Resolution of a Vector into Rectangular Components Questions in Hindi

(B) प्रारंभिक सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \,m$ है।
जब सदिश को घुमाया जाता है, तो उसका परिमाण स्थिर रहता है।
मान लीजिए नया सदिश $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ है, जहाँ $x$-घटक दोगुना $(4 \times 2 = 8)$ हो जाता है।
चूँकि परिमाण संरक्षित रहता है, $|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
$\sqrt{8^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $64 + n^2 = 116$ प्राप्त होता है।
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 \,m$.
अतः, नया $y$-घटक लगभग $7.2 \,m$ है।

(C) माना $\overrightarrow{B} = \hat{i} - \hat{j}$.
सदिश $\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए,हम $\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा के एकांक सदिश पर अदिश प्रक्षेप की गणना करते हैं।
$\overrightarrow{B}$ की दिशा में एकांक सदिश $\hat{b} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
$\overrightarrow{A}$ का $\overrightarrow{B}$ की दिशा में घटक $\overrightarrow{A} \cdot \hat{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{A} \cdot \hat{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$.
$= \frac{a_x(1) + a_y(-1) + a_z(0)}{\sqrt{2}} = \frac{a_x - a_y}{\sqrt{2}}$.

(A) सदिश $\overrightarrow{p}$ का परिमाण सूत्र $|\overrightarrow{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, $|\overrightarrow{p}| = 25 \text{ units}$ और $p_y = 7 \text{ units}$।
सूत्र में मान रखने पर: $25 = \sqrt{p_x^2 + 7^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25^2 = p_x^2 + 7^2$।
$625 = p_x^2 + 49$।
$p_x^2 = 625 - 49 = 576$।
वर्गमूल लेने पर: $p_x = \sqrt{576} = 24 \text{ units}$।
अतः, $x$-घटक $24 \text{ units}$ है।

(A) मान लीजिए सदिश $\vec{A}$ का परिमाण $A$ है।
दिया गया है कि सदिश $\vec{A}$ का $y$-घटक $A_y = 3.0 \ m$ है।
कोण $\theta = 30^{\circ}$ धनात्मक $y$-अक्ष से वामावर्त दिशा में मापा गया है।
सदिश के घटक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$y$-घटक $A_y = A \cos(\theta)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3.0 = A \cos(30^{\circ})$।
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $3.0 = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$A$ के लिए हल करने पर: $A = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$।

$(A) \text{ परिणामी बल ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक बल को उसके } X \text{ और } Y \text{ घटकों में वियोजित करते हैं।}$
$X\text{-घटक:}$
$\Sigma F_x = 19 + 15 \cos 60^{\circ} - 16 \cos 45^{\circ} - 11 \cos 30^{\circ}$
$\Sigma F_x = 19 + 15(0.5) - 16(0.707) - 11(0.866)$
$\Sigma F_x = 19 + 7.5 - 11.312 - 9.526 = 5.662 \,N$
$Y\text{-घटक:}$
$\Sigma F_y = 15 \sin 60^{\circ} + 16 \sin 45^{\circ} - 11 \sin 30^{\circ} - 22$
$\Sigma F_y = 15(0.866) + 16(0.707) - 11(0.5) - 22$
$\Sigma F_y = 12.99 + 11.312 - 5.5 - 22 = -3.198 \,N$
$\text{परिणामी बल } R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2} = \sqrt{(5.662)^2 + (-3.198)^2} \approx \sqrt{32.06 + 10.23} \approx \sqrt{42.29} \approx 6.5 \,N$.
$\text{दिशा } \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-3.198}{5.662}\right) \approx \tan^{-1}(-0.565) \approx -29.5^{\circ} \approx 330.5^{\circ}$.
$\text{अतः, परिणामी बल लगभग } 6.5 \,N \text{ और } 330^{\circ} \text{ के कोण पर है।}$

(D) वेग सदिश $\vec{v}$ को $X$ और $Y$ अक्षों के अनुदिश इसके आयताकार घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
दिया गया परिमाण $v = 10 \ m/s$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
घटक इस प्रकार हैं:
$v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$
$v_y = v \sin \theta = 10 \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ m/s$
अतः,वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।