Bulk Modulus Questions in Hindi

(C) दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 250 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 50 \text{ kPa} = 50 \times 10^3 \text{ Pa} = 5 \times 10^4 \text{ Pa}$ है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = 2.5 \times 10^{-3}$ है।
बल्क मापांक $B$ का सूत्र $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ है।
संपीड्यता $K$,बल्क मापांक का व्युत्क्रम है,$K = \frac{1}{B} = \frac{\Delta V / V}{\Delta P}$।
मान रखने पर: $K = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-7} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1} = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1}$।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = \text{नियतांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $V \frac{dP}{dV} = -P$।
अतः, समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B_{\text{isothermal}} = -(-P) = P$ होता है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन,$V = 2000 \text{ cm}^3 = 2000 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
आयतन में परिवर्तन,$\Delta V = 5 \times 10^{-2} \text{ cm}^3 = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$.
दबाव,$P = 15 \text{ atm} = 15 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
बल्क मॉडुलस $(B)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)} = \frac{P \times V}{\Delta V}$
मान रखने पर:
$B = \frac{15 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-8}}$
$B = \frac{30 \times 10^2}{5 \times 10^{-8}}$
$B = 6 \times 10^{10} \text{ Nm}^{-2}$.

(B) कांच के स्लैब पर लगाया गया हाइड्रोलिक दबाव $P = 14 \,atm$ है। इसे पास्कल $(Pa)$ में बदलने पर:
$P = 14 \times 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 14.182 \times 10^5 \,Pa$।
दिया गया बल्क मापांक $B = 40 \times 10^9 \,N/m^2$ है।
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ है, जहाँ $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन में आंशिक परिवर्तन है।
इसलिए, आयतन में आंशिक परिवर्तन:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B}$।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{14 \times 1.013 \times 10^5}{40 \times 10^9} = \frac{14.182 \times 10^5}{40 \times 10^9} = 0.35455 \times 10^{-4} = 3.5455 \times 10^{-5}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, उत्तर $3.54 \times 10^{-5}$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V = 4000 \ cc$।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.05 \% = \frac{0.05}{100} = 0.0005$।
बल्क मापांक $B = 2.2 \times 10^9 \ N/m^2$।
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ है,जहाँ $P$ लगाया गया दबाव है।
परिमाण लेने पर,$P = B \times \frac{\Delta V}{V}$।
मान रखने पर: $P = (2.2 \times 10^9) \times (0.0005)$।
$P = 2.2 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-4} = 11 \times 10^5 = 1.1 \times 10^6 \ N/m^2$।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^\gamma = \text{नियतांक}$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^\gamma \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
$V^{\gamma-1}$ से भाग देने पर,हमें $\gamma P + V \frac{dP}{dV} = 0$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$ प्राप्त होता है।
इस मान को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक की परिभाषा में रखने पर,$K = -(-\gamma P) = \gamma P$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है:
गर्म चाय का तापमान,$t_2 = 57^{\circ} C$
दांत का सामान्य तापमान,$t_1 = 37^{\circ} C$
रेखीय प्रसार गुणांक,$\alpha = 1.7 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$
बल्क मापांक,$B = 140 \times 10^9 \ Nm^{-2}$
तापमान में परिवर्तन,$\Delta t = t_2 - t_1 = 57 - 37 = 20^{\circ} C$
तापीय प्रतिबल (Thermal stress),बल्क मापांक और आयतन विकृति के गुणनफल के बराबर होता है:
$\text{Stress} = B \times \frac{\Delta V}{V}$
चूंकि $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta t$ और $\gamma = 3\alpha$:
$\text{Stress} = B \times (3\alpha) \times \Delta t$
मान रखने पर:
$\text{Stress} = 3 \times (140 \times 10^9) \times (1.7 \times 10^{-5}) \times 20$
$\text{Stress} = 3 \times 140 \times 1.7 \times 20 \times 10^4$
$\text{Stress} = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8 \ Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.

