Fundamentals of Vectors Questions in Hindi

(D) दिया गया सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
किसी सदिश $\vec{A}$ का इकाई सदिश $\hat{n}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने के लिए हम अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{A} \cdot \hat{n}$ का उपयोग करते हैं।
$Y$-अक्ष को इकाई सदिश $\hat{j}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,प्रक्षेप $(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \hat{j} = 3(\hat{i} \cdot \hat{j}) + 0(\hat{j} \cdot \hat{j}) + 4(\hat{k} \cdot \hat{j})$ होगा।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$,इसलिए प्रक्षेप $0 + 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक बिंदु $P(x, y, z)$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
यहाँ कण के निर्देशांक $(3, 2, 5)$ दिए गए हैं,जहाँ $x = 3$,$y = 2$,और $z = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें स्थिति सदिश प्राप्त होता है: $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) विस्थापन सदिश $\vec{d}$ को अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_Q$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_P$ के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $P = (2, 3, 5)$ और $Q = (3, 4, 5)$।
$\vec{r}_P = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{r}_Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = (3 - 2)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (5 - 5)\hat{k}$
$\vec{d} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j}$।

(D) सबसे पहले,सदिश $B$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|B| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
इसके बाद,$A$ की दिशा में इकाई सदिश (unit vector) ज्ञात करें:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$\hat A = \frac{A}{|A|} = \frac{3\hat i + 4\hat j}{5}$.
अभीष्ट सदिश का परिमाण $B$ के समान $(25)$ है और यह $A$ के समानांतर ($\hat A$ की दिशा में) है:
$\text{अभीष्ट सदिश} = |B| \cdot \hat A = 25 \cdot \left( \frac{3\hat i + 4\hat j}{5} \right) = 5(3\hat i + 4\hat j) = 15\hat i + 20\hat j$.

(A) मान लीजिए कि सदिश $\overrightarrow{A}$ के घटक $x, y$ और $z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ कोण बनाते हैं।
दिया गया है कि सदिश सभी अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
दिक् कोज्या (direction cosines) का संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
$\alpha = \beta = \gamma$ रखने पर,हमें $3 \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सदिश के घटक $A_x = A \cos \alpha$,$A_y = A \cos \beta$ और $A_z = A \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$A_x = A_y = A_z = A \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{A}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया सदिश $\overrightarrow A = 2\hat i + 4\hat j - 5\hat k$ है।
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow A$ का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें:
$|\overrightarrow A| = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45}$.
दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ घटकों और परिमाण का अनुपात होते हैं:
$l = \cos \alpha = \frac{A_x}{|\overrightarrow A|} = \frac{2}{\sqrt{45}}$
$m = \cos \beta = \frac{A_y}{|\overrightarrow A|} = \frac{4}{\sqrt{45}}$
$n = \cos \gamma = \frac{A_z}{|\overrightarrow A|} = \frac{-5}{\sqrt{45}}$
अतः,दिक्-कोज्या $\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \text{और } \frac{-5}{\sqrt{45}}$ हैं।

(D) माना प्रारंभिक बिंदु $P(4, -4, 0)$ है और अंतिम बिंदु $Q(-2, -2, 0)$ है।
सदिश $\vec{r}$ को $\vec{r} = \vec{Q} - \vec{P}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\vec{r} = (-2 - 4)\hat{i} + (-2 - (-4))\hat{j} + (0 - 0)\hat{k}$.
$\vec{r} = -6\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
सदिश का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{(-6)^2 + (2)^2 + (0)^2}$ है।
$|\vec{r}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.
$|\vec{r}| = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$.

