Acceleration and its graph Questions in Hindi

(C) पिंड का वेग $v = 20 + 0.1t^2$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,$a = \frac{dv}{dt}$.
$a = \frac{d}{dt}(20 + 0.1t^2) = 0 + 0.1 \times 2t = 0.2t$.
चूंकि त्वरण $a = 0.2t$ समय $t$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिर नहीं है।
अतः,पिंड असमान त्वरण का अनुभव कर रहा है।

(A) दिया गया विस्थापन $x = 2t^2 + t + 5$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + t + 5) = 4t + 1$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4$.
चूंकि त्वरण स्थिर है,इसलिए $t = 2 \ s$ पर त्वरण $4 \ m/s^2$ ही रहेगा।

(C) वेग $v$,स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 - bt^3) = 2at - 3bt^2$
त्वरण $a_{acc}$,वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलज है:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at - 3bt^2) = 2a - 6bt$
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a_{acc} = 0$ रखें:
$2a - 6bt = 0$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(C) पिंड का विस्थापन समीकरण द्वारा दिया गया है: $x = at + bt^2 - ct^3$.
वेग $(v)$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन का समय $(t)$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at + bt^2 - ct^3) = a + 2bt - 3ct^2$.
त्वरण $(a_{acc})$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय $(t)$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(a + 2bt - 3ct^2) = 0 + 2b - 6ct$.
अतः,पिंड का त्वरण $2b - 6ct$ है।

(C) त्वरण को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग $\vec{v}$ एक सदिश राशि है,इसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों होते हैं।
यदि वेग का परिमाण बदलता है,तो कण त्वरित होता है।
यदि वेग की दिशा बदलती है,तो भी कण त्वरित होता है (उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में)।
इसलिए,यदि वेग का परिमाण या दिशा में से कोई भी बदलता है,तो कण का त्वरण बदल जाता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) विस्थापन समीकरण $s = 3t^3 + 7t^2 + 14t + 8$ दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 14t + 8) = 9t^2 + 14t + 14$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 14) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ समय पर,त्वरण:
$a = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$.

(C) तात्क्षणिक वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
तालिका से डेटा का उपयोग करते हुए:
अंतराल $t = 0$ से $t = 1 \ s$ के लिए: $v_1 = \frac{0 - (-2)}{1} = 2 \ m/s$.
अंतराल $t = 1$ से $t = 2 \ s$ के लिए: $v_2 = \frac{6 - 0}{1} = 6 \ m/s$.
अंतराल $t = 2$ से $t = 3 \ s$ के लिए: $v_3 = \frac{16 - 6}{1} = 10 \ m/s$.
चूंकि वेग समय के साथ बदल रहा है $(2 \ m/s, 6 \ m/s, 10 \ m/s)$,इसलिए गति असमान है।
चूंकि वेग बढ़ रहा है,इसलिए गति त्वरित है। अतः,गति असमान और त्वरित है।

(B) कण का विस्थापन समीकरण $s = 2t^2 + 2t + 4$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + 2t + 4) = 4t + 2$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 2) = 4$.
अतः,कण का त्वरण $4 \ m/s^2$ है।

(B) त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल कण के वेग में परिवर्तन को दर्शाता है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अधिकतम वेग $t = 11 \, s$ पर प्राप्त होता है,जहाँ त्वरण शून्य हो जाता है।
अतः,अधिकतम वेग $v_{\max}$ दिए गए ग्राफ में त्रिभुज $OAB$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
$v_{\max} = \Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$v_{\max} = \frac{1}{2} \times 11 \, s \times 10 \, m/s^2 = 55 \, m/s$.
इसलिए,कण की अधिकतम चाल $55 \, m/s$ है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $\vec{v_1} = +10 \, m/s$ (गति की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
अंतिम वेग $\vec{v_2} = -2 \, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में है)।
समय अंतराल $t = 4 \, s$ है।
त्वरण $\vec{a}$ वेग में परिवर्तन की दर है:
$\vec{a} = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{t}$
मान रखने पर:
$\vec{a} = \frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \, m/s^2$.
अतः,उत्पन्न त्वरण $-3 \, m/s^2$ है।

(D) औसत त्वरण को वेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$a_{avg} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$
यहाँ $v(t) = 10 + 2t^2$,$t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 5 \ s$ दिया गया है।
$t_1 = 2 \ s$ पर वेग: $v(2) = 10 + 2(2)^2 = 10 + 8 = 18 \ m/s$.
$t_2 = 5 \ s$ पर वेग: $v(5) = 10 + 2(5)^2 = 10 + 50 = 60 \ m/s$.
अब,औसत त्वरण की गणना करने पर:
$a_{avg} = \frac{60 - 18}{5 - 2} = \frac{42}{3} = 14 \ m/s^2$.

