Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Hindi

(B) किसी निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ को द्रव्यमान तत्वों को अनंत से उनके संबंधित स्थानों पर लाकर निकाय बनाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए,हम सतह पर सूक्ष्म द्रव्यमान तत्वों $dm$ को जोड़कर कोश का निर्माण करते हैं।
एक पतले कोश के लिए,सतह पर विभव $V$ स्थिर होता है और यह $-\frac{GM}{R}$ के बराबर होता है।
जब हम कोश का निर्माण करते हैं,तो किया गया कुल कार्य $W = \int V dm = \int_{0}^{M} -\frac{GM}{R} dm$ होता है।
चूंकि $R$ त्रिज्या वाले पूरे कोश के लिए विभव $V$ स्थिर है,हम $dm$ का $0$ से $M$ तक समाकलन करते हैं,जिससे परिणाम $U = -\frac{GM^2}{2R}$ प्राप्त होता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर $m$ द्रव्यमान के कण की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
कण को अनंत तक (जहाँ स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है) ले जाने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_{final} - U_{initial} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$.
दिए गए मान:
$M = 100\, kg$
$m = 10\, g = 0.01\, kg$
$R = 10\, cm = 0.1\, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2/kg^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1} = 6.67 \times 10^{-10}\, J$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M_e m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h = R_e$ ऊँचाई पर है।
इसलिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2 R_e$ होगी।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,हमें $U = -\frac{G M_e m}{2 R_e}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $G M_e = g R_e^2$।
$G M_e = g R_e^2$ को $U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = -\frac{(g R_e^2) m}{2 R_e} = -\frac{m g R_e}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ को एक इकाई द्रव्यमान को अनंत से उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दूरी $r$ पर स्थित बिंदु $A$ और अनंत के बीच विभवांतर $V_A - V_{\infty} = -\int_{\infty}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $(i)$: जब अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ है,तो बिंदु $A$ पर विभव $V_A = -5 \, unit$ है।
अतः,$-5 - 0 = -\frac{GM}{r}$,जिसका अर्थ है $-\frac{GM}{r} = -5$.
स्थिति $(ii)$: जब अनंत पर विभव $V_{\infty}' = +10 \, unit$ लिया जाता है,तो बिंदु $A$ पर नया विभव $V_A'$ हो जाता है।
विभवांतर समान रहता है क्योंकि यह केवल द्रव्यमान और दूरी पर निर्भर करता है: $V_A' - V_{\infty}' = -\frac{GM}{r}$.
मान रखने पर: $V_A' - 10 = -5$.
इसलिए,$V_A' = -5 + 10 = +5 \, unit$.

(N/A) मान लीजिए कि $l$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर $m$ द्रव्यमान के चार कण रखे गए हैं। कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी अलग-अलग द्रव्यमान युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है।
यहाँ $l$ दूरी पर द्रव्यमान के $4$ युग्म (वर्ग की भुजाएँ) और $\sqrt{2}l$ दूरी पर द्रव्यमान के $2$ युग्म (वर्ग के विकर्ण) हैं।
$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के युग्म की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ होती है।
अतः,कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = -4 \left( \frac{G m^2}{l} \right) - 2 \left( \frac{G m^2}{\sqrt{2} l} \right)$
$U = -\frac{G m^2}{l} \left( 4 + \frac{2}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{G m^2}{l} (4 + \sqrt{2}) \approx -5.414 \frac{G m^2}{l}$.
वर्ग के केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V$ चारों द्रव्यमानों के कारण उत्पन्न विभव का योग है। केंद्र से प्रत्येक द्रव्यमान की दूरी $r = \frac{\sqrt{2}l}{2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
$V = 4 \times \left( -\frac{G m}{r} \right) = 4 \times \left( -\frac{G m}{l/\sqrt{2}} \right) = -4\sqrt{2} \frac{G m}{l}$.

