Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Hindi

(B) किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ को अनंत से एकांक द्रव्यमान को उस बिंदु तक लाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$V = \frac{W}{m}$,जहाँ $W$ कार्य है और $m$ द्रव्यमान है।
कार्य $W$ का $S.I.$ मात्रक जूल $(J)$ है और द्रव्यमान $m$ का $S.I.$ मात्रक किलोग्राम $(kg)$ है।
अतः,गुरुत्वीय विभव का $S.I.$ मात्रक $\frac{J}{kg} = J \cdot kg^{-1}$ है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,दो बिंदुओं के बीच एक कण को ले जाने में संरक्षी बल द्वारा या उसके विरुद्ध किया गया कार्य केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
चूंकि तीनों पथ $1, 2$ और $3$ बिंदु $A$ से शुरू होकर बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए प्रत्येक पथ पर किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2 = W_3$।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
$GM$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta U = \frac{gR^2 mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $h = R/5$,इसलिए $h/R = 1/5$ है।
अतः,$\Delta U = \frac{mgh}{1 + 1/5} = \frac{mgh}{6/5} = \frac{5}{6}mgh$।

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I$ और गुरुत्वीय विभव $V$ के बीच का संबंध सूत्र $I = -\frac{dV}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र,गुरुत्वीय विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) है।
हालाँकि,यह एक सामान्य गलतफहमी है कि $V = 0$ का अर्थ $I = 0$ है। उदाहरण के लिए,एक गोलाकार कोश के केंद्र पर या दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वीय विभव पर विचार करें; विभव उस बिंदु पर शून्य हो सकता है जहाँ क्षेत्र शून्य नहीं है।
इसलिए,केवल इसलिए कि गुरुत्वीय विभव शून्य है,यह आवश्यक नहीं है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र भी शून्य हो।

(D) गुरुत्वाकर्षण विभव $V(x)$ को अनंत से बिंदु $x$ तक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ के ऋणात्मक समाकल (integral) के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} E \, dx$
दिया गया है $E = K/x^3$,अतः:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} \frac{K}{x^3} \, dx$
$V(x) = -K \int_{\infty}^{x} x^{-3} \, dx$
$V(x) = -K \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{\infty}^{x}$
$V(x) = \frac{K}{2} \left[ \frac{1}{x^2} \right]_{\infty}^{x}$
$V(x) = \frac{K}{2} \left( \frac{1}{x^2} - 0 \right) = \frac{K}{2x^2}$

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $M$ और $m$ के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = -\frac{GMm}{r}$।
दिया गया है:
$M = 6.00 \times 10^{24} \ kg$
$m = 7.40 \times 10^{22} \ kg$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
$U = -7.79 \times 10^{28} \ J$
$r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$r = -\frac{GMm}{U}$
मान रखने पर:
$r = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.00 \times 10^{24} \times 7.40 \times 10^{22}}{7.79 \times 10^{28}}$
$r = \frac{296.196 \times 10^{35}}{7.79 \times 10^{28}}$
$r \approx 38.02 \times 10^7 \ m = 3.80 \times 10^8 \ m$।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$ और $m = 1 \, kg$ है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GM(1)}{R} = -\frac{GM}{R}$ है।
अनंत पर,दूरी $r = \infty$ है,इसलिए अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GM(1)}{\infty} = 0$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$W = 0 - (-\frac{GM}{R}) = \frac{GM}{R}$।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R_e$,इसलिए $U_1 = -\frac{GMm}{R_e} = -mgR_e$ (चूँकि $g = \frac{GM}{R_e^2}$)।
सतह से $h = R_e$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ होगी।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{GMm}{2R_e}$ होगी।
$GM = gR_e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_2 = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e$ प्राप्त होता है।

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $I = -\frac{dV}{dr}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि इस क्षेत्र में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I = 0$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $0 = -\frac{dV}{dr}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dV}{dr} = 0$ है।
चूंकि दूरी के सापेक्ष विभव का अवकलन शून्य है,इसलिए उस क्षेत्र में गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ स्थिर (constant) होना चाहिए।

