Reynold's Number and Poiseuille's Equation Questions in Hindi

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_{e})$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न तरल प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
इसे जड़त्वीय बलों (inertial forces) और श्यान बलों (viscous forces) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
रेनॉल्ड्स संख्या का सूत्र इस प्रकार है:
$R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
जहाँ:
$\rho$ = तरल का घनत्व
$v$ = तरल का वेग
$d$ = पाइप का व्यास
$\eta$ = तरल का श्यानता गुणांक
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$
जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है, $v$ वेग है, $D$ नली का व्यास है, और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 10^3 \, kg/m^3$
वेग $v = 2 \, m/s$
त्रिज्या $r = 2 \, cm = 0.02 \, m$, इसलिए व्यास $D = 2r = 0.04 \, m$
श्यानता गुणांक $\eta = 8 \times 10^{-2} \, \text{decapoise} = 0.08 \, Pa \cdot s$
मान रखने पर:
$R_e = \frac{10^3 \times 2 \times 0.04}{8 \times 10^{-2}}$
$R_e = \frac{1000 \times 0.08}{0.08}$
$R_e = 1000$

(D) पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,एक केशिका नली के माध्यम से प्रवाह की दर $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta L}$ द्वारा दी जाती है।
इससे हम देख सकते हैं कि $Q \propto P \times r^4$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $Q_1 = Q$,$P_1 = P$,और $r_1 = a$ है।
मान लीजिए अंतिम स्थिति $Q_2$,$P_2 = 4P$,और $r_2 = \frac{a}{4}$ है।
समानुपातिकता $Q \propto P \times r^4$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{P_2}{P_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{Q} = \frac{4P}{P} \times \left( \frac{a/4}{a} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{Q} = 4 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{64}$.
अतः,$Q_2 = \frac{Q}{64}$.

(A) पोइज़ुली के समीकरण के अनुसार,प्रवाह की दर $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि केशिकाएं श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,इसलिए प्रवाह की दर $Q$ तीनों केशिकाओं के लिए समान रहेगी।
अतः,केशिका पर दबाव का अंतर $\Delta P = Q \cdot \frac{8 \eta L}{\pi r^4} \propto \frac{L}{r^4}$ होता है।
मान लीजिए $P_1, P_2, P_3$ क्रमशः पहली,दूसरी और तीसरी केशिका पर दबाव के अंतर हैं।
दिया गया है $P_1 = P, L_1 = L, r_1 = r$।
दूसरी केशिका के लिए: $L_2 = L/2, r_2 = r/2$।
$P_2 = P_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^4 = P \cdot \frac{L/2}{L} \cdot \left(\frac{r}{r/2}\right)^4 = P \cdot \frac{1}{2} \cdot (2)^4 = P \cdot \frac{16}{2} = 8P$।
तीसरी केशिका के लिए: $L_3 = L/3, r_3 = r/3$।
$P_3 = P_1 \cdot \frac{L_3}{L_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_3}\right)^4 = P \cdot \frac{L/3}{L} \cdot \left(\frac{r}{r/3}\right)^4 = P \cdot \frac{1}{3} \cdot (3)^4 = P \cdot \frac{81}{3} = 27P$।
इस प्रकार,दूसरी केशिका पर दबाव का अंतर $8P$ है।

(A) पोइज़ुली के समीकरण के अनुसार,एक केशिका नली में प्रति सेकंड बहने वाले द्रव का आयतन $(Q)$ इस प्रकार है:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}$
चूंकि द्रव्यमान $m = V \cdot d$ है,इसलिए प्रति सेकंड बहने वाले द्रव का द्रव्यमान है:
$\frac{m}{t} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} \cdot d$
समान दाबांतर $\Delta P$ के अंतर्गत समान नलियों से बहने वाले समान द्रव्यमान $m$ के दो द्रवों के लिए:
$\frac{m}{t_1} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta_1 L} d_1 \implies \eta_1 = \frac{\pi r^4 \Delta P \cdot d_1 t_1}{8 L m} \dots (I)$
$\frac{m}{t_2} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta_2 L} d_2 \implies \eta_2 = \frac{\pi r^4 \Delta P \cdot d_2 t_2}{8 L m} \dots (II)$
समीकरण $(I)$ को $(II)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{d_1 t_1}{d_2 t_2}$

