Fundamentals of Vectors Questions in Hindi

(B) सदिश राशि का परिमाण उसके आकार या लंबाई को दर्शाता है,जो एक अदिश मान है।
इसे सदिश राशि के प्रतीक को बिना तीर के निशान के लिखकर दर्शाया जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,इसे सदिश प्रतीक को मापांक (modulus) के भीतर रखकर दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए,यदि $\vec{F}$ एक बल सदिश है,तो इसके परिमाण को $F$ या $|\vec{F}|$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यदि बल का परिमाण $5 \ N$ है,तो $|\vec{F}| = F = 5 \ N$ होगा।

(N/A) सदिश एक भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
एक सदिश को एक निर्देशित रेखाखंड द्वारा निरूपित किया जाता है। रेखाखंड का तीर वाला सिरा सदिश का 'शीर्ष' (head) कहलाता है और बिना तीर वाला सिरा सदिश की 'पूंछ' (tail) कहलाता है। सदिश की लंबाई भौतिक राशि के परिमाण के समानुपाती खींची जाती है।
उदाहरण: $4 \ N$ का बल पूर्व दिशा में कार्य कर रहा है। मान लीजिए कि हम एक पैमाना चुनते हैं जहाँ $1 \ cm$,$1 \ N$ बल के अनुरूप है। इसलिए,पूर्व दिशा की ओर $4 \ cm$ लंबा सदिश इस $4 \ N$ बल को निरूपित कर सकता है।

(N/A) स्थिति सदिश: समतल में गति कर रही किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करने के लिए,हमें एक सुविधाजनक बिंदु $O$ को मूल बिंदु के रूप में चुनना होगा।
मान लीजिए कि चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार,समय $t$ और $t^{\prime}$ पर वस्तु की स्थितियाँ क्रमशः $P$ और $P^{\prime}$ हैं। $\overrightarrow{OP}$ समय $t$ पर वस्तु का स्थिति सदिश है। इसे $\vec{r}$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
बिंदु $P^{\prime}$ को एक अन्य स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP^{\prime}}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जिसे $\vec{r}^{\prime}$ कहा जाता है।
सदिश $\vec{r}$ की लंबाई सदिश का परिमाण दर्शाती है और इसकी दिशा वह दिशा है जिस ओर $O$ से देखने पर $P$ स्थित है।
विस्थापन सदिश: यदि वस्तु $P$ से $P^{\prime}$ तक गति करती है,तो सदिश $\overrightarrow{PP^{\prime}}$ (जिसकी पूंछ $P$ पर और शीर्ष $P^{\prime}$ पर है) को बिंदु $P$ (समय $t$ पर) से बिंदु $P^{\prime}$ (समय $t^{\prime}$ पर) तक की गति के लिए विस्थापन सदिश कहा जाता है।
महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ:
$(1)$ विस्थापन सदिश प्रारंभिक और अंतिम स्थिति को जोड़ने वाली सीधी रेखा है।
$(2)$ यह दो स्थितियों के बीच वस्तु द्वारा तय किए गए वास्तविक पथ पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए,चित्र $(b)$ में,यदि प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ $P$ और $Q$ हैं,तो यात्रा के विभिन्न मार्गों जैसे $PABCQ$,$PDQ$ और $PBEFQ$ के लिए विस्थापन सदिश $\overrightarrow{PQ}$ समान ही रहता है।
$(3)$ इसलिए,विस्थापन का परिमाण दो बिंदुओं के बीच वस्तु द्वारा तय किए गए पथ की लंबाई से हमेशा कम या उसके बराबर होता है।

