दर्शाइये कि $a \cdot ( b \times c )$ का परिमाण तीन सदिशों $a , b$ एवं $c$ से बने समान्तर षट्फलक के आयतन के बराबर है।
दर्शाइये कि $a \cdot ( b \times c )$ का परिमाण तीन सदिशों $a , b$ एवं $c$ से बने समान्तर षट्फलक के आयतन के बराबर है।
Volume of the given parallelepiped $=a b c$
$\overrightarrow{ OC }=\vec{a}$
$\overrightarrow{ OB }=\vec{b}$
$\overrightarrow{ OC }=\vec{c}$
Let $\hat{ n }$ be a unit vector perpendicular to both $b$ and $c .$ Hence, $\quad \hat{ n }$ and $a$ have the same direction. $\therefore \vec{b} \times \vec{c}=b c \sin \theta \hat{ n }$
$=b c \sin 90^{\circ} \hat{ n }$
$=b c \hat{n}$
$\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$
$=a \cdot(b c \hat{ n })$
$=a b c \cos \theta \hat{ n }$
$=a b c \cos 0^{\circ}$
$=a b c$
$=$ Volume of the parallelepiped
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सदिश $2\hat i + 2\hat j - \hat k$ तथा $6\hat i - 3\hat j + 2\hat k$ के लम्बवत इकाई सदिश होगा
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तीन कण $P , Q$ और $R$ क्रमशः सदिशों $\overrightarrow{ A }=\hat{ i }+\hat{ j }, \overrightarrow{ B }=\hat{ j }+\hat{ k }$ और $\overrightarrow{ C }=-\hat{ i }+\hat{ j }$ के अनुदिश गमन कर रहे है। ये किसी बिन्दु पर टकराते है और विभिन्न दिशाओं में गमन करना आरम्भ कर देते है। कण $P$ उस तल के अभिलम्बवत भी गमन करता है जिसमें सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ B }$ है। इसी प्रकार कण $Q$ उस तल के अभिलम्बवत गति कर रहा है जिसमें सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ C }$ है। $P$ और $Q$ की गति की दिशाओं के बीच कोण $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ है। तो $x$ का मान $\dots$ है
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- [JEE MAIN 2021]
यदि $\overrightarrow{\mathrm{P}}=3 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ एवं $\overrightarrow{\mathrm{Q}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2.5 \hat{\mathrm{k}}$ तो $\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\mathrm{x}}(\sqrt{3 \hat{\mathrm{i}}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{k}})$ है, तो $\mathrm{x}$ का मान है.............।
यदि $\overrightarrow{\mathrm{P}}=3 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ एवं $\overrightarrow{\mathrm{Q}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2.5 \hat{\mathrm{k}}$ तो $\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\mathrm{x}}(\sqrt{3 \hat{\mathrm{i}}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{k}})$ है, तो $\mathrm{x}$ का मान है.............।
- [JEE MAIN 2023]
बल $\mathop F\limits^ \to $ के कारण एक कण $x-y$ तल में इस प्रकार गति करता है कि किसी समय $t$ पर इसके रेखीय संवेग का मान ${P_x} = 2\cos t,\,{P_y} = 2\sin t$ है। तो दिये गये समय t पर $\mathop F\limits^ \to $ तथा $\mathop P\limits^ \to $ के बीच कोण $\theta =$ ....... $^o$ होगा
बल $\mathop F\limits^ \to $ के कारण एक कण $x-y$ तल में इस प्रकार गति करता है कि किसी समय $t$ पर इसके रेखीय संवेग का मान ${P_x} = 2\cos t,\,{P_y} = 2\sin t$ है। तो दिये गये समय t पर $\mathop F\limits^ \to $ तथा $\mathop P\limits^ \to $ के बीच कोण $\theta =$ ....... $^o$ होगा
दो सदिश $\mathop A\limits^ \to $ तथा $\mathop B\limits^ \to $ एक दूसरे के लम्बवत होंगे जबकि
दो सदिश $\mathop A\limits^ \to $ तथा $\mathop B\limits^ \to $ एक दूसरे के लम्बवत होंगे जबकि
- [AIIMS 1987]