(A) वर्ग के प्रत्येक शीर्ष से उसके केंद्र की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ है।
$r$ दूरी पर स्थित $M$ द्रव्यमान के एक कण के कारण गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ होता है।
$r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ रखने पर,एक कण के कारण विभव $V_1 = -\frac{GM}{L/\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}GM}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यहाँ चार कण हैं,इसलिए केंद्र पर कुल गुरुत्वीय विभव $V_{total} = 4 \times V_1$ होगा।
$V_{total} = 4 \times \left( -\frac{\sqrt{2}GM}{L} \right) = -\frac{4\sqrt{2}GM}{L}$.
चूंकि $4\sqrt{2} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{32}$,इसलिए कुल विभव $V_{total} = -\sqrt{32} \frac{GM}{L}$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r = R_e + h$,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ उपग्रह की ऊँचाई है।
दिया गया है कि $h = 6.4 \times 10^6 \ m$ और $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$,इसलिए $r = R_e + R_e = 2R_e$ है।
संबंध $g = \frac{GM}{R_e^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $GM = gR_e^2$ लिख सकते हैं।
इन मानों को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e = -0.5 \, mgR_e$।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार पिंड का गुरुत्वीय विभव $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R)$: $V_{in} = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - r^2) = -\frac{GM}{2R} [3 - (r/R)^2]$। यह एक परवलयिक परिवर्तन है जहाँ विभव केंद्र $(r=0)$ पर अधिकतम (कम ऋणात्मक) होता है और सतह पर घटकर $-\frac{3GM}{2R}$ हो जाता है।
$2$. सतह पर $(r = R)$: $V_{surface} = -\frac{GM}{R}$।
$3$. पृथ्वी के बाहर $(r > R)$: $V_{out} = -\frac{GM}{r}$। यह व्युत्क्रम संबंध का पालन करता है।
इन आरेखों के साथ तुलना करने पर, विभव केंद्र पर एक ऋणात्मक मान से शुरू होता है, सतह पर अधिक ऋणात्मक मान तक परवलयिक रूप से घटता है, और फिर जैसे-जैसे $r$ अनंत की ओर बढ़ता है, यह शून्य की ओर बढ़ता है। विकल्प $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$, गुरुत्वीय विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है: $V_{in} = -\frac{GM}{R}$.
$2$. सतह पर $(r = R)$, विभव $V_{surface} = -\frac{GM}{R}$ होता है।
$3$. गोले के बाहर $(r > R)$, विभव दूरी के साथ व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलता है: $V_{out} = -\frac{GM}{r}$.
चूंकि विभव ऋणात्मक है, यह गोले के अंदर एक स्थिर ऋणात्मक मान बनाए रखता है और गोले के बाहर $r$ बढ़ने पर शून्य की ओर जाता है। ग्राफ $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है, जो $r \leq R$ के लिए एक स्थिर ऋणात्मक मान और $r > R$ के लिए $V \propto -1/r$ के अनुसार एक वक्र दिखाता है।

(D) यदि किसी निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = U + E_k)$ ऋणात्मक है,तो निकाय को बद्ध माना जाता है।
दिए गए ग्राफ में,$U$ स्थितिज ऊर्जा (जो ऋणात्मक है) को दर्शाता है और $E_k$ गतिज ऊर्जा (जो धनात्मक है) को दर्शाता है।
बिंदुओं $A, B$ और $C$ पर,ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा का परिमाण $|U|$,गतिज ऊर्जा $E_k$ से अधिक है,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा $E = U + E_k < 0$ है।
अतः,निकाय बिंदुओं $A, B$ और $C$ पर बद्ध है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U(r) = m \cdot V(r)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V(r)$ कोश के कारण गुरुत्वीय विभव है।
$r < R$ के लिए,गोलीय कोश के अंदर गुरुत्वीय विभव स्थिर होता है और $V = -\frac{GM}{R}$ के बराबर होता है। अतः,$U(r) = -\frac{GMm}{R}$,जो एक स्थिर मान है।
$r \geq R$ के लिए,गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ होता है। अतः,$U(r) = -\frac{GMm}{r}$,जो $r$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलता है।
इस प्रकार,$U(r)$ बनाम $r$ का ग्राफ $r \leq R$ के लिए एक क्षैतिज रेखा होगी और $r > R$ के लिए व्युत्क्रम नियम का पालन करने वाला एक वक्र होगा। यह ग्राफ विकल्प $C$ में दर्शाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(D) गुरुत्वीय विभव $V$ और गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $E$ के बीच का संबंध $V = - \int E \, dx$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $E = K/x^3$ दिया गया है।
समाकलन में $E$ का मान रखने पर:
$V = - \int (K/x^3) \, dx$
$V = -K \int x^{-3} \, dx$
$V = -K [x^{-2} / -2]$
$V = K / (2x^2)$.
अतः,गुरुत्वीय विभव $K / (2x^2)$ है।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $I = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
उसी दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण लेने पर,हम दोनों के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं: $V = I \times r$.
दिया गया है: $I = 6 \, N/kg$ और $r = 8000 \, km = 8 \times 10^6 \, m$.
मान रखने पर: $V = 6 \times (8 \times 10^6) = 48 \times 10^6 = 4.8 \times 10^7 \, J/kg$.