(N/A) स्थिति सदिश: समतल में गति कर रहे किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करने के लिए,हमें एक सुविधाजनक बिंदु चुनने की आवश्यकता है,जिसे मूल बिंदु $O$ कहते हैं।
मान लीजिए कि $t$ और $t^{\prime}$ समय पर वस्तु की स्थिति क्रमशः $P$ और $P^{\prime}$ है। $\overrightarrow{OP}$ समय $t$ पर वस्तु का स्थिति सदिश है। इसे $\vec{r}$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
बिंदु $P^{\prime}$ को एक अन्य स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP^{\prime}}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जिसे $\vec{r}^{\prime}$ कहा जाता है।
सदिश $\vec{r}$ की लंबाई सदिश के परिमाण को दर्शाती है और इसकी दिशा वह दिशा है जिसमें $O$ से देखने पर $P$ स्थित है।
विस्थापन सदिश: यदि वस्तु $P$ से $P^{\prime}$ तक गति करती है,तो सदिश $\overrightarrow{PP^{\prime}}$ (जिसकी पूंछ $P$ पर और शीर्ष $P^{\prime}$ पर हो) को बिंदु $P$ (समय $t$ पर) से बिंदु $P^{\prime}$ (समय $t^{\prime}$ पर) तक की गति के अनुरूप विस्थापन सदिश कहा जाता है।
सदिशों की समानता: दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ को समान तब कहा जाता है यदि और केवल यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो।
चित्र $(a)$ दो समान सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ को दर्शाता है। हम $\vec{B}$ को उसके समानांतर तब तक स्थानांतरित कर सकते हैं जब तक कि उसकी पूंछ $Q$,$\vec{A}$ की पूंछ $O$ के साथ संपाती न हो जाए। तब,उनके शीर्ष $S$ और $P$ भी संपाती हो जाते हैं। अतः,दोनों सदिश समान कहलाते हैं,जिसे $\vec{A} = \vec{B}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) जब किसी सदिश $\vec{A}$ को एक अदिश $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया सदिश $\vec{A}' = k\vec{A}$ प्राप्त होता है।
नए सदिश का परिमाण $|\vec{A}'| = |k| \cdot |\vec{A}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = -\frac{3}{2}$ है।
इसलिए,परिमाण $|-\frac{3}{2}| \cdot |\vec{A}| = \frac{3}{2} |\vec{A}|$ होगा।
अतः,नए सदिश का परिमाण मूल सदिश के परिमाण का $\frac{3}{2}$ गुना होता है।

(N/A) शून्य सदिश: जिस सदिश का परिमाण शून्य होता है और दिशा अनिश्चित होती है,उसे शून्य सदिश कहा जाता है। इसे $\vec{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
गणितीय परिभाषा: यदि किसी सदिश $\vec{A}$ में से उसी सदिश को घटाया जाए,तो परिणाम शून्य सदिश होता है: $\vec{A} - \vec{A} = \vec{0}$.
शून्य सदिश के गुण:
$(i)$ $\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}$
(ii) $\lambda \vec{0} = \vec{0}$ (जहाँ $\lambda$ एक अदिश है)
(iii) $0 \cdot \vec{A} = \vec{0}$
भौतिक महत्व:
सदिश संक्रियाओं का परिणाम सदिश ही रहे,यह सुनिश्चित करने के लिए शून्य सदिश आवश्यक है। उदाहरण के लिए,जो कण अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस लौट आता है,उसका विस्थापन शून्य सदिश होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक कण $t=0$ समय पर $P$ स्थिति पर है जिसका स्थिति सदिश $\vec{r}$ है। $t$ समय पर वह $P'$ स्थिति पर जाता है जिसका स्थिति सदिश $\vec{r}'$ है। यदि कण वापस $P$ पर आ जाता है,तो विस्थापन $\Delta \vec{r} = \vec{r} - \vec{r} = \vec{0}$ होता है,जो एक शून्य सदिश है।

(N/A) सदिश $\overrightarrow{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ के रूप में दिया गया है।
$\overrightarrow{A}$ का परिमाण $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
एकांक सदिश $\hat{A}$ को $\hat{A} = \frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एकांक सदिश का परिमाण $|\hat{A}| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$ है।
अतः,एकांक सदिश का परिमाण $1$ है।

(A) माना सदिश $\vec{A} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j}$ है।
सबसे पहले,सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{A}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
इकाई सदिश $\hat{A}$ को $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\hat{A} = \frac{8 \hat{i} + 6 \hat{j}}{10} = 0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j}$.

