ્પ $A$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(A) પ્રવેગ એ વેગ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા મળે છે.
વિભાગ $OA$ માટે: પ્રવેગ $a_{OA} = \frac{v_A - v_O}{t_A - t_O} = \frac{10 - 0}{10 - 0} = 1 \ m/s^2$.
વિભાગ $AB$ માટે: વેગ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a_{AB} = 0 \ m/s^2$.
વિભાગ $BC$ માટે: પ્રવેગ $a_{BC} = \frac{v_C - v_B}{t_C - t_B} = \frac{0 - 10}{40 - 20} = \frac{-10}{20} = -0.5 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $1, 0, -0.5$ મળે છે.

(A) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = 9t^2 - t^3$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 - t^3) = 18t - 3t^2$.
ઝડપ મહત્તમ હોય તે સમય શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dv}{dt} = 18 - 6t = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 3 \ s$ મળે છે.
હવે,તે ક્ષણે સ્થાન શોધવા માટે $t = 3 \ s$ ને સ્થાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $x = 9(3)^2 - (3)^3 = 9(9) - 27 = 81 - 27 = 54 \ m$.

(B) કણનો વેગ $v(x) = \beta x^{-2n}$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $a = v \frac{dv}{dx}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\beta x^{-2n}) = \beta (-2n) x^{-2n-1} = -2n \beta x^{-2n-1}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = (\beta x^{-2n}) \times (-2n \beta x^{-2n-1})$.
$a = -2n \beta^2 x^{-2n + (-2n) - 1}$.
$a = -2n \beta^2 x^{-4n-1}$.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર કાર $P$ નું સ્થાન $x_P(t) = at + bt^2$ છે.
કાર $P$ નો વેગ $v_P(t) = \frac{dx_P(t)}{dt} = a + 2bt$ છે ... $(i)$.
તે જ રીતે,કાર $Q$ માટે,સ્થાન $x_Q(t) = ft - t^2$ છે.
કાર $Q$ નો વેગ $v_Q(t) = \frac{dx_Q(t)}{dt} = f - 2t$ છે ... $(ii)$.
આપેલ છે કે બંને કારનો વેગ સમાન છે,તેથી $v_P(t) = v_Q(t)$.
તેથી,$a + 2bt = f - 2t$.
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા: $2bt + 2t = f - a$.
$2t(b + 1) = f - a$.
આમ,$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$.