(C) पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,केशिका नली से होकर बहने वाले द्रव के प्रवाह की दर इस प्रकार दी जाती है:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta \ell}$
जहाँ $P$ दाबांतर है,$r$ त्रिज्या है,$\eta$ श्यानता गुणांक है और $\ell$ नली की लंबाई है।
यह देखते हुए कि $P$ और $\eta$ स्थिर रहते हैं,प्रवाह की दर $V$,$\frac{r^4}{\ell}$ के समानुपाती होती है।
इसलिए,नई प्रवाह दर $V^{\prime}$ और मूल प्रवाह दर $V$ का अनुपात है:
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{(2r)^4}{2\ell} \times \frac{\ell}{r^4}$
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{16r^4}{2\ell} \times \frac{\ell}{r^4} = \frac{16}{2} = 8$
अतः,$V^{\prime} = 8V$.

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न तरल प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है。
इसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: $Re = \frac{\rho v d}{\eta}$.
जहाँ:
$\rho$ = $\text{तरल का घनत्व}$
$v$ = $\text{तरल का वेग}$
$d$ = $\text{पाइप का व्यास}$
$\eta$ = $\text{तरल का श्यानता गुणांक}$。
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही व्यंजक $\frac{\rho v d}{\eta}$ है。

(B) पाइप से बहने वाले तरल के क्रांतिक वेग $(v_c)$ का सूत्र रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ द्वारा दिया जाता है:
$R_e = \frac{\rho v_c d}{\eta}$
क्रांतिक वेग $(v_c)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_c = \frac{R_e \eta}{\rho d}$
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि क्रांतिक वेग $(v_c)$,श्यानता गुणांक $(\eta)$ के समानुपाती है और घनत्व $(\rho)$ तथा नली के व्यास $(d)$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,सही कथन यह है कि क्रांतिक वेग $\eta$ के समानुपाती है।

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग तरल के प्रवाह के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप से प्रवाह के लिए:
$1$. यदि $Re < 2000$ है,तो प्रवाह धारा रेखीय (laminar) होता है।
$2$. यदि $2000 < Re < 3000$ है,तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
$3$. यदि $Re > 3000$ है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) होता है।
चूंकि रेनॉल्ड्स संख्या $900$ है,जो $2000$ से कम है,इसलिए तरल का प्रवाह धारा रेखीय है।

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग पाइप में द्रव के प्रवाह के पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। यह जड़त्वीय बलों और श्यान बलों के अनुपात को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$R_e = \frac{\text{जड़त्वीय बल}}{\text{श्यान बल}}$
यदि $\rho$ घनत्व वाला द्रव $V$ वेग के साथ $d$ व्यास की नली से बहता है और $\eta$ श्यानता गुणांक है,तो सूत्र है:
$R_e = \frac{\rho V d}{\eta}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) पाइप से बहने वाले तरल के लिए रेनॉल्ड्स संख्या $(R_{n})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R_{n} = \frac{v_{c} \rho d}{\eta}$
जहाँ:
$v_{c}$ क्रांतिक वेग है,
$\rho$ तरल का घनत्व $(10^3 \,kg/m^3)$ है,
$d$ नली का व्यास $(2 \times r = 2 \times 1 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m)$ है,
$\eta$ श्यानता गुणांक $(1 \times 10^{-3} \,Ns/m^2)$ है,
$R_{n}$ क्रांतिक रेनॉल्ड्स संख्या $(2500)$ है।
$v_{c}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_{c} = \frac{R_{n} \eta}{\rho d}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_{c} = \frac{2500 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-2}}$
$v_{c} = \frac{2.5}{20} = 0.125 \,m/s$
अतः, धारा रेखीय प्रवाह को अशांत प्रवाह में बदलने के लिए आवश्यक प्रवाह की गति $0.125 \,m/s$ है।

