Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(A) दिया गया है: रैखिक गति $v = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \ m/s$.
त्रिज्या $r = 0.25 \ m$.
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.25} = 80 \ rad \ s^{-1}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$.
चक्करों की संख्या $n = 20$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2\pi n = 2 \times \pi \times 20 = 40\pi \ rad$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (80)^2 + 2 \times \alpha \times (40\pi)$
$0 = 6400 + 80\pi\alpha$
$80\pi\alpha = -6400$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -\frac{80}{3.1416} \approx -25.46 \ rad \ s^{-2}$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $-25.5 \ rad \ s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \; kg$,प्रारंभिक वेग $u = 3 \; m/s$ ($OE$ के अनुदिश),बल $F = 4 \; N$ ($OF$ के अनुदिश),समय $t = 4 \; s$।
$OE$ (x-दिशा) में कोई बल नहीं है,इसलिए त्वरण $a_x = 0$ है। विस्थापन $x$:
$x = u_x t = 3 \times 4 = 12 \; m$
$OF$ (y-दिशा) में,प्रारंभिक वेग $u_y = 0$ है। त्वरण $a_y$:
$a_y = \frac{F}{m} = \frac{4}{2} = 2 \; m/s^2$
विस्थापन $y$:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \; m$
$O$ से कुल विस्थापन $d$:
$d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \; m$

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ पर वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
चूंकि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है,इसलिए $v_x = u \cos \alpha$ होगा।
यह दिया गया है कि वेग $\vec{v}$ प्रारंभिक वेग $\vec{u}$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$(u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + v_y \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha v_y = 0$
$v_y = -\frac{u^2 \cos^2 \alpha}{u \sin \alpha} = -u \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$
वेग $v$ का परिमाण $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$v = \sqrt{(u \cos \alpha)^2 + (-u \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha})^2}$
$v = u \cos \alpha \sqrt{1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = u \cos \alpha \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$
$v = u \cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha} = u \cot \alpha$.

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है। कण $2 \, s$ के बाद के $1 \, s$ में उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है,इसलिए उच्चतम बिंदु तक पहुँचने का कुल समय $T = 2 + 1 = 3 \, s$ है।
$T = \frac{u \sin \theta}{g} = 3 \, s$ का उपयोग करने पर,हमें $u \sin \theta = 3g = 30 \, m/s$ प्राप्त होता है ... $(i)$
$t = 2 \, s$ पर,वेग क्षैतिज के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है। वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u \cos \theta$.
$t = 2 \, s$ पर ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - g(2) = 30 - 20 = 10 \, m/s$ है।
चूंकि $\tan 30^\circ = \frac{v_y}{v_x}$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{u \cos \theta}$ है,इसलिए $u \cos \theta = 10\sqrt{3} \, m/s$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^\circ$.
$(i)$ में $\theta = 60^\circ$ रखने पर: $u \sin 60^\circ = 30 \implies u(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30 \implies u = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, m/s$.

(D) मान लीजिए कि ढलान के शीर्ष पर कण का वेग $v$ है। कण $45^o$ के कोण पर $40 \, m$ चौड़े कुएं को पार करने के लिए प्रक्षेप्य गति करता है। प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
यहाँ $R = 40 \, m$ और $\theta = 45^o$ दिया गया है,इसलिए $40 = \frac{v^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{v^2}{g}$।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,$v^2 = 400$,इसलिए $v = 20 \, m/s$।
अब,$s = 20\sqrt{2} \, m$ लंबाई के घर्षण रहित ढलान पर गति पर विचार करें। ढलान पर त्वरण $a = -g \sin(45^o) = -\frac{g}{\sqrt{2}}$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u$ बिंदु $M$ पर प्रारंभिक वेग है:
$(20)^2 = u^2 + 2(-\frac{g}{\sqrt{2}})(20\sqrt{2})$।
$400 = u^2 - 2g(20) = u^2 - 40(10) = u^2 - 400$।
$u^2 = 800$,जिससे हमें $u = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) पिंड का प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m\vec{v}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,इसलिए वेग $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i}$ होता है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i})$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -m v \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = m v \sin \theta$ है।
यहाँ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,$v = 20 \, m \, s^{-1}$,और $\theta = 30^\circ$ दिया गया है।
$|\Delta \vec{p}| = 0.1 \times 20 \times \sin(30^\circ) = 0.1 \times 20 \times 0.5 = 1 \, kg \, m \, s^{-1}$.

