Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(A) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 50 \, m/s$,कोण $\theta = 53^{\circ}$,समय $t = 2 \, s$।
प्रारंभिक वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं:
$u_x = u \cos 53^{\circ} = 50 \times \frac{3}{5} = 30 \, m/s$
$u_y = u \sin 53^{\circ} = 50 \times \frac{4}{5} = 40 \, m/s$
किसी भी समय $t$ पर,प्रक्षेप्य के स्थिति निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x = u_x t = 30 \times 2 = 60 \, m$
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 40 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 80 - 20 = 60 \, m$
$t = 2 \, s$ पर मूल बिंदु $(0, 0)$ से कण की दूरी $d$ है:
$d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{60^2 + 60^2} = \sqrt{2 \times 60^2} = 60\sqrt{2} \, m$.

(D) मान लीजिए कि कण $L$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों $A, B$ और $C$ पर स्थित हैं। प्रत्येक कण अगले कण की ओर गति करता है। कण $A$ का वेग $B$ की ओर निर्देशित है और कण $B$ का वेग $C$ की ओर निर्देशित है। रेखा $AB$ के अनुदिश $A$ के वेग का घटक $v$ है और $AB$ के अनुदिश $B$ के वेग का घटक $-v \cos(60^{\circ}) = -v/2$ है। $A$ और $B$ के बीच सापेक्ष दृष्टिकोण वेग $v_{rel} = v - (-v/2) = 3v/2$ है। कणों को केंद्रक पर मिलने में लगा समय $t = L / v_{rel} = L / (3v/2) = 2L / (3v)$ है। चूंकि प्रत्येक कण अचर चाल $v$ से गति करता है,इसलिए प्रत्येक कण द्वारा तय की गई दूरी $s = v \times t = v \times (2L / 3v) = 2L/3$ होगी।

(A) मान लीजिए कि दो तार एक बिंदु $O$ पर $\alpha$ कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक तार अपनी लंबाई के लंबवत $v$ चाल से गति करता है।
$\alpha$ कोण के समद्विभाजक पर विचार करें। समरूपता के कारण,प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ को इस समद्विभाजक के अनुदिश गति करनी चाहिए।
मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु की चाल $V$ है।
एक तार पर विचार करें। प्रतिच्छेदन बिंदु का वेग $V$,तार के वेग $v$ की दिशा के साथ $\alpha /2$ कोण बनाता है।
तार की गति की दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु के वेग $V$ का घटक तार की चाल $v$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$V \sin(\alpha /2) = v$।
$V$ के लिए हल करने पर,हमें $V = v / \sin(\alpha /2) = v \csc(\alpha /2)$ प्राप्त होता है।

(D) एक वक्र पथ पर गति करने वाले कण के लिए,त्वरण सदिश $\vec{a} = \frac{dv}{dt} \hat{t} + \frac{v^2}{R} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ चाल है,$R$ वक्रता त्रिज्या है,$\hat{t}$ इकाई स्पर्श रेखा सदिश है और $\hat{n}$ इकाई अभिलंब सदिश है।
यदि चाल नियत है,तो $\frac{dv}{dt} = 0$,इसलिए $\vec{a} = \frac{v^2}{R} \hat{n}$। यह त्वरण वक्रता केंद्र की ओर (अभिलंब दिशा में) निर्देशित होता है,स्पर्श रेखा के अनुदिश नहीं। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
चूंकि $\vec{a} = \frac{v^2}{R} \hat{n}$,त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \frac{v^2}{R} = v^2 \kappa$ है,जहाँ $\kappa = \frac{1}{R}$ वक्रता है। अतः,त्वरण का परिमाण वक्रता $\kappa$ के समानुपाती है। इसलिए,विकल्प $(C)$ भी सही है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) कोणीय वेग $\omega = v / R$ है। $t = \pi R / 3v$ समय में तय किया गया कोण $\Delta \theta = \omega t = (v / R) \times (\pi R / 3v) = \pi / 3$ रेडियन $(60^\circ)$ है।
औसत वेग $|\vec{v}_{avg}| = |\Delta \vec{r}| / t$ द्वारा दिया जाता है। विस्थापन का परिमाण $|\Delta \vec{r}| = 2R \sin(\Delta \theta / 2) = 2R \sin(30^\circ) = 2R \times (1 / 2) = R$ है।
अतः,$|\vec{v}_{avg}| = R / (\pi R / 3v) = 3v / \pi$.
औसत त्वरण $|\vec{a}_{avg}| = |\Delta \vec{v}| / t$ द्वारा दिया जाता है। वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\Delta \theta / 2) = 2v \sin(30^\circ) = 2v \times (1 / 2) = v$ है।
अतः,$|\vec{a}_{avg}| = v / (\pi R / 3v) = 3v^2 / \pi R$.
चूंकि $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं,इसलिए उत्तर $(D)$ है।

