Fundamentals of Vectors Questions in Hindi

(B) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में बिंदु $P(x, y, z)$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ सूत्र $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ कण के निर्देशांक $(3, 2, 5)$ दिए गए हैं,जहाँ $x = 3$,$y = 2$,और $z = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ प्राप्त होता है।

(C) विस्थापन सदिश $\vec{d}$ अंतिम बिंदु $Q$ और प्रारंभिक बिंदु $P$ के स्थिति सदिशों के अंतर द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_P = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$Q$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$.
$\vec{d} = (3 - 2)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (5 - 5)\hat{k}$.
$\vec{d} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j}$.

(D) सबसे पहले,सदिश $B$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|B| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
इसके बाद,$A$ की दिशा निर्धारित करने के लिए उसका इकाई सदिश ज्ञात करें:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$\hat{A} = \frac{A}{|A|} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$.
वांछित सदिश $V$ का परिमाण $|B|$ है और दिशा $\hat{A}$ है:
$V = |B| \cdot \hat{A} = 25 \cdot \left( \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right)$.
$V = 5 \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 15\hat{i} + 20\hat{j}$.

(A) सदिश $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45}$.
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ सदिश के घटकों और उसके परिमाण का अनुपात होती हैं:
$l = \cos \alpha = \frac{A_x}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{2}{\sqrt{45}}$
$m = \cos \beta = \frac{A_y}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{4}{\sqrt{45}}$
$n = \cos \gamma = \frac{A_z}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{-5}{\sqrt{45}}$
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \text{और } \frac{-5}{\sqrt{45}}$ हैं।

(B) परिणामी सदिश $R = A + B$ हमेशा उस सदिश के करीब होता है जिसका परिमाण अधिक होता है।
यदि $A > B$ है,तो परिणामी सदिश $A$ के करीब होता है,जिसका अर्थ है कि $A$ के साथ कोण $\alpha$,$B$ के साथ कोण $\beta$ से छोटा है (अर्थात $\alpha < \beta$)।
यदि $A < B$ है,तो परिणामी सदिश $B$ के करीब होता है,जिसका अर्थ है कि $B$ के साथ कोण $\beta$,$A$ के साथ कोण $\alpha$ से छोटा है (अर्थात $\beta < \alpha$,या $\alpha > \beta$)।
यदि $A = B$ है,तो परिणामी सदिश उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\alpha = \beta$ होता है।
अतः,यदि $A < B$ है तो $\alpha > \beta$ कथन सही है।

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी बल $R$,जो $\theta$ कोण पर कार्य कर रहे हैं,का सूत्र $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ है।
यहाँ $A = 2P$,$B = \sqrt{2}P$ और $R = P\sqrt{10}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P\sqrt{10} = \sqrt{(2P)^2 + (\sqrt{2}P)^2 + 2(2P)(\sqrt{2}P) \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$10P^2 = 4P^2 + 2P^2 + 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$10P^2 = 6P^2 + 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$4P^2 = 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$1 = \sqrt{2} \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 45^{\circ}$.

(B) एक सदिश $\vec{A} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
दिया गया सदिश $\vec{A} = 0.4\hat{i} + 0.8\hat{j} + c\hat{k}$ है।
परिमाण की गणना करने पर: $\sqrt{(0.4)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(0.4)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.16 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.80 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.80 = 0.20$.
अतः,$c = \sqrt{0.2}$.

(C) माना सदिश $\vec{R} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2} \hat{k}$ है।
इसे $\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j} + R_z \hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $R_x = 1, R_y = 1, R_z = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
सदिश का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ है।
दिक् कोज्याएँ $\cos \alpha = \frac{R_x}{|\vec{R}|}, \cos \beta = \frac{R_y}{|\vec{R}|}, \cos \gamma = \frac{R_z}{|\vec{R}|}$ द्वारा दी जाती हैं।
$X$-अक्ष के लिए: $\cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.
$Y$-अक्ष के लिए: $\cos \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ$.
$Z$-अक्ष के लिए: $\cos \gamma = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \gamma = 45^\circ$.
अतः,कोण $60^\circ, 60^\circ, 45^\circ$ हैं।

(D) दिया गया सदिश $\vec A = 5\hat i - 12\hat j$ है।
सदिश $\vec A$ का परिमाण (magnitude) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: $|\vec A| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$\vec A$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat A$ को $\hat A = \frac{\vec A}{|\vec A|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\hat A = \frac{5\hat i - 12\hat j}{13}$ प्राप्त होता है।