(A) दोनों वस्तुओं के लिए वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos\theta$ है।
चूंकि वस्तुएं एक-दूसरे की ओर गति कर रही हैं,इसलिए उनके क्षैतिज वेग परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक वस्तु का द्रव्यमान $m$ है।
पहली वस्तु का संवेग $\vec{p}_1 = m(v \cos\theta) \hat{i}$ है।
दूसरी वस्तु का संवेग $\vec{p}_2 = m(-v \cos\theta) \hat{i}$ है।
निकाय का कुल संवेग $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m v \cos\theta \hat{i} - m v \cos\theta \hat{i} = 0$ है।
अतः,टक्कर के समय निकाय का संवेग $0$ है।

(B) $u$ वेग और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु की क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
निश्चित वेग $u$ के लिए,अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ तब प्राप्त होता है जब $\theta = 45^\circ$ हो,जो $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है।
चूंकि गोलियां सभी दिशाओं में चलाई जाती हैं,वे जमीन पर $r = R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार क्षेत्रफल घेरती हैं।
घेरा गया क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left( \frac{u^2}{g} \right)^2 = \pi \frac{u^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए परास $R$ के लिए,प्रक्षेपण कोण के दो मान $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ होते हैं।
$\theta$ कोण के लिए अधिकतम ऊंचाई $h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$(90^\circ - \theta)$ कोण के लिए अधिकतम ऊंचाई $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
$h_1$ और $h_2$ का गुणा करने पर:
$h_1 h_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \cdot \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
हम जानते हैं कि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ होता है।
परास का वर्ग करने पर,$R^2 = \frac{4u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{g^2}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $h_1 h_2 = \frac{R^2}{16}$.
अतः,$R^2 = 16 h_1 h_2$,जिसका अर्थ है कि $R = 4 \sqrt{h_1 h_2}$।

(B) पहली गेंद के लिए जिसे $u_1$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ है।
दूसरी गेंद के लिए जिसे क्षैतिज के साथ $(90^\circ - \theta)$ कोण पर $u_2$ वेग से फेंका जाता है,उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u_2 \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$ है।
यह दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $\frac{2u_1}{g} = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$,जिसका अर्थ है $u_1 = u_2 \cos \theta$।
पहली गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ है।
दूसरी गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = \frac{(u_2 \sin(90^\circ - \theta))^2}{2g} = \frac{u_2^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
ऊँचाइयों का अनुपात लेने पर: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{u_2^2 \cos^2 \theta / 2g} = \frac{u_1^2}{u_2^2 \cos^2 \theta}$।
$u_1 = u_2 \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{H_1}{H_2} = \frac{(u_2 \cos \theta)^2}{u_2^2 \cos^2 \theta} = 1$।
अतः,अनुपात $1 : 1$ है।

(B) माना कि प्रारंभिक वेग $v$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^o$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,और प्रक्षेप्य के पास केवल वेग का क्षैतिज घटक शेष रहता है,जो $v_x = v \cos \theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ होती है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K' = K \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^o$ है,इसलिए $\cos 45^o = 1/\sqrt{2}$ होता है।
अतः,$K' = K (1/\sqrt{2})^2 = K/2$।

(C) अधिकतम ऊँचाई $(H)$ पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgH$ है।
क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $u$ वेग से प्रक्षेपित वस्तु के लिए अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होती है।
अतः,$PE = mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2 \theta$.
पहली गेंद के लिए जिसे ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका गया है,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_1 = 90^\circ$ है। इसलिए,$(PE)_1 = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2(90^\circ) = \frac{1}{2} m u^2$.
दूसरी गेंद के लिए जिसे ऊर्ध्वाधर के साथ $60^\circ$ के कोण पर फेंका गया है,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_2 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ है। इसलिए,$(PE)_2 = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2(30^\circ) = \frac{1}{2} m u^2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8} m u^2$.
उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(PE)_1}{(PE)_2} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{8} m u^2} = \frac{8}{2} = 4:1$ होगा।

(A) कुल समय $2 \,min \,20 \,sec = (2 \times 60) + 20 = 140 \,sec$ है।
एक चक्कर का आवर्तकाल $T = 40 \,sec$ है।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\text{कुल समय}}{T} = \frac{140}{40} = 3.5$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ के बराबर होती है।
कुल दूरी $d = n \times (2\pi r) = 3.5 \times 2 \times \pi \times 100$ होगी।
$d = 7 \times \pi \times 100 = 700\pi \,m$।

(B) वेग में परिवर्तन सदिश अंतर $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चाल स्थिर है,मान लीजिए $v = |\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = 5 \, ms^{-1}$।
आधे चक्कर के लिए,प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_1$ और अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_2$ के बीच का कोण $180^\circ$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $\Delta v = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos(180^\circ)} = \sqrt{2v^2 + 2v^2} = 2v$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $\Delta v = 2v \sin(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 180^\circ$:
$\Delta v = 2 \times 5 \times \sin(180^\circ / 2) = 10 \times \sin(90^\circ) = 10 \times 1 = 10 \, ms^{-1}$।

(B) कण पर कार्य करने वाला नेट बल अभिकेंद्री बल $(F_c)$ और स्पर्शरेखीय बल $(F_t)$ का सदिश योग होता है:
$F_{Net} = \sqrt{F_c^2 + F_t^2}$ ... $(i)$
दी गई गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है,जिससे $v^2 = \frac{2as^2}{m}$ प्राप्त होता है।
अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m}{R} \left( \frac{2as^2}{m} \right) = \frac{2as^2}{R}$ ... (ii)
स्पर्शरेखीय बल ज्ञात करने के लिए,हम $F_t = ma_t$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ है।
चूँकि $v = s \sqrt{\frac{2a}{m}}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ है।
अतः,$a_t = \left( s \sqrt{\frac{2a}{m}} \right) \left( \sqrt{\frac{2a}{m}} \right) = \frac{2as}{m}$।
इसलिए,$F_t = m \left( \frac{2as}{m} \right) = 2as$ ... (iii)
(ii) और (iii) का मान $(i)$ में रखने पर:
$F_{Net} = \sqrt{\left( \frac{2as^2}{R} \right)^2 + (2as)^2} = \sqrt{(2as)^2 \left( \frac{s^2}{R^2} + 1 \right)} = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$.