(D) दिया गया है: $m = 1 \, kg$,$u = \sqrt{20} \, m/s$,$R = \sqrt{3} \, m$,$g = 10 \, m/s^2$.
परास के सूत्र का उपयोग करने पर: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{20 \sin 2\theta}{10} \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2\theta = 60^\circ$ या $120^\circ$,यानी $\theta = 30^\circ$ या $60^\circ$.
$\theta = 30^\circ$ के लिए: $H = \frac{u^2 \sin^2 30^\circ}{2g} = \frac{20 \times (1/4)}{20} = 0.25 \, m$.
$\theta = 60^\circ$ के लिए: $H = \frac{u^2 \sin^2 60^\circ}{2g} = \frac{20 \times (3/4)}{20} = 0.75 \, m$.
न्यूनतम वेग $v_{\min} = u \cos \theta$. $\theta = 30^\circ$ के लिए,$v_{\min} = \sqrt{20} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15} \, m/s$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$. $\theta = 60^\circ$ के लिए,$T = \frac{2 \sqrt{20} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \sqrt{\frac{3}{5}} \, s$.
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max} = mgH_{\max} = 1 \times 10 \times 0.75 = 7.5 \, J$.
विकल्पों से तुलना करने पर: $(a)$ सही है,$(b)$ सही है,$(c)$ सही है,$(d)$ गलत है $(7.5 \, J \neq 6 \, J)$। अतः,विकल्प $(d)$ गलत कथन है।

(D) $1$. विकल्प $A$ के लिए: अधिकतम ऊँचाई $H = u^2 / (2g)$ जब $\theta = 90^\circ$ हो। अधिकतम परास $R_{max} = u^2 / g$ जब $\theta = 45^\circ$ हो। अतः,$R_{max} = 2H$. विकल्प $A$ सही है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $R = (u^2 \sin 2\theta) / g$ और $H = (u^2 \sin^2 \theta) / (2g)$. दिया गया है $R = nH$,अतः $(2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g = n \cdot (u^2 \sin^2 \theta) / (2g)$. इसे सरल करने पर $4 \cos \theta = n \sin \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $\tan \theta = 4/n$ या $\theta = \tan^{-1}(4/n)$. विकल्प $B$ सही है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $T = (2u \sin \theta) / g$,अतः $T^2 = (4u^2 \sin^2 \theta) / g^2$. साथ ही $R = (u^2 \sin 2\theta) / g = (2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g$. अतः $2R \tan \theta = 2 \cdot [(2u^2 \sin \theta \cos \theta) / g] \cdot [\sin \theta / \cos \theta] = (4u^2 \sin^2 \theta) / g = gT^2$. विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति के लिए:
$1$. क्षैतिज विस्थापन $x = (u \cos \theta)t$ है। चूँकि $R = (u \cos \theta)T$,इसलिए $x/R = t/T$ है।
$2$. ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ है। चूँकि $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,हम $u \sin \theta = \frac{gT}{2}$ लिख सकते हैं।
$3$. $y$ के समीकरण में मान रखने पर:
$y = \left( \frac{gT}{2} \right)t - \frac{1}{2}g t^2 = \frac{gT^2}{2} \left( \frac{t}{T} \right) \left( 1 - \frac{t}{T} \right)$.
$4$. चूँकि $h = \frac{gT^2}{8}$,इसलिए $\frac{gT^2}{2} = 4h$ होता है।
$5$. अतः,$y = 4h \left( \frac{t}{T} \right) \left( 1 - \frac{t}{T} \right)$.
$6$. $t/T = x/R$ प्रतिस्थापित करने पर,$y = 4h \left( \frac{x}{R} \right) \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(D) ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गेंद को क्षैतिज रूप से लुढ़काया जाता है,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है। नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,$h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 0.8 \, m$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y + g t = 0 + 10 \times 0.4 = 4 \, m/s$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x t = 4 \times 0.4 = 1.6 \, m$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) दिए गए सूत्र: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$,$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ हैं।
चूंकि $u$ स्थिर है,हम $\theta$ के $30^o$ से $60^o$ तक बदलने पर त्रिकोणमितीय फलनों का विश्लेषण करते हैं।
$R$ के लिए: पद $\sin 2\theta$,$\sin 60^o = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ से $\sin 120^o = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ तक बदलता है,जो $\theta = 45^o$ पर $\sin 90^o = 1$ से होकर गुजरता है। अतः,$R$ पहले $45^o$ तक बढ़ता है और फिर घटता है।
$H$ के लिए: पद $\sin^2 \theta$,$\theta$ के $30^o$ से $60^o$ तक बढ़ने पर एकदिश रूप से बढ़ता है (क्योंकि $\sin 30^o = 0.5$ और $\sin 60^o \approx 0.866$)। अतः,$H$ बढ़ता है।
$T$ के लिए: पद $\sin \theta$,$\theta$ के $30^o$ से $60^o$ तक बढ़ने पर एकदिश रूप से बढ़ता है। अतः,$T$ बढ़ता है।
इसलिए,$R$ पहले बढ़ता है फिर घटता है,जबकि $H$ और $T$ दोनों बढ़ते हैं।

(A) शंक्वाकार लोलक के लिए,बॉब $r = l \sin \theta$ त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त में घूमता है,जहाँ $l$ डोरी की लंबाई है और $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ कोण है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल डोरी के अनुदिश तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं।
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg \implies T = \frac{mg}{\cos \theta}$.
क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (l \sin \theta)$.
क्षैतिज घटक से,$T = ml \omega^2$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि एक निश्चित लंबाई $l$ के लिए,$T$,$\omega^2$ के सीधे आनुपातिक है।
हालाँकि,जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,कोण $\theta$ बढ़ता है। $\omega = 0$ पर,बॉब स्थिर है,और $T = mg$ है। जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,बॉब एक वृत्त में गति करना शुरू करता है,और तनाव $T = ml \omega^2$ के अनुसार बढ़ता है।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $A$ उस व्यवहार को दर्शाता है जहाँ $T$ का मान $mg$ से शुरू होता है ($\omega=0$ पर) और जैसे-जैसे लोलक कोणीय वेग प्राप्त करता है,यह $\omega^2$ के साथ बढ़ता है।