(N/A) प्रत्येक गोले का द्रव्यमान,$M = 100 \; kg$।
गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी,$r = 1.0 \; m$।
मान लीजिए $X$ गोलों के केंद्रों के बीच का मध्य-बिंदु है।
$1$. $X$ पर गुरुत्वाकर्षण बल:
$X$ पर स्थित किसी पिंड पर प्रत्येक गोले द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होता है। इसलिए,$X$ पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल $0 \; N$ है।
$2$. $X$ पर गुरुत्वाकर्षण विभव:
$M$ द्रव्यमान से $d$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -GM/d$ द्वारा दिया जाता है। मध्य-बिंदु $X$ पर,प्रत्येक गोले से दूरी $d = r/2 = 0.5 \; m$ है।
$V_{total} = V_1 + V_2 = -\frac{GM}{r/2} - \frac{GM}{r/2} = -\frac{4GM}{r}$
$V_{total} = -\frac{4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1.0} = -2.668 \times 10^{-8} \; J/kg \approx -2.67 \times 10^{-8} \; J/kg$।
$3$. संतुलन:
चूंकि कुल बल शून्य है,इसलिए $X$ पर रखा गया पिंड संतुलन की स्थिति में है। यदि पिंड को थोड़ा सा एक गोले की ओर विस्थापित किया जाता है,तो उस गोले से लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल बढ़ जाता है जबकि दूसरे गोले से लगने वाला बल कम हो जाता है। यह विस्थापन की दिशा में एक शुद्ध बल उत्पन्न करता है,जो पिंड को $X$ से और दूर खींचता है। अतः,यह संतुलन अस्थिर है।

(B) पृथ्वी का द्रव्यमान,$M = 6.0 \times 10^{24} \; kg$.
पृथ्वी की त्रिज्या,$R = 6400 \; km = 6.4 \times 10^{6} \; m$.
भूस्थिर उपग्रह की ऊँचाई,$h = 36000 \; km = 3.6 \times 10^{7} \; m$.
पृथ्वी के केंद्र से उपग्रह की दूरी $r = R + h = 6.4 \times 10^{6} \; m + 36.0 \times 10^{6} \; m = 42.4 \times 10^{6} \; m = 4.24 \times 10^{7} \; m$.
$r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{4.24 \times 10^{7}}$.
$V = -\frac{40.02 \times 10^{13}}{4.24 \times 10^{7}}$.
$V \approx -9.44 \times 10^{6} \; J/kg$.

(N/A) स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण होती है। यदि निकाय का विन्यास बदलता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बदल जाती है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण संचित होती है। जब $m$ द्रव्यमान की किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठाया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
बाह्य बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W = F d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$F = mg$,$d = h$,और $\theta = 0^{\circ}$ (चूँकि बल और विस्थापन दोनों ऊपर की दिशा में हैं)।
अतः,$W = (mg)(h) \cos 0^{\circ} = mgh$.
यह कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ के रूप में संचित होता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $U = mgh$ से प्राप्त किया जाता है:
$[M] \times [LT^{-2}] \times [L] = [M^{1} L^{2} T^{-2}]$.
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को उस कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी $m$ द्रव्यमान की वस्तु को अनंत दूरी से किसी अन्य पिंड के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक विशिष्ट बिंदु तक लाने के लिए एक बाहरी कारक द्वारा किया जाता है।
गणितीय रूप से,$M$ द्रव्यमान से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
शून्य स्थितिज ऊर्जा वह स्थिति है जहाँ किसी निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है। परंपरा के अनुसार,दो पिंडों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को तब शून्य माना जाता है जब उनके बीच की दूरी अनंत $(r = \infty)$ होती है,क्योंकि अनंत दूरी पर पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।

(N/A) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को किसी पिंड को अनंत दूरी से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के किसी दिए गए बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान $M_E$ और त्रिज्या $R_E$ है। हमें पृथ्वी के केंद्र $(O)$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर $m$ द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा निर्धारित करनी है।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का पिंड पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर बिंदु $A$ पर स्थित है $(OP = x)$।
इस बिंदु पर पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F = \frac{G M_E m}{x^2}$
पिंड को पृथ्वी की ओर $dx$ सूक्ष्म विस्थापन तक ले जाने में किया गया कार्य:
$dW = F dx = \frac{G M_E m}{x^2} dx$
पिंड को अनंत से $r$ दूरी तक लाने में किया गया कुल कार्य:
$W = \int_{\infty}^{r} dW = \int_{\infty}^{r} \frac{G M_E m}{x^2} dx$
$W = G M_E m \int_{\infty}^{r} x^{-2} dx$
$W = G M_E m \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\infty}^{r}$
$W = G M_E m \left( -\frac{1}{r} - (-\frac{1}{\infty}) \right)$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए:
$W = -\frac{G M_E m}{r}$
अतः,$r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ है:
$U = -\frac{G M_E m}{r}$