(A) ब्लॉक का प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 1.5 \, m/s$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \, m/s$ है।
क्षैतिज विस्थापन $S_x = u_x \times t = 1.5 \times 4 = 6 \, m$ है।
ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_y = F/m = 5/5 = 1 \, m/s^2$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 = 8 \, m$ है।
ब्लॉक द्वारा तय की गई कुल दूरी (विस्थापन) $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, m$ है।

(C) एक पूर्ण वृत्ताकार चक्कर में तय की गई दूरी ट्रैक की परिधि के बराबर होती है,जो $2\pi r$ है।
यहाँ $r = 100\,m$ और समय $t = 62.8\,s$ दिया गया है।
औसत चाल कुल दूरी और कुल समय का अनुपात है:
$\text{औसत चाल} = \frac{2\pi r}{t} = \frac{2 \times 3.14 \times 100}{62.8} = \frac{628}{62.8} = 10\,m/s$.
चूंकि कार एक पूरा चक्कर लगाती है,इसलिए अंतिम स्थिति और प्रारंभिक स्थिति समान है।
अतः,कुल विस्थापन $0\,m$ है।
औसत वेग कुल विस्थापन और कुल समय का अनुपात है:
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{t} = \frac{0}{62.8} = 0\,m/s$.
इस प्रकार,औसत वेग $0\,m/s$ और औसत चाल $10\,m/s$ है।

(A) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ है।
जब कण जमीन पर वापस आता है,तो उसका अंतिम वेग $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ होता है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ है।
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
अतः,$|\Delta \vec{p}| = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग,$\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j})\,m/s$
त्वरण,$\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j})\,m/s^2$
समय,$t = 10\,s$
सदिशों के लिए गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})$
$\vec{v} = (3+4)\hat{i} + (4+3)\hat{j} = 7\hat{i} + 7\hat{j}$
चाल,वेग सदिश $\vec{v}$ का परिमाण है:
$|\vec{v}| = \sqrt{(7)^2 + (7)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98}$
$|\vec{v}| = 7\sqrt{2}$ इकाई।

(A) माना $u$ प्रक्षेप्य की प्रारंभिक चाल है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,और प्रक्षेप्य का वेग केवल क्षैतिज घटक के कारण होता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई पर चाल $v = u \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम ऊँचाई पर चाल उसकी प्रारंभिक चाल की आधी है:
$v = \frac{u}{2}$
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$u \cos \theta = \frac{u}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$
इसलिए,प्रक्षेपण कोण $60^o$ है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग,$\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$
त्वरण,$\vec{a} = 0.3\hat{i} + 0.2\hat{j}$
समय,$t = 10\,s$
सदिशों के लिए गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j})(10)$
$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{i} + 2\hat{j}$
$\vec{v} = 5\hat{i} + 5\hat{j}$
चाल,वेग सदिश का परिमाण है:
$|\vec{v}| = \sqrt{(5)^2 + (5)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{इकाई}$

(A) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है: $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$.
दो प्रक्षेप पथों के समान होने के लिए और प्रक्षेपण का कोण $\theta$ समान होने के लिए,पद $\frac{g}{u^2}$ को स्थिर होना चाहिए।
अतः,$\frac{g_{earth}}{u_{earth}^2} = \frac{g_{planet}}{u_{planet}^2}$.
दिया गया है $g_{earth} = 9.8 \, m s^{-2}$,$u_{earth} = 5 \, m s^{-1}$,और $u_{planet} = 3 \, m s^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{9.8}{5^2} = \frac{g_{planet}}{3^2}$.
$\frac{9.8}{25} = \frac{g_{planet}}{9}$.
$g_{planet} = \frac{9.8 \times 9}{25} = \frac{88.2}{25} = 3.528 \, m s^{-2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3.5 \, m s^{-2}$ है।

(D) समय $t_1 = 0 \, s$ पर,कण का स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ है।
समय $t_2 = 5 \, s$ पर,कण का स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = 13\hat{i} + 14\hat{j}$ है।
$t = 0$ से $t = 5 \, s$ तक विस्थापन $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \vec{r} = (13\hat{i} + 14\hat{j}) - (2\hat{i} + 3\hat{j}) = 11\hat{i} + 11\hat{j}$।
औसत वेग $\vec{v}_{av}$ कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 - 0 = 5 \, s$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$\vec{v}_{av} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{11\hat{i} + 11\hat{j}}{5} = \frac{11}{5}(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$।