(C) ब्लॉक पर लगाया गया दबाव $p = 8 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आयतन $V_1$ है। अंतिम आयतन $V_2$ में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए $V_2 = V_1 - 0.20 V_1 = 0.8 V_1 = \frac{4}{5} V_1$ होगा।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.8 V_1 = 0.2 V_1 = \frac{V_1}{5}$ है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{p}{\Delta V / V_1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$B = \frac{8 \times 10^8}{(0.2 V_1) / V_1} = \frac{8 \times 10^8}{0.2} = 40 \times 10^8 = 4 \times 10^9 \ N \ m^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है:
बल्क मापांक $(K) = 2 \times 10^8 \ N m^{-2}$
आयतन में परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$
बल्क मापांक का सूत्र है:
$K = \frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$
दबाव $(p)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$p = (2 \times 10^8) \times (0.01)$
$p = 2 \times 10^6 \ N m^{-2}$
अतः,आवश्यक दबाव $2 \times 10^6 \ N m^{-2}$ है।

(C) दिया गया है,ठोस तांबे के घन का किनारा,$l = 7 \,cm$।
घन का आयतन,$V = l^3 = (7 \,cm)^3 = 343 \,cm^3 = 343 \times 10^{-6} \,m^3$।
हाइड्रोलिक दबाव,$p = 8000 \,kPa = 8000 \times 10^3 \,Pa = 8 \times 10^6 \,Pa$।
तांबे का बल्क मापांक,$\beta = 140 \,GPa = 140 \times 10^9 \,Pa$।
हम जानते हैं कि बल्क मापांक $\beta = \frac{p}{\Delta V / V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
$\Delta V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta V = \frac{p V}{\beta}$।
मान रखने पर:
$\Delta V = \frac{(8 \times 10^6 \,Pa) \times (343 \times 10^{-6} \,m^3)}{140 \times 10^9 \,Pa} = \frac{2744}{140 \times 10^9} \,m^3 = 19.6 \times 10^{-9} \,m^3$।
$cm^3$ में बदलने पर:
$1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3$,इसलिए $\Delta V = 19.6 \times 10^{-9} \times 10^6 \,cm^3 = 19.6 \times 10^{-3} \,cm^3$।

(B) $h$ गहराई पर दबाव $\Delta P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B} = \frac{h \rho g}{B}$ है।
दिया गया है: $h = 3000 \,m$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,$g = 9.8 \,m/s^2$,और $B = 2.2 \times 10^9 \,N/m^2$।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3000 \times 1000 \times 9.8}{2.2 \times 10^9} = \frac{2.94 \times 10^7}{2.2 \times 10^9} = 1.336 \times 10^{-2} \approx 1.34 \times 10^{-2}$।

(D) ऊपरी सतह पर द्रव के $V_1$ आयतन पर विचार करें। $H$ गहराई पर दबाव के कारण,द्रव का वही द्रव्यमान $V_2$ आयतन घेरता है।
द्रव्यमान संरक्षण के नियम से,$\rho_0 V_1 = \rho V_2$,जिसका अर्थ है $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho}{\rho_0}$।
$H$ गहराई पर,गेज दबाव $P = \rho g H$ है।
बल्क मापांक $B_0$ की परिभाषा से,$B_0 = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_1} = -\frac{P}{(V_2 - V_1) / V_1}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{V_2 - V_1}{V_1} = -\frac{P}{B_0} = -\frac{\rho g H}{B_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{V_2}{V_1} = 1 - \frac{\rho g H}{B_0}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$।
इस मान को द्रव्यमान संरक्षण समीकरण $\rho = \rho_0 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)$ में रखने पर,हमें $\rho = \frac{\rho_0}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \alpha \rho g H}$ से करने पर,हमें $\alpha = -\frac{1}{B_0}$ प्राप्त होता है।

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है: $B = 60 \ GPa = 60 \times 10^9 \ Pa$,$\Delta P = 10^7 \ Pa$,$r = 36 \ cm = 0.36 \ m$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर: $B = -\frac{\Delta P}{3 \Delta r / r}$.
$\Delta r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta r = -\frac{\Delta P \cdot r}{3B}$.
परिमाण लेने पर: $|\Delta r| = \frac{10^7 \times 0.36}{3 \times 60 \times 10^9}$.
$|\Delta r| = \frac{3.6 \times 10^6}{180 \times 10^9} = \frac{3.6}{180} \times 10^{-3} = 0.02 \times 10^{-3} \ m = 2 \times 10^{-5} \ m$.
सेमी में बदलने पर: $2 \times 10^{-5} \times 10^2 \ cm = 2 \times 10^{-3} \ cm$.