(A) वृत्तीय गति में,कण के त्वरण के दो घटक होते हैं: अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ जो स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
परिणामी बल $F = ma$ अभिकेंद्र बल $(F_c = ma_c)$ और स्पर्शरेखीय बल $(F_t = ma_t)$ का सदिश योग है।
यदि गति एकसमान वृत्तीय गति है,तो $a_t = 0$ होता है,इसलिए परिणामी बल पूरी तरह से अभिकेंद्र (केंद्र की ओर) होता है।
यदि गति असमान वृत्तीय गति है,तो $a_t \neq 0$ होता है,इसलिए परिणामी बल केंद्र की ओर निर्देशित नहीं होता है।
अतः,परिणामी बल केंद्र की ओर हो सकता है (एकसमान वृत्तीय गति में) या त्रिज्या के साथ किसी कोण पर हो सकता है (असमान वृत्तीय गति में)।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यह बताता है कि बल केंद्र की ओर 'हो सकता है',जो एकसमान गति के मामले को कवर करता है।

(C) मान लीजिए $t=0$ पर कोणीय स्थितियाँ $\theta_P(0) = \pi$, $\theta_Q(0) = \pi/2$, और $\theta_R(0) = 0$ हैं।
समय $t$ पर कोणीय स्थितियाँ:
$\theta_P(t) = 5\pi t + \pi$
$\theta_Q(t) = 2\pi t + \pi/2$
$\theta_R(t) = 3\pi t + 0$
कण $P$ और $Q$ के समान स्थिति पर होने के लिए: $\theta_P(t) - \theta_Q(t) = 2n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
$3\pi t + \pi/2 = 2n\pi \implies 3t = 2n - 1/2 \implies t = (4n-1)/6$.
$n=1$ के लिए, $t = 3/6 = 1/2 \, s$। $n=2$ के लिए, $t = 7/6 \, s$।
कण $Q$ और $R$ के समान स्थिति पर होने के लिए: $\theta_Q(t) - \theta_R(t) = 2m\pi$।
$-\pi t + \pi/2 = 2m\pi \implies t = 1/2 - 2m$।
$m=0$ के लिए, $t = 1/2 \, s$।
समय की तुलना करने पर, वे सभी $t = 1/2 \, s$ पर मिलते हैं।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक कोणीय स्थितियाँ $\theta_P(0) = \pi$,$\theta_Q(0) = \pi/2$,और $\theta_R(0) = 0$ हैं ($R$ को धनात्मक $x$-अक्ष पर लेते हुए)।
समय $t$ पर कोणीय स्थितियाँ $\theta(t) = \theta(0) + \omega t$ द्वारा दी जाती हैं।
$\theta_P(t) = \pi + 5\pi t$
$\theta_Q(t) = \pi/2 + 2\pi t$
कण $P$ और $Q$ तब मिलते हैं जब $\theta_P(t) = \theta_Q(t) + 2n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$\pi + 5\pi t = \pi/2 + 2\pi t + 2n\pi$
$3\pi t = 2n\pi - \pi/2$
$3t = 2n - 0.5$
$t = (2n - 0.5) / 3$
$0 \le t \le 1$ के लिए:
$0 \le (2n - 0.5) / 3 \le 1$
$0 \le 2n - 0.5 \le 3$
$0.5 \le 2n \le 3.5$
$0.25 \le n \le 1.75$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 1$ है।
अतः,वे केवल एक बार $t = (2(1) - 0.5) / 3 = 1.5 / 3 = 0.5 \text{ s}$ पर मिलते हैं।

(B) दिया गया है $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = 2t^2$। चूँकि $m = 1 \, kg$,हमारे पास $\frac{1}{2}(1)v^2 = 2t^2$ है,जिसका अर्थ है $v^2 = 4t^2$,इसलिए $v = 2t \, m/s$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \, m/s^2$। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
शक्ति $P = \frac{d(K.E.)}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t$। $t = 2 \, s$ पर,$P = 4(2) = 8 \, W$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
स्पर्शरेखीय बल $F_t = m \cdot a_t = 1 \cdot 2 = 2 \, N$। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
पहले चक्कर के लिए,दूरी $s = 2\pi r = 2\pi(8) = 16\pi \, m$। चूँकि $v = 2t$,$s = \int v \, dt = \int_0^T 2t \, dt = T^2$। $T^2 = 16\pi$ रखने पर,$T = 4\sqrt{\pi} \, s \neq 2 \, s$। अतः,विकल्प $C$ गलत है।

(A) उच्चतम बिंदु पर,विस्फोट से ठीक पहले प्रक्षेप्य का वेग $v_x = u \cos 53^{\circ} = 50 \times 0.6 = 30 \, m/s$ है।
मान लीजिए प्रक्षेप्य का द्रव्यमान $2m$ है। उच्चतम बिंदु पर,संवेग $P_i = (2m)v_x = 60m$ है।
विस्फोट के बाद,$m$ द्रव्यमान का एक भाग स्थिर हो जाता है $(v_1 = 0)$,और $m$ द्रव्यमान का दूसरा भाग $v_2$ वेग के साथ गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $P_i = P_f \implies 60m = m(0) + m(v_2) \implies v_2 = 60 \, m/s$.
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v^2}{a_n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_n$ अभिलंब त्वरण है।
उच्चतम बिंदु पर,केवल गुरुत्वीय त्वरण $(g = 10 \, m/s^2)$ कार्य करता है,जो वेग के लंबवत है।
विस्फोट से पहले वक्रता त्रिज्या: $R_1 = \frac{v_x^2}{g} = \frac{30^2}{10} = 90 \, m$.
विस्फोट के बाद गतिमान कण के लिए वक्रता त्रिज्या: $R_2 = \frac{v_2^2}{g} = \frac{60^2}{10} = 360 \, m$.
अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ है।