(B) त्वरण $a$ और वेग $v$ के बीच का संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\int_{u}^{v} v \ dv = \int_{0}^{x} a \ dx$।
इसका अर्थ है $\frac{v^2 - u^2}{2} = a-x \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$।
दिया गया है कि $x = 0$ पर $u = 0.8 \ m/s$ है।
$x = 0$ से $x = 1.4$ तक $a-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल में एक आयत और एक समलंब चतुर्भुज शामिल है:
क्षेत्रफल $1$ ($x=0$ से $x=0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16 \ m^2/s^2$।
क्षेत्रफल $2$ ($x=0.4$ से $x=0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12 \ m^2/s^2$।
क्षेत्रफल $3$ ($x=0.8$ से $x=1.4$): $0.2 \times (1.4 - 0.8) = 0.2 \times 0.6 = 0.12 \ m^2/s^2$।
कुल क्षेत्रफल $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.40 \ m^2/s^2$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{v^2 - (0.8)^2}{2} = 0.40$।
$v^2 - 0.64 = 0.80$।
$v^2 = 1.44$।
$v = 1.2 \ m/s$।

(C) कण की स्थिति समीकरण $x(t) = a + bt - ct^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष स्थिति का पहला अवकलन करते हैं:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt - ct^2) = b - 2ct$.
त्वरण $a_{acc}(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का अवकलन करते हैं:
$a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b - 2ct) = -2c$.
चूंकि $c$ एक धनात्मक स्थिरांक है,त्वरण एक स्थिर ऋणात्मक मान है। अतः,सही व्यंजक $a_{acc} = -2c$ है।

(D) चाल को वेग के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $|\vec v|$।
$1$. यदि $\vec v$ और $\vec a$ का चिह्न समान है (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक),तो पिंड की चाल बढ़ती है।
$2$. यदि $\vec v$ और $\vec a$ के चिह्न विपरीत हैं,तो पिंड की चाल घटती है।
विकल्प $(B)$ में,$\vec v > 0$ और $\vec a < 0$ (विपरीत चिह्न),इसलिए चाल घटती है। यह सही है।
विकल्प $(C)$ में,$\vec v < 0$ और $\vec a < 0$ (समान चिह्न),इसलिए चाल बढ़ती है। यह सही है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) कण का त्वरण $a$,संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया वेग $v = x^2 - 5x + 4$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $v$ का अवकलन करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 4) = 2x - 5$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखें:
$a = (x^2 - 5x + 4)(2x - 5)$.
हमें वह त्वरण ज्ञात करना है जब वेग $v = 0$ हो:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
अतः,$x = 1$ या $x = 4$.
यदि $x = 1$ है,तो $a = (0)(2(1) - 5) = 0$.
यदि $x = 4$ है,तो $a = (0)(2(4) - 5) = 0$.
इसलिए,जब वेग शून्य होता है,तो त्वरण $0$ होता है।

(B) वेग में परिवर्तन $\Delta v$,त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$(a-t)$ ग्राफ में त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 2\,s \times 10\,m/s^2 = 10\,m/s$
हम जानते हैं कि $\Delta v = v_f - v_i$,जहाँ $v_f$ अंतिम वेग है और $v_i$ प्रारंभिक वेग है।
$v_f - 5\,m/s = 10\,m/s$
$v_f = 15\,m/s$
अतः,$2\,s$ के बाद वेग $15\,m/s$ है।

(A) विस्थापन $s = t^3 - 3t^2 + 2$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष पहला अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = 6t - 6$.
समय $t$ ज्ञात करने के लिए त्वरण को शून्य के बराबर रखें:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \, s$.
अब,उस क्षण पर विस्थापन ज्ञात करने के लिए $t = 1 \, s$ को विस्थापन समीकरण में रखें:
$s = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \, m$.