(D) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{R} = 4\sin(2\pi t)\hat{i} + 4\cos(2\pi t)\hat{j}$.
चूँकि $x = 4\sin(2\pi t)$ और $y = 4\cos(2\pi t)$,इसलिए $x^2 + y^2 = 16(\sin^2(2\pi t) + \cos^2(2\pi t)) = 16$. यह $4 \ m$ त्रिज्या का एक वृत्त दर्शाता है।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{R}}{dt} = 8\pi\cos(2\pi t)\hat{i} - 8\pi\sin(2\pi t)\hat{j}$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(8\pi\cos(2\pi t))^2 + (-8\pi\sin(2\pi t))^2} = 8\pi \ m/s$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -16\pi^2\sin(2\pi t)\hat{i} - 16\pi^2\cos(2\pi t)\hat{j} = -4\pi^2\vec{R}$.
अतः त्वरण मूल बिंदु की ओर ($- \vec{R}$ की दिशा में) है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,$a = \frac{V^2}{R}$. यहाँ $V = 8\pi$ और $R = 4$ है,इसलिए $a = \frac{(8\pi)^2}{4} = 16\pi^2$,जो त्वरण के परिमाण से मेल खाता है।
कथन $(D)$ कहता है कि वेग का परिमाण $8 \ m/s$ है,जबकि यह $8\pi \ m/s$ है। अतः,$(D)$ गलत कथन है।

(B) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई पहली गेंद के लिए,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u_1}{g} = 3 \; s$ है। अतः,$u_1 = \frac{3g}{2}$। अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ है।
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर फेंकी गई दूसरी गेंद के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u_2 \sin \alpha}{g} = 3 \; s$ है। अतः,$u_2 \sin \alpha = \frac{3g}{2}$।
अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{(u_2 \sin \alpha)^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ है।
दोनों ऊंचाइयों की तुलना करने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{9g/8}{9g/8} = 1:1$ प्राप्त होता है।

(B) माना भारी पत्थर की स्पर्शरेखीय गति $v$ है।
दिया गया है कि दोनों पत्थरों द्वारा अनुभव किया गया अभिकेंद्र बल समान है।
हल्के पत्थर (द्रव्यमान $m$,त्रिज्या $r$,गति $nv$) के लिए अभिकेंद्र बल है:
$F_{lighter} = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$
भारी पत्थर (द्रव्यमान $2m$,त्रिज्या $r/2$,गति $v$) के लिए अभिकेंद्र बल है:
$F_{heavier} = \frac{(2m)v^2}{r/2} = \frac{4mv^2}{r}$
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{4mv^2}{r}$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\, g = 10^{-2}\, kg$,त्रिज्या $R = 6.4\, cm = 6.4 \times 10^{-2}\, m$,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 8 \times 10^{-4}\, J$,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$.
स्पर्शरेखीय बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,क्योंकि अभिकेंद्री बल कोई कार्य नहीं करता है।
किया गया कार्य $W = F_t \times d$,जहाँ $F_t = m a_t$ और $d$ दो चक्करों में तय की गई दूरी है।
दूरी $d = 2 \times (2\pi R) = 4\pi R$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W = K_f - K_i = K_f$.
$m a_t (4\pi R) = K_f$.
$a_t = \frac{K_f}{4\pi R m}$.
मान रखने पर: $a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{4 \times 3.14159 \times 6.4 \times 10^{-2} \times 10^{-2}}$.
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{4 \times 3.14159 \times 6.4 \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14159} \approx \frac{8}{80.42} \approx 0.0995\, m/s^2$.
निकटतम मान लेने पर,$a_t \approx 0.1\, m/s^2$.

(D) एकसमान वृत्तीय गति में कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$F_c = 10 \, N$ और $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
अतः,$\frac{mv^2}{0.2} = 10$,जिसका अर्थ है $mv^2 = 10 \times 0.2 = 2 \, J$ है।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$mv^2$ का मान रखने पर,हमें $K = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, J$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर फेंके गए कण के लिए:
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर,जमीन पर अंतिम वेग $v_1 = \sqrt{u^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज रूप से फेंके गए कण के लिए:
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u$ रहता है।
जमीन पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = \sqrt{0^2 + 2gh} = \sqrt{2gh}$ होता है।
जमीन पर परिणामी वेग $v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$v_1 = v_2 = \sqrt{u^2 + 2gh}$।
अतः,उनके वेगों का अनुपात $1:1$ है।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\theta_1 = 30^{\circ}$,अतः $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g}$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$\theta_2 = 60^{\circ}$,अतः $R' = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin(120^{\circ})}{g}$.
चूंकि $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,इसलिए $R' = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g} = R$.
अतः,पूरक कोणों (जहाँ $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$) के लिए,क्षैतिज परास समान रहती है।

