Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 500 \,m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \,K$.
$P_2 = 0.5 \,atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \,K$.
આપણે $V_2$ શોધવાનું છે.
સૂત્રને ગોઠવતા: $V_2 = V_1 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_2 = 500 \times \frac{1}{0.5} \times \frac{270}{300}$.
$V_2 = 500 \times 2 \times 0.9 = 900 \,m^3$.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $P V = n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $n = \frac{m_{total}}{M}$,$m_{total}$ એ કુલ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $P V = \frac{m_{total}}{M} R T$ થાય.
ઘનતા $\rho = \frac{m_{total}}{V}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{\rho R T}{M}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = N_A K$,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા અને મોલર દળ $M = N_A m$ (જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે) લેતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{\rho (N_A K) T}{N_A m} = \frac{\rho K T}{m}$.
ઘનતા $\rho$ માટે ઉકેલતા,$\rho = \frac{P m}{K T}$ મળે છે.

(A) દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કદ $V$ નું પરિમાણ $[L^3]$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $PV$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [L^3] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
ઉર્જા (કાર્ય) નું પરિમાણ $[M^1 L^2 T^{-2}]$ હોવાથી,$PV$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ સમાન છે.

(D) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$. તો અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ} C$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 327^{\circ} C - 27^{\circ} C = 300^{\circ} C$ થાય.

(A) અચળ કદના બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,ગે-લ્યુસેકનો નિયમ જણાવે છે કે $P \propto T$,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$.
આપેલ છે કે દબાણમાં $1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dP}{P} = 0.01$.
આપેલ છે કે તાપમાનમાં $dT = 1 \ K$ નો વધારો થાય છે (કારણ કે $1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $1 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.01 = \frac{1}{T}$.
તેથી,$T = \frac{1}{0.01} = 100 \ K$.

(C) આપેલ છે કે પાત્રનું કદ અચળ છે, તેથી આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું, જે મુજબ નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે $P \propto T$ થાય છે।
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 20 \,atm$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$.
પાત્ર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ દબાણ $P_2 = 100 \,atm$.
સંબંધ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધીએ છીએ કે જેના પર પાત્ર ફાટી જશે:
$T_2 = \frac{P_2 \times T_1}{P_1} = \frac{100 \,atm \times 300 \,K}{20 \,atm} = 5 \times 300 \,K = 1500 \,K$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અહીં કદ $V$ અચળ છે અને વાયુનો જથ્થો $n$ પણ અચળ છે,તેથી $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V} = \text{અચળ}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto T$.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,જો દબાણ $2 \%$ વધે,તો પ્રમાણ જાળવી રાખવા માટે તાપમાન પણ $2 \%$ વધવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_i = 100 \ cc$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_i = 760 \ mm$ $Hg$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 30^{\circ} C$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 30^{\circ} C$ (કારણ કે તાપમાન અચળ રહે છે).
અંતિમ દબાણ $P_f = 400 \ mm$ $Hg$.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_i V_i = P_f V_f$.
કિંમતો મૂકતા: $760 \times 100 = 400 \times V_f$.
$V_f$ માટે ઉકેલતા: $V_f = \frac{760 \times 100}{400}$.
$V_f = \frac{76000}{400} = 190 \ cc$.

(D) બંને પરિસ્થિતિઓમાં વાયુનો જથ્થો સમાન રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 4 \ atm$,$V_1 = 1500 \ m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$P_2 = 2 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4 \times 1500}{300} = \frac{2 \times V_2}{270}$.
$20 = \frac{V_2}{135}$.
$V_2 = 20 \times 135 = 2700 \ m^3$.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = 2 \ Pa$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ દબાણ $p_2 = 2 \times p_1 = 4 \ Pa$
અંતિમ કદ $V_2 = 2 \times V_1 = 2V$
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times V}{300} = \frac{4 \times 2V}{T_2}$
$\frac{2V}{300} = \frac{8V}{T_2}$
$T_2 = \frac{8V \times 300}{2V} = 4 \times 300 = 1200 \ K$
આમ,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $1200 \ K$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ સહગુણક $\alpha$ ને $\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $V = \frac{nRT}{P}$ પરથી,આપણને $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}$ મળે છે. આમ,$\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$.
દબાણ સહગુણક $\beta$ ને $\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $P = \frac{nRT}{V}$ પરથી,આપણને $\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{nR}{V}$ મળે છે. આમ,$\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{nR}{V} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\alpha = \beta = \frac{1}{T}$.