(A) माना कि दिया गया सदिश $\vec{P} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}$ है।
किसी सदिश $\vec{A} = x\hat{i} + y\hat{j}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{P}| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}$.
$|\vec{P}| = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.
चूंकि सदिश का परिमाण $1$ है,इसलिए यह एक इकाई सदिश है।

(C) किसी सदिश $\vec{A}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}$ का सूत्र $\hat{u} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ होता है।
यहाँ दिया गया सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण (magnitude) $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ होगा।
अतः,इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) एक सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं,और जो सदिश योग के नियमों का पालन करती है।
दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यद्यपि बल एक सदिश है,दाब एक अदिश राशि है क्योंकि यह तरल पदार्थ में किसी बिंदु पर सभी दिशाओं में समान रूप से कार्य करता है।
पृष्ठ तनाव को प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,लेकिन यह एक अदिश राशि है।
जड़त्व आघूर्ण एक टेंसर राशि (विशेष रूप से द्वितीय-कोटि का टेंसर) है जो घूर्णी गति के प्रति किसी वस्तु के प्रतिरोध का वर्णन करती है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में से कोई भी सदिश राशि नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\vec P = \vec Q$ है।
$A$. $\hat P = \hat Q$: चूंकि सदिश समान हैं,उनकी दिशा समान है,इसलिए उनके इकाई सदिश भी समान होंगे। यह कथन सही है।
$B$. $|\vec P| = |\vec Q|$: समान सदिशों का परिमाण समान होना चाहिए। यह कथन सही है।
$C$. $P\hat Q = Q\hat P$: चूंकि $\vec P = \vec Q$,इसलिए $P = Q$ और $\hat P = \hat Q$ है। अतः,$P\hat Q = Q\hat P$ का अर्थ $\vec P = \vec Q$ ही है। यह कथन सही है।
$D$. $\vec P + \vec Q = \hat P + \hat Q$: बायां पक्ष $2P$ परिमाण वाला एक सदिश है,जबकि दायां पक्ष $2$ परिमाण वाला एक सदिश है (क्योंकि दो इकाई सदिशों का योग $0$ और $2$ के बीच होता है)। जब तक $P = 1$ न हो,ये दोनों बराबर नहीं हो सकते। इसलिए,यह कथन सही नहीं है।

(B) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है।
दिया गया सदिश $\vec{A} = 0.5\hat i + 0.8\hat j + c\hat k$ है।
इसका परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
अतः,$c = \sqrt{0.11}$।

(B) भौतिकी में,पृष्ठीय क्षेत्रफल को एक सदिश राशि माना जाता है। क्षेत्रफल सदिश का परिमाण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है और इसकी दिशा सतह के अभिलंब (लंबवत) परिभाषित की जाती है। इसलिए,यह एक सदिश राशि है।

(B) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$।
चूंकि $\vec A = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$ और $\vec B = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$,हम देख सकते हैं कि $\vec A = \vec B$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(5) = 9 + 16 + 25 = 50$ है।
उनके परिमाण $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ और $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{50}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{50}{50} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = 1$ होने के कारण,कोण $\theta = \cos^{-1}(1) = 0^o$ है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी $R$,$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
परिणामी $R$ को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^o$ पर प्राप्त होता है।
अतः,दो सदिशों का परिणामी अधिकतम होने के लिए उनके बीच का कोण $0^o$ होना चाहिए।

(B) मान लीजिए कि $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ वाला तल $xy$-तल है। अतः,$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ भी $xy$-तल में ही स्थित होगा।
चूंकि $\overrightarrow{C}$ इस तल के बाहर स्थित है,इसलिए इसका $xy$-तल के लंबवत (अर्थात $z$-अक्ष की दिशा में) एक गैर-शून्य घटक अवश्य होगा।
मान लीजिए $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$.
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ को शून्य होने के लिए,$z$-अक्ष के अनुदिश घटकों का योग शून्य होना चाहिए।
चूंकि $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के $z$-अक्ष पर घटक शून्य हैं,इसलिए परिणामी सदिश का $z$-घटक $\overrightarrow{C}$ के $z$-घटक के बराबर होगा।
चूंकि $\overrightarrow{C}$ तल के बाहर है,इसका $z$-घटक शून्य नहीं है,इसलिए परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ शून्य नहीं हो सकता है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के लिए,मान लीजिए उनके बीच का कोण $\theta$ है। परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$
दी गई शर्त $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A}| + |\vec{B}|$ के अनुसार,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = (|\vec{A}| + |\vec{B}|)^2$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|$
दोनों पक्षों से $|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2$ घटाने पर:
$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 2|\vec{A}||\vec{B}|$
यदि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ अशून्य सदिश हैं,तो $2|\vec{A}||\vec{B}|$ से भाग देने पर:
$\cos \theta = 1$
अतः,$\theta = 0^o$ प्राप्त होता है।

(C) विस्थापन सदिश को $\vec{r} = 12\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
परिणामी विस्थापन $R$ का परिमाण सूत्र $R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R = \sqrt{12^2 + 5^2 + 6^2}$.
$R = \sqrt{144 + 25 + 36}$.
$R = \sqrt{205}$.
$R \approx 14.31 \, m$.