(B) वस्तु का प्रारंभिक वेग क्षैतिज के साथ $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर $v$ है।
प्रारंभिक संवेग सदिश $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ है।
जब वस्तु जमीन से टकराती है,तो वेग का क्षैतिज घटक $v \cos \theta$ रहता है और ऊर्ध्वाधर घटक $-v \sin \theta$ हो जाता है।
अंतिम संवेग सदिश $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin(45^{\circ}) = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$ प्राप्त होता है।

(C) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$,$T = \frac{2u_y}{g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_y$ प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक है।
चूंकि दोनों गेंदें हवा में समान समय तक रहती हैं,इसलिए उनके प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $(u_y)$ समान होने चाहिए।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u_y^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों गेंदों के लिए $u_y$ और $g$ समान हैं,इसलिए दोनों गेंदों द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ समान होगी।
अतः,प्राप्त ऊंचाइयों का अनुपात $H_1 : H_2 = 1:1$ है।

(D) माना पहिये की त्रिज्या $R = 5 \, m$ है। आधे चक्कर के बाद,पहिया अपनी परिधि के आधे के बराबर क्षैतिज दूरी आगे बढ़ता है,जो $\pi R$ है। बिन्दु $P$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन पहिये के व्यास के बराबर है,जो $2R$ है। कुल विस्थापन $d$,बिन्दु $P$ की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी दूरी है,जो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$। $R = 5 \, m$ रखने पर,हमें $d = 5\sqrt{\pi^2 + 4} \, m$ प्राप्त होता है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में कण की गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2} L \omega$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi n$ और $n$ गति की आवृत्ति है।
अतः,$E = \frac{1}{2} L (2\pi n) = \pi L n$.
यह दर्शाता है कि $E \propto L \times n$,या $L \propto \frac{E}{n}$.
प्रारंभिक अवस्था $(E_1, n_1, L_1)$ और अंतिम अवस्था $(E_2, n_2, L_2)$ दी गई है जहाँ $E_2 = \frac{E_1}{2}$ और $n_2 = 2n_1$,इसलिए:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{E_2}{E_1} \times \frac{n_1}{n_2} = \frac{E_1/2}{E_1} \times \frac{n_1}{2n_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L_1}{4} = \frac{L}{4}$.

(B) वेग के घटक समय $t$ के सापेक्ष स्थिति निर्देशांकों का अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं।
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5 \sin 10t) = 50 \cos 10t$
$v_{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(5 \cos 10t) = -50 \sin 10t$
कण की चाल वेग सदिश का परिमाण है:
$\text{चाल} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
$\text{चाल} = \sqrt{(50 \cos 10t)^{2} + (-50 \sin 10t)^{2}}$
$\text{चाल} = \sqrt{2500 \cos^{2} 10t + 2500 \sin^{2} 10t}$
$\text{चाल} = \sqrt{2500(\cos^{2} 10t + \sin^{2} 10t)}$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$\text{चाल} = \sqrt{2500 \times 1} = 50$

(B) गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 37^o$ है। $g = 10 \ m/s^2$ लेते हुए,हमारे पास $\sin(37^o) \approx 0.6$ है।
उड़ान का कुल समय $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2u \sin(\theta)}{g} = \frac{2 \times 15 \times 0.6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \ s$.
व्यक्ति बिंदु $P$ पर है,जो लैंडिंग पॉइंट $B$ से $9 \ m$ दूर है। गेंद को पकड़ने के लिए,व्यक्ति को उड़ान के समय $T = 1.8 \ s$ के भीतर इस दूरी $d = 9 \ m$ को तय करना होगा।
आवश्यक न्यूनतम वेग $v$ है:
$v = \frac{d}{T} = \frac{9}{1.8} = 5 \ m/s$.

(D) $O$ से प्रक्षेपित पहले कण की स्थिति $\vec{r}_1(t) = (0, vt - \frac{1}{2}gt^2)$ है।
$P(0, h)$ से प्रक्षेपित दूसरे कण की स्थिति $\vec{r}_2(t) = (vt \cos \theta, h + vt \sin \theta - \frac{1}{2}gt^2)$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{rel} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (vt \cos \theta, h + vt \sin \theta - vt) = (vt \cos \theta, h - vt(1 - \sin \theta))$ है।
दूरी का वर्ग $D^2 = |\vec{r}_{rel}|^2 = (vt \cos \theta)^2 + (h - vt(1 - \sin \theta))^2$ है।
$D^2$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 2(vt \cos \theta)(v \cos \theta) + 2(h - vt(1 - \sin \theta))(-v(1 - \sin \theta)) = 0$.
$v^2 t \cos^2 \theta - hv(1 - \sin \theta) + v^2 t(1 - \sin \theta)^2 = 0$.
$v^2 t [\cos^2 \theta + (1 - \sin \theta)^2] = hv(1 - \sin \theta)$.
$v^2 t [\cos^2 \theta + 1 + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta] = hv(1 - \sin \theta)$.
$v^2 t [2 - 2 \sin \theta] = hv(1 - \sin \theta)$.
$2v^2 t (1 - \sin \theta) = hv(1 - \sin \theta)$.
$t = \frac{h}{2v}$.

