Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Hindi

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{ext} + W_{grav} = \Delta K.$
यहाँ,$W_{ext} = -5.5 \ J$ व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य है।
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_{grav} = -\Delta U = -(U_A - U_{\infty}) = -(m V_A - 0) = -m V_A$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1 \times (3)^2 = 4.5 \ J$ है।
इन मानों को कार्य-ऊर्जा प्रमेय में रखने पर: $-5.5 + (-1 \times V_A) = 4.5.$
$-V_A = 4.5 + 5.5 = 10 \ J/kg.$
अतः,$V_A = -10 \ J/kg.$

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$r = R$ पर इस ऊर्जा का परिमाण $E = \frac{GMm}{R}$ है,जिसका अर्थ है $GMm = ER$।
पिंड का भार $W$,$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ के बराबर होता है।
$r = 1.5 R = \frac{3}{2} R$ पर,भार $W = \frac{GMm}{(1.5 R)^2} = \frac{GMm}{2.25 R^2} = \frac{GMm}{\frac{9}{4} R^2} = \frac{4 GMm}{9 R^2}$ होगा।
$GMm = ER$ को $W$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{4 (ER)}{9 R^2} = \frac{4 E}{9 R}$।

(C) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ होती है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ होती है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta U = mgR^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta U = \frac{mgR}{5}$,इसलिए $\frac{mgR}{5} = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{5} = \frac{h}{R+h} \implies R+h = 5h \implies 4h = R \implies h = \frac{R}{4}$.

(B) $M$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी के केंद्र से $r/3$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$,पृथ्वी और चंद्रमा के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$U = -\frac{G M_{1} M}{r/3} - \frac{G M_{2} M}{2r/3} = -\frac{3 G M_{1} M}{r} - \frac{3 G M_{2} M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
अनंत तक पलायन करने के लिए,कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। अतः,आवश्यक गतिज ऊर्जा $K$,स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$K = \frac{1}{2} M V^{2} = |U| = \frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
$V$ के लिए हल करने पर:
$V^{2} = \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$,
$V = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक संरक्षी बल क्षेत्र है।
एक संरक्षी बल क्षेत्र में,एक कण को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
यह केवल कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
चूंकि तीनों पथ $(1, 2, 3)$ बिंदु $A$ से शुरू होते हैं और बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए प्रत्येक पथ के अनुदिश किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2 = W_3$।

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों कणों द्वारा उत्पन्न तीव्रता परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होनी चाहिए।
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G(9 m)}{r_2^2}$
जहाँ $r_1$ द्रव्यमान $m$ से दूरी है और $r_2$ द्रव्यमान $9m$ से दूरी है।
चूंकि $r_1 + r_2 = r$,हमारे पास $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow r_2 = 3 r_1$ है।
इसलिए,$r_1 + 3 r_1 = r \Rightarrow 4 r_1 = r \Rightarrow r_1 = \frac{r}{4}$ और $r_2 = \frac{3r}{4}$।
गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G(9 m)}{r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = -\frac{G m}{r/4} - \frac{9 G m}{3r/4} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{36 G m}{3r} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{12 G m}{r} = -\frac{16 G m}{r}$।

(C) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{1} = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
सतह से $h = R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_{2} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_{2} - U_{1} = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ है,इसलिए $GM = gR^{2}$ है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{(gR^{2})m}{R} = \frac{1}{2} mgR$.