(B) सदिशों के योग के लिए मूलभूत शर्त यह है कि सदिशों को समान भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।
उदाहरण के लिए,एक बल सदिश को केवल दूसरे बल सदिश के साथ ही जोड़ा जा सकता है,न कि वेग सदिश के साथ।
इसका कारण यह है कि परिणामी सदिश की भौतिक व्याख्या सार्थक होने के लिए भौतिक नियमों और आयामों का सुसंगत होना आवश्यक है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
परिणामी सदिश $R$ का मान अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^{\circ}$ रखने पर:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
अतः,कोण $\theta = 0^{\circ}$ होना चाहिए।

(A) हाँ,असमान परिमाण वाले तीन सदिशों का परिणामी सदिश शून्य सदिश हो सकता है।
यदि असमान परिमाण वाले तीन सदिश एक बंद त्रिभुज बनाते हैं जब उन्हें एक के बाद एक रखा जाता है,तो उनका सदिश योग शून्य होता है।
उदाहरण के लिए,यदि तीन सदिशों के परिमाण $3, 4,$ और $5$ इकाई हैं,तो वे एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं,और उनका परिणामी सदिश शून्य होगा।

(B) परिणामी सदिश $\vec{C}$ का परिमाण $|\vec{C}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|\vec{A}| + |\vec{B}| = |\vec{C}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(|\vec{A}| + |\vec{B}|)^2 = |\vec{C}|^2$.
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$.
इसे सरल करने पर $2|\vec{A}||\vec{B}| = 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = 1$.
अतः,$\theta = 0^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ एक ही दिशा में हैं।

(A) हाँ,यदि किसी भौतिक राशि का परिमाण शून्य है,तो भी वह एक सदिश हो सकती है। ऐसे सदिश को शून्य सदिश (null vector) कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,यदि किसी गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है और वह वापस फेंकने वाले के हाथ में आ जाती है,तो गेंद का विस्थापन शून्य होता है। चूंकि विस्थापन एक सदिश राशि है,इसलिए इस शून्य विस्थापन को शून्य सदिश के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) माना सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{A}| = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
$\vec{A}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{A}$ को $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\hat{A} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}}$।

(C) एक इकाई सदिश $\hat{n}$ का परिमाण $1$ होता है।
दिया गया है कि $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} = 0.6\hat{i} + 0.8\hat{j} + c\hat{k}$.
परिमाण को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $|\hat{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{(0.6)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(0.6)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.36 + 0.64 + c^2 = 1$.
$1.00 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 1 = 0$.
अतः,$c = 0$.

(A) जब किसी सदिश $\overrightarrow{A}$ को एक धनात्मक वास्तविक संख्या $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो प्राप्त नए सदिश $\overrightarrow{B} = \lambda \overrightarrow{A}$ के गुण निम्नलिखित हैं:
$1$. नए सदिश का परिमाण मूल सदिश के परिमाण का $\lambda$ गुना होता है,अर्थात $|\overrightarrow{B}| = \lambda |\overrightarrow{A}|$.
$2$. चूंकि $\lambda$ धनात्मक है,इसलिए नए सदिश $\overrightarrow{B}$ की दिशा मूल सदिश $\overrightarrow{A}$ की दिशा के समान ही रहती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$-अक्ष के साथ दिशा $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{A_y}{A_x} = \frac{1}{1} = 1$ से प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ जो $x$-अक्ष के साथ कोण है।

