Bulk Modulus Questions in Hindi

$(1.034 \times 10^3 \; kg \; m^{-3})$ मान लीजिए सतह पर दबाव $p_1 = 1.013 \times 10^5 \; Pa$ है और $h$ गहराई पर दबाव $p_2 = 80.0 \; atm = 80.0 \times 1.013 \times 10^5 \; Pa$ है.
दबाव में परिवर्तन $\Delta p = p_2 - p_1 \approx 80.0 \times 1.013 \times 10^5 \; Pa = 8.104 \times 10^6 \; Pa$.
बल्क मापांक $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V_1}$, इसलिए आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{\Delta p}{B}$ है.
दी गई संपीड्यता $\frac{1}{B} = 45.8 \times 10^{-11} \; Pa^{-1}$ है.
$\frac{\Delta V}{V_1} = \Delta p \times \frac{1}{B} = (8.104 \times 10^6) \times (45.8 \times 10^{-11}) \approx 3.71 \times 10^{-3}$.
चूंकि $\rho_2 = \frac{m}{V_2}$ और $\rho_1 = \frac{m}{V_1}$, इसलिए $V_2 = V_1(1 - \frac{\Delta V}{V_1})$ है.
$\rho_2 = \frac{m}{V_1(1 - \Delta V / V_1)} = \frac{\rho_1}{1 - \Delta V / V_1} \approx \rho_1 (1 + \frac{\Delta V}{V_1})$.
$\rho_2 = 1.03 \times 10^3 \times (1 + 3.71 \times 10^{-3}) \approx 1.0338 \times 10^3 \; kg \; m^{-3} \approx 1.034 \times 10^3 \; kg \; m^{-3}$.

(C) कांच का बल्क मापांक $(B)$ $B = 37 \times 10^{9} \; N/m^2$ है।
बल्क मापांक का सूत्र $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ हाइड्रोलिक दबाव है और $\Delta V / V$ आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन मिलता है: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$।
यहाँ $p = 10 \; atm = 10 \times 1.013 \times 10^{5} \; Pa = 1.013 \times 10^{6} \; Pa$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1.013 \times 10^{6}}{37 \times 10^{9}}$।
$\frac{\Delta V}{V} \approx 0.02737 \times 10^{-3} = 2.737 \times 10^{-5}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $2.73 \times 10^{-5}$ है।

(D) तांबे का बल्क मापांक (Bulk modulus) $B = 140 \times 10^{9} \; Pa$ है।
बल्क मापांक का सूत्र $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ दबाव है,$V$ मूल आयतन है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
आयतन में कमी $\Delta V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta V = \frac{p V}{B}$ प्राप्त होता है।
घन का मूल आयतन $V = l^{3} = (10 \; cm)^{3} = (0.1 \; m)^{3} = 10^{-3} \; m^{3}$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = \frac{7.0 \times 10^{6} \; Pa \times 10^{-3} \; m^{3}}{140 \times 10^{9} \; Pa}$.
$\Delta V = \frac{7.0 \times 10^{3}}{140 \times 10^{9}} = 0.05 \times 10^{-6} \; m^{3} = 5 \times 10^{-8} \; m^{3}$.
चूंकि $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,इसलिए $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^{6} \; cm^{3} = 5 \times 10^{-2} \; cm^{3}$।
अतः,आयतन में संकुचन $5 \times 10^{-2} \; cm^{3}$ है।

(A) आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.10\% = \frac{0.10}{100} = 10^{-3}$ है।
पानी का बल्क मापांक (Bulk Modulus) $B$ लगभग $2.2 \times 10^{9} \;Nm^{-2}$ होता है।
बल्क मापांक का सूत्र $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ दबाव में परिवर्तन है।
$p$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$p = B \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $p = (2.2 \times 10^{9} \;Nm^{-2}) \times (10^{-3})$.
$p = 2.2 \times 10^{6} \;Nm^{-2}$.
अतः,पानी पर दबाव में $2.2 \times 10^{6} \;Nm^{-2}$ का परिवर्तन किया जाना चाहिए।