(N/A) गुरुत्वीय विभव $V$: गुरुत्वीय क्षेत्र में किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव को उस कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक इकाई द्रव्यमान को अनंत से उस बिंदु तक बिना त्वरण के लाने में किया जाता है।
परिभाषा: गुरुत्वीय क्षेत्र में किसी इकाई द्रव्यमान की वस्तु को अनंत दूरी से किसी दिए गए बिंदु तक लाने में किए गए कार्य को उस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव कहा जाता है।
सूत्र: गुरुत्वीय विभव $V = \frac{W}{m}$,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $m$ द्रव्यमान है।
प्रकृति: यह एक अदिश राशि है।
मात्रक: इसका $SI$ मात्रक $J/kg$ (जूल प्रति किलोग्राम) है और इसका $CGS$ मात्रक $erg/g$ (अर्ग प्रति ग्राम) है।
विमीय सूत्र: $M^{0} L^{2} T^{-2}$.

(N/A) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अनंत दूरी से $m$ द्रव्यमान के पिंड को पृथ्वी के केंद्र से $r$ $(r > R_{E})$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु तक लाने में किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_{E}m}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ को एकांक द्रव्यमान के पिंड को अनंत से उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$V = \frac{W}{m} = \frac{U}{m}$
$U$ का व्यंजक रखने पर:
$V = \frac{-GM_{E}m/r}{m} = -\frac{GM_{E}}{r}$
पृथ्वी की सतह पर,जहाँ $r = R_{E}$ है,गुरुत्वीय विभव:
$V_{E} = -\frac{GM_{E}}{R_{E}}$
गुरुत्वीय विभव और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध:
चूंकि $U = -\frac{GM_{E}m}{r}$ और $V = -\frac{GM_{E}}{r}$,हम लिख सकते हैं:
$U = V \cdot m$
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा = (गुरुत्वीय विभव) $\times$ (द्रव्यमान)।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। इसे किसी पिंड को अनंत से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के किसी बिंदु तक बिना त्वरण के लाने में किसी बाहरी एजेंट द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ का मान $V = -GM/r$ होता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ स्रोत का द्रव्यमान है,और $r$ स्रोत से दूरी है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में आकर्षण का होता है। इसका अर्थ यह है कि दो द्रव्यमानों की प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा अनंत पर शून्य होती है और जैसे-जैसे द्रव्यमान एक-दूसरे के करीब आते हैं,यह कम होती जाती है। इस प्रकार,द्रव्यमानों को करीब लाने के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा कार्य किया जाना चाहिए,या इसके विपरीत,किसी पिंड को अनंत से $r$ बिंदु तक ले जाने के लिए बाहरी एजेंट को ऋणात्मक कार्य करना पड़ता है।

(C) $r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ है।
जैसे-जैसे दूरी $r$ अनंत की ओर बढ़ती है $(r \to \infty)$,पद $\frac{1}{r}$ शून्य की ओर अग्रसर होता है।
इसलिए,अनंत दूरी पर स्थितिज ऊर्जा को $U = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(N/A) किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $(V)$ को अनंत से एकांक द्रव्यमान को उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$V = \frac{W}{m}$।
$SI$ मात्रक प्रणाली में,कार्य का मात्रक जूल $(J)$ और द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम $(kg)$ है। अतः,$SI$ मात्रक $J/kg$ या $m^2/s^2$ होता है।
$CGS$ मात्रक प्रणाली में,कार्य का मात्रक अर्ग $(erg)$ और द्रव्यमान का मात्रक ग्राम $(g)$ है। अतः,$CGS$ मात्रक $erg/g$ या $cm^2/s^2$ होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी $(r > R_E)$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ को अनंत से इकाई द्रव्यमान को उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$V = -\frac{GM_E}{r}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,
$r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।

(N/A) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का व्यंजक $U = -\frac{GM_{E}m}{R_{E}}$ है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय विभव $V$ को प्रति इकाई द्रव्यमान गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $V = \frac{U}{m} = -\frac{GM_{E}}{R_{E}}$ है।
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M_{E}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R_{E}$ पृथ्वी की त्रिज्या है।