(B) बिंदु द्रव्यमानों की प्रणाली के कारण मूल बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ व्यक्तिगत द्रव्यमानों के कारण विभवों के योग के बराबर होता है:
$V = - \left[ \frac{Gm}{r_1} + \frac{Gm}{r_2} + \frac{Gm}{r_3} + \dots \right]$
दिए गए स्थानों $r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 4, r_4 = 8, \dots$ को रखने पर:
$V = - Gm \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$
अतः,$V = - Gm(2) = - 2Gm$.

(B) माना कि जिस बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य है,वह $m$ द्रव्यमान से $x$ दूरी पर है। गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{Gm}{x^2} - \frac{GM}{(d-x)^2} = 0$ होती है।
इसका अर्थ है $\frac{m}{x^2} = \frac{M}{(d-x)^2}$,अर्थात $\frac{\sqrt{m}}{x} = \frac{\sqrt{M}}{d-x}$।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d$ और $d-x = \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है: $V = - \frac{Gm}{x} - \frac{GM}{d-x}$।
$x$ और $d-x$ के मान रखने पर: $V = - \frac{Gm}{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d} - \frac{GM}{\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d}$।
$V = - \frac{G}{d} [\sqrt{m}(\sqrt{m} + \sqrt{M}) + \sqrt{M}(\sqrt{m} + \sqrt{M})]$।
$V = - \frac{G}{d} (\sqrt{m} + \sqrt{M})^2$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई ऊँचाई $h = 6.4 \times 10^6 \, m$ है। चूँकि पृथ्वी की त्रिज्या $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \, m$ है,इसलिए $h = R_e$ होगा।
पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $U = -\frac{GMm}{2R_e}$।
संबंध $GM = gR_e^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2} mgR_e = -0.5 \, mgR_e$।