(D) पानी के स्तंभ के कारण पूल के तल पर दबाव में वृद्धि $\Delta P = \rho g h$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta P = 1000 \times 10 \times 22 = 2.2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
बल्क मॉडुलस $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,आयतन में आंशिक परिवर्तन $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{2.2 \times 10^5}{2.2 \times 10^9} = 10^{-4}$।

(D) बल्क मॉडुलस $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
दिया गया है:
दबाव में परिवर्तन,$\Delta P = 2 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 1 \text{ atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
आयतन में आंशिक परिवर्तन,$\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02$ (ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = -\frac{1.01 \times 10^5}{-0.02}$
$B = \frac{1.01 \times 10^5}{0.02}$
$B = 50.5 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 5.05 \times 10^6 \text{ N/m}^2$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$B \approx 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$ प्राप्त होता है।

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $p$ दाब है और $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन विकृति है।
इसलिए, आंशिक संपीड़न $-\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$ द्वारा दिया जाता है।
कुएं की तली पर दाब $p = \rho g h$ होता है।
मान रखने पर: $\rho = 1500 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$, $h = 2000 \, m$, और $B = 8 \times 10^8 \, N/m^2$.
आंशिक संपीड़न ($\%$ में) $= \frac{\rho g h}{B} \times 100$.
$= \frac{1500 \times 10 \times 2000}{8 \times 10^8} \times 100$.
$= \frac{3 \times 10^7}{8 \times 10^8} \times 100 = \frac{3}{80} \times 100 = 3.75 \%$.

(B) दिया गया है: आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02 = -\frac{1}{50}$ है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$ है,जहाँ $\Delta p$ दबाव में परिवर्तन है।
दबाव के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta p = -B \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
मान रखने पर: $\Delta p = -(2 \times 10^9) \times (-0.02)$.
$\Delta p = 2 \times 10^9 \times 0.02 = 4 \times 10^7 \ N/m^2$.

(C) दिया गया है,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{|\Delta V|}{V} = 0.4 \% = 0.004$.
पानी का बल्क मापांक,$B = 2.0 \times 10^9 \text{ Pa}$.
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ लगाया गया दबाव है।
इसलिए,आवश्यक दबाव $p = B \times \left| \frac{\Delta V}{V} \right|$ है।
मान रखने पर:
$p = (2.0 \times 10^9 \text{ Pa}) \times 0.004 = 8.0 \times 10^6 \text{ Pa}$.
दबाव को $\text{Pa}$ से $\text{atm}$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \text{ atm} \approx 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}$ का उपयोग करते हैं।
$p = \frac{8.0 \times 10^6}{1.01325 \times 10^5} \text{ atm} \approx 78.95 \text{ atm}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$p \approx 80 \text{ atm}$ प्राप्त होता है।

(C) बल्क मॉडुलस $(K)$ का सूत्र $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ है,जहाँ $p$ दबाव में परिवर्तन है और $\Delta V / V$ आयतन विकृति है।
दिया गया है,बल्क मॉडुलस $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$ है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$ है।
चूँकि हम आयतन में वृद्धि कर रहे हैं,इसलिए दबाव में परिवर्तन $p$ ऋणात्मक होगा (तनाव),लेकिन हमें आवश्यक दबाव का परिमाण ज्ञात करना है।
परिमाण का उपयोग करते हुए: $p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$।
मान रखने पर: $p = (2 \times 10^9) \times (10^{-3})$।
$p = 2 \times 10^6 \ N/m^2$।

(B) बल्क मॉडुलस $(B)$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
ठोसों का बल्क मॉडुलस गैसों की तुलना में बहुत अधिक होता है क्योंकि वे सघन रूप से पैक होते हैं और आयतन परिवर्तन का विरोध करते हैं।
इसलिए,ठोस सबसे कम संपीड्य होते हैं,जबकि गैसें सबसे अधिक संपीड्य होती हैं।
कथन $(B)$ दावा करता है कि गैसें सबसे कम संपीड्य हैं,जो गलत है।
ठोसों की असंपीड्यता पड़ोसी परमाणुओं के बीच मजबूत अंतर-परमाणु बलों (मजबूत बंधन) के कारण होती है।
संपीड्यता को बल्क मॉडुलस के व्युत्क्रम $(K = 1/B)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(A) बल्क मापांक $k$ को $k = -\frac{p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$ होता है।
यह दिया गया है कि घनत्व $0.01 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ है।
अतः,$-\frac{\Delta V}{V} = 10^{-4}$ है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर: $p = k \times \left( -\frac{\Delta V}{V} \right)$.
$p = k \times 10^{-4} = \frac{k}{10000}$.

(B) बल्क मापांक $B$ को दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ और आयतन विकृति $-\frac{\Delta V}{V}$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta P = 6.3 \times 10^7 \text{ N/m}^2$ और $B = 2.1 \times 10^9 \text{ N/m}^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{6.3 \times 10^7}{2.1 \times 10^9} = 3 \times 10^{-2} = 0.03$ है।
प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें: $0.03 \times 100 = 3\%$।