(A) दिया गया है:
तल पर पानी का दबाव,$p = 1.1 \times 10^{8} \; Pa$
स्टील की गेंद का प्रारंभिक आयतन,$V = 0.32 \; m^{3}$
स्टील का बल्क मापांक,$B = 1.6 \times 10^{11} \; N/m^{2}$
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
$\Delta V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta V = \frac{p V}{B}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\Delta V = \frac{(1.1 \times 10^{8} \; Pa) \times (0.32 \; m^{3})}{1.6 \times 10^{11} \; N/m^{2}}$
$\Delta V = \frac{0.352 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{11}}$
$\Delta V = 0.22 \times 10^{-3} \; m^{3} = 2.2 \times 10^{-4} \; m^{3}$.
अतः,ट्रेंच के तल पर पहुँचने पर गेंद के आयतन में परिवर्तन $2.2 \times 10^{-4} \; m^{3}$ है।

(N/A) जब किसी ठोस पिंड को उच्च दबाव वाले तरल पदार्थ में रखा जाता है,तो वह सभी तरफ से समान रूप से संकुचित हो जाता है।
तरल द्वारा लगाया गया बल सतह के प्रत्येक बिंदु पर लंबवत दिशा में कार्य करता है,और पिंड को हाइड्रोलिक संपीड़न (hydraulic compression) के अधीन कहा जाता है। परिणामस्वरूप,यह उसके ज्यामितीय आकार में बिना किसी परिवर्तन के उसके आयतन में कमी लाता है।
पिंड आंतरिक प्रत्यानयन बल (internal restoring forces) विकसित करता है जो तरल द्वारा लगाए गए बलों के बराबर और विपरीत होते हैं।
इस स्थिति में प्रति इकाई क्षेत्रफल आंतरिक प्रत्यानयन बल को हाइड्रोलिक स्ट्रेस (या वॉल्यूम स्ट्रेस) के रूप में जाना जाता है,और इसका परिमाण हाइड्रोलिक दबाव (प्रति इकाई क्षेत्रफल लगाया गया बल) के बराबर होता है।
हाइड्रोलिक दबाव द्वारा उत्पन्न विकृति को वॉल्यूम स्ट्रेन कहा जाता है और इसे आयतन में परिवर्तन $(\Delta V)$ और मूल आयतन $(V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{वॉल्यूम स्ट्रेन} = \frac{\Delta V}{V}$
इसका कोई मात्रक या विमीय सूत्र नहीं होता है।

(N/A) शीयरिंग प्रतिबल (shearing stress) और संगत शीयरिंग विकृति (shearing strain) के अनुपात को पदार्थ का शीयर मापांक कहा जाता है और इसे $G$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसे दृढ़ता मापांक (modulus of rigidity) भी कहा जाता है।
$G = \frac{\text{Shearing stress } (\sigma_s)}{\text{Shearing strain } (\theta)} = \frac{F/A}{\Delta x/L} = \frac{FL}{A \Delta x}$
छोटे कोणों के लिए,$\frac{\Delta x}{L} = \tan \theta \approx \theta$,इसलिए $G = \frac{F/A}{\theta} = \frac{F}{A \theta}$.
शीयरिंग प्रतिबल $\sigma_s$ को $\sigma_s = G \times \theta$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
शीयर मापांक का $SI$ मात्रक $N m^{-2}$ या $Pa$ है।
सामान्यतः,शीयर मापांक यंग मापांक से कम होता है,और अधिकांश पदार्थों के लिए $G \approx \frac{Y}{3}$ होता है।
जब किसी वस्तु को तरल में डुबोया जाता है,तो वह हाइड्रोलिक प्रतिबल (हाइड्रोलिक दबाव के बराबर) का अनुभव करती है। इससे वस्तु के आयतन में कमी आती है,जिसे आयतन विकृति (volume strain) कहते हैं।
हाइड्रोलिक प्रतिबल और संगत हाइड्रोलिक विकृति के अनुपात को बल्क मापांक कहा जाता है,जिसे $B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$B = -\frac{p}{\Delta V / V}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दबाव में वृद्धि से आयतन में कमी आती है (यदि $p > 0$ है,तो $\Delta V < 0$ है)। अतः,संतुलन में एक प्रणाली के लिए,$B$ हमेशा धनात्मक होता है।
बल्क मापांक का $SI$ मात्रक $N m^{-2}$ या $Pa$ है,और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।