(D) स्थिति $1$: जब दोनों विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
मान लीजिए कोणीय विस्थापन $\theta_1 = \omega t$ और $\theta_2 = 5\omega t$ हैं।
वे तब मिलते हैं जब उनके कोणीय विस्थापन का योग $2\pi$ रेडियन होता है: $\theta_2 + \theta_1 = 2\pi$.
$5\omega t + \omega t = 2\pi \implies 6\omega t = 2\pi \implies \omega t = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
इस प्रकार,वे केंद्र पर $60^{\circ}$ का कोण बनाने वाले बिंदुओं पर एक-दूसरे को पार करते हैं।
पार करने के बीच का समय अंतराल $T = \frac{2\pi}{\omega_{rel}} = \frac{2\pi}{5\omega + \omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$ है।
स्थिति $2$: जब दोनों समान दिशा में गति करते हैं।
वे तब मिलते हैं जब उनके कोणीय विस्थापन का अंतर $2\pi$ रेडियन होता है: $\theta_2 - \theta_1 = 2\pi$.
$5\omega t - \omega t = 2\pi \implies 4\omega t = 2\pi \implies \omega t = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,वे केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाने वाले बिंदुओं पर एक-दूसरे को पार करते हैं।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) जब कण को चलती हुई गाड़ी से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्रक्षेपण के क्षण में उसका क्षैतिज वेग गाड़ी के वेग के समान होता है। यह क्षैतिज वेग वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि गाड़ी वृत्ताकार पथ पर चलती रहती है जबकि कण हवा में होता है,इसलिए कण की क्षैतिज गति रैखिक (स्पर्शरेखीय) होती है,जबकि गाड़ी की गति वक्र होती है। परिणामस्वरूप,कण वृत्ताकार पथ के बाहर गिरेगा।
इसके अतिरिक्त,क्योंकि कण के पास एक स्थिर क्षैतिज वेग (स्पर्शरेखीय) और गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित लंबवत वेग दोनों होते हैं,इसलिए जमीन के सापेक्ष उसका प्रक्षेप्य पथ परवलयाकार होता है। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) गति के दिए गए समीकरण:
$x = a \sin(\omega t) \Rightarrow \frac{x}{a} = \sin(\omega t)$
$y = a(1 - \cos(\omega t)) \Rightarrow \frac{y}{a} = 1 - \cos(\omega t) \Rightarrow \frac{y}{a} - 1 = -\cos(\omega t) \Rightarrow 1 - \frac{y}{a} = \cos(\omega t)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\frac{x}{a})^2 + (1 - \frac{y}{a})^2 = \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(a - y)^2}{a^2} = 1$
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
यह $(0, a)$ केंद्र और $a$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \; ms^{-1}$,त्वरण $\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \; ms^{-2}$,और समय $t = 10 \; s$.
सदिशों के लिए गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
मान रखने पर: $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$.
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j}) = 7\hat{i} + 7\hat{j}$.
चाल,वेग सदिश $\vec{v}$ का परिमाण है।
$|\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \; ms^{-1}$.

(A) दिया गया वेग सदिश $\vec v = K(y\hat i + x\hat j)$ है।
हम जानते हैं कि $\vec v = v_x \hat i + v_y \hat j = \frac{dx}{dt} \hat i + \frac{dy}{dt} \hat j$ होता है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = Ky$ और $\frac{dy}{dt} = Kx$ प्राप्त होता है।
कण का पथ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को विभाजित करते हैं: $\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{Kx}{Ky}$।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y \, dy = x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int y \, dy = \int x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$ है,जहाँ $C'$ एक स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = x^2 + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C = 2C'$ एक अन्य स्थिरांक है।
अतः,पथ का समीकरण $y^2 = x^2 + \text{स्थिरांक}$ है।

(C) मान लीजिए कि कण $R$ त्रिज्या के एक वृत्त पर स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ गति कर रहा है। $t = 0$ पर,कण $P_0$ स्थिति पर है। समय $t$ पर,कण $P$ स्थिति पर है,जिससे कोण $\angle P_0OP = \theta = \omega t$ बनता है।
विस्थापन $S$ जीवा की लंबाई $P_0P$ है। समद्विबाहु त्रिभुज $\triangle P_0OP$ में,जीवा की लंबाई $S = 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2R \sin(\frac{\omega t}{2})$ द्वारा दी जाती है।
यह फलन $T = \frac{2\pi}{\omega}$ आवर्तकाल वाला एक ज्या वक्र (sine curve) दर्शाता है।
$t = 0$ पर,$S = 0$ है। $t = \frac{\pi}{\omega}$ पर,$S = 2R \sin(\frac{\pi}{2}) = 2R$ (अधिकतम विस्थापन) है। $t = \frac{2\pi}{\omega}$ पर,$S = 2R \sin(\pi) = 0$ है।
इस प्रकार,ग्राफ $0$ से शुरू होने वाला एक ज्या वक्र है,जो $t = \frac{\pi}{\omega}$ पर अधिकतम होता है और $t = \frac{2\pi}{\omega}$ पर वापस $0$ पर आ जाता है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) वह गति $v$ जिस पर टेप रील की ओर बढ़ती है,उसे संबंध $v = \omega R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ रील का कोणीय वेग है और $R$ इसकी वर्तमान त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि रील एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमती है,इसलिए $\omega = \text{स्थिर}$.
रील की त्रिज्या $R$ एक स्थिर दर से बढ़ रही है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dR}{dt} = \text{स्थिर}$.
समय $t$ के साथ गति $v$ के परिवर्तन को खोजने के लिए,हम समय के सापेक्ष $v$ के व्यंजक का अवकलन करते हैं:
$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\omega R) = \omega \cdot \frac{dR}{dt}$.
चूंकि $\omega$ और $\frac{dR}{dt}$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए उनका गुणनफल $\frac{dv}{dt}$ भी स्थिर है।
समय के सापेक्ष गति में स्थिर परिवर्तन यह दर्शाता है कि $v-t$ ग्राफ एक स्थिर धनात्मक ढलान वाली सीधी रेखा होगी।

