Acceleration and its graph Questions in Hindi

(D) औसत त्वरण $a_{av}$ को वेग में कुल परिवर्तन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,$t_1$ से $t_2$ के समय अंतराल में वेग में परिवर्तन $\Delta v$,त्वरण के समय के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a dt$.
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1$ है।
अतः,औसत त्वरण $a_{av} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\int_{t_1}^{t_2} a dt}{t_2 - t_1}$ होगा।

(B) वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से, $t=0$ से $t=4 \, s$ तक का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $4 \, s$ और ऊँचाई $4 \, m/s^2$ है:
क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \, m/s$.
$t=4 \, s$ से $t=6 \, s$ तक का क्षेत्रफल समय अक्ष के नीचे एक त्रिभुज है जिसका आधार $(6-4) = 2 \, s$ और ऊँचाई $-4 \, m/s^2$ है:
क्षेत्रफल$_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (-4) = -4 \, m/s$.
वेग में कुल परिवर्तन इन क्षेत्रफलों का योग है:
$\Delta v = \text{क्षेत्रफल}_1 + \text{क्षेत्रफल}_2 = 8 + (-4) = 4 \, m/s$.
अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

(A) तय की गई दूरी वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
सबसे पहले, हम दिए गए त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ से $v-t$ ग्राफ बनाते हैं:
$1$. $0 \le t \le 1 \, s$ के लिए, $a = 2 \, m/s^2$। चूंकि $v = \int a \, dt$, इसलिए $v = 2t$। $t = 1 \, s$ पर, $v = 2 \, m/s$।
$2$. $1 \le t \le 2 \, s$ के लिए, $a = 0$, इसलिए वेग $v = 2 \, m/s$ पर स्थिर रहता है।
$3$. $2 \le t \le 3 \, s$ के लिए, $a = -2 \, m/s^2$। वेग $2 \, m/s$ से घटकर $t = 3 \, s$ पर $0 \, m/s$ हो जाता है।
परिणामी $v-t$ ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $1 \, s$ ($t=1$ से $t=2$) और $3 \, s$ ($t=0$ से $t=3$) है, और ऊंचाई $2 \, m/s$ है।
दूरी = समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
दूरी = $\frac{1}{2} \times (1 + 3) \times 2 = 4 \, m$।

(A) दिए गए त्वरण $(a)$-समय $(t)$ ग्राफ से यह स्पष्ट है कि त्वरण धनात्मक है और समय के साथ रैखिक रूप से घट रहा है।
मान लीजिए कि त्वरण $a = a_0 - kt$ है,जहाँ $a_0$ प्रारंभिक त्वरण है और $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $v(0) = 0$ है।
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $\frac{dv}{dt} = a_0 - kt$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{t} (a_0 - kt) dt$
$v = a_0 t - \frac{1}{2} kt^2$.
यह समीकरण मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होने वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,वेग-समय ग्राफ का ढलान,जो कि त्वरण $a$ है,घटता जाता है। इसलिए,वेग-समय ग्राफ एक ऐसा वक्र होना चाहिए जो धनात्मक ढलान के साथ शुरू हो और जैसे-जैसे समय $T$ के करीब पहुंचे,वह सपाट (ढलान कम) होता जाए। यह विकल्प $(A)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) कण के वेग में परिवर्तन त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग, $u = -5 \, m/s$
ग्राफ से:
$1$. $t = 0$ से $t = 6 \, s$ तक $a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $6 \, s$ और ऊँचाई $10 \, m/s^2$ है।
क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30 \, m/s$.
$2$. $t = 6 \, s$ से $t = 8 \, s$ तक $a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $(8 - 6) = 2 \, s$ और ऊँचाई $-10 \, m/s^2$ है।
क्षेत्रफल$_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (-10) = -10 \, m/s$.
ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल = क्षेत्रफल$_1 +$ क्षेत्रफल$_2 = 30 + (-10) = 20 \, m/s$.
चूंकि $\Delta v = v - u = \text{कुल क्षेत्रफल}$, इसलिए:
$v - (-5) = 20$
$v + 5 = 20$
$v = 15 \, m/s$.
अतः, $t = 8 \, s$ पर वेग $15 \, m/s$ है।

(C) दिया गया वेग समीकरण: $v = \frac{t^2}{10} + 20$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^2}{10} + 20 \right)$.
घात नियम का उपयोग करने पर:
$a = \frac{2t}{10} + 0 = \frac{t}{5}$.
चूंकि त्वरण $a$ समय $t$ पर निर्भर करता है $(a \propto t)$,इसलिए यह स्थिर नहीं है। अतः,पिंड असमान त्वरण के साथ गति कर रहा है।

(B) पिंड की स्थिति समीकरण $x = 4t^2 - 12t$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t) = 8t - 12 \, m/s$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \, m/s^2$.
अतः,कण का त्वरण $8 \, m/s^2$ है।

(B) दिया गया स्थिति फलन: $x = -3t^3 + 18t^2 + 16t$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^3 + 18t^2 + 16t) = -9t^2 + 36t + 16$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-9t^2 + 36t + 16) = -18t + 36$.
समय ज्ञात करने के लिए त्वरण को शून्य रखें: $-18t + 36 = 0 \implies 18t = 36 \implies t = 2 \,s$.
वेग समीकरण में $t = 2 \,s$ रखने पर: $v = -9(2)^2 + 36(2) + 16$.
$v = -9(4) + 72 + 16 = -36 + 72 + 16 = 52 \,m/s$.