(A) सदिश एक भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
जब हम एक सदिश को $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ के रूप में दर्शाते हैं,तो इसके घटक $(A_x, A_y, A_z)$ निर्देशांक अक्षों के अभिविन्यास (orientation) पर निर्भर करते हैं।
हालाँकि,सदिश योग $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}$ एक परिणामी सदिश को दर्शाता है,जो एक भौतिक इकाई है और इसे वर्णित करने के लिए उपयोग की जाने वाली निर्देशांक प्रणाली से स्वतंत्र है।
विकल्प $B$ और $C$ ऐसे घटक या आंशिक योग को दर्शाते हैं जो अक्षों को घुमाने पर बदल जाते हैं।
इसलिए,सदिश योग $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}$ निर्देशांक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय रहता है।

(D) मान लीजिए सदिशों के परिमाण $|A| = x$,$|B| = x$,और $|C| = \sqrt{2}x$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow A + \overrightarrow B + \overrightarrow C = 0$,ये तीन सदिश एक बंद त्रिभुज बनाते हैं।
$x, x, \sqrt{2}x$ भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए कोसाइन नियम के अनुसार,हम देखते हैं कि $x^2 + x^2 = (\sqrt{2}x)^2$,जो पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,सदिश एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
सदिशों के बीच के कोण ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक-दूसरे के पीछे व्यवस्थित करते हैं।
$\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है (क्योंकि वे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं)।
$\overrightarrow B$ और $\overrightarrow C$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।
$\overrightarrow A$ और $\overrightarrow C$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।
इसलिए,कोण $90^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}$ हैं।

(D) रेखा $x = 0$ का अर्थ $y$-अक्ष है। चूँकि बल $F_1 = 1\,N$ इस रेखा के अनुदिश कार्य करता है,इसे $\vec{F}_1 = 1\hat{j} = \hat{j}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = 0$ का अर्थ $x$-अक्ष है। चूँकि बल $F_2 = 2\,N$ इस रेखा के अनुदिश कार्य करता है,इसे $\vec{F}_2 = 2\hat{i}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परिणामी बल $\vec{F}$,$\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ का सदिश योग है।
अतः,$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 2\hat{i} + \hat{j}$.

(C) दो सदिश $P = A_1\hat{i} + B_1\hat{j} + C_1\hat{k}$ और $Q = A_2\hat{i} + B_2\hat{j} + C_2\hat{k}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$।
यहाँ $P = 2\hat{i} + b\hat{j} + 2\hat{k}$ और $Q = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ दिया गया है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{2}{1} = \frac{b}{1} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
मध्य पद से,हमें $b = 2$ प्राप्त होता है।

(A) $\theta$ कोण पर झुके दो सदिशों $A$ और $B$ के परिणामी $R$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A$ और $B$ के परिमाण और उनके बीच का कोण $\theta$ दिशा बदलने पर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए परिणामी $R$ का परिमाण समान रहता है।
हालाँकि,परिणामी की दिशा $\tan \phi = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ द्वारा दी जाती है।
जब $A$ और $B$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया कोण $\phi'$,$\tan \phi' = \frac{A \sin \theta}{B + A \cos \theta}$ हो जाता है।
चूंकि $\phi \neq \phi'$,इसलिए परिणामी की दिशा बदल जाती है।
अतः,केवल परिमाण समान रहता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
सदिशों के लिए त्रिभुज असमानता के अनुसार,किन्हीं भी दो सदिशों $a$ और $b$ के लिए,उनके अंतर का परिमाण $| a - b | \geq | | a | - | b | |$ असमानता को संतुष्ट करता है।
चूंकि किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $| a |$ और $| b |$ के लिए $| | a | - | b | | \geq | a | - | b |$ हमेशा सत्य होता है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $| a - b | \geq | a | - | b |$।
यह दो सदिशों को घटाते समय प्राप्त परिणामी सदिश के परिमाण की न्यूनतम सीमा को दर्शाता है।

(B) सदिशों के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,दो सदिशों के योग का परिमाण हमेशा उनके व्यक्तिगत परिमाणों के योग से कम या उसके बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह समानता तब लागू होती है जब दोनों सदिश एक ही दिशा (समांतर) में हों।
अतः,विकल्प $B$ सही कथन है।