(C) આપેલ છે,પ્રારંભિક દબાણ,$p_i = p$.
અંતિમ દબાણ,$p_f = \frac{p}{2}$.
પ્રારંભિક તાપમાન,$T = 400 \ K$.
અંતિમ તાપમાન,$T' = 300 \ K$.
વાયુનું પ્રારંભિક દળ,$m = 6 \ g$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$pV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $pV = \frac{m}{M}RT$ $(i)$.
અંતિમ સ્થિતિ: $p'V = \frac{m'}{M}RT'$ (ii).
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{p'V}{pV} = \frac{m'RT' / M}{mRT / M} \implies \frac{p'}{p} = \frac{m'T'}{mT}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p/2}{p} = \frac{m' \times 300}{6 \times 400} \implies \frac{1}{2} = \frac{m' \times 3}{6 \times 4} = \frac{m'}{8}$.
$m' = \frac{8}{2} = 4 \ g$.
બહાર નીકળેલ ઓક્સિજનનું દળ,$\Delta m = m - m' = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 251 \,cm^3$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20^{\circ} C = 273 + 20 = 293 \,K$,પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = 78 \,cm$ $Hg$.
$NTP$ પર,પ્રમાણિત શરતો છે: તાપમાન $T_2 = 273 \,K$ અને દબાણ $p_2 = 76 \,cm$ $Hg$.
સંયુક્ત વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$V_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_2 = \frac{78 \times 251 \times 273}{76 \times 293} \approx 240 \,cm^3$.
નોંધ: જો ગણતરીમાં $T_2 = 293 \,K$ લેવામાં આવે તો જવાબ $263.8 \,cm^3$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{N}{N_A} RT$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
તેથી,$N = \frac{PVN_A}{RT}$.
પાત્ર $A$ માટે: $N_A = \frac{p_A V_A N_A}{R T_A}$.
પાત્ર $B$ માટે: $N_B = \frac{p_B V_B N_A}{R T_B}$.
આપેલ છે: $V_B = 2V_A$,$p_B = 3p_A$,અને $T_B = \frac{T_A}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B}$ લેતા:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{p_A V_A}{R T_A} \cdot \frac{R T_B}{p_B V_B} = \frac{p_A V_A}{T_A} \cdot \frac{T_A / 2}{3p_A \cdot 2V_A} = \frac{1}{T_A} \cdot \frac{T_A}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{12}$.
તેથી,ગુણોત્તર $N_A : N_B = 1:12$ છે.

(B) આપેલ છે:
$T_1 = (273 + 20) \ K = 293 \ K$
$p_1 = 90 \ cm \ Hg$
$p_2 = 75 \ cm \ Hg$
વાયુનું કદ અચળ હોવાથી,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$
$\Rightarrow T_2 = \frac{T_1 \times p_2}{p_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = \frac{293 \times 75}{90} \ K$
$T_2 = 244.16 \ K$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ}C) = 244.16 - 273 = -28.84^{\circ} C \approx -28.8^{\circ} C$

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે અને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,કદ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$V_1 = 2 \ L$
$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ પર)
$V_2 = 2 \times V_1 = 4 \ L$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \ L}{273 \ K} = \frac{4 \ L}{T_2}$
$T_2 = \frac{4 \times 273}{2} \ K$
$T_2 = 546 \ K$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વાયુઓ થર્મલ સંતુલનમાં હોવાથી,તેમના તાપમાન સમાન છે,તેથી $T_{A} = T_{B} = T$.
બંને કન્ટેનરમાં સમાન વાયુનું સમાન દળ છે,તેથી મોલની સંખ્યા $n$ બંને માટે સમાન છે,એટલે કે $n_{A} = n_{B} = n$.
બંને કન્ટેનર માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ લાગુ પાડતા:
કન્ટેનર $A$ માટે: $P_{A} V_{A} = nRT$
કન્ટેનર $B$ માટે: $P_{B} V_{B} = nRT$
જમણી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(nRT = nRT)$,આપણને $P_{A} V_{A} = P_{B} V_{B}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: હવાનું પ્રારંભિક કદ $V_0 = 0.75 \times 2 \times 10^{-3} \ m^3 = 1.5 \times 10^{-3} \ m^3$.
જ્યારે સવાર સાયકલ પર હોય ત્યારે ટાયરની અંદરનું કુલ દબાણ $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ અને ભારને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે: $P = P_0 + \frac{mg}{A} = 10^5 + \frac{120 \times 10}{24 \times 10^{-4}} = 10^5 + 5 \times 10^5 = 6 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
તાપમાન $T$ અચળ રહે છે તેમ ધારતા,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$:
$P_0 V_{initial} = P V_{final}$
$10^5 \times V_{initial} = 6 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}$
$V_{initial} = 12 \times 10^{-3} \ m^3$.
ઉમેરવા માટે જરૂરી હવાનું કદ $\Delta V = V_{initial} - V_0 = 12 \times 10^{-3} - 1.5 \times 10^{-3} = 10.5 \times 10^{-3} \ m^3$.
દરેક સ્ટ્રોક દીઠ કદ $v = 500 \ cm^3 = 500 \times 10^{-6} \ m^3 = 0.5 \times 10^{-3} \ m^3$.
સ્ટ્રોકની સંખ્યા $n = \frac{\Delta V}{v} = \frac{10.5 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} = 21$.

