Newton's Law of Cooling Questions in Hindi

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $R$ पिंड और परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे समानुपाती होती है: $R \propto (T - T_s)$।
दिया गया है:
पिंड $A$ का तापमान $(T_1)$ = $100^{\circ}C$
पिंड $B$ का तापमान $(T_2)$ = $80^{\circ}C$
परिवेश का तापमान $(T_s)$ = $40^{\circ}C$
पिंड $A$ के लिए शीतलन की दर $R_1 = k(T_1 - T_s) = k(100 - 40) = 60k$ है।
पिंड $B$ के लिए शीतलन की दर $R_2 = k(T_2 - T_s) = k(80 - 40) = 40k$ है।
अतः,अनुपात $R_1 : R_2 = \frac{60k}{40k} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$ होगा।

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A}{ms} (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोले समान धातु के हैं,इसलिए उत्सर्जकता $e$,विशिष्ट ऊष्मा $s$ और घनत्व $\rho$ समान होंगे।
द्रव्यमान $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,शीतलन की दरों का अनुपात $\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2:1$ होगा।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
दिया गया है: $\theta_0 = 20^{\circ}C$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\theta_1 = 80^{\circ}C$ और $\frac{dQ_1}{dt} = 60 \, cal/sec$.
इन मानों को रखने पर: $60 = k(80 - 20) = 60k$,जिसका अर्थ है $k = 1 \, cal/(sec \cdot ^{\circ}C)$.
दूसरी स्थिति के लिए: $\theta_2 = 40^{\circ}C$.
ऊष्मा हानि की दर की गणना करने पर: $\frac{dQ_2}{dt} = k(40 - 20) = 1 \times 20 = 20 \, cal/sec$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्थितियां समान हैं,इसलिए दोनों द्रवों के लिए ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt}$ समान होगी।
अतः,$m_1 s_1 \frac{d\theta}{t_1} = m_2 s_2 \frac{d\theta}{t_2}$.
चूंकि आयतन समान हैं $(V_1 = V_2 = V)$,हम $m = \rho V$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\rho_1 V s_1 / t_1 = \rho_2 V s_2 / t_2$.
यह सरल होकर $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{s_2}{s_1} \times \frac{t_1}{t_2}$ हो जाता है।
दिया गया है $s_1 : s_2 = 3 : 4$,इसलिए $s_2 / s_1 = 4/3$.
समय $t_1 = 324 \; sec$ और $t_2 = 810 \; sec$ है।
अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3} \times \frac{324}{810} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के औसत तापमान और परिवेश के तापमान के बीच के अंतर के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\frac{d\theta}{dt} \propto \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$.
जैसे-जैसे पानी ठंडा होता है,उसका औसत तापमान कम होता जाता है,इसलिए शीतलन की दर समय के साथ घटती जाती है।
दिए गए अंतरालों के लिए:
औसत तापमान $1$: $\frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ}C$
औसत तापमान $2$: $\frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ}C$
औसत तापमान $3$: $\frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ}C$
चूंकि पहले अंतराल के लिए औसत तापमान सबसे अधिक है,इसलिए शीतलन की दर सबसे तेज होगी,जिसका अर्थ है कि $T_1$ सबसे कम समय है।
अतः,$T_1 < T_2 < T_3$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{90 - 60}{5} = K\left( \frac{90 + 60}{2} - 20 \right) \Rightarrow 6 = K(75 - 20) \Rightarrow 6 = 55K \Rightarrow K = \frac{6}{55}$।
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{60 - 30}{t} = K\left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right) \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{6}{55}(45 - 20) \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{6}{55} \times 25$।
$\frac{30}{t} = \frac{6 \times 5}{11} \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{30}{11} \Rightarrow t = 11 \ min$।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
तापमान में छोटे अंतर के लिए,ठंडा होने की दर $d\theta/dt$ ऊष्मा हानि की दर और ऊष्मा धारिता $(ms)$ के अनुपात के समानुपाती होती है:
$d\theta/dt = \frac{\sigma A (T^4 - T_0^4)}{ms}$.
चूंकि $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3)$ और $A = 4\pi r^2$ है,इसलिए:
$d\theta/dt \propto \frac{r^2}{\rho r^3 s} \propto \frac{1}{\rho r}$.
दिए गए अनुपात $r_1:r_2 = 1:2$ और $\rho_1:\rho_2 = 2:1$ के लिए,ठंडा होने की दर का अनुपात होगा:
$\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{\rho_2 r_2}{\rho_1 r_1} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = 1:1$.