(C) मान लीजिए कि मूल बिंदु बाईं ओर के प्रक्षेप्य $A$ पर है और $x$-अक्ष $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश है। $A$ की प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ है और $B$ की $(20, 0)$ है।
$A$ का वेग $\vec{v}_A = 20\sqrt{3}(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 20\sqrt{3}(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = 10\sqrt{3} \hat{i} + 30 \hat{j}$ है।
$B$ का वेग $\vec{v}_B = 20(\cos 150^{\circ} \hat{i} + \sin 150^{\circ} \hat{j}) = 20(-\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = -10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j}$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = (10\sqrt{3} - (-10\sqrt{3})) \hat{i} + (30 - 10) \hat{j} = 20\sqrt{3} \hat{i} + 20 \hat{j}$ है।
सापेक्ष प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 20) \hat{i} + (0 - 0) \hat{j} = -20 \hat{i}$ है।
न्यूनतम दूरी सापेक्ष गति की रेखा पर मूल बिंदु से लंबवत दूरी है,जो $d_{\min} = \frac{|\vec{r}_{AB} \times \vec{v}_{AB}|}{|\vec{v}_{AB}|}$ द्वारा दी जाती है।
$|\vec{r}_{AB} \times \vec{v}_{AB}| = |(-20 \hat{i}) \times (20\sqrt{3} \hat{i} + 20 \hat{j})| = |-400 \hat{k}| = 400$.
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 20^2} = \sqrt{1200 + 400} = \sqrt{1600} = 40$.
$d_{\min} = \frac{400}{40} = 10 \ m$.

(D) मान लीजिए प्रक्षेपण की गति $u$ है। प्रक्षेप्य $A$ के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_A = \theta$ है। प्रक्षेप्य $B$ के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_B = 90^{\circ} - \theta$ है।
चूँकि $\theta_B$,$\theta_A$ का पूरक कोण है,इसलिए ये पूरक कोण हैं।
पूरक कोणों के लिए,क्षैतिज परास समान होती है $(R_A = R_B)$।
हालाँकि,उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ विशिष्ट कोण $\theta$ पर निर्भर करते हैं।
यदि $\theta = 45^{\circ}$ है,तो $\theta_A = \theta_B = 45^{\circ}$ होगा,और सभी पैरामीटर (उड़ान का समय,अधिकतम ऊँचाई और परास) समान होंगे।
यदि $\theta \neq 45^{\circ}$ है,तो $A$ और $B$ के लिए उड़ान का समय और अधिकतम ऊँचाई अलग-अलग होगी।
इसलिए,यह कथन कि उनका उड़ान का समय समान 'हो सकता है' सही है,क्योंकि यह $\theta = 45^{\circ}$ के मामले में सत्य है।

(D) मान लीजिए कि कणों $A$ और $B$ की प्रारंभिक स्थितियाँ क्रमशः $(-x_0, 0)$ और $(0, -y_0)$ हैं,जहाँ $x_0, y_0 > 0$ है।
मान लीजिए कि उनके नियत वेग $\vec{v}_A = v_A \hat{i}$ और $\vec{v}_B = v_B \hat{j}$ हैं।
किसी भी समय $t$ पर,उनकी स्थितियाँ $\vec{r}_A(t) = (-x_0 + v_A t) \hat{i}$ और $\vec{r}_B(t) = (-y_0 + v_B t) \hat{j}$ हैं।
उनके बीच का पृथक्करण $S = |\vec{r}_B - \vec{r}_A| = \sqrt{(v_B t - y_0)^2 + (x_0 - v_A t)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$S^2 = (v_B^2 + v_A^2) t^2 - 2(v_B y_0 + v_A x_0) t + (y_0^2 + x_0^2)$ प्राप्त होता है।
यह $S^2 = at^2 + bt + c$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जो एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है। $S$ बनाम $t$ का ग्राफ एक अतिपरवलय है जो घटकर न्यूनतम मान तक पहुँचता है और फिर बढ़ता है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(B) मान लीजिए $\vec{u}_{1}$ और $\vec{u}_{2}$ दो कणों के प्रारंभिक वेग हैं और $\theta_{1}$ और $\theta_{2}$ क्षैतिज के साथ उनके प्रक्षेपण कोण हैं।
किसी भी समय $t$ पर दोनों कणों के वेग इस प्रकार हैं:
$\vec{v}_{1} = (u \cos \theta_{1}) \hat{i} + (u \sin \theta_{1} - gt) \hat{j}$
$\vec{v}_{2} = (u \cos \theta_{2}) \hat{i} + (u \sin \theta_{2} - gt) \hat{j}$
एक कण का दूसरे कण के सापेक्ष वेग है:
$\vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} = u(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2}) \hat{i} + u(\sin \theta_{1} - \sin \theta_{2}) \hat{j}$
चूंकि सापेक्ष वेग $\vec{v}_{12}$ समय $t$ से स्वतंत्र है,इसलिए सापेक्ष त्वरण शून्य है $(\vec{a}_{12} = \vec{a}_{1} - \vec{a}_{2} = -g\hat{j} - (-g\hat{j}) = 0)$।
चूंकि सापेक्ष त्वरण शून्य है और सापेक्ष प्रारंभिक स्थिति शून्य है,इसलिए सापेक्ष गति मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। सापेक्ष वेग सदिश स्थिर होने के कारण,पथ क्षैतिज के साथ एक स्थिर कोण बनाने वाली सीधी रेखा है।

