Newton's Law of Viscosity Questions in Hindi

(C) नदी के स्थिर प्रवाह में,तल से $y$ ऊँचाई पर स्थित परत का वेग $v$,संबंध $v \propto y$ द्वारा दिया जाता है (लैमिनर प्रवाह मानते हुए)।
अतः,$\frac{v_A}{y_A} = \frac{v_B}{y_B}$.
दिया गया है: $v_A = 12 \ cm/s$,$y_A = 40 \ cm$,और $y_B = 90 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{12}{40} = \frac{v_B}{90}$.
$v_B = \frac{12 \times 90}{40} = \frac{1080}{40} = 27 \ cm/s$.
अतः,परत $B$ का वेग $27 \ cm/s$ है।

(C) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,$A$ क्षेत्रफल पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$,$\tau = \frac{F}{A} = -\eta \frac{dv}{dz}$ द्वारा दिया जाता है।
श्यान बल द्रव की अलग-अलग वेग से गति करने वाली निकटवर्ती परतों के बीच आंतरिक घर्षण की तरह कार्य करता है।
यह बल परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है,जिससे अपरूपण (shearing) क्रिया होती है।
अपरूपण बल हमेशा द्रव की परतों के तल के स्पर्शरेखीय (tangential) कार्य करता है।
इसलिए,श्यान बल द्रव की सतह के स्पर्शरेखीय होता है।

(B) किसी तरल की श्यानता उसके प्रवाह के प्रतिरोध का माप है।
द्रवों के लिए,श्यानता मुख्य रूप से अणुओं के बीच के ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जो इन ससंजक बलों को कम कर देती है,जिससे द्रवों की श्यानता घट जाती है।
गैसों के लिए,श्यानता मुख्य रूप से यादृच्छिक तापीय गति के कारण गैस के अणुओं की परतों के बीच संवेग (momentum) के स्थानांतरण के कारण होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की यादृच्छिक गति बढ़ जाती है,जिससे टक्करें अधिक बार होती हैं और संवेग स्थानांतरण की दर बढ़ जाती है,जिसके कारण गैसों की श्यानता बढ़ जाती है।
अतः,जब तापमान बढ़ता है,तो गैसों की श्यानता बढ़ती है और द्रवों की श्यानता घटती है।

(B) श्यानता बल का सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ है।
चूंकि बक्सा स्थिर वेग से गति कर रहा है,इसलिए लगाया गया बल $F$ श्यानता बल के बराबर होगा।
यहाँ,$F = \frac{1}{3} \ N$,$A = 0.01 \ m^2$,$dv = 0.09 \ m/s$,और $dx = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$
$\eta = \frac{(1/3) \times (0.3 \times 10^{-3})}{0.01 \times 0.09}$
$\eta = \frac{0.1 \times 10^{-3}}{0.0009} = \frac{10^{-4}}{9 \times 10^{-4}} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \ Pa \cdot s$.
अतः,$\eta \approx 1.1 \times 10^{-1} \ Pa \cdot s$.

(B) एक आदर्श द्रव को ऐसे द्रव के रूप में परिभाषित किया जाता है जो असंपीड्य (incompressible) और अश्यान (non-viscous) होता है।
चूंकि एक आदर्श द्रव अश्यान होता है,इसलिए यह अपनी परतों के बीच सापेक्ष गति के लिए कोई प्रतिरोध प्रदान नहीं करता है।
अतः,एक आदर्श द्रव के लिए श्यानता गुणांक $0$ होता है।

$(A)$ दिया गया है:
घन की भुजा, $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
आधार का क्षेत्रफल, $A = L^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$.
तरल परत की मोटाई, $dx = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
अनुप्रयुक्त बल, $F = 0.1 \,N$.
स्थिर वेग, $v = 0.08 \,m/s$.
चूंकि घन स्थिर गति से चलता है, इसलिए कुल बल शून्य है, जिसका अर्थ है कि अनुप्रयुक्त बल श्यानता खिंचाव बल (विस्कस ड्रैग फोर्स) के बराबर है: $F = F_{drag}$.
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर: $0.1 = \eta \times 0.01 \times \frac{0.08}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$0.1 = \eta \times 0.01 \times 400$.
$0.1 = \eta \times 4$.
$\eta = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,Ns/m^2 = 2.5 \times 10^{-2} \,Ns/m^2$.

(D) कर्तन प्रतिबल (shearing stress) $\tau$ को सूत्र $\tau = \eta \left( \frac{dv}{dx} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\eta = 10^{-3} \ SI \ units$ श्यानता गुणांक है।
वेग प्रवणता $\frac{dv}{dx}$ की गणना वेग $v$ को गहराई $x$ से विभाजित करके की जाती है।
दिया गया है $v = 10 \ ms^{-1}$ और $x = 20 \ m$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{10}{20} = 0.5 \ s^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 10^{-3} \times 0.5 = 0.5 \times 10^{-3} \ Nm^{-2}$.

(B) अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल श्यान बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\text{Shearing Stress} = \frac{F}{A} = \eta \frac{dv}{dx}$.
नदी में,वेग $v$ सतह पर $V$ से बदलकर तल (गहराई $H$) पर $0$ हो जाता है।
अतः,वेग प्रवणता (velocity gradient) $\frac{dv}{dx} = \frac{V}{H}$ है।
इस मान को प्रतिबल के सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{Shearing Stress} = \eta \frac{V}{H}$.

(B) प्लेट पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$,न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
यहाँ,$\eta = 1.55 \,Ns\, m^{-2}$ श्यानता गुणांक है,$A = 10^{-2} \,m^2$ प्लेट का क्षेत्रफल है,$v = 3 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$ वेग है,और $h = dx = 2 \times 10^{-3} \,m$ तेल की परत की मोटाई है।
मान रखने पर: $F = 1.55 \times 10^{-2} \times \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}}$.
$F = 1.55 \times 10^{-2} \times 1.5 \times 10^1$.
$F = 1.55 \times 1.5 \times 10^{-1} = 2.325 \times 10^{-1} = 0.2325 \,N$.