(C) कण $A$ के लिए,पथ का समीकरण $y = x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_{y_A} = v_{x_A}$।
चूंकि कण $B$ $X$-अक्ष के अनुदिश $3 \ m/s$ की एकसमान चाल से गति कर रहा है,इसका वेग $\vec{v}_B = 3 \hat{i}$ है।
यह दिया गया है कि $A$ और $B$ के $X$-निर्देशांक हमेशा समान रहते हैं,इसलिए $A$ के वेग का $X$-घटक $B$ के वेग के बराबर होना चाहिए,अतः $v_{x_A} = 3 \ m/s$।
चूंकि $v_{y_A} = v_{x_A}$,इसलिए $v_{y_A} = 3 \ m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,कण $A$ का वेग सदिश $\vec{v}_A = 3 \hat{i} + 3 \hat{j}$ है।
कण $A$ की चाल उसके वेग सदिश का परिमाण है: $|\vec{v}_A| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \ m/s$।

(D) मान लीजिए कि प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है। गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है,$v_x = u \cos \theta$.
किसी भी बिंदु पर,वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ होता है।
बिंदु $P$ के लिए,$\vec{v}_P = v_x \hat{i} + v_{yP} \hat{j}$। क्षैतिज के साथ कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \frac{v_{yP}}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v_{yP} = v_x \tan \alpha$।
बिंदु $Q$ के लिए,$\vec{v}_Q = v_x \hat{i} + v_{yQ} \hat{j}$।
चूंकि $\vec{v}_P \perp \vec{v}_Q$,उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $\vec{v}_P \cdot \vec{v}_Q = 0$.
$(v_x \hat{i} + v_{yP} \hat{j}) \cdot (v_x \hat{i} + v_{yQ} \hat{j}) = 0 \implies v_x^2 + v_{yP} v_{yQ} = 0$.
अतः,$v_{yQ} = -\frac{v_x^2}{v_{yP}} = -\frac{v_x^2}{v_x \tan \alpha} = -v_x \cot \alpha$.
उनके परिमाण $v_P = \sqrt{v_x^2 + v_{yP}^2} = \sqrt{v_x^2 + v_x^2 \tan^2 \alpha} = v_x \sec \alpha$ हैं।
और $v_Q = \sqrt{v_x^2 + v_{yQ}^2} = \sqrt{v_x^2 + v_x^2 \cot^2 \alpha} = v_x \csc \alpha$ हैं।
इसलिए,$\frac{v_Q}{v_P} = \frac{v_x \csc \alpha}{v_x \sec \alpha} = \frac{1/\sin \alpha}{1/\cos \alpha} = \cot \alpha$।

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 5\hat{i}\ m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v}_2 = 5\hat{j}\ m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ m/s$.
$\Delta\vec{v}$ की दिशा उत्तर-पश्चिम है।
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ m/s^2$.
अतः,औसत त्वरण $\frac{1}{\sqrt{2}}\ m/s^2$ उत्तर-पश्चिम दिशा में है।

(B) चूंकि तनाव बल हमेशा डिस्क के वेग सदिश के लंबवत होता है,इसलिए तनाव बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,डिस्क की गति के दौरान उसकी गतिज ऊर्जा और वेग स्थिर रहते हैं।
इसलिए,लगा समय $t = \frac{s}{v_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ डिस्क द्वारा तय की गई कुल दूरी है।
किसी भी मनमाना स्थिति पर,डिस्क द्वारा तय की गई सूक्ष्म दूरी $ds = (l_0 - R\theta) d\theta$ है।
कुल दूरी $s$ प्राप्त करने के लिए $\theta = 0$ से $\theta = \frac{l_0}{R}$ तक समाकलन करने पर:
$s = \int_{0}^{l_0/R} (l_0 - R\theta) d\theta = [l_0\theta - \frac{1}{2}R\theta^2]_{0}^{l_0/R} = l_0(\frac{l_0}{R}) - \frac{1}{2}R(\frac{l_0}{R})^2 = \frac{l_0^2}{R} - \frac{l_0^2}{2R} = \frac{l_0^2}{2R}$.
मान $l_0 = 2 \ m$,$R = 1 \ m$,और $v_0 = 1 \ m/s$ रखने पर:
$t = \frac{l_0^2}{2Rv_0} = \frac{2^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \ s$.