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $-dT/dt = k(T - T_S)$.
यहाँ,$T$ वस्तु का औसत तापमान है और $T_S$ परिवेश का तापमान है।
तापमान में छोटी गिरावट $\Delta T = 10 \, ^\circ\text{C}$ के लिए,लिया गया समय $t$ इस प्रकार है: $t \propto 1 / (T_{avg} - T_S)$.
$1$. $100 \, ^\circ\text{C}$ से $90 \, ^\circ\text{C}$ के लिए,$T_{avg} = 95 \, ^\circ\text{C}$,इसलिए $t_1 \propto 1 / (95 - T_S)$.
$2$. $90 \, ^\circ\text{C}$ से $80 \, ^\circ\text{C}$ के लिए,$T_{avg} = 85 \, ^\circ\text{C}$,इसलिए $t_2 \propto 1 / (85 - T_S)$.
$3$. $80 \, ^\circ\text{C}$ से $70 \, ^\circ\text{C}$ के लिए,$T_{avg} = 75 \, ^\circ\text{C}$,इसलिए $t_3 \propto 1 / (75 - T_S)$.
चूंकि औसत तापमान $T_{avg}$ प्रत्येक चरण में घटता है,हर $(T_{avg} - T_S)$ भी घटता है,जिसका अर्थ है कि समय $t$ बढ़ता है।
अतः,$t_1 < t_2 < t_3$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_{room})$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K\left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta$ है: $\frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta = \frac{300}{7} \approx 42.85^{\circ}C$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर है: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$,जहाँ $\theta_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति में:
$\frac{80 - 70}{30} = K \left( \frac{80 + 70}{2} - \theta_0 \right) \Rightarrow \frac{10}{30} = K(75 - \theta_0) \Rightarrow \frac{1}{3} = K(75 - \theta_0)$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति में:
$\frac{60 - 50}{70} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right) \Rightarrow \frac{10}{70} = K(55 - \theta_0) \Rightarrow \frac{1}{7} = K(55 - \theta_0)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1/3}{1/7} = \frac{K(75 - \theta_0)}{K(55 - \theta_0)} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{75 - \theta_0}{55 - \theta_0}$
वज्र गुणन करने पर:
$7(55 - \theta_0) = 3(75 - \theta_0)$
$385 - 7\theta_0 = 225 - 3\theta_0$
$385 - 225 = 7\theta_0 - 3\theta_0$
$160 = 4\theta_0$
$\theta_0 = 40^{\circ} C$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{avg} - T_s)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{50.0 - 49.9}{5} = K \left( \frac{50.0 + 49.9}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{0.1}{5} = K(49.95 - 30) \Rightarrow 0.02 = K(19.95) \dots (i)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{40.0 - 39.9}{t} = K \left( \frac{40.0 + 39.9}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{0.1}{t} = K(39.95 - 30) \Rightarrow \frac{0.1}{t} = K(9.95) \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{0.02}{0.1/t} = \frac{19.95}{9.95} \Rightarrow 0.2t = 2.005 \Rightarrow t \approx 10 \, s$.

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ होती है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{75 - 65}{2} = k \left( \frac{75 + 65}{2} - 30 \right) \implies 5 = k(70 - 30) \implies 5 = 40k \implies k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \, \text{min}^{-1}$.
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{55 - 45}{t} = k \left( \frac{55 + 45}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = k(50 - 30) \implies \frac{10}{t} = 20k$.
$k = \frac{1}{8}$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $\frac{10}{t} = 20 \times \frac{1}{8} \implies \frac{10}{t} = 2.5 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \, \text{min}$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर द्रव के औसत तापमान और परिवेश के तापमान $T_0$ के अंतर के समानुपाती होती है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$\frac{95 - 90}{30} = K \left( \frac{95 + 90}{2} - T_0 \right)$
$\frac{5}{30} = K (92.5 - T_0) \implies \frac{1}{6} = K (92.5 - T_0) \quad ---(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$\frac{55 - 50}{70} = K \left( \frac{55 + 50}{2} - T_0 \right)$
$\frac{5}{70} = K (52.5 - T_0) \implies \frac{1}{14} = K (52.5 - T_0) \quad ---(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1/6}{1/14} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0}$
$\frac{14}{6} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0} \implies \frac{7}{3} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0}$
$7(52.5 - T_0) = 3(92.5 - T_0)$
$367.5 - 7T_0 = 277.5 - 3T_0$
$367.5 - 277.5 = 4T_0$
$90 = 4T_0$
$T_0 = 22.5^{\circ}C$

