Bulk Modulus Questions in Hindi

(A) आयतन मापांक $(B)$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$ द्वारा दिया जाता है।
दबाव में एक निश्चित परिवर्तन $(\Delta P)$ के लिए,गैसें ठोस और तरल पदार्थों की तुलना में आयतन में बहुत बड़ा परिवर्तन $(\Delta V)$ अनुभव करती हैं क्योंकि गैस के अणु ढीले ढंग से व्यवस्थित होते हैं।
चूंकि $B$,आयतन में आंशिक परिवर्तन $(\Delta V / V)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए एक बड़ा $\Delta V$ होने के कारण $B$ का मान बहुत छोटा प्राप्त होता है।
अतः,ठोस और तरल पदार्थों की तुलना में गैसों में न्यूनतम आयतन प्रत्यास्थता होती है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
$V^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर,हमें $P\gamma + V \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हम $-V \frac{dP}{dV} = \gamma P$ प्राप्त करते हैं।
रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $K_a$ को रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus) के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $K_a = -V \frac{dP}{dV}$ है।
अतः,$K_a = \gamma P$।

(D) तरल पदार्थ (द्रव और गैस) अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) को सहन नहीं कर सकते हैं,जिसका अर्थ है कि उनके आकार में परिवर्तन के प्रति उनका कोई प्रतिरोध नहीं होता है। इसलिए,यंग मापांक,अपरूपण मापांक और दृढ़ता मापांक तरल पदार्थों पर लागू नहीं होते हैं।
तरल पदार्थ केवल आयतन में परिवर्तन का विरोध कर सकते हैं जब उन पर सभी तरफ से समान दबाव डाला जाता है। इस गुण को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक या बल्क मापांक $(B)$ द्वारा वर्णित किया जाता है,जिसे आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
अतः,तरल पदार्थों पर लागू होने वाला एकमात्र प्रत्यास्थता गुणांक बल्क मापांक है।

(A) संपीड्यता $C$ को बल्क मॉडुलस $K$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $C = \frac{1}{K} = \frac{\Delta V / V}{\Delta P}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta V = C \times \Delta P \times V$ प्राप्त होता है।
दिया गया है:
संपीड्यता $C = 4 \times 10^{-5} \ atm^{-1}$,
प्रारंभिक आयतन $V = 100 \ cm^3$,
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 100 \ atm$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta V = (4 \times 10^{-5}) \times 100 \times 100$
$\Delta V = 4 \times 10^{-5} \times 10^4$
$\Delta V = 4 \times 10^{-1} = 0.4 \ cm^3$.
अतः,आयतन में होने वाली कमी $0.4 \ cm^3$ है।

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus) $K$ को दाब में परिवर्तन $\Delta P$ और आयतन विकृति $\Delta V/V$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
गहराई $h = 200 \ m$
पानी का घनत्व $\rho = 1 \times 10^3 \ kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$
$h$ गहराई पर दाब में परिवर्तन $\Delta P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta P = 200 \times 10^3 \times 10 = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.
अब,बल्क मॉडुलस $K$ की गणना करें:
$K = \frac{\Delta P}{\Delta V/V} = \frac{2 \times 10^6}{10^{-3}} = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) बल्क मॉडुलस $(K)$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $K = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$.
संपीड्यता को बल्क मॉडुलस के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,संपीड्यता $= \frac{1}{K} = -\frac{\Delta V/V}{\Delta P}$.
यह दबाव में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में होने वाले आंशिक परिवर्तन को दर्शाता है।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,दाब में परिवर्तन $\Delta P = 100 \text{ atm}$ है।
हम जानते हैं कि $1 \text{ atm} \approx 10^6 \text{ dyne/cm}^2$,इसलिए $\Delta P = 100 \times 10^6 = 10^8 \text{ dyne/cm}^2$ है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.01\% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$K = \frac{10^8}{10^{-4}} = 10^{12} \text{ dyne/cm}^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) पदार्थ की तीनों अवस्थाओं (ठोस,द्रव और गैस) के लिए लागू होने वाला प्रत्यास्थता गुण बल्क मापांक ($B$ या $K$) है।
बल्क मापांक को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र $B = -\frac{dp}{dv/v}$ है,जहाँ $dp$ दबाव में परिवर्तन है और $dv/v$ आयतन विकृति है।
चूंकि द्रव और गैसें दबाव में केवल आयतन में परिवर्तन का विरोध कर सकते हैं,इसलिए उनमें बल्क मापांक होता है,जबकि यंग मापांक और दृढ़ता मापांक केवल ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं।