(A) संपीड्यता को बल्क मॉडुलस $(B)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह दबाव में प्रति इकाई वृद्धि पर आयतन में होने वाले भिन्नात्मक परिवर्तन को दर्शाता है।
संपीड्यता $(k)$ का सूत्र:
$k = \frac{1}{B} = -\frac{1}{V} \left( \frac{\Delta V}{\Delta p} \right)$
मात्रक:
संपीड्यता का $SI$ मात्रक $Pa^{-1}$ या $m^2/N$ है।
विमीय सूत्र:
चूंकि बल्क मॉडुलस $B = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} \times \frac{\text{आयतन}}{\text{आयतन में परिवर्तन}}$ होता है,इसलिए $B$ का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
अतः,संपीड्यता का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^1 T^2]$ है।

(A) बल्क मॉडुलस $(B)$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$।
संपीड्यता $(K)$ को बल्क मॉडुलस के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है: $K = 1 / B$।
ठोसों के लिए,अंतर-परमाणु बल बहुत मजबूत होते हैं,जिससे उन्हें संपीड़ित करना बहुत कठिन होता है। अतः,ठोसों का बल्क मॉडुलस $(B)$ बहुत उच्च होता है,जिसके परिणामस्वरूप संपीड्यता $(K)$ बहुत कम होती है।
गैसों के लिए,अंतर-परमाणु बल नगण्य होते हैं,जिससे उन्हें संपीड़ित करना बहुत आसान होता है। अतः,गैसों का बल्क मॉडुलस $(B)$ बहुत कम होता है,जिसके परिणामस्वरूप संपीड्यता $(K)$ बहुत अधिक होती है।
इसलिए,ठोस सबसे कम संपीड्य और गैसें सबसे अधिक संपीड्य होती हैं।

(C) संपीड्यता $(K)$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus,$B$) का व्युत्क्रम है,जिसे $K = 1/B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
ठोसों के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक आमतौर पर $10^{11} \ N/m^2$ की कोटि का होता है।
गैसों के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक आमतौर पर $10^5 \ N/m^2$ की कोटि का होता है।
गैसों की संपीड्यता $(K_g)$ और ठोसों की संपीड्यता $(K_s)$ का अनुपात इस प्रकार है:
$K_g / K_s = B_s / B_g = 10^{11} / 10^5 = 10^6$।
अतः,गैसें ठोसों की तुलना में $10^6$ गुना अधिक संपीड्य होती हैं।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$।
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,लगाए गए दाब $P$ के बावजूद आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ हमेशा $0$ होता है।
सूत्र में $\Delta V = 0$ रखने पर,हमें $B = -\frac{P}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक अनंत होता है।

(B) द्रवों और गैसों का कोई निश्चित आकार नहीं होता है और वे अपरूपण बलों (shearing forces) का विरोध नहीं कर सकते हैं,इसलिए उनमें यंग का मापांक या दृढ़ता गुणांक नहीं होता है।
वे केवल उन संपीड़ित बलों का विरोध कर सकते हैं जो उनके आयतन को बदलते हैं।
इसलिए,तरल पदार्थों (द्रवों और गैसों) पर लागू होने वाला एकमात्र प्रत्यास्थता गुणांक आयतन प्रत्यास्थता गुणांक है,जिसे सामान्यतः बल्क मापांक $(B)$ के रूप में जाना जाता है।

(N/A) किसी पदार्थ की प्रत्यास्थता को उसके आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus,$B$) द्वारा मापा जाता है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक को संपीड्यता (Compressibility,$K$) के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $B = 1/K$।
हवा अत्यधिक संपीड्य होती है,जिसका अर्थ है कि इसकी संपीड्यता का मान बहुत अधिक होता है।
पानी हवा की तुलना में बहुत कम संपीड्य होता है।
चूंकि आयतन प्रत्यास्थता गुणांक संपीड्यता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए कम संपीड्यता वाले पदार्थ का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक अधिक होता है।
अतः,पानी हवा से अधिक प्रत्यास्थ होता है।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक या बल्क मॉडुलस $(B)$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि ठोस,द्रव और गैसें तीनों समान दबाव के अधीन होने पर आयतन में परिवर्तन का अनुभव करती हैं,इसलिए बल्क मॉडुलस पदार्थ की तीनों अवस्थाओं के लिए परिभाषित है।
इसके विपरीत,यंग मॉडुलस और शीयर मॉडुलस के लिए एक निश्चित आकार और अपरूपण बलों के प्रति प्रतिरोध की आवश्यकता होती है,जो मुख्य रूप से ठोस पदार्थों के गुण हैं।
इसलिए,बल्क मॉडुलस ही एकमात्र प्रत्यास्थता गुणांक है जो ठोस,द्रव और गैसों पर लागू होता है।