(N/A) $1$. परिभाषा: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$ वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में गुरुत्वीय क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। गुरुत्वीय विभव $(V)$ को एकांक द्रव्यमान को अनंत से गुरुत्वीय क्षेत्र के किसी बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$2$. सूत्र: $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान के लिए,$r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -GMm/r$ है। $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -GM/r$ है।
$3$. मात्रक: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है। गुरुत्वीय विभव का $SI$ मात्रक जूल प्रति किलोग्राम ($J/kg$ या $m^2/s^2$) है।
$4$. निर्भरता: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा उस बिंदु पर रखे गए वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर करती है। गुरुत्वीय विभव उस बिंदु पर रखे गए वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है; यह केवल स्रोत द्रव्यमान $(M)$ और स्थिति $(r)$ पर निर्भर करता है।

(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के निकाय की $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे पिंडों के बीच की दूरी $r$ अनंत $(r \to \infty)$ होती है,स्थितिज ऊर्जा $U$ शून्य $(U \to 0)$ हो जाती है।
चूंकि पिंड अनंत दूरी पर हैं,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा $K$ भी शून्य होती है (यह मानते हुए कि वे एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर हैं)।
निकाय की कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U$।
अतः,$E = 0 + 0 = 0$।
इस प्रकार,अनंत दूरी पर कुल ऊर्जा शून्य होती है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $G$,$M$,$m$ और $r$ सभी धनात्मक हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ ऋणात्मक होती है।
स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक बद्ध अवस्था (bound state) में है।
पिंड को अनंत तक ले जाने के लिए (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है),हमें $|U|$ के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी (अर्थात पिंड पर धनात्मक कार्य करना होगा)।
इसलिए,ऋणात्मक ऊर्जा यह दर्शाती है कि पिंड पृथ्वी से गुरुत्वाकर्षण द्वारा बंधा हुआ है।

(N/A) किसी पिंड की बंधन ऊर्जा वह न्यूनतम ऊर्जा है जो उस पिंड को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से मुक्त कर अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M_E m}{r}$ होती है।
पिंड को अनंत तक ले जाने के लिए,जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है,हमें स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
अतः,बंधन ऊर्जा $BE = -U = -\left(-\frac{G M_E m}{r}\right) = \frac{G M_E m}{r}$।

(N/A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का समीकरण है:
$U = -\frac{GMm}{r}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण प्रकृति का होता है। परिपाटी के अनुसार,अनंत दूरी $(r = \infty)$ पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह को ग्रह की ओर खींचता है,इसलिए उपग्रह को $r$ दूरी से अनंत तक ले जाने के लिए किसी बाहरी कारक द्वारा कार्य करना पड़ता है। चूंकि निकाय एक बद्ध अवस्था में है,इसलिए अनंत पर शून्य स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए आवश्यक ऊर्जा धनात्मक होती है,जिसका अर्थ है कि किसी भी सीमित दूरी $r$ पर ऊर्जा शून्य से कम होनी चाहिए।

$(A)$ $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = -G \frac{m_1 m_2}{r}$ होता है। चूँकि $G$, $m_1$, $m_2$ और $r$ सभी धनात्मक हैं, इसलिए $U$ हमेशा ऋणात्मक होता है। अतः, $(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
यदि किसी निकाय के घटकों के बीच बल आकर्षण का हो, तो निकाय की स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है। चूँकि आकाशगंगाओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षण का होता है, इसलिए उनकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है। अतः, $(2)$ का मिलान $(c)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(1-b, 2-c)$ है।

(A) जब किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह से ऊपर उठाया जाता है,तो पृथ्वी द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
चूंकि विस्थापन गुरुत्वाकर्षण बल की विपरीत दिशा में होता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इस संरक्षी गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य निकाय में गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,जैसे-जैसे पृथ्वी की सतह से ऊंचाई बढ़ती है,वस्तु की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती जाती है।