(C) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के परिणामी का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec R| = |\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दी गई शर्त $|\vec A + \vec B| = |\vec A| + |\vec B|$ के अनुसार,हम परिमाण का सूत्र रखते हैं:
$\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = A + B$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = (A + B)^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 + 2AB$
$2AB \cos \theta = 2AB$
$\cos \theta = 1$
अतः,$\theta = 0^o$।

(B) माना $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{B} = -4\hat{i} - 6\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
यदि दो सदिश $\vec{A} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{B} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ समांतर हैं,तो उनके घटक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} = \frac{-1}{\lambda}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{\lambda}$.
अंतिम दो भागों की तुलना करने पर:
$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{\lambda} \implies \lambda = 2$.

(C) दो सदिश एक-दूसरे के लंबवत (normal) होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
मान लीजिए $\overrightarrow{B} = \hat{i}B_x + \hat{j}B_y$ है।
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$ के लिए:
$(A\cos\theta)(B_x) + (A\sin\theta)(B_y) = 0$.
यदि हम $\overrightarrow{B} = B(\hat{i}\sin\theta - \hat{j}\cos\theta)$ लेते हैं,तो:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (A\cos\theta)(B\sin\theta) + (A\sin\theta)(-B\cos\theta) = AB\sin\theta\cos\theta - AB\sin\theta\cos\theta = 0$.
अतः,सदिश $\hat{i}B\sin\theta - \hat{j}B\cos\theta$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत है।

(B) विस्थापन सदिश $\overrightarrow{AB}$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{CD}$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (4\hat{i} + 6\hat{j}) - (7\hat{i} + 9\hat{j} + 3\hat{k}) = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
हम $\overrightarrow{CD}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\overrightarrow{CD} = -3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -3\overrightarrow{AB}$.
चूंकि $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$ जहाँ $k = -3$ (एक ऋणात्मक अदिश),इसलिए सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ प्रति-समांतर हैं।

(C) दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec A \cdot \vec B = |A||B| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\vec A \cdot \vec B = - |A||B|$,इसलिए हम दोनों व्यंजकों की तुलना कर सकते हैं:
$|A||B| \cos \theta = - |A||B|$
दोनों पक्षों को $|A||B|$ से विभाजित करने पर (अशून्य सदिश मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = - 1$
इसका अर्थ है कि $\theta = 180^\circ$ है।
अतः,सदिश $\vec A$ और $\vec B$ विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।

(C) शून्य परिणामी प्राप्त करने के लिए,सदिशों को एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए।
यदि सदिश एक ही तल में हैं,तो आवश्यक सदिशों की न्यूनतम संख्या $3$ है (जो एक त्रिभुज बनाते हैं)।
हालाँकि,प्रश्न में निर्दिष्ट है कि सदिश विभिन्न तलों में हैं।
यदि हमारे पास विभिन्न तलों में $3$ सदिश हैं,तो उनका परिणामी शून्य नहीं हो सकता क्योंकि किन्हीं दो सदिशों का परिणामी उसी तल में होता है जिसमें वे स्थित हैं,और तीसरा सदिश (जो एक अलग तल में है) इस परिणामी को निरस्त नहीं कर सकता।
इसलिए,हमें कम से कम $4$ सदिशों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए,एक चतुष्फलक (tetrahedron) पर विचार करें जहाँ चार सदिश चार फलकों का प्रतिनिधित्व करते हैं; उनका योग शून्य होता है। अतः,विभिन्न तलों में स्थित गैर-शून्य सदिशों की न्यूनतम संख्या जिनका परिणामी शून्य हो,$4$ है।

(C) किसी भी सदिश के लिए,दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करती हैं।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ जानते हैं।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma)$
$= 3 - 1$
$= 2$