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ का सूत्र $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $P$ दबाव है,$\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है और $V$ प्रारंभिक आयतन है।
आयतन में परिवर्तन के लिए सूत्र: $\Delta V = \frac{PV}{B}$.
गोले का प्रारंभिक आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,जहाँ $r = 10\,cm = 0.1\,m$.
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (0.1)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 0.001\,m^3$.
अब,$\Delta V$ की गणना करते हैं:
$\Delta V = \frac{5 \times 10^8 \times (\frac{4}{3} \times 3.14 \times 0.001)}{3.14 \times 10^{11}}$
$\Delta V = \frac{5 \times 10^8 \times 4 \times 3.14 \times 0.001}{3 \times 3.14 \times 10^{11}}$
$\Delta V = \frac{20 \times 10^5}{3 \times 10^{11}} = 6.66 \times 10^{-6}\,m^3$
$\Delta V \approx 6.7 \times 10^{-6}\,m^3$.

(C) बल्क मॉडुलस $(B)$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ है।
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,किसी भी लगाए गए दबाव $(\Delta P)$ के लिए आयतन में परिवर्तन $(\Delta V)$ शून्य होता है।
इसलिए,$B = -\frac{\Delta P}{0} = \infty$.
अतः,एक दृढ़ पिंड के लिए बल्क मॉडुलस का मान अनंत होता है।

(A) आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.1$ दी गई है।
अतः,आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.1}{100} = 0.001$ है।
$h$ गहराई पर समुद्र के पानी द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
गहराई $h$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $h = \frac{B \times (\Delta V / V)}{\rho g}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $B = 9.8 \times 10^8 \, N/m^2$,$\frac{\Delta V}{V} = 0.001$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,और $g = 9.8 \, m/s^2$।
$h = \frac{9.8 \times 10^8 \times 0.001}{10^3 \times 9.8} = \frac{9.8 \times 10^5}{9.8 \times 10^3} = 10^2 = 100 \, m$।
अतः,आवश्यक गहराई $100 \, m$ है।

(N/A) तापमान में वृद्धि $\Delta T = 57 - 37 = 20\,^{\circ}C$ या $20\,K$.
तांबे का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 1.7 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$.
तांबे का बल्क मॉडुलस $K = 140 \times 10^9\,N/m^2$.
तांबे का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 3\alpha = 3 \times 1.7 \times 10^{-5} = 5.1 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$.
तापीय प्रतिबल का सूत्र: $\text{Stress} = K \times \text{volumetric strain} = K \times \frac{\Delta V}{V}$.
हम जानते हैं कि $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$,इसलिए $\text{Stress} = K \gamma \Delta T$.
मान रखने पर: $\text{Stress} = (140 \times 10^9) \times (5.1 \times 10^{-5}) \times 20$.
$\text{Stress} = 140 \times 5.1 \times 20 \times 10^4 = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8\,N/m^2$.

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन का परिमाण $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\Delta P = 4 \times 10^9 \; Pa$ और $B = 8 \times 10^{10} \; Pa$:
$\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{4 \times 10^9}{8 \times 10^{10}} = \frac{1}{20} = 0.05$.
$\ell$ भुजा की लंबाई वाले घन के लिए,आयतन $V = \ell^3$ होता है। अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{1}{3} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{1}{3} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{60}$ है।
लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100\% = \frac{1}{60} \times 100\% = \frac{10}{6}\% \approx 1.67\%$ है।

(B) संपीड्यता $K$,बल्क मापांक $\beta$ का व्युत्क्रम है,जिसे $K = \frac{1}{\beta} = -\frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta P}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $-\Delta V = K \cdot V \cdot P$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान:
संपीड्यता $K = 6 \times 10^{-10} \ N^{-1} \ m^2$.
प्रारंभिक आयतन $V = 1 \ litre = 1000 \ cc = 10^{-3} \ m^3$.
दबाव $P = 4 \times 10^7 \ N \ m^{-2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$-\Delta V = (6 \times 10^{-10}) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^7)$.
$-\Delta V = 24 \times 10^{-6} \ m^3$.
चूंकि $1 \ m^3 = 10^6 \ cc$,इसलिए:
$-\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^6 \ cc = 24 \ cc$.