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A}{ms} (\theta - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $m = \rho V$,इसलिए $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{V}$ होता है।
$a$ भुजा वाले घन के लिए,$A = 6a^2$ और $V = a^3$,इसलिए $\frac{A}{V} = \frac{6}{a}$।
$2a$ भुजा वाले घन के लिए,$A' = 6(2a)^2 = 24a^2$ और $V' = (2a)^3 = 8a^3$,इसलिए $\frac{A'}{V'} = \frac{24}{8a} = \frac{3}{a}$।
दरों की तुलना करने पर: $\frac{(d\theta/dt)'}{(d\theta/dt)} = \frac{A'/V'}{A/V} = \frac{3/a}{6/a} = \frac{1}{2}$।
चूंकि तापमान सीमा $(\theta_1 - \theta_2)$ समान है,इसलिए शीतलन की दर लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{1/t'}{1/t} = \frac{1}{2}$।
अतः,$t' = 2t$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापांतर के सीधे आनुपातिक होती है: $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$.
पहले अंतराल में,तापमान $100^{\circ}C$ से $80^{\circ}C$ तक गिरता है। इस अंतराल के दौरान पानी और परिवेश के बीच का औसत तापांतर अधिक होता है।
दूसरे अंतराल में,तापमान $80^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$ तक गिरता है। इस अंतराल के दौरान पानी और परिवेश के बीच का औसत तापांतर कम होता है।
चूंकि तापांतर अधिक होने पर शीतलन की दर अधिक होती है,इसलिए समान तापमान गिरावट $(20^{\circ}C)$ के लिए पहले अंतराल में लिया गया समय कम होगा।
अतः,$T_1 < T_2$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
जैसे-जैसे पानी का तापमान कम होता है,पानी और परिवेश के बीच का तापमान अंतर $(T - T_s)$ कम होता जाता है।
चूंकि शीतलन की दर $(-\frac{dT}{dt})$ इस अंतर के आनुपातिक है,इसलिए समय के साथ शीतलन की दर कम हो जाती है।
अतः,समान मात्रा में ऊष्मा खोने के लिए ($5^{\circ}C$ की गिरावट),जैसे-जैसे तापमान परिवेश के तापमान के करीब पहुंचता है,अधिक समय की आवश्यकता होती है।
इस प्रकार,$T_1 < T_2 < T_3$।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt}$ सतह के क्षेत्रफल और तापमान के अंतर पर निर्भर करती है। चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ और समान त्रिज्या के हैं,इसलिए उनका सतह का क्षेत्रफल समान है,अतः $\frac{dQ}{dt}$ दोनों के लिए समान होगा।
हम जानते हैं कि $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\frac{dT}{dt}$ शीतलन की दर है।
इसलिए,$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \cdot \frac{dQ}{dt}$.
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $c$ स्थिर है। खोखले गोले का द्रव्यमान $(m)$ ठोस गोले की तुलना में कम होता है,इसलिए खोखले गोले के लिए शीतलन की दर $\frac{dT}{dt}$ अधिक होगी।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के औसत तापमान और वातावरण के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{d\theta}{dt} = k \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_s \right)$.
प्रथम अंतराल के लिए ($80^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$,$60 \, sec$ में):
$\frac{80 - 60}{60} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies \frac{20}{60} = k(70 - 30) \implies \frac{1}{3} = k(40) \implies k = \frac{1}{120} \, sec^{-1}$.
द्वितीय अंतराल के लिए ($60^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$,$t \, sec$ में):
$\frac{60 - 50}{t} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = k(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = k(25)$.
$k = \frac{1}{120}$ रखने पर:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{120} \times 25 \implies \frac{10}{t} = \frac{25}{120} \implies \frac{10}{t} = \frac{5}{24}$.
$5t = 240 \implies t = 48 \, sec$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $50 \, sec$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर: $\frac{d\theta}{dt} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_s \right)$,जहाँ $\theta_s$ वातावरण का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए ($60^oC$ से $50^oC$,$10 \, min$ में):
$\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - \theta_s \right)$
$1 = K(55 - \theta_s) \quad \dots(i)$
दूसरे अंतराल के लिए ($50^oC$ से $42^oC$,$10 \, min$ में):
$\frac{50 - 42}{10} = K \left( \frac{50 + 42}{2} - \theta_s \right)$
$0.8 = K(46 - \theta_s) \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_s}{46 - \theta_s}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_s}{46 - \theta_s}$
$1.25(46 - \theta_s) = 55 - \theta_s$
$57.5 - 1.25\theta_s = 55 - \theta_s$
$2.5 = 0.25\theta_s$
$\theta_s = 10^oC$.