(C) दिया गया है: $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$। इसका अर्थ है कि $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
यह भी दिया गया है: $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ$। सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 90^{\circ}$ का मान रखने पर,हमें $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin(90^{\circ}) = PQ(1) = PQ$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों शर्तें $\theta = 90^{\circ}$ पर संतुष्ट होती हैं,इसलिए $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

एक सदिश $\vec{A}$ का दो सदिशों $\vec{B}$ और $\vec{C}$ के योग के साथ अदिश गुणनफल (dot product) के लिए वितरण नियम इस प्रकार है:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
इसी प्रकार,सदिश गुणनफल (cross product) के लिए:
$\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$
यह नियम बताता है कि एक सदिश का अन्य दो सदिशों के योग के साथ गुणनफल,उस सदिश का अन्य दो सदिशों में से प्रत्येक के साथ अलग-अलग गुणनफलों के योग के बराबर होता है।

(N/A) तीन गुणधर्म जो अलग-अलग परिमाण और अलग-अलग दिशाएं प्रदर्शित करते हैं,वे इस प्रकार हैं:
$1$. ऊष्मीय चालकता (Thermal conductivity): विषमदैशिक (anisotropic) पदार्थों में,ऊष्मा का प्रवाह तापमान प्रवणता की दिशा पर निर्भर करता है।
$2$. विद्युत चालकता (Electrical conductivity): क्रिस्टलीय पदार्थों में,विद्युत धारा का प्रवाह क्रिस्टल जालक के अभिविन्यास (orientation) पर निर्भर करता है।
$3$. प्रत्यास्थता गुणांक (Elastic modulus) या संपीड्यता (compressibility): विषमदैशिक ठोसों में,लगाए गए प्रतिबल के कारण होने वाला विरूपण बल की दिशा और क्रिस्टल अक्षों पर निर्भर करता है।

(B) असत्य: कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिश ${\hat i}$ और ${\hat j}$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहते हैं,इसलिए वे समय के साथ नहीं बदलते हैं।
$(b)$ असत्य: अदिश गुणनफल $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = |A||B|\cos{\theta _1}$ और $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow C = |A||C|\cos{\theta _2}$ होता है। यदि अदिश गुणनफल समान हैं,तो भी इसका अर्थ यह नहीं है कि $\overrightarrow B = \overrightarrow C$ है,क्योंकि सदिशों के परिमाण और कोण स्वतंत्र रूप से भिन्न हो सकते हैं।
$(c)$ सत्य: सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,एक ही तल में स्थित दो सदिशों का परिणामी सदिश भी उसी तल में स्थित होता है।

(A) कोणीय संवेग को स्थिति सदिश और रैखिक संवेग के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$। चूंकि यह एक सदिश गुणनफल है,इसलिए यह एक सदिश राशि है। अतः,$(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
स्थितिज ऊर्जा ऊर्जा का एक रूप है,और ऊर्जा के सभी रूप अदिश राशियाँ हैं क्योंकि उनका केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b), (2-a)$ है।

(N/A) वह सदिश जिसका परिमाण $1$ इकाई होता है,उसे इकाई सदिश कहते हैं।
यह सदिश की दिशा को दर्शाता है।
इसका कोई मात्रक या विमा नहीं होती है।
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,$x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिशों को क्रमशः $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है,इसलिए:
$|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}| = 1$
ये सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
किसी सदिश को उसके परिमाण से विभाजित करके इकाई सदिश प्राप्त किया जा सकता है।
उदाहरण: यदि $\vec{A}$ का इकाई सदिश $\hat{n}$ है,तो:
$\hat{n} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{\vec{A}}{A} = \frac{\text{सदिश}}{\text{सदिश का परिमाण}}$
इस समीकरण के अनुसार,$\vec{A} = |\vec{A}| \cdot \hat{n}$
सदिश $=$ (सदिश का परिमाण) $\times$ (उसका इकाई सदिश)
उदाहरण: $X$-अक्ष की दिशा में कार्य करने वाले $5 \text{ N}$ बल को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: $\vec{F} = 5\hat{i} \text{ N}$।