(D) हाइड्रोलिक प्रतिबल $h$ गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P$ के बराबर होता है,जो $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$h = 2 \, km = 2000 \, m$,$\rho = 1000 \, kg \, m^{-3}$,और $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$ है।
$P = 2000 \times 1000 \times 9.8 = 1.96 \times 10^{7} \, N \, m^{-2}$।
हाइड्रोलिक विकृति आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = 1.36 \, \% = 1.36 \times 10^{-2}$ है।
हाइड्रोलिक प्रतिबल और हाइड्रोलिक विकृति का अनुपात बल्क मापांक $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ है।
$B = \frac{1.96 \times 10^{7}}{1.36 \times 10^{-2}} \approx 1.44 \times 10^{9} \, N \, m^{-2}$।

(B) घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -\frac{P}{dV/V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$।
इस मान को घनत्व के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ प्राप्त होता है।
अतः,घनत्व में वृद्धि का परिमाण $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ होगा।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta P = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -0.5\, \% = -0.005$ है (ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है)।
सूत्र में मान रखने पर: $B = -\frac{\rho g h}{-0.005}$।
$h$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $h = \frac{B \times 0.005}{\rho g}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $h = \frac{9.8 \times 10^{8} \times 0.005}{10^{3} \times 9.8}$।
$h = \frac{10^{8} \times 0.005}{10^{3}} = 10^{5} \times 0.005 = 500 \, \text{m}$।
अतः,गहराई $500 \, \text{m}$ है।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है,$B = 3 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -2\% = -0.02$ है (ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है)।
दाब परिवर्तन $\Delta P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta P = -B \times \left(\frac{\Delta V}{V}\right)$।
मान रखने पर: $\Delta P = -(3 \times 10^{10}) \times (-0.02)$।
$\Delta P = 3 \times 10^{10} \times 0.02 = 0.06 \times 10^{10} = 6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$।
अतः,आवश्यक दाब $6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$ है।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को दाब में परिवर्तन और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$.
यहाँ आयतन में संकुचन $0.02 \%$ है,इसलिए आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ है।
दाब में परिवर्तन $\Delta P = 50 \, atm = 50 \times 1.01 \times 10^5 \, Pa = 50.5 \times 10^5 \, Pa$ है।
सूत्र $B = \frac{\Delta P}{-(\Delta V / V)}$ का उपयोग करने पर,$B = \frac{50.5 \times 10^5}{2 \times 10^{-4}} = 25.25 \times 10^9 = 2.525 \times 10^{10} \, Nm^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ है।
अवकलन करने पर,$\Delta V = -\frac{m}{\rho^2} \Delta \rho$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta \rho}{\rho}$ होता है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\Delta P}{\Delta \rho / \rho}$,जिससे $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta P}{B}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $B = 8.0 \times 10^9 \, N/m^2$,$\Delta P = 2.0 \times 10^8 \, N/m^2$,और $\rho_1 = 11.4 \, g/cc$.
$\Delta \rho = \rho_1 \times \frac{\Delta P}{B} = 11.4 \times \frac{2.0 \times 10^8}{8.0 \times 10^9} = 11.4 \times 0.025 = 0.285 \, g/cc$.
अंतिम घनत्व $\rho_2 = \rho_1 + \Delta \rho = 11.4 + 0.285 = 11.685 \, g/cc \approx 11.7 \, g/cc$।

(A) बल्क मापांक $B$ को सूत्र $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 1.01 \times 10^5 \, Pa$
अंतिम दबाव $P_2 = 1.165 \times 10^5 \, Pa$
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = P_2 - P_1 = (1.165 - 1.01) \times 10^5 \, Pa = 0.155 \times 10^5 \, Pa$.
चूंकि दबाव बढ़ता है,आयतन में $10 \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = -0.10$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = -\frac{0.155 \times 10^5}{-0.10}$
$B = \frac{0.155 \times 10^5}{0.10}$
$B = 1.55 \times 10^5 \, Pa$.
अतः,बल्क मापांक $1.55 \times 10^5 \, Pa$ है।