(C) बिंदु द्रव्यमान $m$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{Gm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
कई द्रव्यमानों के निकाय के लिए,कुल विभव प्रत्येक द्रव्यमान के कारण होने वाले विभव का बीजगणितीय योग होता है।
यहाँ,प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ है और वे मूल बिंदु से $r_1 = 1 \, m, r_2 = 2 \, m, r_3 = 4 \, m, r_4 = 8 \, m, \dots$ की दूरी पर स्थित हैं।
मूल बिंदु पर कुल गुरुत्वीय विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = -\frac{G(2)}{1} - \frac{G(2)}{2} - \frac{G(2)}{4} - \frac{G(2)}{8} - \dots$
$V = -2G \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
अतः,$V = -2G(2) = -4G$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = -\frac{GMm}{r}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
जैसे-जैसे उपग्रह एक दूर की स्थिर कक्षा में जाता है,कक्षीय त्रिज्या $r$ बढ़ती है।
चूंकि $U = -\frac{GMm}{r}$,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,ऋणात्मक मान का परिमाण कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $U$ का मान बढ़ता है (यह कम ऋणात्मक हो जाता है)।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V$ का सूत्र $V = -\frac{GM}{r}$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{GM}{r^2}$ है।
गुरुत्वीय विभव $V$ के शून्य होने के लिए,हमें $r \to \infty$ की आवश्यकता है।
गुरुत्वीय क्षेत्र $I$ के शून्य होने के लिए,हमें $r \to \infty$ की आवश्यकता है।
अतः,पृथ्वी के कारण गुरुत्वीय विभव और गुरुत्वीय क्षेत्र दोनों केवल अनंत पर ही शून्य होते हैं।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $0$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। $d$ दूरी पर,स्थितिज ऊर्जा $-G m_1 m_2 / d$ है। कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$0 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d}$
रैखिक संवेग संरक्षण के अनुसार,चूंकि निकाय प्रारंभ में विरामावस्था में है,द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहेगा:
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$
$v_2$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{G m_1 m_2}{d} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (\frac{m_1 v_1}{m_2})^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 (1 + \frac{m_1}{m_2}) = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 (\frac{m_1 + m_2}{m_2})$
$v_1$ के लिए हल करने पर: $v_1 = \sqrt{\frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)}}$। इसी प्रकार,$v_2 = \sqrt{\frac{2 G m_1^2}{d(m_1 + m_2)}}$।
सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2 G}{d(m_1 + m_2)}} (m_2 + m_1) = \sqrt{\frac{2 G (m_1 + m_2)}{d}}$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोलाकार कोश के केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब कोश को उसकी त्रिज्या के आधे तक संकुचित किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
केंद्र पर नया विभव $V' = -\frac{GM}{r'} = -\frac{GM}{r/2} = -\frac{2GM}{r} = 2V$ हो जाता है।
चूंकि $V$ ऋणात्मक है,$2V$ का मान $V$ से अधिक ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,यदि $V = -10 \ J/kg$ है,तो $V' = -20 \ J/kg$ होगा)।
अतः,गुरुत्वीय विभव घटता है।

(C) कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\sum \frac{G m_i m_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र $(i)$ के लिए,दूरियाँ $r_{m,2m} = a$,$r_{m,3m} = a$,और $r_{2m,3m} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ हैं।
$U_1 = -\left( \frac{G(m)(2m)}{a} + \frac{G(m)(3m)}{a} + \frac{G(2m)(3m)}{a\sqrt{2}} \right) = -\frac{Gm^2}{a} \left( 2 + 3 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{Gm^2}{a} (5 + 3\sqrt{2})$.
चित्र $(ii)$ के लिए,दूरियाँ $r_{m,2m} = a$,$r_{m,3m} = a$,और $r_{2m,3m} = a$ हैं।
$U_2 = -\left( \frac{G(m)(2m)}{a} + \frac{G(m)(3m)}{a} + \frac{G(2m)(3m)}{a} \right) = -\frac{Gm^2}{a} (2 + 3 + 6) = -\frac{11Gm^2}{a}$.
बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य $W = U_2 - U_1$ है।
$W = -\frac{11Gm^2}{a} - \left( -\frac{Gm^2}{a} (5 + 3\sqrt{2}) \right) = \frac{Gm^2}{a} (-11 + 5 + 3\sqrt{2}) = \frac{Gm^2}{a} (-6 + 3\sqrt{2})$.
$W = -\frac{6Gm^2}{a} \left( 1 - \frac{3\sqrt{2}}{6} \right) = -\frac{6Gm^2}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.