(D) ધારો કે નળાકારની કુલ લંબાઈ $L = 2l$ છે, જ્યાં $l$ એ દરેક બાજુની પ્રારંભિક લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં, બંને બાજુનું તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \,K$ છે.
એક બાજુને $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \,K$ સુધી ગરમ કર્યા પછી, પિસ્ટન $x = 5 \,cm$ જેટલું ખસે છે.
નવી લંબાઈઓ $l_1 = l + 5$ અને $l_2 = l - 5$ છે.
દબાણ અચળ રહેતું હોવાથી, ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોવાથી, $\frac{l+5}{l-5} = \frac{373}{273}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા: $\frac{(l+5) + (l-5)}{(l+5) - (l-5)} = \frac{373 + 273}{373 - 273}$.
$\frac{2l}{10} = \frac{646}{100}$.
$2l = \frac{646 \times 10}{100} = 64.6 \,cm$.
આમ, નળાકારની કુલ લંબાઈ $64.6 \,cm$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = (nR/V)T$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$ અને $x = T$ છે,આલેખનો ઢાળ $m = nR/V$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $m \propto 1/V$.
આપેલા આલેખ પરથી,$V_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ છે અને $V_4$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,$m_1 > m_2 > m_3 > m_4$.
જેમ કે $V \propto 1/m$,તેથી $V_1 < V_2 < V_3 < V_4$ થાય છે.

(A) આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ: $V_1 = 10 \,L$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \,K$,$p_1 = 12 \,atm$.
અંતિમ સ્થિતિઓ: $V_2 = 6 \,L$,$T_2 = (27 + 30)^{\circ} C = 57^{\circ} C = 330 \,K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$p_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $p_2 = \frac{12 \times 10 \times 330}{300 \times 6}$.
$p_2 = \frac{120 \times 330}{1800} = \frac{39600}{1800} = 22 \,atm$.

(B) અચળ તાપમાને વાયુના આપેલ દળ માટે બોઈલના નિયમ મુજબ, $PV = \text{અચળ} = k$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(PV) = \ln(k)$
$\ln(P) + \ln(V) = \ln(k)$
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા, જ્યાં $y = \ln(P)$ અને $x = \ln(V)$ છે:
$\ln(P) = -\ln(V) + \ln(k)$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને ઢાળ $m = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 15^{\circ} C = 15 + 273 = 288 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 35^{\circ} C = 35 + 273 = 308 \ K$.
ટાયરનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
દબાણના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{308}{288}$.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = \left( \frac{P_2}{P_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{308}{288} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{308 - 288}{288} \right) \times 100 = \frac{20}{288} \times 100 \approx 6.94 \%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આશરે ટકાવારી વધારો $7 \%$ છે.

(B) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 60^{\circ} C = 60 + 273 = 333 \ K$.
ધારો કે હવાનું પ્રારંભિક દળ $M$ છે. ગરમ કર્યા પછી,$\frac{1}{4}$ ભાગની હવા બહાર નીકળી જાય છે,તેથી બાકી રહેલું દળ $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ થાય.
પાત્ર ખુલ્લું હોવાથી,દબાણ $P$ અચળ રહે છે (વાતાવરણીય દબાણ જેટલું) અને પાત્રનું કદ $V$ અચળ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{M}{m}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ હવાનું મોલર દળ છે.
અહીં $P, V, R,$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$M_1 T_1 = M_2 T_2$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = \frac{333 \times 4}{3} = 111 \times 4 = 444 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $t = 444 - 273 = 171^{\circ} C$.