(B) दिया गया है कि दूरी (या विस्थापन) $s$,$t^3$ के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$s = k t^3$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^3) = 3k t^2$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3k t^2) = 6k t$।
चूँकि $a = 6k t$,इसका अर्थ है कि $a \propto t$।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाता है,जो मूल बिंदु से शुरू होने वाले एक सीधी रेखा वाले ग्राफ के अनुरूप है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,जो ग्राफ $a$ का $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ना दर्शाता है,वह ग्राफ $B$ है।

(D) जब वेग और त्वरण एक ही दिशा में (समान चिह्न वाले) होते हैं तो गति बढ़ती है।
यह दिया गया है कि वस्तु का $t_1$ पर वेग धनात्मक है,इसलिए यदि $t_1$ से $t_2$ के अंतराल के दौरान त्वरण धनात्मक रहता है तो उसकी गति बढ़ेगी।
ग्राफ $I$ में,त्वरण $a$ धनात्मक है और बढ़ रहा है,इसलिए वेग लगातार बढ़ता है और गति बढ़ती है।
ग्राफ $II$ में,त्वरण $a$ स्थिर और धनात्मक है,इसलिए वेग रैखिक रूप से बढ़ता है और गति बढ़ती है।
ग्राफ $III$ में,त्वरण $a$ अंतराल $[t_1, t_2]$ के दौरान धनात्मक है,भले ही वह घट रहा हो। चूंकि $a > 0$ है,वेग लगातार बढ़ता है और इसलिए गति बढ़ती है।
इस प्रकार,तीनों ग्राफ में त्वरण धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि वेग बढ़ता है,और परिणामस्वरूप,पूरे अंतराल के दौरान गति बढ़ती है।

(D) त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ तीन अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाता है:
$1$. पहले क्षेत्र में,त्वरण स्थिर और धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (ढाल स्थिर और धनात्मक है)।
$2$. दूसरे क्षेत्र में,त्वरण शून्य है,जिसका अर्थ है कि वेग स्थिर रहता है ($v-t$ ग्राफ पर एक क्षैतिज रेखा)।
$3$. तीसरे क्षेत्र में,त्वरण स्थिर और धनात्मक है,लेकिन इसका परिमाण पहले क्षेत्र की तुलना में अधिक है। इसका मतलब है कि वेग फिर से समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,लेकिन पहले क्षेत्र की तुलना में अधिक तीव्र ढाल के साथ।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ को एक रैखिक वृद्धि,उसके बाद एक क्षैतिज रेखा,और फिर एक अधिक तीव्र रैखिक वृद्धि दिखानी चाहिए। यह विकल्प $(D)$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) वेग में परिवर्तन $\Delta v$ त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह मानते हुए कि ट्रेन विरामावस्था से शुरू होती है $(v_0 = 0)$,किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = \int_{0}^{t} a(t) \, dt$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम गति तब होती है जब त्वरण धनात्मक से शून्य हो जाता है,जो $t = 8\,s$ पर है।
$t = 0$ से $t = 8\,s$ तक $a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = ($0$ से $4\,s$ तक त्रिभुज का क्षेत्रफल) + ($4$ से $8\,s$ तक आयत का क्षेत्रफल)
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 4\,s \times 5\,m/s^2 + (8\,s - 4\,s) \times 5\,m/s^2$
क्षेत्रफल = $10\,m/s + 20\,m/s = 30\,m/s$.
अतः,ट्रेन की अधिकतम गति $30\,m/s$ है।

(A) दूरी-समय $(s-t)$ ग्राफ की ढाल कण का वेग दर्शाती है।
समय $t$ पर प्रारंभिक वेग $v_i = \tan(45^{\circ}) = 1 \, m/s$ है।
एक सेकंड के बाद अंतिम वेग $v_f = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \, m/s$ है।
औसत त्वरण को वेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$a_{av} = \frac{v_f - v_i}{\Delta t}$.
मान रखने पर:
$a_{av} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1} = (\sqrt{3} - 1) \, m/s^2$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x^2 = 1 + t^2$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} = 2t$
$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{x} = v$ (वेग)।
अब,त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t}{x} \right)$
भागफल नियम $\frac{d}{dt} (u/v) = \frac{v(du/dt) - u(dv/dt)}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{x(1) - t(\frac{dx}{dt})}{x^2}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{x}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{x - t(\frac{t}{x})}{x^2}$
$a = \frac{x - \frac{t^2}{x}}{x^2}$
$a = \frac{x}{x^2} - \frac{t^2}{x^3}$
$a = \frac{1}{x} - \frac{t^2}{x^3}$.