(C) घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta a}{a}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि भुजा में $2 \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta a}{a} = -0.02$ है।
इस मान को आयतनी विकृति के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = 3 \times (-0.02) = -0.06$ प्राप्त होता है।
बल्क विकृति आयतनी विकृति का परिमाण है,जो $|\frac{\Delta V}{V}| = 0.06$ है।

(C) समुद्र की तली पर दबाव $P = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\rho = 1 \,g/cc = 1000 \,kg/m^3$,$g = 10 \,m/s^2$,और $h = 1400 \,m$.
$P = 1000 \times 10 \times 1400 = 1.4 \times 10^7 \,N/m^2$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -2\% = -0.02$ है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $B = -\frac{1.4 \times 10^7}{-0.02} = \frac{1.4 \times 10^7}{0.02} = 70 \times 10^7 = 7 \times 10^8 \,N/m^2$.
अतः,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $7 \times 10^8 \,N/m^2$ है।

(D) बल्क मापांक $(B)$ का सूत्र $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ है।
अनुप्रयुक्त दबाव $P = 50 \, \text{atm} = 50 \times 1.013 \times 10^5 \, \text{Pa} \approx 5.065 \times 10^6 \, \text{Pa}$ है।
$B = \frac{P}{|\Delta V / V|}$ का उपयोग करने पर,हमें $B = \frac{50 \times 1.013 \times 10^5}{2 \times 10^{-4}}$ प्राप्त होता है।
$B = 25 \times 1.013 \times 10^9 = 2.5325 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,सही उत्तर $2.5 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2$ है।

(C) समुद्र की तली पर दबाव $P = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\rho = 1000 \, kg/m^3$,$g = 9.8 \, m/s^2$,और $h = 1000 \, m$.
$P = 1000 \times 9.8 \times 1000 = 9.8 \times 10^6 \, N/m^2$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{-\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{P}{(-\Delta V/V)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $B = \frac{9.8 \times 10^6}{10^{-4}} = 9.8 \times 10^{10} \, N/m^2$.

(B) दिया गया है:
घन का किनारा $a = 10 \, cm = 0.1 \, m = 10^{-1} \, m$.
प्रारंभिक आयतन $V = a^3 = (10^{-1} \, m)^3 = 10^{-3} \, m^3$.
दबाव $P = 7 \times 10^6 \, Pa$.
बल्क मापांक $B = 140 \, GPa = 140 \times 10^9 \, Pa$.
हम जानते हैं कि बल्क मापांक का सूत्र $B = \frac{P}{(-\Delta V / V)}$ है,जहाँ $-\Delta V$ आयतन में संकुचन है।
आयतन में संकुचन के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $-\Delta V = \frac{P \times V}{B}$.
मान रखने पर:
$-\Delta V = \frac{(7 \times 10^6 \, Pa) \times (10^{-3} \, m^3)}{140 \times 10^9 \, Pa}$.
$-\Delta V = \frac{7 \times 10^3}{140 \times 10^9} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} = 0.05 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-8} \, m^3$.
अतः,आयतन में संकुचन $5 \times 10^{-8} \, m^3$ है।

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पानी के लिए,आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V_w}{V_w} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ है।
अतः,$B_w = \frac{P}{10^{-4}} = 10^4 P$.
द्रव के लिए,आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V_l}{V_l} = 0.03 \% = \frac{0.03}{100} = 3 \times 10^{-4}$ है।
अतः,$B_l = \frac{P}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4 P}{3}$.
पानी के बल्क मापांक और द्रव के बल्क मापांक का अनुपात $\frac{B_w}{B_l} = \frac{10^4 P}{10^4 P / 3} = 3$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{3}{x}$ है,इसलिए $\frac{3}{x} = 3$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया संबंध $P = aV^{-3}$ है।
$V$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dV} = a(-3)V^{-4} = -3 \frac{aV^{-3}}{V} = -3 \frac{P}{V}$.
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर:
$B = -V \left( -3 \frac{P}{V} \right) = 3P$.
अतः,बल्क मापांक $3P$ है।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समुद्र के तल पर दबाव हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \rho g h$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta P = 1000 \ kg m^{-3} \times 10 \ m s^{-2} \times 4000 \ m = 4 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
भिन्नात्मक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 2 \times 10^{-2}$.
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-2}$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(D) बल्क मापांक $\beta$ को $\beta = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -0.02 \% = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\rho gh = -\beta \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
$10^3 \times 10 \times h = -(9 \times 10^8) \times (-2 \times 10^{-4})$
$10^4 \times h = 18 \times 10^4$
$h = 18 \ m$.