(B) ધારો કે નળાકારની કુલ લંબાઈ $L$ છે. શરૂઆતમાં, પિસ્ટન મધ્યબિંદુ પર છે, તેથી વાયુના સ્તંભની લંબાઈ $L_1 = L/2$ છે. પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \, K$ છે।
જ્યારે વાયુને $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \, K$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પિસ્ટન $5 \, cm$ ખસે છે. વાયુના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L_2 = (L/2) + 5$ થાય છે।
ધારી લઈએ કે દબાણ અચળ રહે છે (કારણ કે પિસ્ટન વજનરહિત છે અને મુક્તપણે હલનચલન કરે છે), આપણે ચાર્લ્સના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી, $V = A \times \text{લંબાઈ}$, તેથી $\frac{L_1}{T_1} = \frac{L_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{L/2}{273} = \frac{(L/2) + 5}{373}$.
$373(L/2) = 273(L/2 + 5)$.
$373(L/2) = 273(L/2) + 273 \times 5$.
$(373 - 273)(L/2) = 273 \times 5$.
$100(L/2) = 1365$.
$L/2 = 13.65$.
$L = 27.3 \, cm$.

(A) આપેલ છે: બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે.
વાયુ $A$ નું દબાણ $P_A = 3P_B$ છે.
વાયુ $A$ ની ઘનતા $\rho_A = 2\rho_B$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $P = \frac{\rho RT}{M}$,જેનો અર્થ છે $M = \frac{\rho RT}{P}$.
વાયુ $A$ માટે: $M_A = \frac{\rho_A RT}{P_A}$.
વાયુ $B$ માટે: $M_B = \frac{\rho_B RT}{P_B}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{2\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{3P_B} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T = 2.4 \ K$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે દબાણમાં $\Delta P = 0.005 P$ નો વધારો થાય છે.
$P/T = (P + \Delta P) / (T + \Delta T)$ પરથી:
$P/T = (P + 0.005 P) / (T + 2.4)$
$1/T = 1.005 / (T + 2.4)$
$T + 2.4 = 1.005 T$
$0.005 T = 2.4$
$T = 2.4 / 0.005 = 480 \ K$.
સેલ્સિયસમાં પ્રારંભિક તાપમાન $t = T - 273 = 480 - 273 = 207^{\circ} C$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,આદર્શ વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન,દબાણ અને કદ $T_1 = T$,$p_1 = p$,અને $V_1 = V$ છે.
અંતિમ તાપમાન,દબાણ અને કદ $T_2 = T/2$,$p_2 = 2p$,અને $V_2 = ?$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{p \times V}{T} = \frac{2p \times V_2}{T/2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{pV}{T} = \frac{4p V_2}{T}$.
બંને બાજુથી $p$ અને $T$ ને દૂર કરતા,આપણને $V = 4 V_2$ મળે છે.
તેથી,નવું કદ $V_2 = V/4$ થશે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ: $P = 3 - g \left(\frac{V}{V_0}\right)^2$.
$n = 1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ $T = \frac{PV}{R}$.
$P$ ની કિંમત $V$ ના પદમાં મૂકતા: $T = \frac{1}{R} \left[ 3V - g \frac{V^3}{V_0^2} \right]$.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,આપણે $T$ નું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R} \left[ 3 - \frac{3gV^2}{V_0^2} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $3 = \frac{3gV^2}{V_0^2}$,તેથી $V^2 = \frac{V_0^2}{g}$,અથવા $V = \frac{V_0}{\sqrt{g}}$.
$V$ ની આ કિંમતને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $T_{max} = \frac{1}{R} \left[ 3 \left(\frac{V_0}{\sqrt{g}}\right) - g \frac{(V_0/\sqrt{g})^3}{V_0^2} \right] = \frac{1}{R} \left[ \frac{3V_0}{\sqrt{g}} - \frac{V_0}{\sqrt{g}} \right] = \frac{2V_0}{R\sqrt{g}}$.
જો આપણે ધારીએ કે $g=1$ છે,તો $T_{max} = \frac{2V_0}{R}$ મળે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આપેલ છે: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ગ્રામ}$.
$m \approx 14.56 \text{ ગ્રામ} = 0.01456 \text{ kg}$.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે વાયુ અચળાંક $R$ ને $R = \frac{PV}{nT}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અહીં,$P$ એ દબાણ $(N m^{-2})$,$V$ એ કદ $(m^3)$,$n$ એ પદાર્થનો જથ્થો $(mol)$ અને $T$ એ તાપમાન $(K)$ છે.
$PV$ નો એકમ $(N m^{-2}) \times (m^3) = N m = J$ (જૂલ) છે.
તેથી,$R$ નો એકમ $\frac{J}{mol \times K} = J K^{-1} mol^{-1}$ થાય છે.