(A) कण की चाल उसके वेग सदिश $v$ का परिमाण है। चाल में परिवर्तन की दर त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक द्वारा दी जाती है,$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{a \cdot v}{|v|}$।
$1$. यदि $v \cdot a > 0$ है,तो वेग और त्वरण के बीच का कोण न्यूनकोण $(0^\circ \le \theta < 90^\circ)$ होता है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण धनात्मक होता है और चाल बढ़ती है।
$2$. यदि $v \cdot a < 0$ है,तो वेग और त्वरण के बीच का कोण अधिककोण $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ होता है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण ऋणात्मक होता है और चाल घटती है।
$3$. सदिश गुणनफल $v \times a$ वेग की दिशा में परिवर्तन (अभिकेंद्र त्वरण) से संबंधित है,न कि एक-आयामी गति में चाल में परिवर्तन से। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(A) $\frac{dv}{dt}$ त्वरण की परिभाषा है, जो वेग सदिश के परिवर्तन की दर है। अतः, $(A \rightarrow p)$.
$(B)$ $\frac{d|v|}{dt}$ वेग के परिमाण में परिवर्तन की दर को दर्शाता है, जो स्पर्शरेखीय त्वरण या चाल के परिवर्तन की दर है। अतः, $(B \rightarrow q)$.
$(C)$ $\frac{dr}{dt}$ वेग की परिभाषा है, जो स्थिति सदिश के परिवर्तन की दर है। अतः, $(C \rightarrow r)$.
$(D)$ $\left|\frac{dr}{dt}\right|$ वेग सदिश का परिमाण है, जो कण की चाल है। अतः, $(D \rightarrow s)$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $v_0 < 0$ और त्वरण $a > 0$ (नियत)।
$(A)$ वेग-समय ग्राफ: $v(t) = v_0 + at$। ग्राफ की ढाल $\frac{dv}{dt} = a > 0$ (धनात्मक) है। जैसे-जैसे वेग ऋणात्मक से शून्य की ओर जाता है,इसका परिमाण $|v|$ घटता है। अतः,$(A) \rightarrow Q, T$।
$(B)$ त्वरण-समय ग्राफ: चूंकि त्वरण नियत और धनात्मक है,इसलिए $a-t$ ग्राफ की ढाल शून्य है। अतः,$(B) \rightarrow R, U$।
$(C)$ विस्थापन-समय ग्राफ: $s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$। ग्राफ की ढाल $\frac{ds}{dt} = v(t)$ है। चूंकि वेग ऋणात्मक है,इसलिए ढाल ऋणात्मक है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,वेग कम ऋणात्मक होता जाता है (शून्य के करीब),इसलिए ढाल का परिमाण $|v|$ घटता है। अतः,$(C) \rightarrow P, T$।
अतः,सही मिलान $(A) \rightarrow Q, T; (B) \rightarrow R, U; (C) \rightarrow P, T$ है।

(A) मंदन (Retardation) को ऋणात्मक त्वरण के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण सदिश वेग सदिश के विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसके कारण समय के साथ वेग का परिमाण (चाल) कम हो जाता है।
$Assertion$ सही है क्योंकि मंदन,परिभाषा के अनुसार,वेग को कम करने के लिए उसके विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$Reason$ भी सही है क्योंकि मंदन वास्तव में चाल में कमी की समय दर है।
अतः,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(N/A) दिया गया $a-t$ ग्राफ दर्शाता है कि प्रारंभ में,वस्तु एक समान वेग से गति कर रही है (त्वरण शून्य है)।
फिर,समय के एक छोटे अंतराल के लिए,त्वरण बढ़कर अधिकतम मान तक पहुँच जाता है और फिर घटकर वापस शून्य हो जाता है।
अंत में,वस्तु फिर से एक समान वेग के साथ गति करना जारी रखती है।
इस ग्राफ के लिए एक उपयुक्त भौतिक स्थिति यह है कि जब एक समान वेग से चलती हुई हथौड़ी किसी कील पर प्रहार करती है। प्रभाव के दौरान,हथौड़ी अपनी गति जारी रखने या स्थिर होने से पहले थोड़े समय के लिए उच्च त्वरण (मंदन) का अनुभव करती है।