(B) मान लीजिए कि दो प्रक्षेप्यों के वेग $\vec{v}_1 = v_1 \cos \theta_1 \hat{i} + v_1 \sin \theta_1 \hat{j}$ और $\vec{v}_2 = v_2 \cos \theta_2 \hat{i} + v_2 \sin \theta_2 \hat{j}$ हैं।
दोनों प्रक्षेप्य गुरुत्वाकर्षण के कारण समान त्वरण का अनुभव करते हैं,$\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = -g \hat{j}$।
कण $2$ के सापेक्ष कण $1$ का सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{12} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 0$ है।
चूंकि सापेक्ष त्वरण शून्य है,इसलिए सापेक्ष वेग $\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$ स्थिर रहता है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{12} = (v_1 \cos \theta_1 - v_2 \cos \theta_2) \hat{i} + (v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2) \hat{j}$ है।
चूंकि सापेक्ष त्वरण शून्य है और सापेक्ष वेग स्थिर है,इसलिए सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{12} = \vec{v}_{12} t$ $xy$-तल में एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाता है।

(C) वेग के क्षैतिज घटक $u_{x1} = v_1 \cos \theta_1$ और $u_{x2} = v_2 \cos \theta_2$ हैं। दिया गया है कि $v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,इसलिए क्षैतिज वेग समान हैं।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों के लिए क्षैतिज त्वरण शून्य है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर उनकी क्षैतिज स्थिति $x_1 = (v_1 \cos \theta_1)t$ और $x_2 = (v_2 \cos \theta_2)t$ होगी।
चूंकि $v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,इसलिए सभी $t$ के लिए $x_1 = x_2$ होगा।
इसका मतलब है कि एक कण हमेशा दूसरे कण के ठीक नीचे या ऊपर रहेगा (विकल्प $A$ सही है)।
सापेक्ष क्षैतिज विस्थापन $x_{rel} = x_1 - x_2 = 0$ है। अतः,एक के सापेक्ष दूसरे का प्रक्षेप पथ एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा होगा (विकल्प $B$ सही है)।
प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2(v \cos \theta)(v \sin \theta)}{g}$ है। चूंकि $v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,परास तभी समान होगी यदि $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$ हो,जो कि हमेशा सत्य होना आवश्यक नहीं है। इसलिए,यह कथन कि दोनों की परास समान होगी,गलत है। अतः,विकल्प $C$ गलत कथन है।

(D) प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$,इसलिए $T_1 = T_2$ होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$,इसलिए $H_1 = H_2$ होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
दो प्रक्षेप्यों के बीच सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{rel} = \vec{g} - \vec{g} = 0$ है। चूँकि सापेक्ष त्वरण शून्य है,इसलिए सापेक्ष वेग $\vec{v}_{rel}$ स्थिर रहता है। सापेक्ष ऊर्ध्वाधर वेग $v_{1y} - v_{2y} = v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2 = 0$ है। चूँकि सापेक्ष ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है,इसलिए सापेक्ष गति पूरी तरह से क्षैतिज है। अतः,एक कण के सापेक्ष दूसरे का प्रक्षेप पथ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। विकल्प $C$ सही है।
चूँकि सभी कथन $A$,$B$,और $C$ सही हैं,इसलिए गलत कथन 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) समान प्रारंभिक वेग $v$ और अलग-अलग कोणों $\theta_1$ और $\theta_2$ वाले दो प्रक्षेप्यों के लिए,गति के समीकरण $x_1 = v \cos \theta_1 t$,$y_1 = v \sin \theta_1 t - \frac{1}{2}gt^2$ और $x_2 = v \cos \theta_2 t$,$y_2 = v \sin \theta_2 t - \frac{1}{2}gt^2$ हैं।
चूंकि $\theta_1 > \theta_2$,इसलिए $\cos \theta_1 < \cos \theta_2$,अतः किसी भी समय $t > 0$ के लिए $x_1 < x_2$ होगा।
साथ ही,सापेक्ष ऊर्ध्वाधर स्थिति $y_1 - y_2 = v t (\sin \theta_1 - \sin \theta_2)$ है। चूंकि $\theta_1 > \theta_2$,इसलिए $\sin \theta_1 > \sin \theta_2$,अतः $y_1 > y_2$ होगा।
इसका अर्थ है कि कण $1$ हमेशा कण $2$ के ऊपर रहता है,इसलिए कण $2$,कण $1$ के नीचे गति करता है।
सापेक्ष प्रक्षेप पथ का ढलान $\frac{dy_1 - dy_2}{dx_1 - dx_2}$ इन शर्तों के तहत धनात्मक रहता है।
विकल्प $C$ पूरक कोणों के लिए एक सामान्य गुण है,लेकिन प्रश्न $\theta_1 > \theta_2$ की शर्त के लिए गलत कथन पूछता है। चूंकि $A$ और $B$ सही हैं,और $C$ परास के बारे में एक सत्य कथन है,इसलिए $D$ सही विकल्प है क्योंकि दिए गए विकल्पों में कोई भी कथन गलत नहीं है।