(C) माना परिणामी बल $\vec{R} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}$ है।
एक समषट्भुज $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ विकर्णों $AD$,$BE$ और $CF$ का मध्यबिंदु है। अतः,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AD}$ (क्योंकि $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AO}$)।
इसी प्रकार,$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AD}$।
इन मानों को $\vec{R}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{R} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF}) + \overrightarrow{AD}$
$\vec{R} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AD}$।

(D) दी गई शर्त: $|A + B| = 2|A - B|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|A + B|^2 = 4|A - B|^2$.
सदिश सर्वसमिका $|u \pm v|^2 = |u|^2 + |v|^2 \pm 2|u||v| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = 4(A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$.
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = 4A^2 + 4B^2 - 8AB \cos \theta$.
$10AB \cos \theta = 3A^2 + 3B^2$.
$\cos \theta = \frac{3(A^2 + B^2)}{10AB}$.
चूंकि $\cos \theta$ का मान $A$ और $B$ के परिमाणों पर निर्भर करता है,जो कि दिए नहीं गए हैं,इसलिए कोण $\theta$ का मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है। अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(B) मान लीजिए कि $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ को समाहित करने वाला समतल $xy$-समतल है। अतः,$\overrightarrow{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ और $\overrightarrow{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{C}$ इस समतल के बाहर स्थित है,इसलिए इसका $z$-दिशा में घटक शून्य नहीं हो सकता: $\overrightarrow{C} = C_x \hat{i} + C_y \hat{j} + C_z \hat{k}$,जहाँ $C_z \neq 0$ है।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = (A_x + B_x + C_x) \hat{i} + (A_y + B_y + C_y) \hat{j} + C_z \hat{k}$ है।
परिणामी सदिश को शून्य होने के लिए,सभी घटकों को शून्य होना चाहिए। हालाँकि,$z$-घटक $C_z$ है,जो शून्य नहीं है।
इसलिए,परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ शून्य नहीं हो सकता है।

(C) दिया गया है कि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $|\frac{\hat{a} + \hat{b}}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{|\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2|\hat{a}||\hat{b}| \cos 60^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 1 + 2(1)(1)(0.5)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$ है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $|\hat{a} + \hat{b}| = \sqrt{1 + 1 + 2(1)(1)(0.5)} = \sqrt{3} \neq 1$ है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $|\hat{a}| = 1$ है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $|\hat{b}| = 1$ है।
अतः,$(A), (C),$ और $(D)$ में दिए गए सदिशों का परिमाण एक है।

(A) दो सदिशों $a$ और $b$ का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $(a \cdot b)^2 = a^2 b^2$ के अनुसार,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$|a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta = |a|^2 |b|^2$.
यदि $a$ और $b$ शून्यतर सदिश हैं,तो $|a|^2 |b|^2$ से भाग देने पर $\cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cos \theta = \pm 1$,जिसका मतलब है कि $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ है।
दोनों ही स्थितियों में,सदिश $a$ और $b$ समानांतर (या प्रति-समानांतर) होते हैं। अतः,यह शर्त तब संतुष्ट होती है जब $a$,$b$ के समानांतर होता है।

(A) जब एक सदिश $\vec{A}$ को एक छोटे कोण $\Delta \theta$ से घुमाया जाता है,तो सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $|\vec{A}| = |\vec{B}| = A$ होता है।
अंतर सदिश $\vec{B} - \vec{A}$ दोनों सदिशों के शीर्षों के बीच की जीवा की लंबाई को दर्शाता है।
बहुत छोटे कोण $\Delta \theta$ के लिए,जीवा की लंबाई सदिश के शीर्ष द्वारा बनाए गए वृत्त की चाप की लंबाई के लगभग बराबर होती है।
संबंध $\text{चाप की लंबाई} = \text{त्रिज्या} \times \text{कोण}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{B} - \vec{A}| \approx |\vec{A}| \Delta \theta$.

(B) इकाई सदिश वह सदिश होता है जिसका परिमाण $1$ के बराबर होता है।
आइए दिए गए विकल्पों के परिमाण की जाँच करें:
विकल्प $A$ के लिए: $|\hat{i} + \hat{j}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \neq 1$.
विकल्प $B$ के लिए: $|\cos \theta \hat{i} - \sin \theta \hat{j}| = \sqrt{\cos^2 \theta + (-\sin \theta)^2} = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \sqrt{1} = 1$.
विकल्प $C$ के लिए: $|\sin \theta \hat{i} + 2 \cos \theta \hat{j}| = \sqrt{\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta} \neq 1$.
विकल्प $D$ के लिए: $|\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j})| = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \neq 1$.
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया सदिश एक इकाई सदिश है।