(N/A) वेग में समय के साथ होने वाले परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
मान लीजिए कि एक कण सीधी रेखा में गति कर रहा है और समय $t_{1}$ और $t_{2}$ पर उसका वेग क्रमशः $v_{1}$ और $v_{2}$ है।
अतः,समय अंतराल $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ में कण के वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_{2} - v_{1}$ है।
औसत त्वरण की परिभाषा के अनुसार:
$\text{औसत त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समय अंतराल}}$
$\langle a \rangle = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
औसत त्वरण एक सदिश राशि है और इसकी दिशा वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ की दिशा में होती है।
त्वरण का $SI$ मात्रक $m/s^{2}$ है।
किसी विशेष क्षण पर वेग कैसे बदलता है,यह समझने के लिए हम $\Delta t \rightarrow 0$ सीमा लेकर तात्क्षणिक त्वरण को परिभाषित करते हैं:
$a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए हम त्वरण को समय के सापेक्ष स्थिति के द्वितीय अवकलज के रूप में लिख सकते हैं:
$a = \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right) = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$
यदि $\frac{dv}{dt} > 0$ है,तो त्वरण धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में होता है,और यदि $\frac{dv}{dt} < 0$ है,तो त्वरण ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में होता है।

(N/A) वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए,वेग को निम्नलिखित तरीकों से बदला जा सकता है:
$(1)$ केवल वेग का परिमाण (चाल) बदलकर।
$(2)$ केवल वेग की दिशा बदलकर।
$(3)$ वेग का परिमाण और दिशा दोनों बदलकर।
चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए इनमें से कोई भी परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करेगा।

(N/A) $x-t$ (स्थिति-समय) ग्राफ किसी वस्तु की गति को दर्शाता है। $x-t$ ग्राफ का ढाल वस्तु का वेग देता है। ग्राफ की वक्रता त्वरण को इंगित करती है।
$(a)$ धनात्मक त्वरण के लिए $(a > 0)$: ग्राफ ऊपर की ओर अवतल (concave upwards) होता है (ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की तरह)। समय के साथ वेग बढ़ता है।
$(b)$ ऋणात्मक त्वरण के लिए $(a < 0)$: ग्राफ नीचे की ओर अवतल (concave downwards) होता है (नीचे की ओर खुलने वाले परवलय की तरह)। समय के साथ वेग घटता है।
$(c)$ शून्य त्वरण के लिए $(a = 0)$: ग्राफ एक स्थिर ढाल वाली सीधी रेखा होती है,जो स्थिर वेग को दर्शाती है।

(N/A) वेग में समय के साथ होने वाले परिवर्तन की दर को त्वरण कहा जाता है।
औसत त्वरण,वेग में परिवर्तन और उस परिवर्तन में लगे समय अंतराल का अनुपात होता है। यदि किसी कण का समय $t_{1}$ और $t_{2}$ पर वेग क्रमशः $v_{1}$ और $v_{2}$ है,तो औसत त्वरण $\langle a \rangle$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\langle a \rangle = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
औसत त्वरण एक सदिश राशि है और इसकी दिशा वेग में परिवर्तन $\Delta v$ की दिशा में होती है।
तात्क्षणिक त्वरण $a$ को औसत त्वरण की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल $\Delta t$ शून्य की ओर अग्रसर होता है:
$a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$
यह किसी विशेष क्षण पर वस्तु का त्वरण दर्शाता है।

(A) जब वेग (एक निश्चित दिशा में चाल) और त्वरण का चिह्न समान होता है,तो त्वरण गति की दिशा में कार्य करता है।
यदि दोनों धनात्मक हैं,तो वस्तु धनात्मक दिशा में गति कर रही है और उसी दिशा में त्वरित हो रही है,जिससे चाल बढ़ जाती है।
यदि दोनों ऋणात्मक हैं,तो वस्तु ऋणात्मक दिशा में गति कर रही है और ऋणात्मक दिशा में ही त्वरित हो रही है,जिससे वेग का परिमाण (चाल) भी बढ़ जाता है।
अतः,दोनों ही स्थितियों में वस्तु की चाल बढ़ती है।