(A) माना परिवेश का तापमान $T_s$ है।
$Newton$ के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर है:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
पहले $5$ मिनट के लिए:
$T_1 = 70^\circ C, T_2 = 60^\circ C, t = 5$ मिनट।
$\frac{70 - 60}{5} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - T_s \right)$
$2 = K(65 - T_s)$ --- $(i)$
अगले $5$ मिनट के लिए:
$T_1 = 60^\circ C, T_2 = 54^\circ C, t = 5$ मिनट।
$\frac{60 - 54}{5} = K \left( \frac{60 + 54}{2} - T_s \right)$
$1.2 = K(57 - T_s)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{1.2} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$\frac{5}{3} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$5(57 - T_s) = 3(65 - T_s)$
$285 - 5T_s = 195 - 3T_s$
$2T_s = 90$
$T_s = 45^\circ C$

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर पिंड और परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
पहले $10$ मिनट के अंतराल के लिए:
$T_1 = 3T, T_2 = 2T, T_s = T, t = 10$
$\frac{3T - 2T}{10} = K \left( \frac{3T + 2T}{2} - T \right)$
$\frac{T}{10} = K \left( 2.5T - T \right) = K(1.5T) \implies K = \frac{1}{15} \dots (i)$
अगले $10$ मिनट के अंतराल के लिए:
मान लीजिए अंतिम तापमान $T'$ है।
$T_1 = 2T, T_2 = T', T_s = T, t = 10$
$\frac{2T - T'}{10} = K \left( \frac{2T + T'}{2} - T \right)$
$\frac{2T - T'}{10} = K \left( \frac{T'}{2} \right) \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ में $K = \frac{1}{15}$ रखने पर:
$\frac{2T - T'}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{T'}{2} \right)$
$\frac{2T - T'}{10} = \frac{T'}{30}$
$3(2T - T') = T'$
$6T - 3T' = T'$
$6T = 4T' \implies T' = \frac{6}{4}T = \frac{3}{2}T$

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है,अर्थात $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$।
मित्र $A$ के मामले में,ठंडा दूध तुरंत मिला दिया जाता है। इससे चाय के मिश्रण का प्रारंभिक तापमान कम हो जाता है। चूंकि मिश्रण और परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम है,इसलिए ऊष्मा हानि की दर कम होती है।
मित्र $B$ के मामले में,ठंडा दूध मिलाने से पहले चाय लंबे समय तक उच्च तापमान पर रहती है। गर्म चाय और परिवेश के बीच तापमान का अंतर अधिक होने के कारण,ऊष्मा हानि की दर अधिक होती है।
इसलिए,जब मित्र आता है तो मित्र $A$ के कप में चाय अधिक गर्म रहेगी।

(C) ठंडा होने की दर $R_C$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R_C = \frac{dQ}{dt} \cdot \frac{1}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$.
चूंकि $m = \rho V$,जहां $\rho$ घनत्व है और $V$ आयतन है,इसलिए $R_C = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{V \rho c}$.
एक गोले के लिए,$A = 4 \pi r^2$ और $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,इसलिए $\frac{A}{V} = \frac{3}{r}$.
अतः,$R_C \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{\text{व्यास}}$.
यह दिया गया है कि $A$ का व्यास $B$ के व्यास का आधा है $(D_A = \frac{1}{2} D_B)$,इसलिए $A$ के ठंडा होने की दर $B$ की तुलना में दोगुनी होगी $(R_{C,A} = 2 R_{C,B})$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_{avg}$ पिंड का औसत तापमान है और $\theta_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{62 - 61}{T} = K \left( \frac{62 + 61}{2} - 30 \right) \implies \frac{1}{T} = K(61.5 - 30) = K(31.5)$ ...$(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,$T'$ समय में $46^{\circ}C$ से $45^{\circ}C$ तक ठंडा होने के लिए: $\frac{46 - 45}{T'} = K \left( \frac{46 + 45}{2} - 30 \right) \implies \frac{1}{T'} = K(45.5 - 30) = K(15.5)$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,चूंकि $31.5 > 15.5$,शीतलन की दर पहली स्थिति में अधिक है। इसलिए,दूसरी स्थिति के लिए लगा समय $T'$,$T$ से अधिक होना चाहिए।