(A) एक सदिश $\vec{A}$ का उसके साथ $\theta$ कोण बनाने वाली दिशा में घटक $A_\theta = A \cos \theta$ होता है।
चूंकि कोसाइन फलन का मान $-1 \le \cos \theta \le 1$ के बीच होता है,इसलिए घटक का परिमाण $|A \cos \theta| = |A| |\cos \theta|$ होता है।
चूंकि $|\cos \theta| \le 1$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $|A \cos \theta| \le |A|$।
अतः,किसी भी दिशा में सदिश का घटक हमेशा उसके परिमाण से कम या उसके बराबर होता है।

(D) लंबाई के घन की आसन्न भुजाओं को निरूपित करने वाले निर्देशांक अक्षों के अनुदिश तीन सदिश $b\hat{i}$,$b\hat{j}$ और $b\hat{k}$ हैं।
मूल बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण सदिश $\vec{A}$ इन तीन सदिशों का परिणामी है: $\vec{A} = b\hat{i} + b\hat{j} + b\hat{k}$।
इस विकर्ण सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{b^2 + b^2 + b^2} = \sqrt{3b^2} = b\sqrt{3}$ है।
विकर्ण के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{A}$ को $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{b\hat{i} + b\hat{j} + b\hat{k}}{b\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।

(B) दो सदिश $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ और $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$।
दिया गया है $\vec{A} = 6\hat{i} + x\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{B} = 5\hat{i} - 6\hat{j} - y\hat{k}$।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{6}{5} = \frac{x}{-6} = \frac{-2}{-y}$।
सबसे पहले,$x$ के लिए हल करें: $\frac{6}{5} = \frac{x}{-6} \implies x = \frac{6 \times (-6)}{5} = -\frac{36}{5}$।
इसके बाद,$y$ के लिए हल करें: $\frac{6}{5} = \frac{-2}{-y} \implies \frac{6}{5} = \frac{2}{y} \implies 6y = 10 \implies y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$।
अतः,$x = -\frac{36}{5}$ और $y = \frac{5}{3}$।

(A) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ समानांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z} = k$।
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{3}{1} = 3$,$\frac{6}{2} = 3$,$\frac{9}{3} = 3$। चूंकि सभी अनुपात $3$ के बराबर हैं,$\vec{A} = 3\vec{B}$,इसलिए वे समानांतर हैं।
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{3}{1} = 3$,$\frac{-6}{2} = -3$। अनुपात समान नहीं हैं।
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{2}{1} = 2$,$\frac{6}{2} = 3$। अनुपात समान नहीं हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{2}{1} = 2$,$\frac{3}{-2} = -1.5$। अनुपात समान नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया समीकरण $|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2|^2 = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ का उपयोग करके,पदों का विस्तार करने पर:
$(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) \cdot (\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_2)$.
$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 + 2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 - 2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2)$.
दोनों पक्षों से $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ घटाने पर,$2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = -2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $4(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = 0$,जिसका तात्पर्य है $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए वे परस्पर लंबवत हैं।

(B) किसी भौतिक राशि को सदिश तभी कहा जाता है यदि उसमें परिमाण और दिशा दोनों हों और वह सदिश योग के नियमों (जैसे समांतर चतुर्भुज नियम) का पालन करती हो।
समय,दाब,पृष्ठ तनाव और विद्युत धारा जैसी भौतिक राशियों में एक विशिष्ट दिशा होती है लेकिन वे सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती हैं।
अतः,दिशा रखने वाली भौतिक राशि का सदिश होना आवश्यक नहीं है; वह सदिश हो भी सकती है और नहीं भी।

(A) दो सदिश $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ और $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$।
यहाँ $\vec{A} = 2\hat{i} + p\hat{j} + q\hat{k}$ और $\vec{B} = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ दिया गया है।
घटकों के अनुपात की तुलना करने पर: $\frac{2}{5} = \frac{p}{7} = \frac{q}{3}$।
$p$ के लिए: $\frac{2}{5} = \frac{p}{7} \Rightarrow p = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5}$।
$q$ के लिए: $\frac{2}{5} = \frac{q}{3} \Rightarrow q = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5}$।
अतः,$p = \frac{14}{5}$ और $q = \frac{6}{5}$ है।