(D) $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कारण किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{Gm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = 1 \ kg$ है। वस्तुएं $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \ldots \ m$ पर रखी गई हैं।
चूंकि प्रत्येक दूरी $r$ पर दो वस्तुएं हैं (एक $+r$ पर और एक $-r$ पर),$x=0$ पर कुल विभव $V_{total}$ होगा:
$V_{total} = \sum -\frac{Gm}{r_i} = -G(1) \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots \right]$
$V_{total} = -G \left[ 2 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \right) \right]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=1/2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ है।
अतः,$V_{total} = -G \times 2 \times 2 = -4G$।
विभव का परिमाण $|V_{total}| = 4G$ है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h = R_e$ की ऊँचाई पर है।
इसलिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ होगी।
सूत्र में $r = 2R_e$ रखने पर,हमें $U = -\frac{GMm}{2R_e}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_e^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $GM = gR_e^2$।
$U$ के व्यंजक में $GM = gR_e^2$ रखने पर,हमें $U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -0.5 mgR_e$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की पृथ्वी की सतह (त्रिज्या $R$) पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
जब पिंड को $h = 150\% \text{ of } R$ की ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो $h = 1.5R$ होता है।
इस ऊँचाई पर पृथ्वी के केंद्र से पिंड की दूरी $R' = R + h = R + 1.5R = 2.5R$ होती है।
नई गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = -\frac{GMm}{R'} = -\frac{GMm}{2.5R}$ है।
$E = -\frac{GMm}{R}$ को $E'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E' = \frac{E}{2.5} = 0.4E$ प्राप्त होता है।

(A) गोलाकार पिंड के बाहर किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r = 2.5 a$ की दूरी पर स्थित बिंदु ठोस गोले और गोलाकार खोल दोनों के बाहर है,इसलिए दोनों केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करते हैं।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + 0.5 M = 1.5 M$ है।
$r = 2.5 a$ की दूरी पर इकाई द्रव्यमान $(m = 1)$ की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = V = -\frac{G M_{total}}{r}$ है।
मान रखने पर: $U = -\frac{G(1.5 M)}{2.5 a} = -\frac{1.5}{2.5} \frac{GM}{a} = -\frac{3}{5} \frac{GM}{a} = -\frac{3 GM}{5 a}$.

(C) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी द्रव्यमान युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग होती है।
तीन द्रव्यमानों $m_1, m_2, m_3$ के लिए जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरी पर हैं,कुल स्थितिज ऊर्जा $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r_{12}} + \frac{m_2 m_3}{r_{23}} + \frac{m_3 m_1}{r_{31}} \right)$ है।
यहाँ,$m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$m_3 = 3m$,और $r_{12} = r_{23} = r_{31} = a$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$U = -\frac{G}{a} [ (m)(2m) + (2m)(3m) + (3m)(m) ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 2m^2 + 6m^2 + 3m^2 ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 11m^2 ]$
$U = -11 \frac{Gm^2}{a}$.

(C) एक संरक्षी बल के विरुद्ध बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,$W = U_f - U_i$.
$M$ द्रव्यमान वाले गोले से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर $(r = 1 \ m)$ प्रारंभिक विभव $V_i = -\frac{G \times 1000}{1} = -6.67 \times 10^{-11} \times 1000 = -6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ है।
कण को अनंत तक ले जाने के लिए,अंतिम विभव $V_f = -\frac{GM}{\infty} = 0$ होगा।
प्रति इकाई द्रव्यमान किया गया कार्य $W = V_f - V_i = 0 - (-6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}) = 6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी द्रव्यमान द्वारा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है।
द्रव्यमान $M$ से $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ का व्यंजक $U = -\frac{G M m}{r}$ है।
चूंकि $U$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है और इसमें ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान बढ़ता है।
जब $r = \infty$ होता है,तो $U = -\frac{G M m}{\infty} = 0$ हो जाता है।
चूंकि अन्य सभी स्थानों पर स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है,इसलिए $0$ गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम संभव मान है।