(C) बल्क मॉडुलस की अवधारणा,जो किसी पदार्थ के समान संपीड़न (uniform compression) के प्रति प्रतिरोध को दर्शाती है,को सबसे पहले भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा परिभाषित और प्रस्तुत किया गया था।

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ का सूत्र $B = \frac{\Delta p}{\Delta V/V}$ है।
यहाँ,$h$ गहराई पर दाब में परिवर्तन $\Delta p = h \rho g$ होता है।
दिया गया है: $h = 200 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$ (पानी का घनत्व),$g = 9.8 \ m/s^2$,और $\frac{\Delta V}{V} = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$।
मान रखने पर:
$B = \frac{200 \times 10^3 \times 9.8}{10^{-3}}$
$B = \frac{19.6 \times 10^5}{10^{-3}}$
$B = 19.6 \times 10^8 \ N/m^2$।

(C) आदर्श गैस का समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K_i)$ गैस के दाब $(P)$ के बराबर होता है।
वायुमंडलीय दाब पर गैस के लिए,दाब $P = 1\,atm$ होता है।
हम जानते हैं कि $1\,atm = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$ होता है।
अतः,समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K_i = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$ होगा।

(C) समतापीय प्रक्रिया से गुजरने वाली एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $pV = \text{constant}$ है。
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $p + V(dp/dV) = 0$ प्राप्त होता है。
इसका अर्थ है कि $p = -V(dp/dV)$。
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V(dp/dV)$ के रूप में परिभाषित किया गया है。
इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि $B = p$。
अतः, एक आदर्श गैस का समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक उसके दबाव $p$ के बराबर होता है。

(D) बल्क मापांक $(K)$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन में आंशिक परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$।
यहाँ,प्रारंभिक दबाव $P_1 = 1.01 \times 10^5 \ Pa$ और अंतिम दबाव $P_2 = 1.165 \times 10^5 \ Pa$ है।
दबाव में परिवर्तन $\Delta p = P_2 - P_1 = (1.165 - 1.01) \times 10^5 \ Pa = 0.155 \times 10^5 \ Pa$ है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 10\% = 0.1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{0.155 \times 10^5}{0.1} = 1.55 \times 10^5 \ Pa$।

(B) बल्क मॉड्युलस $B$ को $B = -V_0 \frac{\Delta p}{\Delta V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $\Delta V = -V_0 \frac{\Delta p}{B}$।
चूंकि $V = V_0 + \Delta V$,इसलिए $V = V_0 \left[ 1 - \frac{\Delta p}{B} \right]$ होगा।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{V_0 [1 - \frac{\Delta p}{B}]} = \rho_0 [1 - \frac{\Delta p}{B}]^{-1}$।
द्विपद सन्निकटन $(1 - x)^{-1} \approx 1 + x$ का उपयोग करने पर,हमें $\rho = \rho_0 [1 + \frac{\Delta p}{B}]$ प्राप्त होता है।
$y$ गहराई पर दबाव का अंतर $\Delta p = \rho_0 gy$ है।
इस मान को रखने पर,$\rho = \rho_0 [1 + \frac{\rho_0 gy}{B}]$ प्राप्त होता है।

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,एक आदर्श गैस का अवस्था समीकरण $PV = \text{स्थिरांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $P = -V \frac{dP}{dV}$।
अतः,समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B_T = P$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = \text{नियतांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P + V(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $P = -V(dP/dV)$।
समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $E_{\theta}$ को $E_{\theta} = -V(dP/dV)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए, $E_{\theta} = P$।
सामान्य दाब पर, $P = 1.013 \times 10^5 \ N/m^2$ होता है।
अतः, समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $1.013 \times 10^5 \ N/m^2$ है।

(C) दिया गया है: दबाव $P = 100 \, atm = 100 \times 1.013 \times 10^5 \, N/m^2 \approx 10^7 \, N/m^2$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
बल्क मॉडुलस $K$ को $K = \frac{P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $K = \frac{10^7}{10^{-4}} = 10^{11} \, N/m^2$.
चूंकि $1 \, N/m^2 = 10 \, dyne/cm^2$,इसलिए $K = 10^{11} \times 10 \, dyne/cm^2 = 1 \times 10^{12} \, dyne/cm^2$.