(B) त्वरण $(a)$ को वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के ढाल (slope) के अनुरूप है,अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$.
$1$. पहले अंतराल में,वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। चूंकि ढाल स्थिर और धनात्मक है,इसलिए त्वरण स्थिर और धनात्मक है।
$2$. दूसरे अंतराल में,वेग स्थिर रहता है। चूंकि एक क्षैतिज रेखा का ढाल शून्य होता है,इसलिए त्वरण शून्य है।
$3$. तीसरे अंतराल में,वेग समय के साथ रैखिक रूप से घटता है। चूंकि ढाल स्थिर और ऋणात्मक है,इसलिए त्वरण स्थिर और ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ धनात्मक स्थिर त्वरण,उसके बाद शून्य त्वरण,और फिर ऋणात्मक स्थिर त्वरण दिखाता है,वह विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2$.
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2] = 2c_0t + 2c(t - 2)$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[2c_0t + 2c(t - 2)] = 2c_0 + 2c = 2(c_0 + c)$.
अतः,कण का त्वरण $2(c + c_0)$ है।

(C) माना कि नियत त्वरण $a = k$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{ds}$ होता है।
$a = k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k = v \frac{dv}{ds}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$k \, ds = v \, dv$ मिलता है।
प्रारंभिक स्थितियों $s=0$ जब $v=0$ (यह मानते हुए कि कण विरामावस्था से शुरू होता है) के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^{s} k \, ds = \int_0^{v} v \, dv$
$ks = \frac{v^2}{2}$
$v^2 = 2ks$
यह समीकरण $s$-अक्ष के अनुदिश खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है। चूँकि $s = \frac{v^2}{2k}$,इसलिए $s$ बनाम $v$ का ग्राफ $s$-अक्ष के सापेक्ष एक परवलय है,जो धनात्मक $s$-दिशा में खुलता है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $C$ इस संबंध को दर्शाता है जहाँ $v$ के बढ़ने के साथ $s$ वर्ग के अनुपात में बढ़ता है।

(A) वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$, त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि पिंड विराम अवस्था से शुरू होता है, इसलिए प्रारंभिक वेग $(u = 0 \ m/s)$ है।
$a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $(b = 10 \ s)$ और ऊँचाई $(h = 8 \ m/s^2)$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 10 \ s \times 8 \ m/s^2 = 40 \ m/s$.
चूँकि $\Delta v = v_{max} - u = 40 \ m/s$ और $u = 0 \ m/s$, इसलिए अधिकतम चाल $v_{max} = 40 \ m/s$ है।

(C) दिया गया स्थिति फलन: $x = at^2 - bt^3$
वेग $v$,स्थिति का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 2at - 3bt^2$
त्वरण $a_{acc}$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a - 6bt$
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a_{acc} = 0$ रखें:
$0 = 2a - 6bt$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(B) कण के वेग में परिवर्तन त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 10 \ s$ और ऊँचाई $h = 8 \ m/s^2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \ m/s$.
चूँकि $\Delta v = v - u = \text{क्षेत्रफल}$,और $u = 0$,इसलिए $v = 40 \ m/s$.
अतः,कण की अधिकतम चाल $40 \ m/s$ है।

(A) नियत त्वरण के साथ गति कर रहे कण के लिए गति का समीकरण $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि त्वरण $a$ ऋणात्मक है,तो $x$ बनाम $t$ का ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय (parabola) होता है।
स्थिति-समय ग्राफ में,ढाल वेग $(v = \frac{dx}{dt})$ को दर्शाती है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के लिए,ढाल शुरू में धनात्मक होती है,शीर्ष पर शून्य हो जाती है (जहाँ कण क्षण भर के लिए रुक जाता है),और फिर ऋणात्मक हो जाती है क्योंकि कण विपरीत दिशा में गति करता है।
यह व्यवहार एक नियत ऋणात्मक त्वरण के अनुरूप है।
इसलिए,जो ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है,वह सही है,जो विकल्प $(A)$ में दिया गया है।

(C) कण का विस्थापन $s = t^3 - 6t^2 + 18t + 9$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 18$.
न्यूनतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का अवकलज निकालते हैं और उसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $6t - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 2 \ s$.
अब,न्यूनतम वेग ज्ञात करने के लिए $t = 2 \ s$ को वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$v_{min} = 3(2)^2 - 12(2) + 18 = 3(4) - 24 + 18 = 12 - 24 + 18 = 6 \ m \ s^{-1}$.