(B) दिया गया वेग सदिश: $\overrightarrow{v} = 0.5t^2 \hat{i} + 3t \hat{j} + 9 \hat{k}$ है।
$t = 2 \, s$ पर,वेग $\overrightarrow{v} = 0.5(2)^2 \hat{i} + 3(2) \hat{j} + 9 \hat{k} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k} \, m/s$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11 \, m/s$ है।
दिक् कोज्याएँ $\cos \alpha = \frac{v_x}{|v|} = \frac{2}{11}$,$\cos \beta = \frac{v_y}{|v|} = \frac{6}{11}$,और $\cos \gamma = \frac{v_z}{|v|} = \frac{9}{11}$ हैं।
$x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{11})$ है।
$y$-अक्ष के साथ कोण $\beta = \cos^{-1}(\frac{6}{11})$ है।
$z$-अक्ष के साथ कोण $\gamma = \cos^{-1}(\frac{9}{11})$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी इन मानों से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) केंद्र $O$ वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,केंद्र से शीर्षों तक के सदिशों का योग शून्य होता है:
$\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }+\overrightarrow{ OD }+\overrightarrow{ OE }+\overrightarrow{ OF }+\overrightarrow{ OG }+\overrightarrow{ OH }=\overrightarrow{0}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करके,हम प्रत्येक सदिश $\overrightarrow{ AX }$ को $\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OX }$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OB }$
$\overrightarrow{ AC }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OC }$
$\overrightarrow{ AD }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OD }$
$\overrightarrow{ AE }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OE }$
$\overrightarrow{ AF }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OF }$
$\overrightarrow{ AG }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OG }$
$\overrightarrow{ AH }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OH }$
इन सात सदिशों का योग करने पर:
$\sum = 7 \overrightarrow{ AO } + (\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }+\overrightarrow{ OD }+\overrightarrow{ OE }+\overrightarrow{ OF }+\overrightarrow{ OG }+\overrightarrow{ OH })$
प्रारंभिक गुणधर्म के अनुसार,कोष्ठक में दिया गया योग $-\overrightarrow{ OA }$ के बराबर है,जो कि $\overrightarrow{ AO }$ है:
$\sum = 7 \overrightarrow{ AO } + \overrightarrow{ AO } = 8 \overrightarrow{ AO }$
दिया गया है $\overrightarrow{ AO }=2 \hat{ i }+3 \hat{ j }-4 \hat{ k }$,इसलिए:
$\sum = 8(2 \hat{ i }+3 \hat{ j }-4 \hat{ k }) = 16 \hat{i}+24 \hat{j}-32 \hat{k}$

(B) माना सदिशों का परिमाण $X = Y = A$ है।
अंतर सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)}$ है।
योग सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = n |\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}|$.
मान रखने पर: $\sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)} = n \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2A^2(1 - \cos \theta) = n^2 \cdot 2A^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2 + n^2 \cos \theta$.
$1 - n^2 = \cos \theta(1 + n^2)$.
$\cos \theta = \frac{1 - n^2}{1 + n^2} = \frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}\right)$।

(D) दिया गया है कि $A, B, C, D$ केंद्र $O$ वाले एक अर्धवृत्ताकार चाप पर बिंदु हैं। चूँकि $O$ केंद्र है,इसलिए $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = R$ (त्रिज्या)।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$
चूँकि $A, O, D$ संरेख हैं और $O$,$AD$ का मध्यबिंदु है (क्योंकि $AD$ अर्धवृत्त का व्यास है),इसलिए $\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$ होगा।
अतः,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$।
इसलिए,कथन $A$ सही है।
कारण $R$ के संबंध में: बहुभुज नियम बताता है कि एक बंद बहुभुज बनाने वाले सदिशों का योग शून्य होता है। समीकरण $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$ बहुभुज नियम का मानक परिणाम नहीं है और दी गई ज्यामिति के लिए गणितीय रूप से गलत है। इसलिए,कारण $R$ गलत है।
अतः,$A$ सही है लेकिन $R$ सही नहीं है।