(B) दो सदिश $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ और $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$.
दिया गया है $\vec{A} = 6 \hat{i} + x \hat{j} - 2 \hat{k}$ और $\vec{B} = 5 \hat{i} + 6 \hat{j} - y \hat{k}$.
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{6}{5} = \frac{x}{6} = \frac{-2}{-y}$.
सबसे पहले,$x$ के लिए हल करें: $\frac{6}{5} = \frac{x}{6} \implies x = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5}$.
इसके बाद,$y$ के लिए हल करें: $\frac{6}{5} = \frac{-2}{-y} \implies \frac{6}{5} = \frac{2}{y} \implies 6y = 10 \implies y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
अतः,$x = \frac{36}{5}$ और $y = \frac{5}{3}$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण उनकी दिशाओं के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
किसी सदिश को धनात्मक अदिश से गुणा करने पर उसकी दिशा नहीं बदलती है।
किसी सदिश को ऋणात्मक अदिश से गुणा करने पर उसकी दिशा उलट जाती है (अर्थात,यह $\pi$ रेडियन या $180^\circ$ घूम जाता है)।
दिया गया है कि $\vec a$ और $\vec b$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi }{6}$ है।
सदिश $-3\vec a$,$\vec a$ की विपरीत दिशा में है।
सदिश $2\vec b$,$\vec b$ की समान दिशा में है।
इसलिए,$-3\vec a$ और $2\vec b$ के बीच का कोण $\pi - \theta = \pi - \frac{\pi }{6} = \frac{5\pi }{6}$ होगा।

(C) तीन सदिशों का परिणामी शून्य होने के लिए,उन्हें एक बंद त्रिभुज बनाना चाहिए। त्रिभुज एक समतलीय आकृति है,इसलिए सदिश समतलीय होने चाहिए। यह कथन $(C)$ को सही बनाता है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि अलग-अलग परिमाण वाले तीन सदिशों का योग भी शून्य हो सकता है (उदाहरण के लिए,$3-4-5$ त्रिभुज की भुजाएँ)।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि चार गैर-शून्य बलों का योग तीन आयामों में शून्य हो सकता है (उदाहरण के लिए,एक नियमित चतुष्फलक के केंद्र से उसके शीर्षों की ओर इंगित करने वाले चार सदिश)।
इसलिए,केवल कथन $(C)$ सही है।

(B) $Z$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
मान लीजिए कि $\vec{A}$ और $Z$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है।
डॉट प्रोडक्ट का सूत्र $\vec{A} \cdot \hat{k} = |\vec{A}| |\hat{k}| \cos \theta$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{A} \cdot \hat{k} = (3)(0) + (-1)(0) + (4)(1) = 4$.
$\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$ है।
$\hat{k}$ का परिमाण $1$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{26} \times 1} = \frac{4}{\sqrt{26}}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{26}} = \sqrt{\frac{10}{26}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{26}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{10}/\sqrt{26}}{4/\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)$।

(B) वेग सदिश $\vec{v}$ उसकी चाल और गति की दिशा में इकाई सदिश के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{A}$ ज्ञात करें:
$|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$.
वेग सदिश $\vec{v} = |\vec{v}| \hat{A} = 6 \left( \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3} \right)$ होगा।
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\vec{v} = 2(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k} \, m/s$.

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम से,$\vec{R}$ और $\vec{A}$ के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
इसी प्रकार,$\vec{R}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \beta = \frac{A \sin \theta}{B + A \cos \theta}$।
ज्यामितीय रूप से,परिणामी सदिश $\vec{R}$ हमेशा उस सदिश के करीब होता है जिसका परिमाण अधिक होता है।
यदि $A > B$ है,तो परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{A}$ के करीब होगा,जिसका अर्थ है कि कोण $\alpha$,कोण $\beta$ से छोटा होगा (अर्थात,$\alpha < \beta$)।
इसके विपरीत,यदि $A < B$ है,तो $\alpha > \beta$ होगा।
अतः,यदि $A > B$ है तो $\alpha < \beta$ सही है।