$(A)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जो द्रव प्रवाह में जड़त्वीय बलों और श्यान बलों के अनुपात को दर्शाती है।
इसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
पाइप में प्रवाह के लिए, यदि रेनॉल्ड्स संख्या $2000$ से कम है, तो प्रवाह को धारा रेखीय या स्तरीय (laminar) माना जाता है।
यदि रेनॉल्ड्स संख्या $2000$ और $4000$ के बीच है, तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
यदि रेनॉल्ड्स संख्या $4000$ से अधिक है, तो प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) होता है।
दिए गए विकल्पों में से, धारा रेखीय प्रवाह की स्थिति $1000$ से कम की सीमा द्वारा संतुष्ट होती है।

(B) पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,केशिका नली से पानी के स्थिर आयतन प्रवाह की दर $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दी जाती है।
इसे दाबांतर $p = V \left( \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \right) = V R_H$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $R_H = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ हाइड्रोलिक प्रतिरोध है।
पहली नली के लिए,$R_1 = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ है।
दूसरी नली के लिए,$R_2 = \frac{8 \eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4 / 16} = 16 R_1$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल दाबांतर $p$ प्रत्येक नली पर दाबांतर का योग होता है: $p = p_1 + p_2 = V' R_1 + V' R_2$,जहाँ $V'$ नई प्रवाह दर है।
चूंकि $p = V R_1$,इसलिए $V R_1 = V' (R_1 + 16 R_1) = V' (17 R_1)$ है।
अतः,$V = 17 V'$,जिससे $V' = \frac{V}{17}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: व्यास $d = 8 \text{ cm}$,अतः त्रिज्या $r = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$.
लंबाई $l = 3140 \text{ m}$.
प्रवाह की दर $Q = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$.
श्यानता $\eta = 10^{-3} \text{ SI units}$.
पाइप में स्तरीय प्रवाह (laminar flow) के लिए पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार:
$Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
दबाव $P$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{Q(8 \eta l)}{\pi r^4}$
मान रखने पर:
$P = \frac{2 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^{-3} \times 3140}{3.14 \times (4 \times 10^{-2})^4}$
$P = \frac{16 \times 3140 \times 10^{-6}}{3.14 \times 256 \times 10^{-8}}$
$P = \frac{3140 \times 10^2}{3.14 \times 16}$
$P = \frac{1000 \times 10^2}{16} = \frac{10^5}{16} = 6.25 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(B) पोइसेल के समीकरण के अनुसार,द्रव प्रवाह के लिए प्रतिरोध $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\eta$ श्यानता है,$l$ लंबाई है,और $r$ नली की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों नलियों के लिए लंबाई $l$ और श्यानता $\eta$ समान हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{r^4}$ है।
मान लीजिए $r_1 = 4 \ mm$ और $r_2 = 2 \ mm$ है। प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{4}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,$R_2 = 16 R_1$ है। यदि हम $R_1 = R$ लें,तो $R_2 = 16 R$ होगा।
चूंकि नलियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए दोनों से समान आयतन प्रवाह दर $Q$ गुजरती है। प्रत्येक नली पर दाबांतर $\Delta P = Q \times R$ है।
पहली नली के लिए,$\Delta P_1 = Q \times R_1 = Q \times R$ है।
दूसरी नली के लिए,$\Delta P_2 = Q \times R_2 = Q \times 16 R$ है।
कुल दाबांतर $P = \Delta P_1 + \Delta P_2 = Q R + 16 Q R = 17 Q R$ है।
इसलिए,$Q R = \frac{P}{17}$ है।
पहली नली पर दाबांतर $\Delta P_1 = Q R = \frac{P}{17}$ है।

(A) प्रवाह की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ की गणना करते हैं।
रेनॉल्ड्स संख्या का सूत्र $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ है, जहाँ $\rho$ घनत्व है, $v$ वेग है, $D$ पाइप का व्यास है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
वेग $v = 20 \,cm \,s^{-1} = 0.2 \,m \,s^{-1}$
त्रिज्या $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$, इसलिए व्यास $D = 2r = 0.04 \,m$
श्यानता $\eta = 10^{-3} \,kg \,m^{-1} \,s^{-1}$
इन मानों को रखने पर:
$R_e = \frac{10^3 \times 0.2 \times 0.04}{10^{-3}}$
$R_e = \frac{10^3 \times 0.008}{10^{-3}} = 8 \times 10^3 = 8000$
चूंकि रेनॉल्ड्स संख्या $R_e > 2000$ है, इसलिए प्रवाह अशांत (turbulent) है।