(C) शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{kA(T - T_0)}{mc}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और सतह का क्षेत्रफल $A$ दोनों के लिए समान है,इसलिए शीतलन की दर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\text{Rate of cooling} \propto \frac{1}{c}$.
यह दिया गया है कि $c_{\text{oil}} < c_{\text{water}}$,इसलिए $(\text{Rate of cooling})_{\text{oil}} > (\text{Rate of cooling})_{\text{water}}$ होगा।
इसका अर्थ है कि तेल पानी की तुलना में तेजी से ठंडा होता है।
इसलिए,किसी भी समय $t > 0$ पर,तेल का तापमान पानी के तापमान से कम होगा।
ग्राफ को देखने पर,वक्र $B$ वक्र $A$ की तुलना में तापमान में तेजी से गिरावट दर्शाता है।
अतः,वक्र $B$ तेल के शीतलन वक्र को दर्शाता है और वक्र $A$ पानी के शीतलन वक्र को दर्शाता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_{surr})$ है。
जब तापमान $50^{\circ}C$ पर स्थिर होता है, तो दी गई ऊष्मा, खोई गई ऊष्मा के बराबर होती है: $10 = k(50 - 20) = 30k$. अतः, $k = \frac{1}{3} \ W/^{\circ}C$.
जब हीटर बंद कर दिया जाता है, तो निकाय ठंडा हो जाता है। शीतलन अंतराल के दौरान औसत तापमान $T_{avg} = \frac{35.1 + 34.9}{2} = 35^{\circ}C$ है。
इस औसत तापमान पर ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = k(T_{avg} - T_{surr}) = \frac{1}{3}(35 - 20) = \frac{15}{3} = 5 \ J/s$ है。
$1 \ \text{मिनट}$ $(60 \ \text{सेकंड})$ में, कुल खोई गई ऊष्मा $Q = 5 \ J/s \times 60 \ s = 300 \ J$ है。
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 35.1^{\circ}C - 34.9^{\circ}C = 0.2^{\circ}C$ है。
ऊष्मा धारिता $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{300 \ J}{0.2^{\circ}C} = 1500 \ J/^{\circ}C$ प्राप्त होती है。

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
$CASE-1$: वस्तु $60^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$ तक $4 \text{ min}$ में ठंडी होती है। औसत तापमान $\frac{60+50}{2} = 55^{\circ}C$ है।
$\frac{60-50}{4} = k(55 - T_s) \Rightarrow 2.5 = k(55 - T_s)$ $(1)$
$CASE-2$: वस्तु $40^{\circ}C$ से $30^{\circ}C$ तक $8 \text{ min}$ में ठंडी होती है। औसत तापमान $\frac{40+30}{2} = 35^{\circ}C$ है।
$\frac{40-30}{8} = k(35 - T_s) \Rightarrow 1.25 = k(35 - T_s)$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2.5}{1.25} = \frac{55 - T_s}{35 - T_s}$
$2 = \frac{55 - T_s}{35 - T_s}$
$70 - 2T_s = 55 - T_s$
$T_s = 15^{\circ}C$
अतः,परिवेश का तापमान $15^{\circ}C$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
समाकलन के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (ऋणात्मक ढाल),और $c$ अंतःखंड है। यह एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को दर्शाता है। इसलिए,सही ग्राफ नीचे की ओर झुकती हुई एक सीधी रेखा है।