(A) एक सदिश $\vec{A}$ का इकाई सदिश $\hat{n}$ द्वारा परिभाषित दिशा में घटक $\vec{A} \cdot \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$(A)$ $x$-अक्ष की दिशा में घटक: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 3$. यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए $(A \rightarrow s)$.
$(B)$ सदिश $\vec{B} = (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k})$ की दिशा में घटक: $\vec{A} \cdot \frac{\vec{B}}{|B|} = \frac{(3)(2) + (4)(1) + (-5)(2)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{6 + 4 - 10}{3} = 0$. अतः,$(B \rightarrow r)$.
$(C)$ सदिश $\vec{C} = (6 \hat{i} + 8 \hat{j} - 10 \hat{k}) = 2\vec{A}$ की दिशा में घटक। चूंकि यह समानांतर है,घटक $|\vec{A}|$ का परिमाण है,जो $\sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है। यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए $(C \rightarrow s)$.
$(D)$ सदिश $\vec{D} = (-3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) = -\vec{A}$ की दिशा में घटक। चूंकि यह प्रति-समानांतर है,घटक $-|\vec{A}| = -5\sqrt{2}$ है। यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए $(D \rightarrow s)$.
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow s, B \rightarrow r, C \rightarrow s, D \rightarrow s)$ है।

(A) सदिश $\vec{A}$ का सदिश $\vec{B}$ की दिशा में घटक (परिमाण) ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ है।
यहाँ $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j}$ दिया गया है।
डॉट गुणनफल की गणना: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$.
सदिश $\vec{B}$ का परिमाण: $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$\vec{A}$ का $\vec{B}$ की दिशा में घटक $\frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

(C) दिया गया है: $|\vec{A} + \vec{B}| = \frac{1}{2} |\vec{A} - \vec{B}|$ और $|\vec{A}| = 2|\vec{B}|$.
प्रथम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = \frac{1}{4} |\vec{A} - \vec{B}|^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = \frac{1}{4} (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$
$4(A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$
$4A^2 + 4B^2 + 8AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$
$3A^2 + 3B^2 + 10AB \cos \theta = 0$
समीकरण में $A = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2B)^2 + 3B^2 + 10(2B)(B) \cos \theta = 0$
$3(4B^2) + 3B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$12B^2 + 3B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$15B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$20B^2 \cos \theta = -15B^2$
$\cos \theta = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4}$
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)$

(A) $x$ परिमाण वाले सदिश $\vec{A}$ को $\theta$ कोण से घुमाने पर उसमें होने वाले परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{A}| = |\vec{A}' - \vec{A}| = 2x \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\Delta \vec{A}| = nx$, इसलिए $nx = 2x \sin(\theta/2)$, जिसका अर्थ है $n = 2 \sin(\theta/2)$।
$(A)$ $\theta=60^{\circ}$ के लिए: $n = 2 \sin(30^{\circ}) = 2(1/2) = 1$। अतः, $(A \rightarrow q)$।
$(B)$ $\theta=90^{\circ}$ के लिए: $n = 2 \sin(45^{\circ}) = 2(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$। अतः, $(B \rightarrow r)$।
$(C)$ $\theta=120^{\circ}$ के लिए: $n = 2 \sin(60^{\circ}) = 2(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}$। अतः, $(C \rightarrow p)$।
$(D)$ $\theta=180^{\circ}$ के लिए: $n = 2 \sin(90^{\circ}) = 2(1) = 2$। अतः, $(D \rightarrow s)$।
अतः, सही मिलान $(A \rightarrow q, B \rightarrow r, C \rightarrow p, D \rightarrow s)$ है।

(N/A) अर्थपूर्ण: दो अदिश राशियों का योग केवल तभी अर्थपूर्ण होता है जब वे दोनों एक ही भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करती हों।
$(b)$ अर्थपूर्ण नहीं: एक सदिश राशि और एक अदिश राशि का योग अर्थपूर्ण नहीं है क्योंकि वे विभिन्न प्रकार की भौतिक इकाइयाँ हैं।
$(c)$ अर्थपूर्ण: एक अदिश को एक सदिश के साथ गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,बल को समय के साथ गुणा करने पर आवेग $(I = F \cdot \Delta t)$ प्राप्त होता है।
$(d)$ अर्थपूर्ण: एक अदिश,चाहे वह किसी भी भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करता हो,उसे समान या भिन्न विमाओं वाले किसी अन्य अदिश के साथ गुणा किया जा सकता है।
$(e)$ अर्थपूर्ण: दो सदिश राशियों का योग केवल तभी अर्थपूर्ण होता है जब वे दोनों एक ही भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करती हों।
$(f)$ अर्थपूर्ण: एक सदिश के घटक को उसी सदिश में जोड़ा जा सकता है क्योंकि उन दोनों की विमाएँ समान होती हैं और वे एक ही भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(A) सत्य: एक सदिश का परिमाण उसकी लंबाई को दर्शाने वाली एक वास्तविक संख्या है। इसलिए,यह एक अदिश है।
$(b)$ असत्य: एक सदिश का प्रत्येक घटक निर्देशांक अक्षों की दिशा में एक सदिश राशि होती है।
$(c)$ असत्य: कुल पथ लंबाई तय की गई वास्तविक दूरी है,जो एक अदिश है,जबकि विस्थापन का परिमाण प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है। कुल पथ लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है।
$(d)$ सत्य: चूंकि कुल पथ लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है,इसलिए दोनों को समान समय अंतराल से विभाजित करने पर औसत चाल,औसत वेग के परिमाण से अधिक या उसके बराबर प्राप्त होती है।
$(e)$ सत्य: एक तल में न स्थित तीन सदिश एक बंद त्रिभुज नहीं बना सकते,जो उनके योग के शून्य सदिश होने के लिए एक आवश्यक शर्त है।

