પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થની અવધિ અને ઊંચાઇ સમાન હોય તો પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હશે?

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની વ્યાખ્યા આપી ગતિપથનું સમીકરણ $y\, = \,(\tan \,{\theta _0})x\, - \,\frac{g}{{(2\,\cos \,{\theta _0})}}{x^2}$ મેળવો.

એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી $5\;ms^{-1} $ ના વેગથી અને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta $ કોણે ફેંકવામાં આવે છે. બીજા ગ્રહ પરથી બીજા પદાર્થને તેટલા જ કોણે અને $3\;ms^{-1}$ ના વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે, તો ગ્રહ પરથી ફેંકેલા પદાર્થનો ગતિપથ, પૃથ્વી પરથી ફેંકેલા પદાર્થના ગતિપથને બઘી જ રીતે સમાન છે. આપેલ ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ($m/s^2$ માં) કેટલું હશે? (આપેલ $g = 9.8 \,m s^{-2}$) 

કણને $O$ બિંદુથી $u$ વેગથી સમક્ષિતીજ સાથે $\alpha$ ખૂણે ફેકવામા આવે છે જો તે $P$ બિંદુ પાસે તેના વેગની દિશા શરૂઆતની વેગની દિશાને લંબ હોય તો $O$ થી $P$ બિંદુ સુઘી પહોંચતા કેટલો સમય લાગે?

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ એટલે શું ? અને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ જણાવો.

એક વસ્તુને $u$ જેટલી પ્રારંભિક વેગ અને $\theta$ કોણે હવામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ એવી મળે છે કે જેથી સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ મહતમ મળે છે. બીજા પદાર્થને હવામાં પ્રક્ષિપ્ત એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે તેની સમક્ષિતિજ અવધિ પ્રારંભિક અવધિ કરતા અડધી મળે.બંને કિસ્સામાં પ્રારંભિક વેગ સમાન છે બીજો પદાર્થ માટે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $.............$ ડીગ્રી હશે.