(C) न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है,अर्थात $\frac{dT}{dt} = -k(T - \theta_0)$।
यह अवकल समीकरण एक चरघातांकीय क्षय (exponential decay) समाधान की ओर ले जाता है,जिसका रूप $T(t) = \theta_0 + (\theta - \theta_0)e^{-kt}$ है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,तापमान $T$ चरघातांकीय रूप से घटता है और अनंत पर परिवेश के तापमान $\theta_0$ के करीब पहुंच जाता है।
ग्राफ $C$ इस चरघातांकीय क्षय वक्र को सही ढंग से दर्शाता है,जहाँ तापमान $\theta$ से शुरू होता है और $t \to \infty$ होने पर $\theta_0$ तक पहुंच जाता है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left( \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right)$
$Case-I$: $10$ मिनट में $62^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$ तक ठंडा होना,जहाँ परिवेश का तापमान $\theta_{s} = 26^{\circ}C$ है।
$\frac{62-50}{10} = K \left( \frac{62+50}{2} - 26 \right)$
$\frac{12}{10} = K (56 - 26)$
$1.2 = K \times 30$
$K = \frac{1.2}{30} = 0.04$
$Case-II$: अगले $10$ मिनट में $50^{\circ}C$ से $\theta_{2}$ तक ठंडा होना।
$\frac{50-\theta_{2}}{10} = K \left( \frac{50+\theta_{2}}{2} - 26 \right)$
$\frac{50-\theta_{2}}{10} = 0.04 \left( \frac{50+\theta_{2}-52}{2} \right)$
$50 - \theta_{2} = 0.4 \left( \frac{\theta_{2}-2}{2} \right)$
$50 - \theta_{2} = 0.2 (\theta_{2} - 2)$
$50 - \theta_{2} = 0.2\theta_{2} - 0.4$
$1.2\theta_{2} = 50.4$
$\theta_{2} = \frac{50.4}{1.2} = 42^{\circ}C$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर वस्तु और उसके वातावरण के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $P = K(T - T_s)$,जहाँ $K$ एक स्थिरांक है,$T$ वस्तु का तापमान है और $T_s$ वातावरण का तापमान है।
प्रथम स्थिति में,वस्तु का तापमान $T_1 = 50^{\circ} C$ है और वातावरण का तापमान $T_s = 20^{\circ} C$ है। स्थिर अवस्था बनाए रखने के लिए हीटर $P_1 = 100 \ W$ शक्ति प्रदान करता है।
$100 = K(50 - 20)$
$100 = K \times 30$
$K = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \ W/^{\circ} C$
दूसरी स्थिति में,वस्तु का तापमान $T_2 = 35^{\circ} C$ है और वातावरण का तापमान $T_s = 20^{\circ} C$ है। मान लीजिए कि आवश्यक शक्ति $P_2$ है।
$P_2 = K(35 - 20)$
$P_2 = K \times 15$
$K$ का मान रखने पर:
$P_2 = \left(\frac{100}{30}\right) \times 15$
$P_2 = \frac{100}{2} = 50 \ W$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर द्रव के औसत तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$
प्रथम अंतराल के लिए ($5$ मिनट में $50^{\circ}C$ से $45^{\circ}C$):
$\frac{50 - 45}{5} = K \left( \frac{50 + 45}{2} - \theta_0 \right) \implies 1 = K (47.5 - \theta_0) \quad ...(i)$
द्वितीय अंतराल के लिए ($5$ मिनट में $45^{\circ}C$ से $41.5^{\circ}C$):
$\frac{45 - 41.5}{5} = K \left( \frac{45 + 41.5}{2} - \theta_0 \right) \implies 0.7 = K (43.25 - \theta_0) \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.7} = \frac{47.5 - \theta_0}{43.25 - \theta_0}$
$43.25 - \theta_0 = 0.7(47.5 - \theta_0)$
$43.25 - \theta_0 = 33.25 - 0.7\theta_0$
$0.3\theta_0 = 10$
$\theta_0 = \frac{10}{0.3} = 33.3^{\circ}C$

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $(T - T_s) = \Delta T$ तापमान का अंतर है।
दिया गया है कि शीतलन की प्रारंभिक दर $R = k \Delta T_0$ है,जिससे हम दर स्थिरांक $k = \frac{R}{\Delta T_0}$ प्राप्त कर सकते हैं।
किसी भी समय $t$ पर तापमान का अंतर $\Delta T(t) = \Delta T_0 e^{-kt}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $\Delta T(t) = \frac{\Delta T_0}{2}$ हो जाए।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta T_0}{2} = \Delta T_0 e^{-kt}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{2} = e^{-kt}$,या $2 = e^{kt}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(2) = kt$।
अतः,$t = \frac{\ln(2)}{k}$।
$k = \frac{R}{\Delta T_0}$ रखने पर,हमें $t = \frac{\ln(2) \Delta T_0}{R}$ प्राप्त होता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = \sigma A (T - T_0)$ है,जहाँ $\sigma$ सतह की प्रकृति से संबंधित एक स्थिरांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है और $(T - T_0)$ तापमान का अंतर है।
चूंकि $dQ = mc \cdot dT$,हमारे पास $mc \frac{dT}{dt} = -\sigma A (T - T_0)$ है।
शीतलन की दर $\frac{-dT}{dt} = \frac{\sigma A}{mc} (T - T_0)$ है।
गोले के लिए मान रखने पर: $A = 4 \pi r^2$ और $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$।
अतः,$\frac{-dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} (T - T_0)$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{-dT}{dt} \propto \frac{1}{\rho r c}$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{dQ/dt}{mc} = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{\rho V c}$ है,इसलिए निश्चित आयतन $V$ के लिए शीतलन की दर सतह के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक होती है।
समान आयतन वाले गोले,घन और डिस्क में से,गोले का सतह क्षेत्रफल सबसे कम होता है।
इसलिए,गोले की शीतलन दर सबसे कम होगी।