(B) समतापीय बल्क मापांक को $E_\theta = -V (dP/dV)_\theta = P$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ होता है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^\gamma (dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $dP/dV = -\gamma P/V$ मिलता है।
रुद्धोष्म बल्क मापांक $E_\phi = -V (dP/dV)_\phi = -V(-\gamma P/V) = \gamma P$ होता है।
चूंकि $E_\theta = P$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर $E_\phi = \gamma E_\theta$ प्राप्त होता है।

(A) $h$ गहराई पर दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h = 200 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$ (पानी का घनत्व),$g = 9.8 \ m/s^2$।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.1\% = 0.001$ है।
बल्क मापांक $K$ का सूत्र $K = \frac{P}{\Delta V/V}$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{200 \times 10^3 \times 9.8}{0.001}$।
$K = \frac{19.6 \times 10^5}{10^{-3}} = 19.6 \times 10^8 \ N/m^2$।

(B) बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया दबाव समीकरण $P = P_0 e^{\alpha V}$ है।
आयतन $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dV} = P_0 e^{\alpha V} \cdot \alpha = P \cdot \alpha$.
अब,इस मान को बल्क मॉडुलस के सूत्र में रखने पर:
$K = -V \frac{dP}{dV} = -V (P \alpha) = -\alpha PV$.
बल्क मॉडुलस के लिए परिमाण (magnitude) लेने पर:
$K = \alpha PV$.

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dp}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दाब में छोटे परिवर्तन $p$ के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = -\frac{pV}{B}$ होता है।
नया आयतन $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{B} = V(1 - \frac{p}{B})$ होगा।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,नया घनत्व $\rho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{B})}$ होगा।
$\rho = \frac{m}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\rho^{\prime} = \frac{\rho}{1 - \frac{p}{B}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{B}}$ होगा।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta V / V$ आयतन विकृति है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\Delta V = 4 \pi r^2 \Delta r$ प्राप्त होता है।
आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
इस मान को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के सूत्र में रखने पर:
$B = -\frac{P}{3 \Delta r / r}$.
त्रिज्या में भिन्नात्मक कमी $(-\frac{\Delta r}{r})$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$-\frac{\Delta r}{r} = \frac{P}{3B}$.

(C) दिया गया है:
महासागर की गहराई,$d = 2700 \, m$
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$
पानी की संपीड़यता,$K = 45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
महासागर के तल पर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \rho gd$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta P = 10^3 \times 10 \times 2700 = 27 \times 10^6 \, Pa$.
संपीडयता $K$ को बल्क मापांक (Bulk Modulus) $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $K = \frac{1}{B}$।
चूंकि $B = \frac{\Delta P}{(\Delta V/V)}$,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = K \times \Delta P$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}) \times (27 \times 10^6 \, Pa)$
$\frac{\Delta V}{V} = 1225.8 \times 10^{-5} = 1.2258 \times 10^{-2} \approx 1.2 \times 10^{-2}$.

(A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $\Delta V = V' - V$,हमारे पास $B = -\frac{P}{(V' - V) / V} = -\frac{PV}{V' - V}$ है।
आयतन में परिवर्तन के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V' - V = -\frac{PV}{B}$,जिससे $V' = V(1 - \frac{P}{B})$ प्राप्त होता है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ होता है,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ और $V' = \frac{m}{\rho'}$ होगा।
इन मानों को आयतन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{m}{\rho'} = \frac{m}{\rho}(1 - \frac{P}{B})$।
अतः,$\frac{1}{\rho'} = \frac{1}{\rho}(1 - \frac{P}{B})$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{1}{1 - P/B}$।

(B) संपीड्यता को दबाव में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,संपीड्यता $\sigma = \frac{1}{V} \cdot \frac{\Delta V}{P}$ है।
यह दिया गया है कि $\sigma$ प्रति इकाई वायुमंडलीय दबाव पर संपीड्यता है,इसलिए हमारे पास संबंध $\sigma = \frac{\Delta V}{V \cdot P}$ है।
आयतन में कमी $\Delta V$ के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta V = \sigma \cdot V \cdot P$ या $\sigma PV$।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\delta V}{V} = 3 \frac{\delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
पिस्टन द्वारा तरल पर लगाया गया दबाव $P = \frac{mg}{A}$ है।
बल्क मॉडुलस की परिभाषा के अनुसार,$K = -\frac{P}{\delta V / V}$ होता है।
$P$ और $\frac{\delta V}{V}$ के व्यंजक रखने पर,हमें $K = -\frac{mg/A}{3 \delta R / R}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में आंशिक परिवर्तन के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{\delta R}{R} = -\frac{mg}{3AK}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न संपीड़न के कारण त्रिज्या में कमी को दर्शाता है।