(D) सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,एक बंद बहुभुज के लिए,चक्रीय क्रम में लिए गए सदिशों का योग शून्य होता है।
पंचभुज की बाहरी भुजाओं के लिए: $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$।
इसलिए,$A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$।
केंद्र और भुजाओं द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर लागू सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$B_1 + A_1 = B_2$
$B_2 + A_2 = B_3$
$B_3 + A_3 = B_4$
$B_4 + A_4 = B_5$
$B_5 + A_5 = B_1$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5) + (A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5) = (B_2 + B_3 + B_4 + B_5 + B_1)$
चूंकि $A_i$ का योग शून्य है,हम संगति की पुष्टि करते हैं।
वैकल्पिक रूप से,योग $S = B_2 + B_3 + B_4 + B_5$ पर विचार करें।
ज्यामिति से,$B_2 + A_3 = B_3$,$B_3 + A_4 = B_4$,$B_4 + A_5 = B_5$,और $B_5 + A_1 = B_1$।
इन्हें जोड़ने पर: $B_2 + (A_3 + A_4 + A_5 + A_1) = B_1$।
चूंकि $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$,हमारे पास $A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $B_2 - A_2 = B_1$।
चित्र के अभिविन्यास के अनुसार,सही परिणाम $-B_1$ प्राप्त होता है।

(A) एक सदिश राशि निर्देशांक प्रणाली के चयन से स्वतंत्र होती है। सदिशों का योग या अंतर,जैसे $\vec{a}+\vec{b}$ या $(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})$,एक नया सदिश प्रदान करता है,जो एक भौतिक राशि के रूप में निर्देशांक अक्षों के अभिविन्यास से स्वतंत्र होता है।
हालाँकि,एक सदिश के घटक (जैसे $a_x$ या $b_y$) निर्देशांक अक्षों के अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं। इसलिए,व्यंजक $3a_x+2b_y$ विशिष्ट घटकों को शामिल करता है और यदि अक्षों को घुमाया जाता है तो यह बदल जाएगा।
अतः,केवल $(b)$ निर्देशांक अक्षों के अभिविन्यास के चयन पर निर्भर करता है।

(C) जब एक सदिश $\vec{A}$ को उसके समान और विपरीत सदिश $-\vec{A}$ के साथ जोड़ा जाता है,तो परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + (-\vec{A}) = 0$ होता है।
इस परिणामी सदिश का परिमाण $0$ होता है और इसकी दिशा अनिश्चित होती है,जिसे शून्य सदिश (null vector) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) इकाई सदिश एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण $1$ होता है और इसका उपयोग अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।
चूंकि इकाई सदिश का परिमाण $1$ (एक विमाहीन संख्या) होता है,इसलिए इसका कोई भौतिक मात्रक नहीं होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक वेक्टर को उसके परिमाण और दिशा द्वारा परिभाषित किया जाता है। यदि उसके परिमाण या उसकी दिशा में परिवर्तन होता है,तो वेक्टर में परिवर्तन होता है।
$1$. यदि वेक्टर स्वयं घूमता है,तो उसकी दिशा बदल जाती है,जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर में परिवर्तन होता है।
$2$. निर्देश तंत्र का घूर्णन केवल वेक्टर के घटकों (निर्देशांकों) को बदलता है,लेकिन वेक्टर स्वयं अंतरिक्ष में अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,वेक्टर में परिवर्तन स्वयं वेक्टर के घूर्णन के कारण होता है।