(N/A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर चतुर्भुज $OMNP$ की आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाए गए हैं। $\Delta OMN$ में,भुजा $ON$,$\vec{a} + \vec{b}$ को दर्शाती है। त्रिभुज असमिका के अनुसार,किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं की लंबाई के योग से कम या उसके बराबर होती है: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$। समानता तब लागू होती है जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक ही दिशा में हों।
$(b)$ $\Delta OMN$ में,दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम या उसके बराबर होता है: $|\vec{a} + \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$। समानता तब लागू होती है जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक ही दिशा में हों।
$(c)$ इसी प्रकार,सदिश अंतर $\vec{a} - \vec{b}$ के लिए,$\vec{a}$ और $-\vec{b}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |-\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$। समानता तब लागू होती है जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत दिशाओं में हों।
$(d)$ अंतर के लिए त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$। समानता तब लागू होती है जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत दिशाओं में हों।

(B, C, D) गलत: $a+b+c+d=0$ होने के लिए,यह आवश्यक नहीं है कि चारों सदिश शून्य सदिश हों। कई अन्य संयोजन हैं जो शून्य योग दे सकते हैं।
$(b)$ सही: $a+b+c+d=0$ दिया गया है,इसलिए $a+c = -(b+d).$ दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|a+c| = |-(b+d)| = |b+d|.$ अतः,$(a+c)$ का परिमाण $(b+d)$ के परिमाण के समान है।
$(c)$ सही: $a+b+c+d=0$ से,हमारे पास $a = -(b+c+d)$ है। दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|a| = |-(b+c+d)| = |b+c+d|.$ त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|b+c+d| \leq |b| + |c| + |d|.$ इसलिए,$|a| \leq |b| + |c| + |d|,$ जिसका अर्थ है कि $a$ का परिमाण कभी भी $b, c,$ और $d$ के परिमाणों के योग से अधिक नहीं हो सकता।
$(d)$ सही: $a+b+c+d=0$ के लिए,हम लिख सकते हैं कि $(b+c) = -(a+d).$ यह इंगित करता है कि सदिश $(b+c)$ का मान $a$ और $d$ के परिणामी सदिश के बराबर और विपरीत है। यदि $a$ और $d$ संरेख नहीं हैं,तो वे एक तल बनाते हैं,और $(b+c)$ को उस तल में स्थित होना चाहिए। यदि $a$ और $d$ संरेख हैं,तो संतुलन की स्थिति बनाए रखने के लिए $(b+c)$ को उसी रेखा पर स्थित होना चाहिए।

(N/A) नहीं; हाँ; नहीं।
सामान्य तौर पर,एक सदिश का अंतरिक्ष में कोई निश्चित स्थान नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब एक सदिश को इस तरह से विस्थापित किया जाता है कि उसका परिमाण और दिशा समान रहे,तो वह अपरिवर्तित रहता है। हालाँकि,एक स्थिति सदिश का अंतरिक्ष में एक निश्चित स्थान होता है।
एक सदिश समय के साथ बदल सकता है। उदाहरण के लिए,एक निश्चित वेग से गतिमान कण का विस्थापन सदिश समय के साथ बदलता रहता है।
अंतरिक्ष में अलग-अलग स्थानों पर स्थित दो समान सदिशों का भौतिक प्रभाव समान हो,यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,किसी वस्तु पर अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करने वाले दो समान बल वस्तु को घुमा सकते हैं,लेकिन उनके अनुप्रयोग बिंदु के आधार पर उनका संयुक्त प्रभाव (टॉर्क) अलग हो सकता है।

