दो सदिशों का गुणनफल क्रमविनिमेय (commutative) क्यों नहीं होता है?

दो सदिशों का गुणनफल दो तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है: अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) और सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट)।
$1$. अदिश गुणनफल को $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि $\cos \theta = \cos(-\theta)$,इसलिए अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$।
$2$. सदिश गुणनफल को $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहां $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{A}$ और $\vec{B}$ वाले तल के लंबवत होता है और इसे दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$3$. दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{A} \times \vec{B}$ की दिशा $\vec{B} \times \vec{A}$ की दिशा के विपरीत होती है।
$4$. इसलिए,$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
$5$. दिशा बदलने के कारण,सदिश गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय (anti-commutative) होता है,क्रमविनिमेय नहीं।