(B) हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $v dv = a dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है $\int_{u}^{v} v dv = \int_{x_1}^{x_2} a dx$.
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \text{a-x ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$v^2 = u^2 + 2 \times (\text{a-x ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल})$.
$x=0$ से $x=1.4$ तक $a-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक आयत, एक समलंब चतुर्भुज और एक अन्य आयत से बना है:
क्षेत्रफल $1$ ($x=0$ से $0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16$.
क्षेत्रफल $2$ ($x=0.4$ से $0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12$.
क्षेत्रफल $3$ ($x=0.8$ से $1.4$): $0.2 \times 0.6 = 0.12$.
कुल क्षेत्रफल $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.4$.
दिया गया है $u = 0.8 \,ms^{-1}$, इसलिए $u^2 = 0.64$.
$v^2 = 0.64 + 2 \times (0.4) = 0.64 + 0.8 = 1.44$.
$v = \sqrt{1.44} = 1.2 \,ms^{-1}$.

(D) दिया गया है, वेग $v = 2t^2 - 8t + 15$ है।
हम जानते हैं कि तात्क्षणिक त्वरण $a$, समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलन है, अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$।
वेग के दिए गए व्यंजक का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 15) = 4t - 8$।
अब, त्वरण के व्यंजक में $t = 5 \,s$ का मान रखने पर:
$a = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12 \,ms^{-2}$।
अतः, $t = 5 \,s$ पर तात्क्षणिक त्वरण $12 \,ms^{-2}$ है।

(A) दिया गया विस्थापन समीकरण: $S = 4t^3 - 8t^2 + 5t + 4$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष पहला अवकलन है: $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 8t^2 + 5t + 4) = 12t^2 - 16t + 5$।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 16t + 5) = 24t - 16$।
$t = 2 \ s$ पर त्वरण ज्ञात करने के लिए,त्वरण के समीकरण में $t = 2$ रखने पर: $a = 24(2) - 16 = 48 - 16 = 32 \ m \ s^{-2}$।

(A) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = 2t^2 + t + 5$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + t + 5) = 4t + 1$।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4 \ m \cdot s^{-2}$।
चूंकि त्वरण स्थिर है,इसलिए $t = 2 \ s$ पर त्वरण $4 \ m \cdot s^{-2}$ होगा।

(A) कण की स्थिति $s(t) = 3t^3 + 7t^2 + 3t + 8$ द्वारा दी गई है।
वेग $v(t)$ समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 3t + 8) = 9t^2 + 14t + 3$.
त्वरण $a(t)$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 3) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ पर,त्वरण $a(1) = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$ है।

(C) कण का वेग $v = 3x^2 - 4x$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर है,जिसे स्थिति $x$ के संदर्भ में $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x) = 6x - 4$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = (3x^2 - 4x)(6x - 4)$.
अतः,त्वरण के लिए सही व्यंजक $(3x^2 - 4x)(6x - 4)$ है।

(C) दिया गया स्थिति फलन: $x = (2t - 3)^2$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x = 4t^2 - 12t + 9$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t + 9) = 8t - 12$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \,m/s^2$.
चूँकि त्वरण नियत है,इसलिए $t = 2 \,s$ पर भी त्वरण $8 \,m/s^2$ ही रहेगा।

(B) कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$ है।
त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ में,वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि $t = 0 \ s$ से $t = 15 \ s$ तक की अवधि में त्वरण धनात्मक है,इसलिए कण का वेग लगातार बढ़ता रहता है।
अतः,अधिकतम चाल $t = 15 \ s$ पर प्राप्त होती है।
$a-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसका आधार $15 \ s$ और ऊँचाई $10 \ m \ s^{-2}$ है।
$\Delta v = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$\Delta v = \frac{1}{2} \times 15 \ s \times 10 \ m \ s^{-2} = 75 \ m \ s^{-1}$.
इसलिए,$v_{max} = u + \Delta v = 0 + 75 \ m \ s^{-1} = 75 \ m \ s^{-1}$.

(B) दिया गया संबंध: $t = 2x^2 + 3x$।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,$t$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 4x + 3$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $v = \frac{1}{4x + 3} = (4x + 3)^{-1}$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v$।
$\frac{dv}{dx} = -1(4x + 3)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 3)^2}$।
अतः,$a = -\frac{4}{(4x + 3)^2} \cdot \frac{1}{4x + 3} = -\frac{4}{(4x + 3)^3}$।
दिया गया विस्थापन $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$।
$x = \frac{1}{4}$ को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = -\frac{4}{(4(1/4) + 3)^3} = -\frac{4}{(1 + 3)^3} = -\frac{4}{4^3} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16} \ ms^{-2}$।

(B) त्वरण सदिश वेग के अवकलन द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$.
दिया गया है $\vec{v} = -x\hat{i} + 2y\hat{j} - z\hat{k}$,अतः घटकों की गणना करते हैं:
$a_x = v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = (-x)(-1) + (2y)(0) + (-z)(0) = x$.
$a_y = v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(2) + (-z)(0) = 4y$.
$a_z = v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(0) + (-z)(-1) = z$.
इस प्रकार,$\vec{a} = x\hat{i} + 4y\hat{j} + z\hat{k}$.
बिंदु $(1, 2, 4)$ पर,$\vec{a} = 1\hat{i} + 4(2)\hat{j} + 4\hat{k} = 1\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 \text{ m/s}^2$ है।