(D) $r$ दूरी पर स्थित $dm$ द्रव्यमान के घटक के कारण गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\int \frac{G dm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले अर्धगोलाकार कटोरे के लिए,सतह पर प्रत्येक बिंदु केंद्र से $R$ दूरी पर है। अतः,$V = -\int \frac{G dm}{R} = -\frac{G}{R} \int dm = -\frac{GM}{R}.$
$R$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मुड़े हुए $M$ द्रव्यमान के पतले समान तार के लिए,तार पर प्रत्येक बिंदु वक्रता केंद्र से $R$ दूरी पर है। अतः,$V = -\int \frac{G dm}{R} = -\frac{GM}{R}.$
चूंकि दोनों स्थितियों में सभी द्रव्यमान घटकों के लिए दूरी $R$ स्थिर है,इसलिए विभव $-GM/R$ बना रहता है।
यह तार पर द्रव्यमान के वितरण की परवाह किए बिना सत्य है,जब तक कि प्रत्येक घटक $R$ दूरी पर हो। इसलिए,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) $r$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे त्रिज्या $r$ बढ़ती है,$U$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि इसमें वृद्धि होती है।
कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$v$ घटता है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$\omega$ घटता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$a_c$ घटता है।
अतः,केवल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(C) माना द्रव्यमान $m$ से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है।
दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता को बराबर करने पर:
$\frac{Gm}{x^2} = \frac{G(4m)}{(r-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{r-x}$
$r - x = 2x \implies 3x = r \implies x = \frac{r}{3}$
अब,बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ की गणना करते हैं:
$V = -\frac{Gm}{x} - \frac{G(4m)}{r-x}$
$x = \frac{r}{3}$ और $r-x = \frac{2r}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V = -\frac{Gm}{r/3} - \frac{4Gm}{2r/3} = -\frac{3Gm}{r} - \frac{6Gm}{r} = -\frac{9Gm}{r}$

(A) मान लीजिए मूल गोले का केंद्र $O$ है और गुहा का केंद्र $P$ है। दूरी $OP = R/2$ है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = \frac{-GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. मूल ठोस गोले के कारण बिंदु $P$ पर विभव:
यहाँ,$r = OP = R/2$.
$V_{sphere} = \frac{-GM}{2R^3} \left[ 3R^2 - (R/2)^2 \right] = \frac{-GM}{2R^3} \left( 3R^2 - \frac{R^2}{4} \right) = \frac{-GM}{2R^3} \left( \frac{11R^2}{4} \right) = \frac{-11GM}{8R}$.
$2$. हटाए गए गोलाकार भाग (गुहा) के कारण बिंदु $P$ पर विभव:
हटाए गए भाग का द्रव्यमान $M'$ आयतन के समानुपाती होता है: $M' = M \times \frac{(4/3)\pi(R/2)^3}{(4/3)\pi R^3} = M/8$.
$M'$ द्रव्यमान और $R' = R/2$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के केंद्र पर विभव $V_{cavity} = \frac{-3GM'}{2R'} = \frac{-3G(M/8)}{2(R/2)} = \frac{-3GM}{8R}$.
$3$. गुहा के केंद्र $(P)$ पर विभव:
$V_{total} = V_{sphere} - V_{cavity} = \frac{-11GM}{8R} - \left( \frac{-3GM}{8R} \right) = \frac{-11GM + 3GM}{8R} = \frac{-8GM}{8R} = \frac{-GM}{R}$.

(A) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{3GMm}{2R}$ होती है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ होती है।
द्रव्यमान को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R} - (-\frac{3GMm}{2R}) = \frac{GMm}{2R}$।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$।
यहाँ $m = 4 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ है:
$\Delta U = \frac{4 \times 10 \times 6.4 \times 10^6}{2} = 2 \times 6.4 \times 10^7 = 1.28 \times 10^8 \, J$।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोलाकार तारे की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{3GM^2}{5R}$ द्वारा दी जाती है।
तारे का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है,जिसका अर्थ है $R = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$।
$U$ के व्यंजक में $R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $U = -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3V})^{1/3} = -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} V^{-1/3}$।
गुरुत्वाकर्षण दबाव $P$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन से $dW = P dV = -dU$ संबंध द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $P = -\frac{dU}{dV}$।
$V$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करने पर: $P = -[ -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} \cdot (-\frac{1}{3}) V^{-4/3} ]$।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $P = -\frac{GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} V^{-4/3}$।
चूंकि $G, M$ और स्थिरांक निश्चित हैं,इसलिए $P \propto V^{-4/3}$ होता है।

(B) कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $(A)$ के लिए,हमारे पास $d, d,$ और $\sqrt{d^2+d^2} = d\sqrt{2}$ दूरी वाले तीन जोड़े हैं।
$U_A = -\frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d\sqrt{2}} = -\frac{2Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d\sqrt{2}}$.
स्थिति $(B)$ के लिए,हमारे पास $d, d,$ और $2d$ दूरी वाले तीन जोड़े हैं।
$U_B = -\frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{2d} = -\frac{2Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{2d}$.
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ और $\frac{1}{2} = 0.5$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$ है।
अतः,$-\frac{Gm^2}{d\sqrt{2}} < -\frac{Gm^2}{2d}$.
इसका अर्थ है कि $U_A < U_B$।