(A) गुरुत्वीय क्षेत्र में किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव को अनंत से इकाई द्रव्यमान को उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\phi = -GM/R$,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि गुरुत्वीय विभव $\phi$ केवल स्रोत के द्रव्यमान $(M)$ और केंद्र से दूरी $(R)$ पर निर्भर करता है,यह उस बिंदु पर रखी गई वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,$2m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए भी गुरुत्वीय विभव $\phi$ ही रहेगा।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{G M_e m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
$r$ दूरी पर पिंड का भार $W = mg$ है,जहाँ $g$ उस दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
$r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_e}{r^2}$ होता है।
भार के सूत्र में $g$ का मान रखने पर,हमें $W = m \left( \frac{G M_e}{r^2} \right) = \frac{G M_e m}{r^2}$ प्राप्त होता है।
हम $U$ के व्यंजक को $U = \left( \frac{G M_e m}{r} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $W = \frac{U}{r}$।
अतः,इस बिंदु पर पिंड का भार $U/r$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान वाली वस्तु से $r$ दूरी पर स्थित किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
जब वस्तु को अनंत (जहाँ $U = 0$ होता है) से $r$ दूरी पर लाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा $0$ से घटकर एक ऋणात्मक मान प्राप्त करती है।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी आती है।

(A) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_G$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $V(x) = -\int_{\infty}^{x} E_G \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_G = \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}}$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}} dx$.
मान लीजिए $u = x^2 + a^2$,तो $du = 2x dx$,या $x dx = \frac{du}{2}$.
जब $x \to \infty$,तब $u \to \infty$. जब $x = x$,तब $u = x^2 + a^2$.
$V(x) = -\int_{\infty}^{x^2+a^2} \frac{A}{u^{3/2}} \cdot \frac{du}{2} = -\frac{A}{2} \int_{\infty}^{x^2+a^2} u^{-3/2} du$.
$V(x) = -\frac{A}{2} \left[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right]_{\infty}^{x^2+a^2} = A \left[ \frac{1}{\sqrt{u}} \right]_{\infty}^{x^2+a^2}$.
$V(x) = A \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} - 0 \right) = \frac{A}{(x^2+a^2)^{1/2}}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले की गुरुत्वाकर्षण स्व-ऊर्जा $U_i = -\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी को पूरी तरह से विखंडित करने और उसके सभी द्रव्यमान को अनंत तक ले जाने के लिए,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f$ शून्य होगी।
आपूर्ति की जाने वाली आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = 0 - (-\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}) = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x}{5} \frac{GM^2}{R}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = -\sum \frac{G m_i m_j}{r_{ij}}$ द्वारा दिया जाता है।
$d$ भुजा वाले दिए गए वर्ग के लिए,$d$ लंबाई की चार भुजाएँ और $\sqrt{2}d$ लंबाई के दो विकर्ण हैं।
कोनों पर द्रव्यमान $m_1 = m$,$m_2 = M-m$,$m_3 = m$,और $m_4 = M-m$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा है:
$U = -\frac{G}{d} [m(M-m) + (M-m)m + m(M-m) + (M-m)m] - \frac{G}{\sqrt{2}d} [m^2 + (M-m)^2]$
$U = -\frac{G}{d} [4m(M-m)] - \frac{G}{\sqrt{2}d} [m^2 + M^2 - 2Mm + m^2]$
$U = -\frac{G}{d} [4Mm - 4m^2 + \frac{1}{\sqrt{2}}(M^2 - 2Mm + 2m^2)]$
$U$ को अधिकतम (या $|U|$ को न्यूनतम) करने के लिए,हम $m$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dU}{dm} = -\frac{G}{d} [4M - 8m + \frac{1}{\sqrt{2}}(-2M + 4m)] = 0$
$4M - 8m - \sqrt{2}M + 2\sqrt{2}m = 0$
$M(4 - \sqrt{2}) = m(8 - 2\sqrt{2})$
$M(4 - \sqrt{2}) = 2m(4 - \sqrt{2})$
$\frac{M}{m} = 2$
अतः,$x = 2$.

(D) गोलीय कोश के अंदर किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$,केंद्र पर स्थित बिंदु द्रव्यमान के कारण विभव और कोश के कारण विभव का योग होता है।
$1$. $r = 25 \, \text{m}$ की दूरी पर $M_1 = 50 \, \text{kg}$ के बिंदु द्रव्यमान के कारण विभव $V_1 = -\frac{GM_1}{r} = -\frac{G \times 50}{25} = -2G$ है।
$2$. $M_2 = 100 \, \text{kg}$ द्रव्यमान और $R = 50 \, \text{m}$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_2 = -\frac{GM_2}{R} = -\frac{G \times 100}{50} = -2G$ है।
$3$. कुल गुरुत्वीय विभव $V = V_1 + V_2 = -2G + (-2G) = -4G$ है।