(B) $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m}$,$\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}$,और $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ है,इसलिए दबाव $P = 10^3 \times 10 \times 5000 = 5 \times 10^7 \text{ Pa}$ है।
बल्क मॉडुलस $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $a$ भुजा वाले घन के लिए,$V = a^3$,इसलिए $dV = 3a^2 da$ होता है।
अतः,$\frac{dV}{V} = \frac{3a^2 da}{a^3} = 3 \frac{da}{a}$ होता है।
इसे बल्क मॉडुलस के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $B = -\frac{P}{3 \frac{da}{a}} \implies \frac{da}{a} = \frac{P}{3B}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 1 \text{ m}$,$P = 5 \times 10^7 \text{ Pa}$,और $B = 70 \times 10^9 \text{ Pa}$ है।
$da = \frac{a \times P}{3B} = \frac{1 \times 5 \times 10^7}{3 \times 70 \times 10^9} = \frac{5}{210} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{1}{42} \times 10^{-2} \text{ m} \approx 2.38 \text{ mm}$.

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
दिया गया है:
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2.15 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = -0.2\% = -0.002$
सूत्र में मान रखने पर:
$2.15 \times 10^9 = -\frac{\Delta P}{-0.002}$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 0.002$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-3}$
$\Delta P = 4.3 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$
हमें इसे $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है:
$4.3 \times 10^6 = 43 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$
इसे $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\text{P} = 43$ प्राप्त होता है।

(B) बल्क मापांक $B$ का सूत्र $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है,$V$ प्रारंभिक आयतन है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
दिया गया है: भुजा की लंबाई $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$. प्रारंभिक आयतन $V = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 7 \times 10^6 \ Pa$.
बल्क मापांक $B = 1.4 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
आयतन संकुचन $\Delta V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta V = \frac{\Delta P \times V}{B}$.
मान रखने पर: $\Delta V = \frac{7 \times 10^6 \times 10^{-3}}{1.4 \times 10^{11}} = \frac{7 \times 10^3}{1.4 \times 10^{11}} = 5 \times 10^{-8} \ m^3$.
चूंकि $1 \ m^3 = 10^9 \ mm^3$,इसलिए आयतन को परिवर्तित करने पर: $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^9 \ mm^3 = 50 \ mm^3$.

(D) $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B} = \frac{\rho gh}{B}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\rho = 10^3 \ kg m^{-3}$,$g = 10 \ m s^{-2}$,$h = 2.5 \ km = 2.5 \times 10^3 \ m$,और $B = 2 \times 10^9 \ N m^{-2}$।
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{10^3 \times 10 \times 2.5 \times 10^3}{2 \times 10^9} = \frac{2.5 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 1.25 \times 10^{-2}$।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 1.25 \times 10^{-2} \times 100 = 1.25 \%$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $(P_i) = 1 \ atm$,अंतिम दाब $(P_f) = 5 \ atm$.
दाब में परिवर्तन $(dP) = P_f - P_i = 4 \ atm = 4 \times 10^5 \ Pa$.
आयतन में परिवर्तन $(dV) = -0.8 \ cm^3 = -0.8 \times 10^{-6} \ m^3$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B) = 2 \ GPa = 2 \times 10^9 \ Pa$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र $B = -\frac{dP}{dV/V}$ है,जिसका अर्थ है $V = -\frac{B \cdot dV}{dP}$.
मान रखने पर: $V = -\frac{2 \times 10^9 \times (-0.8 \times 10^{-6})}{4 \times 10^5}$.
$V = \frac{1.6 \times 10^3}{4 \times 10^5} = 0.4 \times 10^{-2} \ m^3 = 4 \times 10^{-3} \ m^3$.
चूंकि $1 \ m^3 = 1000 \ litres$,इसलिए $V = 4 \times 10^{-3} \times 1000 = 4 \ litres$.