(B) दिया गया है,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$,द्रव्यमान $m = 2 \text{ kg}$,और विस्थापन सदिश $r = (12 \hat{i} + 15 \hat{j}) \text{ m}$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = \int F \cdot dr = \int (mE) \cdot dr$ है।
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -W = -m \int E \cdot dr$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\Delta U = -2 \int_{(0,0)}^{(12,15)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = -2 \left[ \int_0^{12} 5 dx + \int_0^{15} 12 dy \right]$
$\Delta U = -2 [5(12 - 0) + 12(15 - 0)]$
$\Delta U = -2 [60 + 180]$
$\Delta U = -2 [240] = -480 \text{ J}$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $-480 \text{ J}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$ ।
विन्यास $1$ के लिए (समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ $a, a, \sqrt{2}a$ हैं):
$U_i = -\frac{G(m)(2m)}{a} - \frac{G(m)(3m)}{a} - \frac{G(2m)(3m)}{\sqrt{2}a} = -\frac{G m^2}{a} \left( 2 + 3 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{G m^2}{a} \left( 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right)$ ।
विन्यास $2$ के लिए (समबाहु त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ $a$ हैं):
$U_f = -\frac{G(m)(3m)}{a} - \frac{G(m)(2m)}{a} - \frac{G(2m)(3m)}{a} = -\frac{G m^2}{a} (3 + 2 + 6) = -\frac{11 G m^2}{a}$ ।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = -\frac{11 G m^2}{a} - \left( -\frac{G m^2}{a} \left( 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) \right) = \frac{G m^2}{a} \left( -11 + 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = \frac{G m^2}{a} \left( \frac{6}{\sqrt{2}} - 6 \right) = -\frac{G m^2}{a} \left( 6 - \frac{6}{\sqrt{2}} \right)$ ।

(B) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है,$m$ द्रव्यमान से $x$ दूरी पर है। दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$E_1 = E_2 \Rightarrow \frac{Gm}{x^2} = \frac{G(9m)}{(r-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{x} = \frac{3}{r-x}$
$r-x = 3x \Rightarrow 4x = r \Rightarrow x = \frac{r}{4}$.
$9m$ द्रव्यमान से दूरी $r-x = r - \frac{r}{4} = \frac{3r}{4}$ है।
इस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{x} - \frac{G(9m)}{r-x}$
$V = -\frac{Gm}{r/4} - \frac{9Gm}{3r/4} = -\frac{4Gm}{r} - \frac{12Gm}{r}$
$V = -\frac{16Gm}{r}$.

(B) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा दिया जाता है, अर्थात $\Delta U = -W = -\int \vec{F} \cdot d\vec{r} = -m \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$।
यहाँ $\vec{E} = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \text{ N/kg}$ और विस्थापन $\vec{r} = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \text{ m}$ दिया गया है।
चूंकि क्षेत्र एकसमान है, किया गया कार्य $W = m(\vec{E} \cdot \vec{r})$ होगा।
$W = 2 \text{ kg} \times [(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j})] \text{ J}$।
$W = 2 \times (5 \times 12 + 12 \times 5) = 2 \times (60 + 60) = 2 \times 120 = 240 \text{ J}$।
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -W = -240 \text{ J}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है,$4 \,m$ द्रव्यमान से $x$ दूरी पर है। $9 \,m$ द्रव्यमान से इसकी दूरी $(r - x)$ होगी।
इस बिंदु पर,दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वीय क्षेत्रों के परिमाण समान होते हैं:
$\frac{G(4 \,m)}{x^2} = \frac{G(9 \,m)}{(r - x)^2}$
$\frac{4}{9} = \left(\frac{x}{r - x}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{x}{r - x}$
$2(r - x) = 3x \Rightarrow 2r - 2x = 3x \Rightarrow 5x = 2r \Rightarrow x = \frac{2r}{5}$
अतः,$4 \,m$ से दूरी $\frac{2r}{5}$ है और $9 \,m$ से दूरी $r - \frac{2r}{5} = \frac{3r}{5}$ है。
इस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = -\frac{G(4 \,m)}{x} - \frac{G(9 \,m)}{r - x}$
$V = -\frac{G(4 \,m)}{\frac{2r}{5}} - \frac{G(9 \,m)}{\frac{3r}{5}}$
$V = -\frac{20Gm}{2r} - \frac{45Gm}{3r} = -\frac{10Gm}{r} - \frac{15Gm}{r} = -\frac{25Gm}{r}$

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h = R/5$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h} = -\frac{GMm}{R + R/5} = -\frac{GMm}{6R/5} = -\frac{5GMm}{6R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta PE = PE_2 - PE_1 = -\frac{5GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} (1 - 5/6) = \frac{GMm}{6R}$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta PE = \frac{(gR^2)m}{6R} = \frac{mgR}{6}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $h = R/5$,इसलिए $R = 5h$ है।
अब $R = 5h$ रखने पर,$\Delta PE = \frac{mg(5h)}{6} = \frac{5}{6} mgh$ प्राप्त होता है।