(A) निकाय की कुल गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$,गोलों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है।
$1$. वर्ग के कोनों पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले चार गोलों की स्थितिज ऊर्जा:
यहाँ $d$ लंबाई की $4$ भुजाएँ और $\sqrt{2}d$ लंबाई के $2$ विकर्ण हैं।
$U_{m-m} = -\frac{G m^2}{d} \times 4 - \frac{G m^2}{\sqrt{2}d} \times 2 = -\frac{G m^2}{d} (4 + \sqrt{2})$.
$2$. केंद्र पर स्थित $M$ द्रव्यमान वाले गोले और $m$ द्रव्यमान वाले चार गोलों के बीच की स्थितिज ऊर्जा:
केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{\sqrt{2}d}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
$U_{M-m} = -\frac{G M m}{r} \times 4 = -\frac{G M m}{d/\sqrt{2}} \times 4 = -\frac{4\sqrt{2} G M m}{d}$.
$3$. कुल स्थितिज ऊर्जा $U = U_{m-m} + U_{M-m} = -\frac{G m}{d} [(4 + \sqrt{2})m + 4\sqrt{2}M]$.

(D) गुरुत्वाकर्षण बल $(W_g)$ द्वारा किया गया कार्य अन्य कणों $(A, B, C)$ के कारण कण $D$ की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक मान के बराबर होता है।
$W_g = -\Delta U = -(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}) = U_{\text{initial}} - U_{\text{final}}$.
जब कण $D$ अनंत पर होता है,तो स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{final}} = 0$ होती है।
इसलिए,$W_g = U_{\text{initial}}$.
कण $A, B$ और $C$ के कारण कण $D$ की प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा:
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m_A m_D}{r_{AD}} - \frac{G m_B m_D}{r_{BD}} - \frac{G m_C m_D}{r_{CD}}$
यहाँ $m_A = m_B = m_C = m_D = m$,$r_{AD} = L$,$r_{CD} = L$,और $r_{BD} = \sqrt{2} L$ (वर्ग का विकर्ण) है।
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m^2}{L} - \frac{G m^2}{\sqrt{2} L} - \frac{G m^2}{L} = -\frac{G m^2}{L} \left( 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m^2}{L} \left( \frac{2 \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \right)$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $-\frac{G m^2}{L} \left( \frac{2 \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \right)$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय विभव $V_0 = -\frac{G M_e}{R_e}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय विभव $V_h = -\frac{G M_e}{R_e + h}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि ऊँचाई $h = \frac{R_e}{2}$ दी गई है,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$V_h = -\frac{G M_e}{R_e + \frac{R_e}{2}}$
हर का सरलीकरण करने पर:
$V_h = -\frac{G M_e}{\frac{3 R_e}{2}}$
$V_h = -\frac{2}{3} \left( \frac{G M_e}{R_e} \right)$
चूँकि $V_0 = -\frac{G M_e}{R_e}$,हम लिख सकते हैं:
$V_h = \frac{2}{3} V_0$.

(C) कणों के एक निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को कणों को अनंत से उनके संबंधित स्थानों पर लाने में किसी बाहरी कारक द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा बंधे हुए कणों के निकाय,जैसे कि एक आकाशगंगा,के लिए कण आकर्षण की स्थिति में होते हैं।
जब अनंत पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है,तो किसी भी बद्ध निकाय (bound system) की स्थितिज ऊर्जा हमेशा ऋणात्मक होती है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षक होता है,और निकाय उस स्थिति की तुलना में कम ऊर्जा अवस्था में होता है जहाँ कण अनंत पर होते हैं।
इसलिए,एक आकाशगंगा की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

(B) चूंकि कण $C$ को बिना किसी त्वरण के स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है,$\Delta K.E. = 0$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य और गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा किया गया कार्य का योग शून्य होता है: $W_{\text{ext}} + W_{\text{grav}} = 0$.
इसलिए,$W_{\text{ext}} = -W_{\text{grav}} = \Delta U = U_f - U_i$.
कण $C$ से जुड़े निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r_A} - \frac{GMm}{r_B}$ है,जहाँ $r_A$ और $r_B$ क्रमशः $A$ और $B$ से $C$ की दूरियाँ हैं।
प्रारंभिक स्थिति: $C$ मध्य-बिंदु पर है,इसलिए $r_A = r/2$ और $r_B = r/2$.
$U_i = -\frac{GMm}{r/2} - \frac{GMm}{r/2} = -\frac{2GMm}{r} - \frac{2GMm}{r} = -\frac{4GMm}{r}$.
अंतिम स्थिति: $C$ एक ऐसे बिंदु पर है जो $A$ और $B$ से $r$ समान दूरी पर है,इसलिए $r_A = r$ और $r_B = r$.
$U_f = -\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{2GMm}{r}$.
किया गया कार्य $W_{\text{ext}} = U_f - U_i = -\frac{2GMm}{r} - (-\frac{4GMm}{r}) = \frac{2GMm}{r}$.