(C) कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
अनंत पर,स्थितिज ऊर्जा $U_{\infty} = 0$ और गतिज ऊर्जा $K_{\infty} = 0$ है।
गोले के केंद्र पर,स्थितिज ऊर्जा $U_{c}$ एक समान ठोस गोले के अंदर विभव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $U_{c} = m \times V_{c} = m \times \left( -\frac{3GM}{2R} \right) = -\frac{3GMm}{2R}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर: $K_{\infty} + U_{\infty} = K_{c} + U_{c}$।
$0 + 0 = \frac{1}{2}mV^{2} - \frac{3GMm}{2R}$।
$\frac{1}{2}mV^{2} = \frac{3GMm}{2R}$।
$V^{2} = \frac{3GM}{R}$।
$V = \sqrt{\frac{3GM}{R}}$।

(D) बिंदु द्रव्यमान $m$ से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{Gm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान के निरंतर वितरण के लिए,अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर विभव प्रत्येक बिंदु के लिए समान होता है क्योंकि चाप का प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी $r$ पर स्थित होता है।
यह दिया गया है कि छड़ की लंबाई $L$ है और इसे अर्धवृत्त में मोड़ा गया है,इसलिए अर्धवृत्त की त्रिज्या $r$ और लंबाई के बीच का संबंध $\pi r = L$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{L}{\pi}$ है।
चूंकि कुल द्रव्यमान $M$ चाप पर समान रूप से वितरित है,इसलिए केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ होगा।
$r$ का मान रखने पर,हमें $V = -\frac{GM}{(L/\pi)}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{\pi GM}{L}$ है।

(B) गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ के बीच का संबंध $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ है।
दिया गया है $E = -\frac{K}{r}$,इसलिए $dV = -(-\frac{K}{r}) dr = \frac{K}{r} dr$.
संदर्भ बिंदु $(r_0, V_0)$ से किसी बिंदु $(r, V)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{V_0}^{V} dV = \int_{r_0}^{r} \frac{K}{r} dr$.
$V - V_0 = K [\ln(r)]_{r_0}^{r}$.
$V - V_0 = K (\ln(r) - \ln(r_0))$.
$V - V_0 = K \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$.
अतः,$V = V_0 + K \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$.

(C) हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच संबंध $E = -dV/dr$ है।
दिया गया है $E = -k/r$,इसलिए $-dV/dr = -k/r$,जो सरल होकर $dV/dr = k/r$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $r_0$ से $r$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{V_0}^{V} dV = \int_{r_0}^{r} (k/r) dr$
$V - V_0 = k [\ln(r)]_{r_0}^{r}$
$V - V_0 = k (\ln(r) - \ln(r_0))$
$V - V_0 = k \ln(r/r_0)$
अतः,$V = V_0 + k \ln(r/r_0)$.

(B) कोश की सतह पर कुल गुरुत्वीय विभव,गोलीय कोश के कारण विभव और केंद्र पर स्थित कण के कारण विभव का योग होता है।
$1$. $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोलीय कोश के कारण उसकी सतह पर विभव $V_{\text{shell}} = -\frac{G(2M)}{R}$ है।
$2$. $M$ द्रव्यमान के कण के कारण उससे $R$ दूरी पर (जो केंद्र से सतह तक की दूरी है) विभव $V_M = -\frac{GM}{R}$ है।
$3$. कुल विभव $V_{\text{surface}}$ इस प्रकार है:
$V_{\text{surface}} = V_{\text{shell}} + V_M$
$V_{\text{surface}} = -\frac{2GM}{R} - \frac{GM}{R}$
$V_{\text{surface}} = -\frac{3GM}{R}$