(C) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ उनके बीच का वह छोटा कोण होता है जब उन्हें पूंछ से पूंछ (tail-to-tail) जोड़कर रखा जाता है।
चित्र $(C)$ में,दोनों सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ अपनी पूंछ पर जुड़े हुए हैं। इसलिए,यह चित्र दो सदिशों के बीच के कोण $\theta$ को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) दिया गया है कि सदिश $\vec{A}$ का परिमाण $2.7$ इकाई है और यह पूर्व दिशा में है।
मान लीजिए कि पूर्व दिशा में इकाई सदिश $\hat{i}$ है। अतः,$\vec{A} = 2.7 \hat{i}$ है।
हमें सदिश $4 \vec{A}$ ज्ञात करना है।
$4 \vec{A} = 4 \times (2.7 \hat{i}) = 10.8 \hat{i}$।
नए सदिश का परिमाण $10.8$ इकाई है,और चूंकि दिशा $\hat{i}$ है,इसलिए यह पूर्व दिशा में है।

(A) प्रारंभिक सदिश $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
सदिश धनात्मक $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\theta = 45^{\circ}$।
जब सदिश को वामावर्त दिशा में $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ नया कोण $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ हो जाता है।
$2\sqrt{2}$ परिमाण वाला सदिश जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,वह पूरी तरह से धनात्मक $y$-अक्ष पर स्थित होता है।
अतः,नया सदिश $2\sqrt{2}\hat{j}$ है।

(B) सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{B}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
इसके बाद,$\overrightarrow{A}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$\hat{A} = \frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{4\hat{i} + 3\hat{j}}{5}$.
अभीष्ट सदिश $\overrightarrow{R}$,$\overrightarrow{A}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $5|\overrightarrow{B}| = 5\sqrt{20}$ है।
अतः,$\overrightarrow{R} = (5|\overrightarrow{B}|) \hat{A} = (5\sqrt{20}) \left( \frac{4\hat{i} + 3\hat{j}}{5} \right) = \sqrt{20}(4\hat{i} + 3\hat{j})$.

(A) सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ का परिमाण ज्ञात करें।
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
इसके बाद,$\overrightarrow{B} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें।
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$\hat{B} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5}$.
वांछित सदिश $\overrightarrow{V}$ का परिमाण $5$ है और यह $\overrightarrow{B}$ के समानांतर है,इसलिए $\overrightarrow{V} = |\overrightarrow{A}| \hat{B} = 5 \times \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
इसे दिए गए घटकों $X \hat{i} + 3 \hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $X = 4$ प्राप्त होता है।

(B) सदिश के दिक कोज्या (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $x, y, z$ अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$.
इकाई सदिश $\hat{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$.

(A) सदिश $\vec{b}$ की दिशा में सदिश $\vec{a}$ का घटक प्रक्षेप सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $\text{घटक} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = (4)(-1) + (5)(1) = -4 + 5 = 1$.
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
अतः,घटक की लंबाई $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) दी गई शर्त: $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
$|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम पदों का विस्तार करते हैं:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$।
दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ घटाने पर:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$।
$4AB \cos \theta = 0$।
चूंकि $A$ और $B$ शून्यतर सदिश हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(D) दिया गया सदिश $\vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
$y$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{j} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{B}$ और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}| |\hat{j}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{B}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$।
$\hat{j}$ का परिमाण $1$ है।
डॉट गुणनफल $\vec{B} \cdot \hat{j} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 2$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{29}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$।

(C) सदिश $\vec{A} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 12 \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश $\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
$x$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{i} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{A}$ और $x$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \hat{i}}{|\vec{A}| |\hat{i}|}$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (4 \times 1) + (3 \times 0) + (12 \times 0) = 4$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{4}{13 \times 1} = \frac{4}{13}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{4}{13})$.