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $P$ हाइड्रोस्टेटिक दबाव है।
प्रसार को रोकने के लिए,थर्मल स्ट्रेन को कंप्रेसिव स्ट्रेन द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
आयतन का थर्मल प्रसार $\Delta V = V \cdot 3\alpha \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
इस प्रकार,आयतन विकृति (volumetric strain) $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha \Delta T$ है।
इसे बल्क मापांक के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{P}{3\alpha \Delta T}$।
दबाव $P$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $P = 3 B \alpha \Delta T$।
दिए गए मान: $B = 1.4 \times 10^{11} \ Pa$,$\alpha = 1.7 \times 10^{-5} (^{\circ}C)^{-1}$,और $\Delta T = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10^{\circ}C$।
$P$ की गणना करने पर: $P = 3 \times (1.4 \times 10^{11}) \times (1.7 \times 10^{-5}) \times 10 = 7.14 \times 10^7 \ Pa \approx 7.1 \times 10^7 \ Pa$।

(B) पिस्टन पर $m$ द्रव्यमान द्वारा तरल पर लगाया गया दबाव $\Delta P = \frac{mg}{a}$ है।
बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक गोले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta r}{r}$ है।
इन मानों को बल्क मॉडुलस के सूत्र में रखने पर: $K = -\frac{mg/a}{3(\Delta r/r)}$.
त्रिज्या में आंशिक कमी $\left| \frac{\Delta r}{r} \right|$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{\Delta r}{r} = \frac{mg}{3Ka}$ प्राप्त होता है।

(A) बल्क मॉडुलस $K$ को दबाव में परिवर्तन और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$K = \frac{P}{\left( \frac{-\Delta V}{V} \right)} \Rightarrow \frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{K}$
जहाँ $\Delta V$ दबाव $P$ के कारण आयतन में कमी है।
जब घन को $\Delta t$ तापमान तक गर्म किया जाता है,तो थर्मल विस्तार के कारण इसका आयतन बढ़ जाता है:
$\Delta V = V_0 \gamma \Delta t$
जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $V_0$ प्रारंभिक आयतन है।
एक ठोस के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
घन को उसके मूल आकार में वापस लाने के लिए,गर्म करने के कारण आयतन में वृद्धि दबाव के कारण आयतन में कमी के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{\Delta V}{V_0} = \gamma \Delta t = 3\alpha \Delta t$
आयतन विकृति के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{P}{K} = 3\alpha \Delta t$
तापमान परिवर्तन $\Delta t$ के लिए हल करने पर:
$\Delta t = \frac{P}{3\alpha K}$

(A) तरल में अनुदैर्ध्य तरंगों की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ बल्क मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 2.7 \ g/cm^3 = 2.7 \times 10^3 \ kg/m^3$.
गति $v = 5.4 \ km/s = 5.4 \times 10^3 \ m/s$.
$B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B = \rho v^2$
मान रखने पर:
$B = (2.7 \times 10^3) \times (5.4 \times 10^3)^2$
$B = 2.7 \times 10^3 \times 29.16 \times 10^6$
$B = 78.732 \times 10^9 \ Pa$
$B \approx 7.9 \times 10^{10} \ Pa$.

(B) बल्क मापांक $\beta$ को $\beta = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है $\Delta P = 100 \, kPa = 10^5 \, Pa$ और आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 5 \times 10^{-3} \% = \frac{5 \times 10^{-3}}{100} = 5 \times 10^{-5}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\beta = \frac{10^5}{5 \times 10^{-5}} = 0.2 \times 10^{10} = 2 \times 10^9 \, Pa$ प्राप्त होता है।
तरल में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho}}$ है,जहाँ $\rho = 10^3 \, kg/m^3$ है।
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10^9}{10^3}} = \sqrt{2 \times 10^6} = 1000 \sqrt{2} \approx 1414 \, m/s$।