(B) कणों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी संभावित युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$.
$a = 3 l_o$ और $b = 4 l_o$ भुजाओं वाले आयत के लिए,विकर्ण $d = \sqrt{(3 l_o)^2 + (4 l_o)^2} = 5 l_o$ है।
यहाँ $3 l_o$ लंबाई की दो भुजाएँ,$4 l_o$ लंबाई की दो भुजाएँ और $5 l_o$ लंबाई के दो विकर्ण हैं,जिससे कुल $6$ युग्म बनते हैं।
$U = -\left[ \frac{Gm^2}{3 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{4 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{5 l_o} \times 2 \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{40 + 30 + 24}{60} \right] = -\frac{94}{60} \frac{Gm^2}{l_o} = -\frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$.
अतः,परिमाण $|U| = \frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$ है।

(A) माना $m_1 = 100 \,kg$ और $m_2 = 8100 \,kg$ दो द्रव्यमान हैं जो $d = 1 \,m$ की दूरी पर स्थित हैं।
माना $x$ वह दूरी है जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है (शून्य बिंदु),$m_1$ से।
शून्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए शर्त: $\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d-x)^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d-x}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{10}{x} = \frac{90}{1-x} \implies 10 - 10x = 90x \implies 100x = 10 \implies x = 0.1 \,m$।
$m_2$ से दूरी $d-x = 0.9 \,m$ है।
इस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{G m_1}{x} - \frac{G m_2}{d-x}$ है।
$V = -G \left( \frac{100}{0.1} + \frac{8100}{0.9} \right) = -G (1000 + 9000) = -10000 G$।
$V = -10000 \times 6.67 \times 10^{-11} = -6.67 \times 10^{-7} \,J/kg$।

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \,N/kg$ द्वारा दिया गया है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से $(12 \,m, 5 \,m)$ बिंदु तक विस्थापन सदिश $dr = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \,m$ है।
गुरुत्वाकर्षण विभव में परिवर्तन $dV = -E \cdot dr$ द्वारा प्राप्त होता है।
$dV = -(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j}) = -(5 \times 12 + 12 \times 5) = -(60 + 60) = -120 \,J/kg$.
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = m \cdot dV$ है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ दिया गया है, इसलिए $\Delta U = 2 \,kg \times (-120 \,J/kg) = -240 \,J$.

(C) बाह्य एजेंट द्वारा किया गया कार्य निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{ext} = \Delta U = U_f - U_i$.
तीन द्रव्यमानों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r} + \frac{m_2 m_3}{r} + \frac{m_1 m_3}{r} \right) = -\frac{G}{r} (m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_1 m_3)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए द्रव्यमान: $m_1 = 200 \ kg$,$m_2 = 300 \ kg$,$m_3 = 400 \ kg$.
गुणनफलों का योग: $(200 \times 300) + (300 \times 400) + (200 \times 400) = 60000 + 120000 + 80000 = 260000 = 2.6 \times 10^5 \ kg^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r_i = 20 \ m)$:
$U_i = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{20} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.13 \times 10^5 = -8.671 \times 10^{-7} \ J$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(r_f = 25 \ m)$:
$U_f = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{25} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.104 \times 10^5 = -6.9368 \times 10^{-7} \ J$.
किया गया कार्य:
$W = U_f - U_i = (-6.9368 \times 10^{-7}) - (-8.671 \times 10^{-7}) = 1.7342 \times 10^{-7} \ J \approx 1.74 \times 10^{-7} \ J$.

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_i = R_e$ है। अतः,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R_e}$ है।
सतह से $h = 2R_e$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_f = R_e + 2R_e = 3R_e$ है। अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{3R_e}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R_e} - (-\frac{GMm}{R_e}) = GMm(\frac{1}{R_e} - \frac{1}{3R_e}) = GMm(\frac{2}{3R_e})$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_e^2}$ है,इसलिए $GM = gR_e^2$ होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\Delta U = (gR_e^2)m(\frac{2}{3R_e}) = \frac{2}{3}mgR_e$ प्राप्त होता है।