(C) संपीड्यता $\beta$ को बल्क मॉडुलस $K$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\beta = \frac{1}{K}$।
दिया गया है:
संपीड्यता $\beta = 5 \times 10^{-10} \ m^2/N$
दाब में परिवर्तन $\Delta P = 15 \times 10^6 \ Pa$
प्रारंभिक आयतन $V = 100 \ ml$
आयतन विकृति (volumetric strain) का सूत्र $\frac{\Delta V}{V} = -\beta \Delta P$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -(5 \times 10^{-10} \ m^2/N) \times (15 \times 10^6 \ Pa)$
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -75 \times 10^{-4} = -0.0075$
$\Delta V = -0.0075 \times 100 \ ml = -0.75 \ ml$।
ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है।
अतः,आयतन में परिवर्तन $0.75 \ ml$ की कमी है।

(A) घनत्व $\rho$ को $\rho = M / V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{P}{dV/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$।
इस मान को घनत्व के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ प्राप्त होता है।
अतः,घनत्व में वृद्धि $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ है।

(A) बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि आयतन में $x \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = \frac{x}{100}$.
समुद्र में $h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta p = \rho g h$ होता है।
इन मानों को बल्क मॉडुलस के सूत्र में रखने पर: $K = \frac{\rho g h}{x / 100}$.
गहराई $h$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $h = \frac{K \cdot x}{100 \cdot \rho \cdot g}$.
चूंकि $100$ एक स्थिरांक है,इसलिए गहराई $h$,$\frac{Kx}{\rho g}$ के समानुपाती है।

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -V \frac{dp}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दाब में छोटे परिवर्तन $p$ के लिए,हमारे पास $K = -V \frac{p}{\Delta V}$ है,जिससे $\Delta V = -\frac{pV}{K}$ प्राप्त होता है।
नया आयतन $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{K} = V(1 - \frac{p}{K})$ है।
चूंकि घनत्व $\varrho = \frac{m}{V}$ है,नया घनत्व $\varrho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{K})}$ होगा।
$\varrho = \frac{m}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\varrho^{\prime} = \frac{\varrho}{1 - \frac{p}{K}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\varrho^{\prime}}{\varrho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{K}}$ है।

(C) संपीड्यता $K$ को बल्क मापांक $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $K = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V}{P V}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दबाव में वृद्धि से आयतन में कमी आती है।
दिया गया है:
संपीड्यता $K = 6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N$
प्रारंभिक आयतन $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$
दबाव में परिवर्तन $P = 4 \times 10^{7} \,N/m^{2}$
आयतन में कमी $\Delta V$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta V = K \cdot P \cdot V$
$\Delta V = (6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N) \times (4 \times 10^{7} \,N/m^{2}) \times (10^{-3} \,m^{3})$
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \,m^{3}$
चूंकि $1 \,m^{3} = 10^{3} \,L = 10^{6} \,mL$, इसलिए आयतन में परिवर्तन को मिलीलीटर में बदलने पर:
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^{6} \,mL = 24 \,mL$.

(D) बल्क मापांक $K$ का सूत्र $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ है।
यहाँ हमें बल्क मापांक $K = 2100 \, MPa = 2100 \times 10^3 \, kPa$ दिया गया है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.008 \, \% = \frac{0.008}{100} = 8 \times 10^{-5}$ है।
दबाव में वृद्धि $\Delta p$ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $\Delta p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$।
मान रखने पर: $\Delta p = (2100 \times 10^3 \, kPa) \times (8 \times 10^{-5})$।
$\Delta p = 2100 \times 8 \times 10^{-2} \, kPa = 21 \times 8 \, kPa = 168 \, kPa$।

(B) हाइड्रोलिक प्रतिबल और उसके संगत आयतन विकृति (volumetric strain) के अनुपात को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक या बल्क मॉडुलस $(B)$ के रूप में जाना जाता है।
गणितीय रूप से,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है और $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन विकृति है।

(C) $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h = 1 \ km = 10^3 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$P = 10^3 \times 10 \times 10^3 = 10^7 \ N \ m^{-2}$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$B = \frac{10^7}{10^{-4}} = 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
अतः,$10^{11} \ N \ m^{-2}$ का मान $10 \times 10^{10} \ N \ m^{-2}$ के बराबर है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।