(A) $1$. पथ दो जीवाओं $AB$ और $DA$, और एक वृत्तीय चाप $BCD$ से बना है।
$2$. दी गई त्रिज्या $R = 42\ cm$ और केंद्रीय कोण $\angle BAC = 60^\circ$ और $\angle DAC = 60^\circ$ हैं, इसलिए चाप $BCD$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कुल कोण $240^\circ$ (या $\frac{4\pi}{3}\ \text{रेडियन}$) है।
$3$. जीवा $AB$ की लंबाई $= 2R \sin(60^\circ/2) = 2R \sin(30^\circ) = R = 42\ cm$. इसी प्रकार, $DA = 42\ cm$.
$4$. चाप $BCD$ की लंबाई $= R \theta = 42 \times \frac{4\pi}{3} = 56\pi \approx 56 \times 3.14159 = 175.93\ cm$.
$5$. कुल दूरी $D = AB + \text{चाप } BCD + DA = 42 + 175.93 + 42 = 259.93\ cm$.
$6$. समय $t = \frac{D}{v} = \frac{259.93}{1.3} \approx 199.95\ s$.
$7$. यह मान $200\ s$ के सबसे निकट है।

(B) मान लीजिए लड़के का वेग $\vec{v}_B = v \hat{i}$ है।
मान लीजिए $R$ त्रिज्या वाले वृत्त पर बिंदु द्रव्यमान की स्थिति $\theta = \omega t$ द्वारा दी गई है,जहाँ $\omega = \frac{v}{R}$ है।
बिंदु द्रव्यमान का वेग $\vec{v}_P = -v \sin(\omega t) \hat{i} + v \cos(\omega t) \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_P - \vec{v}_B = (-v \sin(\omega t) - v) \hat{i} + v \cos(\omega t) \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{rel}| = \sqrt{(-v \sin(\omega t) - v)^2 + (v \cos(\omega t))^2}$ है।
$|\vec{v}_{rel}| = \sqrt{v^2 \sin^2(\omega t) + v^2 + 2v^2 \sin(\omega t) + v^2 \cos^2(\omega t)} = \sqrt{2v^2 + 2v^2 \sin(\omega t)} = v \sqrt{2(1 + \sin(\omega t))}$ है।
यह परिमाण कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{v}{R}$ के साथ आवधिक रूप से बदलता है।
इस परिवर्तन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi R}{v}$ है।
परिवर्तन की आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) गोले की गति प्रक्षेप्य गति के समान है जहाँ $x$-दिशा में त्वरण स्थिर है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,बल $F_x = 0.9 \ N$,प्रारंभिक वेग $v = 3 \ m/s$,$y$-अक्ष के साथ कोण $\theta = 30^{\circ}$।
$x$-दिशा में त्वरण $a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{0.9 \ N}{0.5 \ kg} = 1.8 \ m/s^2$ है।
$x$-दिशा में प्रारंभिक वेग का घटक $u_x = v \sin(30^{\circ}) = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$ है।
गोला $y$-अक्ष को फिर से तब पार करेगा जब उसका $x$-दिशा में विस्थापन शून्य हो जाए,अर्थात $s_x = 0$।
गति के समीकरण $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = (1.5)t + \frac{1}{2} (-1.8) t^2$ (नोट: बल $+x$ दिशा में है,लेकिन प्रारंभिक वेग का घटक $-x$ दिशा में है,इसलिए त्वरण प्रारंभिक वेग के विपरीत है)।
$0 = 1.5 t - 0.9 t^2$
$0.9 t^2 = 1.5 t$
$t = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ \sec$.

(A) विद्युत क्षेत्र के कारण क्षैतिज त्वरण $a_x = \frac{qE}{m} = \frac{10^{-6} \times 2 \times 10^7}{2} = 10 \ ms^{-2}$ है।
उड्डयन काल $T$ ऊर्ध्वाधर गति द्वारा निर्धारित होता है: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 10 \times \sin 45^{\circ}}{10} = \frac{2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10} = \sqrt{2} \ s$.
क्षैतिज परास $R$ गति के समीकरण $R = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \ ms^{-1}$ है।
मान रखने पर: $R = (\frac{10}{\sqrt{2}}) \times \sqrt{2} + \frac{1}{2} \times 10 \times (\sqrt{2})^2$.
$R = 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10 + 10 = 20 \ m$.

(B) मान लीजिए कि कब्ज़ों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $l$ है। रिंग $A$ पर केंद्रित $1 \ m$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करती है।
जब कोण $\phi$ अपने अधिकतम मान पर होता है,तो छड़ $Q$ रिंग के वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा (tangent) होती है।
इस विन्यास में,कब्ज़ों $A, B$ और रिंग की स्थिति द्वारा बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें रिंग की स्थिति पर समकोण बनता है।
यह दिया गया है कि $\phi$ के अधिकतम मान पर $A$ पर कोण $\theta = 60^{\circ}$ है,इसलिए:
$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{R}{l}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{l}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{l}$
$l = 2 \ m$
अतः,कब्ज़ों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $2 \ m$ है।

(D) दिया गया वेग: $\vec{v} = 2t\hat{i} + t^2\hat{j}$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2t\hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$,अतः परिमाण $a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \ m/s^2$.
चाल $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2t)^2 + (t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + t^4}$.
$t = 1 \ s$ पर,$v = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \ m/s$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 + t^4}} \cdot (8t + 4t^3)$.
$t = 1 \ s$ पर,$a_t = \frac{8+4}{2\sqrt{5}} = \frac{12}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \ m/s^2$.
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_c = \sqrt{a^2 - a_t^2} = \sqrt{8 - \frac{36}{5}} = \sqrt{\frac{40-36}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \ m/s^2$.
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v^2}{a_c} = \frac{(\sqrt{5})^2}{2/\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \ m$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) प्रक्षेप्य गति के लिए,दो पूरक कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए परास $R$ समान होता है।
कोण $\theta$ के लिए उड्डयन काल $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए उड्डयन काल $T_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
$T_1$ और $T_2$ का गुणा करने पर:
$T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2} = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2u^2 \sin 2\theta}{g^2}$.
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होता है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$.
अतः,$R = \frac{T_1 T_2 g}{2}$.