(A) मान लीजिए कि बिंदु $O$,द्रव्यमान $M$ से $d$ दूरी पर और द्रव्यमान $4M$ से $(r-d)$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु $O$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य है,इसलिए दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{G M}{d^2} = \frac{G (4 M)}{(r-d)^2}$
$\Rightarrow \frac{(r-d)^2}{d^2} = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{r-d}{d} = 2$ (चूंकि $d$ को द्रव्यमानों के बीच होना चाहिए,हम धनात्मक मूल लेते हैं)
$r-d = 2d \Rightarrow 3d = r \Rightarrow d = \frac{r}{3}$
अतः,द्रव्यमान $4M$ से दूरी $r - d = r - \frac{r}{3} = \frac{2r}{3}$ है।
अब,बिंदु $O$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ की गणना करें:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{G M}{d} - \frac{G (4 M)}{(r-d)}$
$V = -\frac{G M}{r/3} - \frac{4 G M}{2r/3}$
$V = -\frac{3 G M}{r} - \frac{6 G M}{r} = -\frac{9 G M}{r}$

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच गुरुत्वीय विभव का अंतर संदर्भ बिंदु के चयन से स्वतंत्र होता है।
जब अनंत पर विभव को शून्य माना जाता है:
सतह पर विभव,$V_s = -\frac{GM}{R}$
केंद्र पर विभव,$V_c = -\frac{3GM}{2R}$
सतह और केंद्र के बीच विभव का अंतर है:
$V_s - V_c = -\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R}) = -\frac{GM}{R} + \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R}$
अब,यदि सतह पर विभव को शून्य मान लिया जाए $(V_s' = 0)$,तो मान लीजिए केंद्र पर नया विभव $V_c'$ है।
चूंकि विभव का अंतर स्थिर रहता है:
$V_s - V_c = V_s' - V_c'$
$\frac{GM}{2R} = 0 - V_c'$
$V_c' = -\frac{GM}{2R}$
अतः,केंद्र पर विभव $-\frac{GM}{2R}$ होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_1 = R$ है। अतः,सतह पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $2R$ की ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_2 = R + 2R = 3R$ है। अतः,इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{3R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R}$ है।
$\frac{GMm}{R}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\Delta U = \frac{GMm}{R} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{GMm}{R} (\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GMm}{R}$ प्राप्त होता है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR^2)m}{R} = \frac{2}{3} mgR$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_1 = R$ है। अतः,सतह पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{G M m}{R}$ है।
जब पिंड को सतह से $h = n R$ ऊँचाई तक ले जाया जाता है,तो पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r_2 = R + n R = (n+1) R$ हो जाती है। अतः,इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{G M m}{(n+1) R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{G M m}{(n+1) R} - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$ है।
$\Delta U = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{(n+1) R} = \frac{G M m}{R} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$\Delta U = \frac{G M m}{R} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{G M m}{R} \left( \frac{n}{n+1} \right)$.
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2}$ है,हम $G M = g R^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{(g R^2) m}{R} \left( \frac{n}{n+1} \right) = m g R \left( \frac{n}{n+1} \right)$.

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का अंतर संदर्भ बिंदु के चयन से स्वतंत्र होता है।
जब अनंत पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है,तो पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर स्थितिज ऊर्जा $(r = R)$: $U_s = -\frac{G M m}{R}$।
सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $(r = R+h)$: $U_h = -\frac{G M m}{R+h}$।
सतह और $h$ ऊँचाई के बीच स्थितिज ऊर्जा का अंतर:
$\Delta U = U_h - U_s = -\frac{G M m}{R+h} - \left(-\frac{G M m}{R}\right) = G M m \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta U = G M m \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{G M m h}{R(R+h)}$।
यदि सतह पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाए $(U_s' = 0)$,तो $h$ ऊँचाई पर नई स्थितिज ऊर्जा $(U_h')$ उसी अंतर द्वारा परिभाषित होती है:
$U_h' - U_s' = \Delta U$
$U_h' - 0 = \frac{G M m h}{R(R+h)}$।
अतः,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $\frac{G M m h}{R(R+h)}$ होगी।