(B) चित्र से,मान लीजिए प्रारंभिक सदिश $\overrightarrow{OA}$ है और अंतिम सदिश $\overrightarrow{OB}$ है। चूंकि लंबाई नहीं बदलती है,इसलिए $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = a$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \Delta \overrightarrow{a}$,जिसका अर्थ है $\Delta \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$।
परिमाण $|\Delta \overrightarrow{a}|$ त्रिज्या $a$ के वृत्तीय चाप में जीवा $AB$ की लंबाई को दर्शाता है,जो केंद्र $O$ पर $d\theta$ कोण बनाती है। छोटे कोण $d\theta$ के लिए,जीवा की लंबाई लगभग चाप की लंबाई के बराबर होती है।
संबंध $\text{कोण} = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}}$ का उपयोग करने पर,$d\theta = \frac{AB}{a}$ प्राप्त होता है,जिससे $AB = a\,d\theta$ मिलता है।
अतः,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a\,d\theta$ है।
$\Delta a$ सदिश के परिमाण में परिवर्तन को दर्शाता है,जो $\Delta a = |\overrightarrow{OB}| - |\overrightarrow{OA}| = a - a = 0$ है।
इस प्रकार,मान क्रमशः $a\,d\theta$ और $0$ हैं।

(D) केंद्र $O$ वाले एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OF})$
$= 5\overrightarrow{AO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF})$
चूंकि $O$ सम षट्भुज का केंद्र है,केंद्र से शीर्षों तक के सदिशों का योग शून्य होता है: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = 0$.
इसलिए,$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$= 5\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AO} = 6\overrightarrow{AO}$.

(A) व्यक्ति $10\,m$ उत्तर दिशा ($y$-अक्ष) में और $20\,m$ पूर्व दिशा ($x$-अक्ष) में चलता है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0,0)$ है।
अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r} = 20\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500}$.
$r = 10\sqrt{5} \approx 10 \times 2.236 = 22.36\,m$.

(C) किसी वस्तु के संतुलन में रहने के लिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
यदि एक बल $\vec{F}_1$ उत्तर-पूर्व दिशा में कार्य करता है,तो इसे संतुलित करने के लिए एक दूसरा बल $\vec{F}_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{F}_2 = -\vec{F}_1$.
उत्तर-पूर्व की विपरीत दिशा दक्षिण-पश्चिम है।
अतः,दूसरा बल दक्षिण-पश्चिम दिशा में लगाया जाना चाहिए।

(C) किसी भी सदिश के लिए,दिक कोज्या (direction cosines) इस संबंध को संतुष्ट करते हैं: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \beta) + (1 - \sin^2 \gamma) = 1$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$3 - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 1$.
अतः,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - 1 = 2$.

(A) सदिश $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$ और $\overrightarrow{CA}$ एक ही क्रम में एक बंद त्रिभुज बनाते हैं।
सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,एक बंद लूप बनाने वाले सदिशों का योग शून्य होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$.

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
सदिशों $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{R}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज में ज्या (sine) के नियम के अनुसार,$\frac{A}{\sin \beta} = \frac{B}{\sin \alpha}$ होता है।
इसका अर्थ है $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{B}{A}$।
यदि $A > B$ है,तो $\frac{B}{A} < 1$ होगा,जिसका अर्थ है $\sin \alpha < \sin \beta$।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $\sin \alpha < \sin \beta$ का तात्पर्य $\alpha < \beta$ है।
अतः,परिणामी सदिश हमेशा बड़े परिमाण वाले सदिश के अधिक निकट होता है। इसलिए,यदि $A > B$ है,तो $\alpha < \beta$ सत्य है।

(C) एक सदिश $\vec{A} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ के दिक कोज्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$l = \frac{a}{|\vec{A}|}, m = \frac{b}{|\vec{A}|}, n = \frac{c}{|\vec{A}|}$
जहाँ $|\vec{A}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ है।
दिए गए सदिश $\vec{A} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ के लिए,इसका परिमाण है:
$|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
अब,दिक कोज्याओं की गणना करते हैं:
$l = \frac{1}{2}$
$m = \frac{1}{2}$
$n = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,दिक कोज्या $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{P} - \vec{Q}$।
दोनों पक्षों से $\vec{P}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{Q} = -\vec{Q}$।
दोनों पक्षों में $\vec{Q}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $2\vec{Q} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\vec{Q} = 0$,जिसका मतलब है कि $\vec{Q}$ एक शून्य सदिश है।