(B) जब कोई वस्तु गति कर रही होती है,तो उसका वेग सदिश गति की दिशा में होता है।
यदि वस्तु की चाल घट रही है,तो इसका अर्थ है कि वस्तु मंदन (deceleration) का अनुभव कर रही है।
भौतिकी में,मंदन तब होता है जब त्वरण सदिश,वेग सदिश की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,घटती चाल वाली गतिशील वस्तु के लिए,त्वरण की दिशा वेग की दिशा के विपरीत होती है।

(N/A) जब किसी वस्तु का वेग समय के सापेक्ष घटता है,तो इसे मंदन (retardation) या अवमंदन (deceleration) कहा जाता है।
वास्तव में,ऋणात्मक त्वरण को सामान्यतः मंदन कहा जाता है।
इसका $SI$ मात्रक $m/s^2$ है।

(D) त्वरण को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग में वृद्धि का मतलब यह नहीं है कि त्वरण में भी वृद्धि होगी।
यदि वेग एक स्थिर दर से बढ़ता है,तो त्वरण स्थिर रहता है (उदाहरण के लिए,एकसमान त्वरण)।
यदि वेग बढ़ती हुई दर से बढ़ता है,तो त्वरण बढ़ता है।
यदि वेग घटती हुई दर से बढ़ता है,तो त्वरण घटता है।
इसलिए,त्वरण में परिवर्तन पूरी तरह से गति की प्रकृति पर निर्भर करता है,विशेष रूप से इस पर कि समय के साथ वेग कैसे बदलता है।

(A) यदि वेग और त्वरण एक ही दिशा में हों,तो कण की चाल बढ़ती है। यदि वेग धनात्मक है,तो धनात्मक त्वरण $(a > 0)$ चाल को बढ़ाता है। अतः,$(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
यदि वेग और त्वरण विपरीत दिशा में हों,तो कण की चाल घटती है। यदि वेग धनात्मक है,तो ऋणात्मक त्वरण $(a < 0)$ चाल को घटाता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $1-b$ और $2-a$ है।

(N/A) समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
इसकी दिशा वेग में परिवर्तन की दिशा के समान होती है।
त्वरण का $SI$ मात्रक $m/s^2$ या $m s^{-2}$ है।

(N/A) वेग या चाल में होने वाली कमी की समय दर को मंदन (retardation) कहा जाता है। इसकी दिशा हमेशा वेग या चाल की दिशा के विपरीत होती है।

(B) एक कण मंदन का अनुभव तब करता है जब उसका वेग और त्वरण विपरीत दिशाओं में होते हैं।
गणितीय रूप से,यदि वेग $v$ और त्वरण $a$ के चिह्न विपरीत हैं (अर्थात $v \cdot a < 0$),तो समय के साथ कण की चाल कम हो जाती है,जिसे मंदन कहा जाता है।

(B) एकविमीय गति में,यदि वेग $(v)$ और त्वरण $(a)$ परस्पर विपरीत दिशाओं में हैं,तो त्वरण मंदन (retardation) के रूप में कार्य करता है।
इसका अर्थ है कि त्वरण वस्तु की गति का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,समय के साथ वेग का परिमाण घटता जाता है।
अतः,सही उत्तर यह है कि वेग का परिमाण घटता है।

(A) मान लीजिए कि एक कण का स्थिति सदिश $\vec{r}(t)$ है।
$1$. समय $t$ के सापेक्ष स्थिति सदिश का प्रथम अवकलन वेग सदिश देता है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
$2$. समय $t$ के सापेक्ष स्थिति सदिश का द्वितीय अवकलन (या वेग का प्रथम अवकलन) त्वरण सदिश देता है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
अतः,प्रथम अवकलन वेग देता है और द्वितीय अवकलन त्वरण देता है।

(N/A) एक सीधी रेखा में गति के लिए वेग और त्वरण के बीच का कोण केवल $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ हो सकता है।
$1$. यदि कोण $0^{\circ}$ है,तो वेग और त्वरण एक ही दिशा में होते हैं,जिसका अर्थ है कि वस्तु की गति बढ़ती है (त्वरित गति)।
उदाहरण: विराम अवस्था से शुरू होकर सीधी रेखा में गति बढ़ाती हुई एक कार।
$2$. यदि कोण $180^{\circ}$ है,तो वेग और त्वरण विपरीत दिशाओं में होते हैं,जिसका अर्थ है कि वस्तु की गति कम हो जाती है (मंद गति)।
उदाहरण: सीधी रेखा में चलते समय ब्रेक लगाती हुई एक कार।