(D) के सापेक्ष $B$ का कोणीय वेग $\omega_{BA} = \frac{v_{\perp}}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{\perp}$ $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत $A$ के सापेक्ष $B$ का सापेक्ष वेग है।
मान लीजिए कि रेखा $AB$,$x$-अक्ष के अनुदिश है।
$B$ का वेग $\vec{v}_B = (-100\sqrt{3} \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (100\sqrt{3} \sin 60^{\circ}) \hat{j} = -150 \hat{i} + 150 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
$A$ का वेग $\vec{v}_A = (-50 \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (50 \sin 30^{\circ}) \hat{j} = -25\sqrt{3} \hat{i} - 25 \hat{j} \ m/s$ है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-150 + 25\sqrt{3}) \hat{i} + (150\sqrt{3} + 25) \hat{j} \ m/s$ है।
$AB$ के लंबवत (जो $y$-अक्ष के अनुदिश है) $\vec{v}_{BA}$ का घटक $v_{\perp} = 150\sqrt{3} + 25 \ m/s$ है।
$\omega_{BA} = \frac{150\sqrt{3} + 25}{20} = \frac{150(1.732) + 25}{20} = \frac{259.8 + 25}{20} = \frac{284.8}{20} = 14.24 \ rad/s$ है।
चूँकि $14.24 \ rad/s$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर है। क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \alpha$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \alpha$ है।
$t$ समय बाद,माना वेग $v$ है। क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u \cos \alpha$।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \alpha - gt$ हो जाता है।
वेग के पूर्व दिशा के लंबवत होने के लिए,प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u}$ और अंतिम वेग सदिश $\vec{v}$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$(u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha (u \sin \alpha - gt) = 0$
$u^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = ugt \sin \alpha$
$u^2 = ugt \sin \alpha$
$t = \frac{u}{g \sin \alpha}$

(C) प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $R = 980 \, m$ और $\theta = 45^o$,इसलिए $980 = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{u^2}{g}$।
अतः,$u^2 = 980 \times 9.8 = 9604$,जिससे $u = 98 \, m/s$ प्राप्त होता है।
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin\theta}{g} = \frac{2 \times 98 \times \sin(45^o)}{9.8} = \frac{20 \times 1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, s$ है।
जब $v = 18 \, km/h = 5 \, m/s$ की गति से चल रही कार से गोली दागी जाती है,तो वेग का क्षैतिज घटक $\Delta v = 5 \, m/s$ बढ़ जाता है।
परास में वृद्धि $\Delta R = \Delta v \times T = 5 \times 10\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \, m$ होगी।

(B) अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g}$ है।
यहाँ $H = 20\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $20 = \frac{u_y^2}{2 \times 10}$,जिससे $u_y^2 = 400$ प्राप्त होता है,अर्थात $u_y = 20\, m/s$।
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 20}{10} = 4\, s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P}$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा लगाए गए आवेग के बराबर होता है,जो पूरी गति के दौरान नीचे की ओर कार्य करता है।
$\Delta \vec{P} = \vec{F}_{ext} \times T = (mg) \times T$.
मान रखने पर: $\Delta \vec{P} = 1\, kg \times 10\, m/s^2 \times 4\, s = 40\, N-s$।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$
त्वरण $\vec{a} = (\hat{i} + \hat{j}) \, m/s^2$
समय $t = 10 \, s$
सदिशों के लिए गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
मान रखने पर:
$\vec{v} = (\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + 10\hat{i} + 10\hat{j}$
$\vec{v} = 11\hat{i} + 11\hat{j} \, m/s$
चाल वेग सदिश का परिमाण है:
$|\vec{v}| = \sqrt{(11)^2 + (11)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{121 + 121} = \sqrt{242}$
$|\vec{v}| = 11\sqrt{2} \, m/s$

(A) बिंदु $P$ के परितः कण पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के कारण है,जो $P$ से $x$ क्षैतिज दूरी पर है।
$\tau = mgx$
चूंकि क्षैतिज वेग स्थिर है,$x = (V_0 \cos 45^o) t = \frac{V_0}{\sqrt{2}} t$.
अतः,$\tau = mg \left( \frac{V_0}{\sqrt{2}} t \right) = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} t$.
हम जानते हैं कि टॉर्क कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
समय के सापेक्ष $t = 0$ से $t = \frac{V_0}{g}$ तक समाकलन करने पर:
$L = \int_{0}^{t} \tau dt = \int_{0}^{V_0/g} \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} t dt$
$L = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{V_0/g}$
$L = \frac{mgV_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{g} \right)^2$
$L = \frac{mgV_0^3}{2 \sqrt{2} g^2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \frac{mV_0^3}{g}$