(N/A) नहीं; नहीं।
जिस भौतिक राशि में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं,वह अनिवार्य रूप से सदिश नहीं होती है। उदाहरण के लिए,विद्युत धारा में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं,लेकिन यह एक अदिश राशि है क्योंकि यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती है।
इसी प्रकार,किसी अक्ष के परितः पिंड का घूर्णन,अक्ष की दिशा और घूर्णन कोण द्वारा निर्दिष्ट होता है। हालाँकि,परिमित (finite) घूर्णन सदिश योग के क्रमविनिमेय नियम का पालन नहीं करते हैं (अर्थात,परिमित घूर्णन के लिए $\vec{A} + \vec{B} \neq \vec{B} + \vec{A}$)। इसलिए,परिमित घूर्णन सदिश नहीं हैं। केवल अत्यंत सूक्ष्म (infinitesimal) घूर्णन ही सदिश योग के नियमों का पालन करते हैं और उन्हें सदिश माना जाता है।

(A) नहीं; हाँ; नहीं।
$(a)$ लूप में मुड़े हुए तार की लंबाई एक अदिश राशि है। इसका परिमाण होता है लेकिन इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा नहीं जुड़ी होती है,इसलिए इसे सदिश के रूप में निरूपित नहीं किया जा सकता है।
$(b)$ एक समतल क्षेत्रफल को एक सदिश के साथ जोड़ा जा सकता है। क्षेत्रफल सदिश का परिमाण समतल के क्षेत्रफल के बराबर होता है और इसकी दिशा सतह के लंबवत (अंदर की ओर या बाहर की ओर) परिभाषित की जाती है।
$(c)$ गोला एक त्रि-आयामी वस्तु है जो अपने आयतन द्वारा परिभाषित होती है,जो कि एक अदिश राशि है। इसलिए,गोले के आयतन के साथ एक सदिश को नहीं जोड़ा जा सकता है। हालाँकि,गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के साथ किसी भी बिंदु पर एक क्षेत्रफल सदिश को जोड़ा जा सकता है,जिसकी दिशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होती है।

(N/A) अदिश भौतिक राशि: वह भौतिक राशि जिसे पूर्ण रूप से वर्णित करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है, उसे अदिश भौतिक राशि कहते हैं।
उदाहरण: $\text{द्रव्यमान}$, $\text{दूरी}$, $\text{समय}$, $\text{घनत्व}$, $\text{तापमान}$, $\text{शक्ति}$ आदि।
सदिश भौतिक राशि: वह भौतिक राशि जिसे पूर्ण रूप से वर्णित करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, उसे सदिश भौतिक राशि कहते हैं।
उदाहरण: $\text{विस्थापन}$, $\text{वेग}$, $\text{त्वरण}$, $\text{बल}$ आदि।

(A)

सदिश राशियाँ	अदिश राशियाँ
$(1)$ वे भौतिक राशियाँ जिन्हें पूर्ण रूप से परिभाषित करने के लिए परिमाण (magnitude) और दिशा (direction) दोनों की आवश्यकता होती है,सदिश राशियाँ कहलाती हैं।	$(1)$ वे भौतिक राशियाँ जिन्हें केवल उनके परिमाण द्वारा वर्णित किया जा सकता है,अदिश राशियाँ कहलाती हैं।
$(2)$ उदाहरण: वेग,त्वरण,बल,भार,विस्थापन,संवेग आदि।	$(2)$ उदाहरण: चाल,द्रव्यमान,आयतन,आकार,तापमान,पदार्थ की मात्रा,शक्ति,कार्य,दाब,समय आदि।
$(3)$ इन राशियों को निरूपित करते समय परिमाण और दिशा दोनों का उल्लेख करना आवश्यक है।	$(3)$ इन राशियों को निरूपित करते समय केवल उनके परिमाण की आवश्यकता होती है,अर्थात इकाइयों के साथ सही मान।
$(4)$ इन राशियों को बीजगणितीय रूप से नहीं जोड़ा जा सकता; ये सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं।	$(4)$ इन राशियों को सामान्य बीजगणितीय नियमों का उपयोग करके जोड़ा या घटाया जा सकता है।

(B) सदिश राशि को उसके प्रतीक के बोल्ड अक्षर द्वारा निरूपित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए,वेग के लिए $v$)।
व्यावहारिक रूप से,सदिश राशि को निरूपित करने के लिए प्रतीक के ऊपर तीर के निशान का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण के लिए,$\vec{v}$ वेग को दर्शाता है,जहाँ तीर सदिश की दिशा को इंगित करता है।