(B) एक सदिश $\vec{A}$ का दूसरे सदिश $\vec{B}$ पर प्रक्षेप,$\vec{B}$ की दिशा में $\vec{A}$ के अदिश घटक को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{A}$ का $\vec{B}$ पर प्रक्षेप,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश के अदिश गुणन (dot product) द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इकाई सदिश $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}$ है,इसलिए प्रक्षेप $\vec{A} \cdot \hat{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ होता है।

(A) सदिश बीजगणित में,$x, y, z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के लिए:
$1$. सदिश गुणन के गुण: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$. साथ ही,$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$.
$2$. अदिश गुणन के गुण: $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$.
इन गुणों की तुलना विकल्पों से करने पर:
विकल्प $A$: $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ सही है।
विकल्प $B$: $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ (यहाँ $0$ दिया गया है,इसलिए गलत है)।
विकल्प $C$: $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ (यहाँ $1$ दिया गया है,इसलिए गलत है)।
विकल्प $D$: $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ (यहाँ $1$ दिया गया है,इसलिए गलत है)।
अतः,सही संबंध $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ है।

(C) माना सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
यहाँ,घटक $A_x = 1$ और $A_y = 1$ हैं।
सदिश का परिमाण $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{A_x}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\alpha = 45^\circ$ है।
$y$-अक्ष के साथ कोण $\beta$,$\cos \beta = \frac{A_y}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\beta = 45^\circ$ है।

(D) दिया गया है कि $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2$
$|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})$
$A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = A^2 + B^2 - 2\vec{A} \cdot \vec{B}$
$4\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
हम जानते हैं कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$,इसलिए:
$4AB \cos \theta = 0$
यदि $A \neq 0$ और $B \neq 0$ है,तो $\cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 90^\circ$।

(A) एक सदिश $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} - 1\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
यहाँ,$A_x = 2$,$A_y = -1$,और $A_z = -5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2}$
$|\vec{A}| = \sqrt{4 + 1 + 25}$
$|\vec{A}| = \sqrt{30}$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए जिसका केंद्रक $O$ है,सदिश योग $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ होता है।
हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ को केंद्रक $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC})$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$
केंद्रक के गुणधर्म $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AO} = 3\overrightarrow{AO}$
इसकी तुलना $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AO}$ से करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।

(C) सदिश $\vec{P} = P_x\hat{i} + P_y\hat{j} + P_z\hat{k}$ का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र $|\vec{P}| = \sqrt{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}$ है।
यहाँ $\vec{P} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ दिया गया है,इसलिए $P_x = 3$,$P_y = 4$,और $P_z = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{P}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$
$|\vec{P}| = \sqrt{9 + 16 + 144}$
$|\vec{P}| = \sqrt{169}$
$|\vec{P}| = 13$.

(D) दिया गया है कि $\vec{A} + \vec{B} = \vec{C}$ और $|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = A$ (माना)।
सदिश समीकरण $\vec{A} + \vec{B} = \vec{C}$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{C}|^2$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{C}|^2$,जहाँ $\theta$ $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$.
$2A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$.
$2A^2 \cos \theta = A^2 - 2A^2 = -A^2$.
$\cos \theta = -A^2 / 2A^2 = -1/2$.
चूंकि $\cos \theta = -1/2$,इसलिए कोण $\theta = 120^o$ है।

(A) एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,केंद्रक $O$ वह बिंदु है जहाँ माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि त्रिभुज समबाहु है,सदिश $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$ और $\overrightarrow{OC}$ का परिमाण समान है और वे केंद्रक से शीर्षों की ओर निर्देशित हैं।
इन सदिशों के बीच के कोण प्रत्येक $120^{\circ}$ हैं।
सममित प्रणालियों के लिए सदिश योग के सिद्धांत के अनुसार,$120^{\circ}$ पर स्थित समान परिमाण वाले तीन सदिशों का परिणामी शून्य होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$.