(C) दिया गया है: व्यास $D = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$,प्रवाह दर $Q = 7.5 \times 10^{-5} \ m^3 \ s^{-1}$,श्यानता $\eta = 10^{-3} \ Pa \cdot s$,पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg \cdot m^{-3}$।
प्रवाह दर $Q = A \cdot v = \frac{\pi}{4} D^2 v$,इसलिए वेग $v = \frac{4Q}{\pi D^2}$।
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{\rho (\frac{4Q}{\pi D^2}) D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi \eta D}$।
मान रखने पर: $R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 7.5 \times 10^{-5}}{3.14 \times 10^{-3} \times 1.5 \times 10^{-2}}$।
$R_e = \frac{0.3}{4.71 \times 10^{-5}} \approx 6369.4$।
चूंकि $R_e > 4000$ है,इसलिए प्रवाह अशांत (turbulent) है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रवाह अशांत है और रेनॉल्ड्स संख्या $6000$ से अधिक है।

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप के माध्यम से प्रवाह के लिए,सामान्य रूप से स्वीकृत मानदंड इस प्रकार हैं:
$1$. यदि $R_e < 2000$ है,तो प्रवाह लैमिनर है।
$2$. यदि $2000 < R_e < 3000$ है,तो प्रवाह अस्थिर या संक्रमण अवस्था में है।
$3$. यदि $R_e > 3000$ है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) है।
विकल्प $B$ बताता है कि $1000 < R_e < 2000$ के लिए प्रवाह स्थिर है। हालांकि इस सीमा में प्रवाह लैमिनर होता है,लेकिन 'स्थिर' (steady) शब्द का उपयोग द्रव यांत्रिकी में इस विशिष्ट सीमा को परिभाषित करने के लिए मानक शब्दावली नहीं है,और विकल्प $C$ भी $3000$ की मानक सीमा के आधार पर तकनीकी रूप से गलत है। हालांकि,कई सरल पाठ्यपुस्तकों में $R_e > 2000$ को अशांत प्रवाह के लिए सीमा के रूप में उद्धृत किया जाता है। विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ प्रवाह व्यवस्थाओं का सबसे गलत विवरण है।

(B) दिया गया है: नल का व्यास,$D = 1.25 \text{ cm} = 1.25 \times 10^{-2} \text{ m}$.
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
श्यानता गुणांक,$\eta = 10^{-3} \text{ Pa-s}$.
आयतन प्रवाह दर,$Q = 3 \text{ L/min} = \frac{3 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 5 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$.
वेग के लिए सूत्र $v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}$ है।
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi D \eta}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-5}}{3.14159 \times 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-3}} \approx 5093$.
चूंकि $R_e > 3000$ है,इसलिए प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) है।

(A) एक शुद्ध संख्या जो पाइप के माध्यम से तरल के प्रवाह के प्रकार को निर्धारित करती है,उसे रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ कहा जाता है।
$(i)$ यदि $R_e < 2100$ है,तो प्रवाह लैमिनर (धारा रेखीय) होता है।
(ii) यदि $2100 < R_e < 4000$ है,तो प्रवाह अस्थिर या संक्रमणकालीन होता है।
(iii) यदि $R_e > 4000$ है,तो प्रवाह टर्बुलेंट (विक्षुब्ध) होता है।

(C) पोइज़ुइल के नियम के अनुसार,एक केशिका नली से द्रव के प्रवाह की दर $(Q)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi p R^4}{8 \eta L}$
जहाँ:
$V$ द्रव का आयतन है,
$t$ प्रवाह का समय है,
$p$ दाबांतर है,
$R$ नली की त्रिज्या है,
$\eta$ श्यानता गुणांक है,
$L$ नली की लंबाई है।
आयतन $V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V = \frac{\pi p R^4 t}{8 \eta L}$
चूँकि $\frac{\pi}{8}$ एक नियतांक है,इसलिए आयतन $V$ शेष पदों के समानुपाती है:
$V \propto \frac{p R^4 t}{\eta L}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