(C) $m$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_e m}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर $(r = R_e)$ प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ है।
$h = 2R_e$ ऊँचाई पर $(r = R_e + h = 3R_e)$ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GM_e m}{3R_e}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{GM_e m}{3R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e}) = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GM_e m}{R_e}$.
चूँकि $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,इसलिए $GM_e = gR_e^2$ है।
इस मान को रखने पर: $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR_e^2)m}{R_e} = \frac{2}{3} mgR_e$.

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ है।
दिया गया है $E = -\frac{K}{r^2}$,इसलिए $-\frac{dV}{dr} = -\frac{K}{r^2}$,जिसका अर्थ है $dV = \frac{K}{r^2} dr$.
संदर्भ बिंदु $(r_1 = 2\,cm, V_1 = 10\,J/kg)$ से लक्ष्य बिंदु $(r_2 = 3\,cm, V_2 = V)$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{10}^{V} dV = \int_{2}^{3} \frac{K}{r^2} dr$.
$V - 10 = K \left[ -\frac{1}{r} \right]_{2}^{3} = K \left( -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) \right) = K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = K \left( \frac{1}{6} \right)$.
$K = 6\,J\cdot cm/kg$ रखने पर:
$V - 10 = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$V = 10 + 1 = 11\,J/kg$.

(A) एक समान घनत्व वाले ठोस गोले के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V(r) = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर,$r = R$,इसलिए $V_{surface} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - R^2) = \frac{GM}{2R^3}(2R^2) = \frac{GM}{R} = V$।
केंद्र पर,$r = 0$,इसलिए $V_{center} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - 0) = \frac{3GM}{2R}$।
$V = \frac{GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{center} = \frac{3}{2} V$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ तटस्थ बिंदु है जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है। मान लीजिए $r_1$ द्रव्यमान $m$ से दूरी है और $r_2$ द्रव्यमान $9m$ से दूरी है।
शून्य गुरुत्वीय क्षेत्र के लिए शर्त है:
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G (9m)}{r_2^2}$
$\frac{1}{r_1^2} = \frac{9}{r_2^2} \implies \frac{r_2}{r_1} = 3 \implies r_2 = 3 r_1$
चूंकि $r_1 + r_2 = R$,इसलिए $r_1 + 3 r_1 = R \implies 4 r_1 = R \implies r_1 = \frac{R}{4}$ और $r_2 = \frac{3R}{4}$.
बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G (9m)}{r_2}$
$V = -\frac{G m}{R/4} - \frac{9 G m}{3R/4}$
$V = -\frac{4 G m}{R} - \frac{36 G m}{3R} = -\frac{4 G m}{R} - \frac{12 G m}{R}$
$V = -\frac{16 G m}{R}$

(A) वलयाकार डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi(4R)^2 - \pi(3R)^2} = \frac{M}{7\pi R^2}$ है।
$r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाले एक पतले वलय तत्व पर विचार करें। इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \sigma (2\pi r dr)$ है।
इस वलय के कारण बिंदु $P$ (केंद्र से $h=4R$ की दूरी पर) पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_P$ है: $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$।
$r=3R$ से $r=4R$ तक समाकलन करने पर:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$।
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।
इकाई द्रव्यमान को $P$ से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ है।
अतः,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$।

(C) $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान अवयव $dm$ के कारण किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$,$dV = -\frac{G dm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले चाप के लिए,चाप का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ केंद्र $O$ से समान दूरी $R$ पर है।
इसलिए,केंद्र $O$ पर गुरुत्वीय विभव सभी द्रव्यमान अवयवों के कारण विभव का समाकलन है: $V_O = \int dV = \int -\frac{G dm}{R} = -\frac{G}{R} \int dm = -\frac{GM}{R}$।
चूंकि विभव केवल कुल द्रव्यमान $M$ और दूरी $R$ पर निर्भर करता है,और तीनों चापों के लिए ये दोनों समान हैं,इसलिए केंद्र पर गुरुत्वीय विभव तीनों स्थितियों के लिए समान रहेगा।
अतः,$(V_O)_1 = (V_O)_2 = (V_O)_3$।