(A) दिया गया सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $A_x = 1, A_y = 1, A_z = 1$ प्राप्त होता है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
दिक्कोज्या (direction cosines) इस प्रकार हैं:
$\cos \alpha = \frac{A_x}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos \beta = \frac{A_y}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos \gamma = \frac{A_z}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,cosine मान $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।

(B) सदिशों का योग शून्य होने के लिए,उन्हें एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए जब उन्हें एक के बाद एक (head-to-tail) रखा जाए।
यदि अलग-अलग परिमाण के केवल $2$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,तो उनका योग $\vec{A} + \vec{B} = 0$ का अर्थ है $\vec{A} = -\vec{B}$। इसका मतलब है कि उनका परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए,जो इस शर्त का खंडन करता है कि उनके परिमाण अलग-अलग हैं।
यदि अलग-अलग परिमाण के $3$ सदिश हैं,तो वे एक त्रिभुज (एक बंद बहुभुज) बना सकते हैं यदि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक हो। उदाहरण के लिए,$3, 4,$ और $5$ परिमाण वाले सदिश एक त्रिभुज बना सकते हैं और उनका योग शून्य हो सकता है।
इसलिए,शून्य परिणामी प्राप्त करने के लिए आवश्यक अलग-अलग परिमाण वाले एक ही समतल के सदिशों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(B) चूंकि बल परस्पर लंबवत हैं,हम उन्हें $x$,$y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश सदिशों के रूप में दर्शा सकते हैं:
$\vec{F}_1 = 3\hat{i} \ N$,$\vec{F}_2 = 4\hat{j} \ N$,और $\vec{F}_3 = 12\hat{k} \ N$.
परिणामी बल सदिश इन सदिशों के योग द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$.
परिणामी बल का परिमाण $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
$F = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ N$.

(C) परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $C^2 = A^2 + B^2$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$A^2 + B^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ घटाने पर:
$0 = 2AB \cos \theta$.
चूंकि सदिशों के परिमाण $A$ और $B$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$.
अतः,$\vec{A}$,$\vec{B}$ के लंबवत है।

(B) एक भौतिक राशि को सदिश तभी कहा जाता है जब उसमें परिमाण और दिशा दोनों हों और वह सदिश योग के नियमों (जैसे समांतर चतुर्भुज नियम) का पालन करती हो।
उदाहरण के लिए,विद्युत धारा में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं,लेकिन यह एक अदिश राशि है क्योंकि यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती है।
इसलिए,दिशा का होना सदिश होने के लिए एक आवश्यक शर्त है,लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है।
अतः,दिशा वाली भौतिक राशि को सदिश 'कहा जा सकता है',लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वह सदिश ही हो।

(B) चूंकि तीनों बल परस्पर लंबवत हैं,उन्हें $x$,$y$ और $z$ अक्षों पर सदिशों $\vec{F_1} = 3\hat{i}$,$\vec{F_2} = 4\hat{j}$ और $\vec{F_3} = 12\hat{k}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
परिणामी बल सदिश $\vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
परिणामी बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169}$.
अतः,परिणामी बल का परिमाण $13 \ N$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक सदिश $\overrightarrow{OA}$ है और घूर्णन के बाद अंतिम सदिश $\overrightarrow{OB}$ है।
यह दिया गया है कि सदिश का परिमाण स्थिर रहता है,इसलिए $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = a$.
सदिश में परिवर्तन को $\Delta \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
त्रिभुज $OAB$ की ज्यामिति से,सदिश में परिवर्तन का परिमाण जीवा $AB$ की लंबाई है।
छोटे कोण $d\theta$ के लिए,चाप की लंबाई $AB = a \cdot d\theta$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a \cdot d\theta$.
अब,सदिश के परिमाण में परिवर्तन पर विचार करें,$\Delta a = |\overrightarrow{OB}| - |\overrightarrow{OA}|$.
चूंकि परिमाण स्थिर है,$\Delta a = a - a = 0$.
अतः,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a \cdot d\theta$ और $\Delta a = 0$।