(B) $1$. यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण: संकुचित स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा,ब्लॉक के स्प्रिंग छोड़ने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} x$
दिया गया है: $k = 500\,N/m$,$x = 5.0\,cm = 0.05\,m$,$m = 500\,g = 0.5\,kg$.
$v = \sqrt{\frac{500}{0.5}} \times 0.05 = \sqrt{1000} \times 0.05 = 10\sqrt{10} \times 0.05 = 0.5\sqrt{10}\,m/s$.
$2$. प्रक्षेप्य गति: ब्लॉक $H = 4\,m$ की ऊँचाई से क्षैतिज रूप से मेज छोड़ता है।
उड़ान का समय $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \sqrt{\frac{2 \times 4}{10}} = \sqrt{0.8} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\,s$.
$3$. क्षैतिज दूरी $(R)$: $R = v \times t$
$R = (0.5\sqrt{10}) \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) = 0.5 \times 2 \times \sqrt{\frac{10}{5}} = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}\,m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) स्थिति सदिश $\vec{r} = (t^2 - 8t + 12)\hat{i} + t^2\hat{j}$ है।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (2t - 8)\hat{i} + 2t\hat{j}$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ है।
वेग और त्वरण सदिशों के लंबवत होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2t - 8)(2) + (2t)(2) = 0$.
$4t - 16 + 4t = 0$.
$8t = 16$.
$t = 2 \text{ sec}$.

(D) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है। कण की चाल $v = \sqrt{2} \, m/s$ है।
जब कण वृत्ताकार पथ का $\frac{3}{4}$ भाग तय करता है,तो उसका विस्थापन $\Delta r$ प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की दूरी है। यह $R$ लंबाई की दो भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है।
विस्थापन $\Delta r = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
तय की गई दूरी $d = \frac{3}{4} \times (2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ है।
लिया गया समय $t = \frac{d}{v} = \frac{3\pi R}{2v}$ है।
औसत वेग का परिमाण $|v_{avg}| = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{R\sqrt{2}}{\frac{3\pi R}{2v}} = \frac{2\sqrt{2}v}{3\pi}$ है।
$v = \sqrt{2} \, m/s$ रखने पर,हमें $|v_{avg}| = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3\pi} = \frac{4}{3\pi} \, m/s$ प्राप्त होता है।

(B) बल $\vec{F}$ द्वारा दिया गया पावर $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{v}$ वेग सदिश है।
यहाँ,बल गुरुत्वाकर्षण है,$\vec{F} = m\vec{g} = -mg\hat{j}$।
बिंदु $O$ (शुरुआत) पर,वेग $\vec{v}$ का ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर है। अतः,$\vec{F} \cdot \vec{v} = (-mg\hat{j}) \cdot (v_x\hat{i} + v_y\hat{j}) = -mgv_y$। चूँकि $v_y > 0$,पावर ऋणात्मक है। कथन $A$ सही है।
बिंदु $A$ (उच्चतम बिंदु) पर,वेग पूरी तरह से क्षैतिज है,इसलिए $\vec{v} = v_x\hat{i}$। अतः,$P = (-mg\hat{j}) \cdot (v_x\hat{i}) = 0$। कथन $D$ सही है।
बिंदु $O'$ (अंत) पर,वेग $\vec{v}$ का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर है। अतः,$v_y < 0$। इसलिए,$P = -mgv_y > 0$। पावर धनात्मक है। कथन $C$ सही है।
चूँकि कथन $C$ सही है,कथन $B$ (जो कहता है कि $O'$ पर पावर ऋणात्मक है) गलत कथन है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है और प्रक्षेपण गति $u$ है।
ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पहली गेंद के लिए, प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = \frac{u^2}{2g}$ है। उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = mgH_1 = mg \left(\frac{u^2}{2g}\right) = \frac{1}{2}mu^2$ है।
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित दूसरी गेंद के लिए, क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा। प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{u^2}{8g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = mgH_2 = mg \left(\frac{u^2}{8g}\right) = \frac{1}{8}mu^2$ है।
उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{8}mu^2} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 30 \hat{i} \; m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v} = 40 \hat{j} \; m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = 40 \hat{j} - 30 \hat{i}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-30)^2 + (40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \; m/s$.
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{50 \; m/s}{10 \; s} = 5 \; m/s^2$.

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि सभी पिंड समान वेग $u$ से प्रक्षेपित किए जाते हैं,इसलिए परास $\sin(2\theta)$ पर निर्भर करती है।
$P$ के लिए: $\theta = 15^{\circ}$,अतः $2\theta = 30^{\circ}$,$\sin(30^{\circ}) = 0.5$.
$Q$ के लिए: $\theta = 30^{\circ}$,अतः $2\theta = 60^{\circ}$,$\sin(60^{\circ}) \approx 0.866$.
$R$ के लिए: $\theta = 45^{\circ}$,अतः $2\theta = 90^{\circ}$,$\sin(90^{\circ}) = 1$.
$S$ के लिए: $\theta = 60^{\circ}$,अतः $2\theta = 120^{\circ}$,$\sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) \approx 0.866$.
मानों की तुलना करने पर,$\sin(30^{\circ})$ सबसे छोटा है। इसलिए,पिंड $P$ की परास सबसे कम है।

(A) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
यहाँ $R = 5\sqrt{3}\,m$,$u = 10\,m/s$ और $g = 10\,m/s^2$ लेने पर:
$5\sqrt{3} = \frac{10^2 \sin 2\theta}{10} \implies 5\sqrt{3} = 10 \sin 2\theta \implies \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2\theta = 60^{\circ}$ या $2\theta = 120^{\circ}$,जिससे $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
उड्डयन काल का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$\theta_1 = 30^{\circ}$ के लिए,$T_1 = \frac{2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}}{10} = 2 \times 0.5 = 1\,s$.
$\theta_2 = 60^{\circ}$ के लिए,$T_2 = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,s$.
गेंदों के जमीन से टकराने के बीच का समयांतराल $\Delta t = T_2 - T_1 = (\sqrt{3} - 1)\,s$ है।