(A) प्रक्षेप्य समान ऊँचाई $H$ की दो दीवारों को सममित रूप से पार करता है।
मान लीजिए कि पहली दीवार तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = 2 \text{ s}$ है और दूसरी दीवार तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = 6 \text{ s}$ है।
प्रक्षेप्य गति की समरूपता के कारण,प्रक्षेपवक्र का शिखर दोनों दीवारों के ठीक बीच में स्थित होता है।
वह समय जिस पर प्रक्षेप्य अपनी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है,$t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \text{ s}$ है।
जमीन से प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य के लिए,कुल उड़ान का समय $T$,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगे समय का दोगुना होता है।
इसलिए,$T = 2 \times t_{peak} = 2 \times 4 = 8 \text{ s}$.

(C) प्रक्षेप्य दो दीवारों को $t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 6 \ s$ समय पर पार करता है।
चूंकि गति सममित है,प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ है।
$t = 2 \ s$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $H$ को $H = (v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है,इसलिए $v_y = v_0 \sin \theta - g t_{peak} = 0$,जिससे $v_0 \sin \theta = g t_{peak} = 10 \times 4 = 40 \ m/s$ प्राप्त होता है ($g = 10 \ m/s^2$ लेते हुए)।
इस मान को $H$ के समीकरण में रखने पर:
$H = (40)(2) - \frac{1}{2} (10)(2)^2$
$H = 80 - 20 = 60 \ m$.

(A) प्रक्षेप्य का क्षैतिज वेग $v_x$ स्थिर रहता है। दो दीवारों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 120\, m$ है,और इस दूरी को तय करने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 6\, s - 2\, s = 4\, s$ है।
अतः,क्षैतिज वेग $v_x = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120\, m}{4\, s} = 30\, m/s$ है।
प्रक्षेप्य गति की समरूपता के कारण,कुल उड़ान का समय $T$ उस समय का योग है जिस पर यह शिखर के सापेक्ष सममित रूप से दीवारों को पार करता है। शिखर समय अंतराल $[t_1, t_2]$ के मध्य बिंदु पर होता है,जो $t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\, s$ है।
कुल उड़ान का समय $T = 2 \times t_{peak} = 2 \times 4\, s = 8\, s$ है।
प्रक्षेप्य की परास $R = v_x \times T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$R = 30\, m/s \times 8\, s = 240\, m$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u \sin \theta t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$t_1 = 2 \, s$ और $t_2 = 6 \, s$ पर,प्रक्षेप्य समान ऊंचाई $H$ पर है।
अतः,$H = u \sin \theta (2) - \frac{1}{2} g (2)^2 = 2 u \sin \theta - 2g$ और $H = u \sin \theta (6) - \frac{1}{2} g (6)^2 = 6 u \sin \theta - 18g$.
$H$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2 u \sin \theta - 2g = 6 u \sin \theta - 18g$
$4 u \sin \theta = 16g$
$u \sin \theta = 4g = 40 \, m/s$ ($g = 10 \, m/s^2$ मानते हुए)।
दो दीवारों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 120 \, m$ है। दोनों दीवारों को पार करने के बीच का समय अंतराल $\Delta t = 6 - 2 = 4 \, s$ है।
चूंकि क्षैतिज वेग $u \cos \theta$ स्थिर है:
$u \cos \theta = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120}{4} = 30 \, m/s$.
अब,$\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.
इसलिए,$\theta = tan^{-1}(4/3)$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 50 \ m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 53^{\circ}$,और ऊँचाई $y = 75 \ m$.
प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ (trajectory) के समीकरण का उपयोग करते हुए: $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$.
$g = 10 \ m/s^2$,$\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$,और $\cos 53^{\circ} = \frac{3}{5}$ लेने पर.
मान रखने पर: $75 = x \left(\frac{4}{3}\right) - \frac{10 x^2}{2 \times (50)^2 \times (3/5)^2}$.
$75 = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{2 \times 2500 \times (9/25)}$.
$75 = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{1800} \times 25 = \frac{4x}{3} - \frac{x^2}{180}$.
$180$ से गुणा करने पर: $13500 = 240x - x^2$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 240x + 13500 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{240 \pm \sqrt{57600 - 4(13500)}}{2} = \frac{240 \pm \sqrt{57600 - 54000}}{2} = \frac{240 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{240 \pm 60}{2}$.
$x_1 = \frac{300}{2} = 150 \ m$ और $x_2 = \frac{180}{2} = 90 \ m$.
क्षैतिज दूरी $\Delta x = |x_1 - x_2| = 150 - 90 = 60 \ m$ है।