(C) स्टीफन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर (तापमान गिरने की दर) $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A (T^4 - T_0^4)}{MS}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ और $A = 4 \pi R^2$ है,इसलिए $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{MS} = \frac{4 \pi R^2}{(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) S} = \frac{3}{R \rho S}$ होता है।
अतः,तापमान गिरने की दरों का अनुपात $\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{R_2 \rho_2 S_2}{R_1 \rho_1 S_1}$ प्राप्त होता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{80 - 60}{1} = K \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right)$.
$20 = K(70 - 30) = 40K \implies K = \frac{20}{40} = 0.5 \text{ min}^{-1}$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{t} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right)$.
$\frac{10}{t} = 0.5 (55 - 30) = 0.5 \times 25 = 12.5$.
$t = \frac{10}{12.5} = 0.8 \text{ मिनट}$.
चूंकि $1 \text{ मिनट} = 60 \text{ सेकंड}$,$t = 0.8 \times 60 = 48 \text{ सेकंड}$।

(A) शीतलन की दर $R = \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{ms}$ होती है।
चूँकि $m = \rho V$,इसलिए $R = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{\rho V s}$।
समान पदार्थ के लिए,$e, \sigma, \rho, s$ नियत हैं। समान पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ और तापमान $T$ के लिए,$R \propto \frac{1}{V}$।
गोले के लिए,$A = 4\pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}$। आयतन $V_s = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}$।
घन के लिए,$A = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac{A}{6}}$। आयतन $V_c = a^3 = \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{6}}$।
अनुपात $\frac{R_s}{R_c} = \frac{V_c}{V_s} = \frac{A^{3/2} / 6\sqrt{6}}{A^{3/2} / 6\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{\frac{\pi}{6}} : 1$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है,$T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{60 - 40}{10} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 20 \right)$.
$2 = k(50 - 20) = 30k$,इसलिए $k = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
अगले $10$ मिनट के अंतराल के लिए,मान लीजिए कि अंतिम तापमान $T_f$ है।
$\frac{40 - T_f}{10} = k \left( \frac{40 + T_f}{2} - 20 \right)$.
$k = \frac{1}{15}$ रखने पर: $\frac{40 - T_f}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{40 + T_f - 40}{2} \right) = \frac{1}{15} \left( \frac{T_f}{2} \right) = \frac{T_f}{30}$.
$30$ से गुणा करने पर: $3(40 - T_f) = T_f$.
$120 - 3T_f = T_f \implies 4T_f = 120 \implies T_f = 30\,^{\circ}\text{C}$.