(D) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है।
दिया गया है $\overrightarrow{u} = 0.4 \hat{i} + 0.7 \hat{j} + c \hat{k}$।
परिमाण का सूत्र $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{(0.4)^2 + (0.7)^2 + c^2} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $0.16 + 0.49 + c^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$0.65 + c^2 = 1$।
$c^2 = 1 - 0.65 = 0.35$।
अतः,$c = \sqrt{0.35}$।

(D) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है। सदिश $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सदिश $(0.8 \hat{i} + b \hat{j} + 0.4 \hat{k})$ है,इसलिए इसका परिमाण $1$ रखने पर:
$\sqrt{(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2 = 1^2$
$0.64 + b^2 + 0.16 = 1$
$0.80 + b^2 = 1$
$b^2 = 1 - 0.80$
$b^2 = 0.2$
$b = \sqrt{0.2}$

(D) मान लीजिए कि दो बल $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
सदिश योग $(\vec{A} + \vec{B})$ है और सदिश अंतर $(\vec{A} - \vec{B})$ है।
यह दिया गया है कि योग अंतर के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,इसलिए ये पद कट जाएंगे:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
अतः,बल परिमाण में समान हैं।

(D) माना इकाई सदिश $\hat{n} = a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}$ है और दिया गया सदिश $\vec{r} = \hat{\imath} + \hat{\jmath}$ है।
चूंकि $\hat{n}$,$\vec{r}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\hat{n} \cdot \vec{r} = 0$.
$(a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}) \cdot (\hat{\imath} + \hat{\jmath}) = a + b = 0$,जिसका अर्थ है $b = -a$.
चूंकि $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है: $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$.
$b = -a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{a^2 + (-a)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\sqrt{2a^2} = 1$ या $|a|\sqrt{2} = 1$ में सरल हो जाता है।
अतः,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ विकल्प $D$ में उपलब्ध है।

(D) एक सदिश $\vec{A}$ का दूसरे सदिश $\vec{B}$ की दिशा में घटक,$\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश पर $\vec{A}$ के प्रक्षेप द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\hat{b}$,$\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
$\vec{B}$ की दिशा में $\vec{A}$ का घटक $\vec{A} \cdot \hat{b}$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $\hat{b} = \frac{\vec{B}}{|B|}$,इसे $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|B|}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया है कि सदिश $(A + B)$ और $(A - B)$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
$(A + B) \cdot (A - B) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है $(A \cdot B = B \cdot A)$,इसलिए $-A \cdot B$ और $B \cdot A$ पद कट जाएंगे।
$|A|^2 - |B|^2 = 0$
$|A|^2 = |B|^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|A| = |B|$
अतः,शर्त यह है कि दोनों सदिशों का परिमाण समान होना चाहिए।

(D) एक सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
इसके विपरीत,एक अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है,दिशा नहीं।
$1$. भार किसी वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है,जिसमें परिमाण और दिशा (नीचे की ओर) दोनों होते हैं,इसलिए यह एक सदिश है।
$2$. नाभिकीय चक्रण (Nuclear spin) एक नाभिक का आंतरिक कोणीय संवेग है,जो एक सदिश राशि है।
$3$. संवेग को द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(p = mv)$। चूंकि वेग एक सदिश है,इसलिए संवेग भी एक सदिश है।
$4$. स्थितिज ऊर्जा एक अदिश राशि है क्योंकि यह किसी वस्तु की स्थिति या विन्यास के कारण उसमें संचित ऊर्जा को दर्शाती है,जिसकी कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा एक सदिश राशि नहीं है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{P}+\vec{Q}|=|\vec{P}|=|\vec{Q}|$। मान लीजिए $|\vec{P}|=|\vec{Q}|=P$ है।
सदिश योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ \cos \theta}$।
चूंकि $|\vec{P}+\vec{Q}|=P$,इसलिए $P = \sqrt{P^2+P^2+2P^2 \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = 2P^2 + 2P^2 \cos \theta$।
$P^2$ से विभाजित करने पर,$1 = 2 + 2 \cos \theta$।
$2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 120^{\circ}$।