(A) समय अंतराल $\Delta t$ पर औसत त्वरण को $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
तात्क्षणिक त्वरण को $\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि त्वरण स्थिर है,तो वेग के परिवर्तन की दर हर क्षण समान रहती है।
इसलिए,किसी भी समय अंतराल पर औसत त्वरण उस अंतराल के भीतर किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक त्वरण के बराबर होता है।

(B) एकसमान त्वरण $a$ से गति कर रहे कण के लिए:
$1$. त्वरण-समय ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होती है,क्योंकि $a$ स्थिर है।
$2$. वेग-समय संबंध $v(t) = u + at$ द्वारा दिया जाता है,जो एक गैर-शून्य ढलान वाली सीधी रेखा को दर्शाता है।
$3$. स्थिति-समय संबंध $x(t) = x_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है,जो एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,ग्राफ का दूसरा सेट (जो $981-$b614 छवि द्वारा दर्शाया गया है) सही ढंग से एकसमान त्वरण,रैखिक रूप से बढ़ते वेग और परवलयिक स्थिति-समय ग्राफ को प्रदर्शित करता है।

(A) वेग $v$ को स्थिति $s$ के फलन के रूप में दिया गया है,जहाँ स्थिति के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{ds}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ $v = 20\,m/s$ और $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = 20 \times 5 = 100\,m/s^2$ प्राप्त होता है।

(A) वेग का परिमाण चाल कहलाता है।
गणितीय रूप से,$v = |\vec{v}|$,जहाँ $v$ चाल है और $\vec{v}$ वेग है।
यदि किसी क्षण पर चाल $v = 0$ है,तो वेग का परिमाण भी शून्य होना चाहिए।
अतः,उस क्षण पर वेग $\vec{v}$ शून्य ही होगा।
ध्यान दें कि त्वरण का शून्य होना आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए,जब किसी गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अपने उच्चतम बिंदु पर उसका वेग और चाल दोनों शून्य होते हैं,लेकिन उस पर गुरुत्वाकर्षण के कारण निरंतर त्वरण $(g = 9.8 \ m/s^2)$ कार्य करता रहता है।

(B) यदि किसी पिंड की गति बढ़ रही है,तो त्वरण वेग की दिशा में ही होना चाहिए।
हालाँकि,त्वरण का परिमाण आवश्यक रूप से स्थिर या धनात्मक नहीं होना चाहिए।
उदाहरण के लिए,यदि कोई कण धनात्मक दिशा में $v > 0$ वेग के साथ चलता है,और उसका त्वरण $a$ धनात्मक है लेकिन घट रहा है (जैसे $a = 2 - t$),तो जब तक $a > 0$ है,गति बढ़ती रहेगी।
इसी तरह,यदि कोई कण ऋणात्मक दिशा में $v < 0$ वेग के साथ चलता है,और उसका त्वरण $a$ ऋणात्मक है और उसका परिमाण घट रहा है (जैसे $a = -2 + t$),तो भी गति $|v|$ बढ़ती रहेगी।
इसलिए,त्वरण धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है,और गति बढ़ते समय त्वरण का परिमाण घट सकता है।

(A) कण की चाल को उसके वेग के परिमाण,$|v|$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चाल बढ़ने के लिए,त्वरण को वेग की दिशा में ही कार्य करना चाहिए।
यदि वेग $v$ धनात्मक है $(v > 0)$,तो चाल बढ़ाने के लिए त्वरण $a$ भी धनात्मक $(a > 0)$ होना चाहिए।
यदि वेग $v$ ऋणात्मक है $(v < 0)$,तो वेग का परिमाण बढ़ाने के लिए त्वरण $a$ भी ऋणात्मक $(a < 0)$ होना चाहिए।
अतः,जब वेग और त्वरण का गुणनफल धनात्मक होता है,यानी $v \cdot a > 0$,तब चाल बढ़ती है।
दिए गए विकल्पों में से,$v > 0, a > 0$ (विकल्प $A$) और $v < 0, a < 0$ (विकल्प $B$) इस शर्त को पूरा करते हैं।

(B) त्वरण $a$ को समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$a = \frac{dv}{dt}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम इसे स्थिति $x$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं:
$a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$.
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a = \frac{dv}{dx} \cdot v = v \frac{dv}{dx}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।