(A) $h$ गहराई पर झील में पानी का दबाव हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = h\rho g$।
यह दबाव पानी पर प्रतिबल (stress) के रूप में कार्य करता है।
प्रतिबल के तहत किसी पदार्थ में संग्रहीत ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$।
चूंकि बल्क मापांक $K = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$,इसलिए $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{K}$ होता है।
इसे ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \frac{\text{stress}}{K} = \frac{1}{2} \frac{(\text{stress})^2}{K}$।
यह दिया गया है कि संपीड्यता $\sigma = \frac{1}{K}$,इसलिए हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $u = \frac{1}{2} \sigma (\text{stress})^2$।
दबाव $P = h\rho g$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $u = \frac{1}{2} \sigma (h\rho g)^2$।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \rho V$ स्थिर है,अवकलन करने पर $\rho \Delta V + V \Delta \rho = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$।
इस मान को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{P}{B}$ प्राप्त होता है।
$h$ गहराई पर दबाव $P = \rho_{sea} g h$ है।
यहाँ $\rho_{sea} = 1.025 \times 10^3 \, kg/m^3$,$g = 10 \, m/s^2$,$h = 1000 \, m$,और $B = 1.6 \times 10^9 \, Pa$ $(1.6 \times 10^6 \, kPa = 1.6 \times 10^9 \, Pa)$ है।
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{1.025 \times 10^3 \times 10 \times 1000}{1.6 \times 10^9} = \frac{1.025 \times 10^7}{1.6 \times 10^9} = 0.6406 \times 10^{-2} \approx 0.0064$।
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.64 \%$।

(B) बल्क मॉडुलस $K$ को $K = \frac{\Delta P}{-\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = -0.1\% = -\frac{0.1}{100} = -10^{-3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$9.1 \times 10^8 = \frac{h \times 10^3 \times 10}{10^{-3}}$.
$9.1 \times 10^8 = h \times 10^7$.
$h = \frac{9.1 \times 10^8}{10^7} = 91 \, m$.

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ का सूत्र है: $B = \frac{\Delta P}{-\Delta V / V}$.
दबाव में परिवर्तन के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta P = B \times \left( -\frac{\Delta V}{V} \right)$.
यह दिया गया है कि आयतन में $0.004\%$ की कमी होती है,इसलिए आयतन विकृति $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{0.004}{100} = 4 \times 10^{-5}$ है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2100\,MPa = 2100 \times 10^6\,Pa = 2.1 \times 10^9\,Pa$.
मान रखने पर: $\Delta P = (2.1 \times 10^9\,Pa) \times (4 \times 10^{-5})$.
$\Delta P = 8.4 \times 10^4\,Pa = 84 \times 10^3\,Pa = 84\,kPa$.

(D) $h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h = 100\, m$,$\rho = 10^3\, kg/m^3$ (पानी का घनत्व),$g = 10\, m/s^2$,और आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{-\Delta V}{V} = 0.1\% = 0.001 = 10^{-3}$ है।
बल्क मापांक $\beta$ को $\beta = \frac{\Delta P}{(-\Delta V/V)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{100 \times 10^3 \times 10}{10^{-3}} = \frac{10^6}{10^{-3}} = 10^9\, N/m^2$.

(B) बल्क मापांक $(B)$ का सूत्र $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V} = -\frac{V \Delta P}{\Delta V}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V = 1.5\,L = 1.5 \times 10^{-3}\,m^3$.
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 140\,kPa = 140 \times 10^3\,Pa$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = -0.2\,mL = -0.2 \times 10^{-6}\,m^3$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B = -\frac{1.5 \times 10^{-3} \times 140 \times 10^3}{-0.2 \times 10^{-6}}$
$B = \frac{210}{0.2 \times 10^{-6}} = 1050 \times 10^6\,Pa = 1.05 \times 10^9\,Pa$.