(A) पृथ्वी के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर $(r = R)$,विभव $V_s = -\frac{GM}{R}$ है।
केंद्र से $r = \frac{R}{2}$ की दूरी पर,विभव $V_p = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - (\frac{R}{2})^2) = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - \frac{R^2}{4}) = -\frac{GM}{2R^3}(\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GM}{8R}$ है।
सतह और $\frac{R}{2}$ दूरी वाले बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$0 + m V_s = \frac{1}{2}mv^2 + m V_p$
$m(-\frac{GM}{R}) = \frac{1}{2}mv^2 + m(-\frac{11GM}{8R})$
$-\frac{GM}{R} + \frac{11GM}{8R} = \frac{1}{2}v^2$
$\frac{3GM}{8R} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = \frac{3GM}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$

(C) $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले समान घनत्व के ठोस गोले के लिए,गुरुत्वीय विभव $V(r)$ इस प्रकार दिया जाता है:
गोले के अंदर $(r \le R)$: $V(r) = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$। यह एक परवलयिक परिवर्तन है जहाँ विभव सतह पर $(r=R)$ अधिकतम (सबसे कम ऋणात्मक) और केंद्र पर $(r=0)$ न्यूनतम (सबसे अधिक ऋणात्मक) होता है।
गोले के बाहर $(r > R)$: $V(r) = -\frac{GM}{r}$। यह दूरी के साथ व्युत्क्रम परिवर्तन दर्शाता है।
ग्राफ $C$ सही ढंग से दर्शाता है कि विभव केंद्र पर एक ऋणात्मक मान से शुरू होता है,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह $R$ की ओर बढ़ता है (कम ऋणात्मक होता जाता है),और फिर जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह शून्य की ओर बढ़ना जारी रखता है।

(D) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $\vec{g} = (5\hat{i} + 12\hat{j})\,N/kg$ है।
चूंकि क्षेत्र एकसमान है,गुरुत्वाकर्षण विभव में परिवर्तन $\Delta V = -\int \vec{g} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(0, 0)$ से $(7, -3)$ तक विस्थापन के लिए,विभव में परिवर्तन $\Delta V = -\vec{g} \cdot \Delta\vec{r}$ है।
$\Delta\vec{r} = (7 - 0)\hat{i} + (-3 - 0)\hat{j} = 7\hat{i} - 3\hat{j}$.
$\Delta V = -[(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j})] = -[5(7) + 12(-3)] = -[35 - 36] = -(-1) = 1\,J/kg$.
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = m \Delta V$ है।
यहाँ $m = 1\,kg$ दिया गया है,इसलिए $\Delta U = 1\,kg \times 1\,J/kg = 1\,J$.

(C) माना कण का द्रव्यमान $M$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक स्थिति (केंद्र से $r$ दूरी पर) पर कुल ऊर्जा केंद्र $C$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले वलय के अक्ष पर $x$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_p = -\frac{Gm}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = M \times V_p(r) = -\frac{GMm}{\sqrt{r^2 + r^2}} = -\frac{GMm}{r\sqrt{2}}$.
केंद्र पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = M \times V_p(0) = -\frac{GMm}{r}$.
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{r\sqrt{2}} + 0 = -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}MV^2$.
$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r\sqrt{2}} = \frac{GMm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V^2 = \frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V = \sqrt{\frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(C) गोलीय कोश की सतह पर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव,केंद्र पर स्थित कण के कारण विभव और स्वयं कोश के कारण विभव का योग होता है।
$1$. $R$ दूरी पर (सतह पर) $m$ द्रव्यमान के कण के कारण विभव $V_1 = -\frac{Gm}{R}$ है।
$2$. $3m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोलीय कोश के कारण उसकी सतह पर किसी भी बिंदु पर विभव $V_2 = -\frac{G(3m)}{R}$ है।
$3$. सतह पर कुल गुरुत्वीय विभव $V = V_1 + V_2$ है।
$V = -\frac{Gm}{R} + \left(-\frac{3Gm}{R}\right) = -\frac{4Gm}{R}$.

