एक काल्पनिक ग्रह पर,उपग्रह केवल क्वांटाइज्ड ऊ | vedclass

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Question

(D) $r$ त्रिज्या वाली कक्षा में उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का परिमाण $E = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।प्रश्न के अनुसार,ऊर्जा क्वांट

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$3$

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(D) $r$ त्रिज्या वाली कक्षा में उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का परिमाण $E = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।प्रश्न के अनुसार,ऊर्जा क्वांटाइज्ड है ताकि $E_n = n \cdot k$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $k$ एक स्थिर ऊर्जा है।$R$ त्रिज्या वाली पहली कक्षा के लिए,हमारे पास $\frac{GMm}{2R} = n \cdot k$ है।$\frac{3R}{2}$ त्रिज्या वाली अगली क्रमिक कक्षा के लिए,ऊर्जा $(n-1) \cdot k$ होनी चाहिए (क्योंकि त्रिज्या बढ़ने पर ऊर्जा का परिमाण घटता है),इसलिए $\frac{GMm}{2(3R/2)} = (n-1) \cdot k$,जो सरल होकर $\frac{GMm}{3R} = (n-1) \cdot k$ हो जाता है।दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{GMm/2R}{GMm/3R} = \frac{n}{n-1} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{n}{n-1}$.$n$ के लिए हल करने पर: $3n - 3 = 2n \Rightarrow n = 3$.$n=3$ को पहले समीकरण में रखने पर: $\frac{GMm}{2R} = 3k \Rightarrow k = \frac{GMm}{6R}$.अधिकतम त्रिज्या $R_{	ext{max}}$ सबसे निचले ऊर्जा स्तर के अनुरूप है,जो $n=1$ है।अतः,$\frac{GMm}{2R_{	ext{max}}} = 1 \cdot k = \frac{GMm}{6R}$.$R_{	ext{max}}$ के लिए हल करने पर $R_{	ext{max}} = 3R$ प्राप्त होता है।

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