(C) बल्क मॉडुलस $B$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$B = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$
जहाँ $\Delta p$ दबाव में परिवर्तन है और $\Delta V / V$ आयतन विकृति है।
असंपीड्य द्रव के लिए,दबाव डालने पर भी आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta V = 0$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B = -\frac{\Delta p}{0 / V} = \infty$
अतः,असंपीड्य द्रव के लिए बल्क मॉडुलस अनंत होता है।

(D) कॉर्क के आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_{initial} - V_{final} = \pi (a + \Delta a)^2 b - \pi a^2 b \approx \pi (a^2 + 2a \Delta a) b - \pi a^2 b = 2\pi a b \Delta a$ है।
आयतन विकृति (volumetric strain) $\frac{\Delta V}{V} = \frac{2\pi a b \Delta a}{\pi a^2 b} = \frac{2 \Delta a}{a}$ है।
कॉर्क द्वारा बोतल की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = B \times \text{volumetric strain} = B \left( \frac{2 \Delta a}{a} \right)$ है।
कॉर्क द्वारा बोतल के मुख की आंतरिक सतह पर लगाया गया अभिलंब बल $N = P \times A_{surface} = \left( \frac{2B \Delta a}{a} \right) \times (2\pi a b) = 4\pi B b \Delta a$ है।
कॉर्क को अंदर धकेलने के लिए आवश्यक घर्षण बल $f = \mu N = \mu (4\pi B b \Delta a) = (4\pi \mu B b) \Delta a$ है।

(A) बल्क मॉडुलस $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है कि आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ है।
दबाव में निरंतर परिवर्तन $\Delta P$ के लिए,आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V}$ बल्क मॉडुलस $B$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात,$\frac{\Delta V}{V} \propto \frac{1}{B}$)।
दिए गए बल्क मॉडुलस:
$B_{\text{ethanol}} = 0.9 \times 10^9 \, Nm^{-2}$
$B_{\text{water}} = 2.2 \times 10^9 \, Nm^{-2}$
$B_{\text{mercury}} = 25 \times 10^9 \, Nm^{-2}$
चूंकि $B_{\text{ethanol}} < B_{\text{water}} < B_{\text{mercury}}$,इसलिए आंशिक संपीड़न का क्रम इस प्रकार होगा:
$\left( \frac{\Delta V}{V} \right)_{\text{ethanol}} > \left( \frac{\Delta V}{V} \right)_{\text{water}} > \left( \frac{\Delta V}{V} \right)_{\text{mercury}}$
अतः,सही क्रम इथेनॉल $>$ पानी $>$ पारा है।

(D) बल्क मापांक $(B)$ को दबाव में परिवर्तन $(P)$ और आयतन में आंशिक परिवर्तन $(\frac{\Delta V}{V})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$B = \frac{P}{\Delta V / V}$
आयतन में आंशिक परिवर्तन ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B}$
दी गई मान:
$P = 10 \, atm = 10 \times 10^5 \, N \, m^{-2} = 10^6 \, N \, m^{-2}$
$B = 37 \times 10^9 \, N \, m^{-2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{10^6}{37 \times 10^9}$
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{37} \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} \approx 0.027027 \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} = 2.7 \times 10^{-5}$

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ का सूत्र $B = \frac{\Delta P}{-\Delta V / V}$ है।
दबाव में परिवर्तन के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta P = B \times \left( -\frac{\Delta V}{V} \right)$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि आयतन में $0.004\%$ की कमी होती है,इसलिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{-\Delta V}{V} = \frac{0.004}{100} = 4 \times 10^{-5}$ है।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 2100 \ MPa = 2100 \times 10^6 \ Pa$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta P = (2100 \times 10^6 \ Pa) \times (4 \times 10^{-5})$
$\Delta P = 84000 \ Pa = 84 \ kPa$.

(B) बल्क मॉडुलस $K$ को $K = \frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ, $h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \, kg/m^3)$ है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण $(10 \, m/s^2)$ है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \, \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$9.1 \times 10^8 = \frac{10^3 \times 10 \times h}{10^{-3}}$
$9.1 \times 10^8 = \frac{10^4 \times h}{10^{-3}}$
$9.1 \times 10^8 = 10^7 \times h$
$h = \frac{9.1 \times 10^8}{10^7} = 9.1 \times 10 = 91 \, m$.

(D) मान लीजिए कि घन की भुजा $L$ है। घन का आयतन $V = L^3$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{dV}{V} = 3 \frac{dL}{L}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि भुजा $1\%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{dL}{L} = -0.01$ है।
अतः,आयतन में आंशिक परिवर्तन (आयतन विकृति) $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times (-0.01) = -0.03$ है।
आयतन विकृति का परिमाण $|\frac{\Delta V}{V}| = 0.03$ है।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta P$ दबाव में परिवर्तन है,$V$ प्रारंभिक आयतन है,और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
$\Delta V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\Delta V = -\frac{\Delta P \cdot V}{B}$.
प्रारंभिक आयतन $V = (60\, mm)^3 = 216000\, mm^3 = 2.16 \times 10^5\, mm^3$.
दिया गया है $\Delta P = 2.5 \times 10^7\, Pa$ और $B = 1.25 \times 10^{11}\, N/m^2$.
मान रखने पर: $\Delta V = -\frac{2.5 \times 10^7}{1.25 \times 10^{11}} \times (60\, mm)^3$.
$\Delta V = -2 \times 10^{-4} \times 216000\, mm^3 = -43.2\, mm^3$.