(B) હાઇડ્રોજન વાયુનું દળ $m = 4 \ g$ આપેલ છે.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ નું આણ્વીય દળ $M = 2 \ g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{m}{M} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $p V = n R T$ છે.
$n = 2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $p V = 2 R T$ મળે છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં, વિભાજકની બંને બાજુએ દબાણ $P_1$ અને $P_2$ સમાન હોવા જોઈએ $(P_1 = P_2)$, અને બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે.
ધારો કે પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ધારો કે વિભાજક $P$ નું જમણી દીવાલ $B$ થી અંતર $x$ છે। તો ડાબી દીવાલ $A$ થી અંતર $(5 - x)$ થશે.
ડાબા ખાનાનું કદ $V_1 = A(5 - x)$ અને જમણા ખાનાનું કદ $V_2 = Ax$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે:
ડાબી બાજુ માટે: $P_1 V_1 = (m/32)RT$
જમણી બાજુ માટે: $P_2 V_2 = (m/18)RT$
$P_1 = P_2$ અને $T$ અચળ હોવાથી, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{m/32}{m/18} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$ મળે.
કદની કિંમતો મૂકતા: $\frac{A(5 - x)}{Ax} = \frac{9}{16} \implies \frac{5 - x}{x} = \frac{9}{16}$.
$16(5 - x) = 9x \implies 80 - 16x = 9x \implies 25x = 80 \implies x = 3.2 \,m$.
ડાબી દીવાલ $A$ થી અંતર $5 - x = 5 - 3.2 = 1.8 \,m$ થશે.

(D) પાણીમાં ઉપર આવતા હવાના પરપોટા માટે,મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
તળિયે (સ્થિતિ $1$):
$P_1 = P_{atm} + \rho gh = 10^5 + (10^3 \times 10 \times 5) = 1.5 \times 10^5 \ Pa$.
$V_1 = 2.9 \ cm^3$.
$T_1 = 17 + 273 = 290 \ K$.
સપાટી પર (સ્થિતિ $2$):
$P_2 = P_{atm} = 10^5 \ Pa$.
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(1.5 \times 10^5) \times 2.9}{290} = \frac{10^5 \times V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{1.5 \times 2.9 \times 300}{290} = \frac{1.5 \times 2.9 \times 30}{29} = 1.5 \times 0.1 \times 30 = 4.5 \ cm^3$.

(B) બંધ નળાકારમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે,$P \propto T$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 50^{\circ} C = 50 + 273 = 323 \ K$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_i = 3.23 \ kPa = 3230 \ Pa$.
વાયુને તેના નિરપેક્ષ તાપમાન કરતા બમણું તાપમાન થાય ત્યાં સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,તેથી $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 323 = 646 \ K$.
સંબંધ $\frac{P_f}{P_i} = \frac{T_f}{T_i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_f = P_i \times \frac{T_f}{T_i} = 3230 \times \frac{646}{323} = 3230 \times 2 = 6460 \ Pa$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 2\,atm$
$V_1 = 60\,cm^{3}$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$V_2 = 20\,cm^{3}$
$T_2 = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350\,K$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times 60}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$\frac{120}{300} = \frac{P_2 \times 20}{350}$
$0.4 = P_2 \times \frac{20}{350}$
$P_2 = 0.4 \times \frac{350}{20} = 0.4 \times 17.5 = 7\,atm$.

(B) આપેલ સંબંધ $P = P_o(1 + \frac{V_o^2}{V^2})^{-1} = \frac{P_o V^2}{V^2 + V_o^2}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$,તેથી $T = \frac{PV}{nR}$.
નમૂના $A$ માટે: $V_A = V_o$,તેથી $P_A = \frac{P_o V_o^2}{V_o^2 + V_o^2} = \frac{P_o}{2}$.
$T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{(P_o/2) V_o}{2R} = \frac{P_o V_o}{4R}$.
નમૂના $B$ માટે: $V_B = 3V_o$,તેથી $P_B = \frac{P_o (3V_o)^2}{(3V_o)^2 + V_o^2} = \frac{9P_o V_o^2}{10V_o^2} = \frac{9P_o}{10}$.
$T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{(9P_o/10) (3V_o)}{2R} = \frac{27 P_o V_o}{20R}$.
હવે,તફાવત $T_B - T_A = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{P_o V_o}{4R} = \frac{27 P_o V_o}{20R} - \frac{5 P_o V_o}{20R} = \frac{22 P_o V_o}{20R} = \frac{11 P_o V_o}{10R}$.