(B) कणों के एक निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा सभी संभावित युग्मों की स्थितिज ऊर्जा का योग होती है।
$l$ भुजा वाले वर्ग के लिए,$l$ लंबाई की $4$ भुजाएँ और $\sqrt{2}l$ लंबाई के $2$ विकर्ण होते हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = 4 \times (-\frac{Gm^2}{l}) + 2 \times (-\frac{Gm^2}{\sqrt{2}l})$.
$U = -\frac{4Gm^2}{l} - \frac{2Gm^2}{\sqrt{2}l}$.
$-\frac{2Gm^2}{l}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $U = -\frac{2Gm^2}{l} (2 + \frac{1}{\sqrt{2}})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $20\,m$ की ऊँचाई के लिए गुरुत्वीय विभव का अंतर $\Delta V = 2\,J/kg$ दिया गया है।
चूँकि गुरुत्वीय क्षेत्र $g$ एकसमान है,विभव का अंतर $\Delta V = g \cdot h$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$g = \frac{\Delta V}{h_1} = \frac{2\,J/kg}{20\,m} = 0.1\,N/kg$ (या $m/s^2$) है।
$m = 5\,kg$ द्रव्यमान के पिंड को $h_2 = 4\,m$ की ऊँचाई तक ले जाने में किया गया कार्य $W = m \cdot g \cdot h_2$ होता है।
मान रखने पर: $W = 5\,kg \times 0.1\,N/kg \times 4\,m = 2\,J$।

(D) $r = \frac{3}{2}R$ की दूरी पर कुल गुरुत्वीय विभव $V$,ठोस गोले के कारण विभव $(V_1)$ और गोलीय कोश के कारण विभव $(V_2)$ का योग होता है।
$1$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के लिए,बिंदु $r = \frac{3}{2}R$ गोले के बाहर है। विभव $V_1 = -\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{(3/2)R} = -\frac{2GM}{3R}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. $M$ द्रव्यमान और $2R$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश के लिए,बिंदु $r = \frac{3}{2}R$ कोश के अंदर है। कोश के अंदर विभव स्थिर होता है और इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V_2 = -\frac{GM}{R_{shell}} = -\frac{GM}{2R}$ है।
$3$. कुल गुरुत्वीय विभव $V = V_1 + V_2 = -\frac{2GM}{3R} - \frac{GM}{2R} = -\frac{4GM + 3GM}{6R} = -\frac{7GM}{6R}$ होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पिंड पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = R + h$ होगी।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R+h}$ होगी।
नोट: यदि $h$,$R$ की तुलना में बहुत छोटा है,तो टेलर विस्तार का उपयोग करके हम लिख सकते हैं: $U = -\frac{GMm}{R(1 + h/R)} \approx -\frac{GMm}{R}(1 - h/R) = -\frac{GMm}{R} + \frac{GMmh}{R^2}$.
चूँकि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए यह समीकरण $U \approx -\frac{GMm}{R} + mgh$ बन जाता है।

(B) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के कोनों पर $M$ द्रव्यमान के तीन कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U_1 = -\frac{GM^2}{a} - \frac{GM^2}{a} - \frac{GM^2}{a} = -\frac{3GM^2}{a}$.
जब भुजा की लंबाई बदलकर $2a$ कर दी जाती है,तो नई स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{3GM^2}{2a}$ होती है।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1$.
$W = -\frac{3GM^2}{2a} - (-\frac{3GM^2}{a}) = -\frac{3GM^2}{2a} + \frac{3GM^2}{a} = \frac{3GM^2}{2a}$.

(C) केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,जहाँ $r < x < R$ है:
$1$. यह बिंदु आंतरिक कोश (त्रिज्या $r$,द्रव्यमान $m$) के बाहर स्थित है। आंतरिक कोश के कारण विभव $V_1 = -\frac{Gm}{x}$ है।
$2$. यह बिंदु बाहरी कोश (त्रिज्या $R$,द्रव्यमान $M$) के अंदर स्थित है। एक गोलाकार कोश के अंदर विभव स्थिर होता है और उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है,इसलिए $V_2 = -\frac{GM}{R}$ है।
$3$. कुल गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों कोशों के कारण विभव का योग है: $V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{x} - \frac{GM}{R} = -G \left[ \frac{M}{R} + \frac{m}{x} \right]$.