(A) बल्क मापांक $B$ को आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$.
संपीड्यता $\sigma$ बल्क मापांक का व्युत्क्रम है: $\sigma = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V / V}{P}$.
यह दिया गया है कि दबाव $P$ के कारण आयतन $V$ में कमी आती है,इसलिए हम आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ का परिमाण लेते हैं: $\sigma = \frac{\Delta V}{PV}$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta V = \sigma PV$.

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (bulk modulus) $(B)$ को हाइड्रोलिक प्रतिबल और आयतन विकृति (volumetric strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$B = \frac{\text{Stress}}{\text{Volumetric Strain}} = \frac{\text{Stress}}{\Delta V / V}$
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $(\Delta V / V)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\text{Stress}}{B}$
चूंकि हाइड्रोलिक प्रतिबल स्थिर है,इसलिए आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन और आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{\Delta V}{V} \propto \frac{1}{B}$

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ का सूत्र $K = \frac{P}{\Delta V/V}$ है, जहाँ $P$ दाब में परिवर्तन है, $V$ प्रारंभिक आयतन है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है。
$\Delta V$ के लिए हल करने पर, $\Delta V = \frac{PV}{K}$ प्राप्त होता है。
गहराई $h$ पर दाब $P = h\rho g = 200 \times 10^3 \times 10 = 2 \times 10^6\, N/m^2$ है。
बल्क मॉडुलस $K = 22000\, \text{atm} = 22000 \times 10^5 = 2.2 \times 10^9\, N/m^2$ है。
$V = 1\, m^3$ मान रखने पर:
$\Delta V = \frac{2 \times 10^6 \times 1}{2.2 \times 10^9} = \frac{2}{2200} = \frac{1}{1100} \approx 9.09 \times 10^{-4}\, m^3$.
अतः, आयतन में परिवर्तन लगभग $9.1 \times 10^{-4}\, m^3$ है。

(A) समुद्र के तल पर $3000\; m$ पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $p = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: गहराई $h = 3000\; m$,पानी का घनत्व $\rho = 1000\; kg\; m^{-3}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\; m s^{-2}$।
$p = 3000\; m \times 1000\; kg\; m^{-3} \times 10\; m s^{-2} = 3 \times 10^{7}\; N m^{-2}$।
बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{3 \times 10^{7}\; N m^{-2}}{2.2 \times 10^{9}\; N m^{-2}} \approx 1.36 \times 10^{-2}$।
अतः,आंशिक संपीड़न $1.36 \times 10^{-2}$ है।

(N/A) प्रारंभिक आयतन,$V_{1} = 100.0 \; L = 100.0 \times 10^{-3} \; m^{3}$।
अंतिम आयतन,$V_{2} = 100.5 \; L = 100.5 \times 10^{-3} \; m^{3}$।
आयतन में परिवर्तन,$\Delta V = V_{2} - V_{1} = 0.5 \times 10^{-3} \; m^{3}$।
दबाव में वृद्धि,$\Delta p = 100.0 \; atm = 100 \times 1.013 \times 10^{5} \; Pa = 1.013 \times 10^{7} \; Pa$।
बल्क मॉडुलस $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V_{1}} = \frac{\Delta p \cdot V_{1}}{\Delta V}$।
$B = \frac{1.013 \times 10^{7} \times 100.0 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{1.013 \times 10^{6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 2.026 \times 10^{9} \; Pa$।
हवा का बल्क मॉडुलस लगभग $1.0 \times 10^{5} \; Pa$ होता है।
पानी और हवा के बल्क मॉडुलस का अनुपात $\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}} \approx 2.026 \times 10^{4}$ है।
यह अनुपात बहुत अधिक है क्योंकि पानी एक तरल है और लगभग असंपीड्य (incompressible) है,जबकि हवा एक गैस है और बड़े अंतर-आणविक स्थानों के कारण अत्यधिक संपीड्य है।