$(A)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप में प्रवाह के लिए, मानदंड सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित हैं:
$1$. यदि $Re < 2000$ है, तो प्रवाह सुव्यवस्थित या लामिनार होता है।
$2$. यदि $2000 < Re < 3000$ है, तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
$3$. यदि $Re > 3000$ है, तो प्रवाह अशांत (turbulent) होता है।
सुव्यवस्थित प्रवाह के लिए शर्त $(Re < 2000)$ के साथ दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
- विकल्प $A$: $900 < 2000$ (सुव्यवस्थित)
- विकल्प $B$: $2100$ (संक्रमण)
- विकल्प $C$: $2900$ (संक्रमण)
- विकल्प $D$: $4000$ (अशांत)
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) पोइसेल के नियम के अनुसार,आयतन प्रवाह दर $Q$ इस प्रकार दी जाती है:
$Q = \frac{\pi \Delta P r^4}{8 L \eta}$
जहाँ $r$ त्रिज्या है,$\eta$ श्यानता है और $\Delta P$ दबाव का अंतर है।
चूंकि प्रवाह दर $Q$ रक्त के घनत्व पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए घनत्व में परिवर्तन प्रवाह दर को प्रभावित नहीं करता है।
सूत्र का लघुगणकीय अवकलन लेने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \eta}{\eta}$
दिया गया है कि त्रिज्या $r$ में $1 \%$ की वृद्धि होती है $(\frac{\Delta r}{r} = 0.01)$ और श्यानता $\eta$ में $1 \%$ की वृद्धि होती है $(\frac{\Delta \eta}{\eta} = 0.01)$:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4(0.01) - 0.01 = 0.04 - 0.01 = 0.03$
अतः,प्रवाह दर में प्रतिशत परिवर्तन $0.03 \times 100 = 3 \%$ है।

(A) द्रव प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{2 v \rho r}{\eta}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ प्रवाह का वेग है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$r$ नली की त्रिज्या है और $\eta$ द्रव की श्यानता है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,जहाँ $A = \pi r^2$ है। अतः,$\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$।
रेनॉल्ड्स संख्या का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1 r_1}{v_2 r_2} = \left(\frac{r_2^2}{r_1^2}\right) \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \frac{r_2}{r_1}$ है।
दिया गया है $r = r_0 e^{-\alpha x}$,इसलिए $r_1 = r_0 e^{-\alpha x_1}$ और $r_2 = r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}}{r_0 e^{-\alpha x_1}} = e^{-\alpha (x_1 + 3) + \alpha x_1} = e^{-3 \alpha}$।
चूँकि $\alpha = \frac{1}{3} \text{ m}^{-1}$ दिया गया है,हमें $\frac{R_1}{R_2} = e^{-3(1/3)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: पाइप का व्यास $d = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$. गैसोलीन का घनत्व $\rho = 720 \,kg/m^3$. गैसोलीन की श्यानता $\eta = 6 \times 10^{-3} \,Poise = 6 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$. पाइप प्रवाह के लिए क्रांतिक रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = 2000$ होती है। क्रांतिक वेग $v_c$ का सूत्र $v_c = \frac{R_e \cdot \eta}{\rho \cdot d}$ है। मान रखने पर: $v_c = \frac{2000 \times 6 \times 10^{-4}}{720 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{1.2}{3.6} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \,m/s$. अतः,जब वेग $0.33 \,m/s$ से अधिक होता है तो प्रवाह अशांत हो जाता है।

(C) नली से बहने वाले पानी जैसे तरल का वह वेग जिसके नीचे प्रवाह धारा रेखीय (streamline) बना रहता है और जिसके ऊपर प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) हो जाता है,उसे क्रांतिक वेग (critical velocity) कहा जाता है।