(B) किसी पिंड के ठंडे होने की दर का सूत्र है:
$R = \frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए उत्सर्जकता $\epsilon$,विशिष्ट ऊष्मा $c$ और घनत्व $\rho$ स्थिर हैं।
$R \propto \frac{A}{m} = \frac{A}{\rho V} \propto \frac{A}{V}$
यह दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए ठंडे होने की दर $R$ आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(R \propto \frac{1}{V})$।
समान पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए,सभी ज्यामितीय आकृतियों में गोले का आयतन अधिकतम होता है।
इसलिए,$V_{\text{sphere}} > V_{\text{cube}}$।
चूंकि $R \propto \frac{1}{V}$,इसलिए $R_{\text{cube}} > R_{\text{sphere}}$ प्राप्त होता है।
अतः,घन गोले की तुलना में तेजी से ठंडा होता है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A_{surf}}{ms} (\theta^4 - \theta_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
तापमान के छोटे अंतर के लिए,यह समीकरण $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{ms}(\theta - \theta_0)$ में सरल हो जाता है।
चूंकि डिस्क का द्रव्यमान $m$ समान है,सतह का क्षेत्रफल $A_{surf}$ समान है और वे समान परिस्थितियों में हैं,इसलिए दिए गए तापमान अंतर $(\theta - \theta_0)$ के लिए शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt}$ विशिष्ट ऊष्मा $s$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
ग्राफ से,रेखा का ढलान $\frac{d\theta/dt}{\theta - \theta_0} \propto \frac{1}{s}$ को दर्शाता है।
चूंकि रेखा $A$ का ढलान रेखा $B$ के ढलान से अधिक है,इसलिए $A$ की विशिष्ट ऊष्मा $B$ की विशिष्ट ऊष्मा से कम होनी चाहिए।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{-d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\log_e(\theta - \theta_0) = -kt + C$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log_e(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (ऋणात्मक ढाल),और $c$ अंतःखंड है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ नीचे की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा है। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(C) ठंडे होने की दर $R_F = \frac{d\theta}{dt}$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार $R_F \propto \frac{1}{ms}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूँकि गोलों की त्रिज्या समान है,उनके आयतन $V$ समान हैं। द्रव्यमान $m = \rho V$,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
अतः,$R_F \propto \frac{1}{(\rho V)s} \propto \frac{1}{\rho s}$।
हमें प्रत्येक गोले के लिए $\rho s$ का गुणनफल ज्ञात करना होगा:
$A$ के लिए: $\rho s = 6 \times 2 = 12$
$B$ के लिए: $\rho s = 3 \times 5 = 15$
$C$ के लिए: $\rho s = 4 \times 4 = 16$
$D$ के लिए: $\rho s = 5 \times 6 = 30$
ठंडे होने की दर तब सबसे धीमी होती है जब गुणनफल $\rho s$ अधिकतम होता है।
$12, 15, 16, 30$ मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $30$ है,जो गोले $D$ के अनुरूप है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{80 - 60}{1} = K \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies 20 = K(70 - 30) \implies 20 = 40K \implies K = 0.5\,min^{-1}$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{t} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = 0.5 \times 25 \implies \frac{10}{t} = 12.5$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{10}{12.5} = 0.8\,min$.
सेकंड में बदलने पर: $t = 0.8 \times 60 = 48\,sec$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,किसी पिंड के ऊष्मा खोने की दर $(dQ/dt)$ पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते तापमान का अंतर कम हो।
गणितीय रूप से,$-dT/dt = k(T - T_0)$,जहाँ $T$ पिंड का तापमान है,$T_0$ परिवेश का तापमान है,और $k$ एक स्थिरांक है।
इस अवकल समीकरण का समाकलन करने पर $T(t) = T_0 + (T_{initial} - T_0)e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक घातीय क्षय वक्र का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ समय $t$ बढ़ने पर तापमान $T$ परिवेश के तापमान $T_0$ के करीब पहुँचता है।
इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया वक्र इस शीतलन प्रक्रिया को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार: $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left( \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{0} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\theta_{1} = 80\,^{\circ}C$,$\theta_{2} = 70\,^{\circ}C$,$t = 2\, \text{min} = 120\, \text{s}$,और $\theta_{0} = 30\,^{\circ}C$.
$\frac{80-70}{120} = K \left( \frac{80+70}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{10}{120} = K(75 - 30) \Rightarrow \frac{1}{12} = 45K \Rightarrow K = \frac{1}{540}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\theta_{1} = 60\,^{\circ}C$,$\theta_{2} = 50\,^{\circ}C$,और $\theta_{0} = 30\,^{\circ}C$.
$\frac{60-50}{t} = K \left( \frac{60+50}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{540} (55 - 30) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{25}{540}$.
$t = \frac{10 \times 540}{25} = \frac{5400}{25} = 216\, \text{s}$.

(A) $Newton$ के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$ होती है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30} \dots (i)$.
दूसरे अंतराल के लिए, मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta$ है: $\frac{50 - \theta}{10} = K \left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta \approx 42.85 \, ^\circ\text{C} \approx 43 \, ^\circ\text{C}$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,किसी पिंड को $\theta_1$ तापमान से $\theta_2$ तापमान तक ठंडा होने में लगा समय $t$,जहाँ परिवेश का तापमान $\theta_0$ है,$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम अंतराल ($80\,^oC$ से $40\,^oC$) के लिए:
$5 = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{80 - 30}{40 - 30} \right) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{50}{10} \right) = \frac{1}{k} \ln 5$.
अतः,$k = \frac{\ln 5}{5} = \frac{1.609}{5} = 0.3218\,min^{-1}$.
द्वितीय अंतराल ($62\,^oC$ से $32\,^oC$) के लिए:
$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{62 - 30}{32 - 30} \right) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{32}{2} \right) = \frac{1}{k} \ln 16 = \frac{1}{k} \ln(2^4) = \frac{4 \ln 2}{k}$.
मान रखने पर:
$t = \frac{4 \times 0.693}{0.3218} \approx \frac{2.772}{0.3218} \approx 8.61\,minutes$.
अतः,लगा समय $8.6\,minutes$ है।

(B) $Newton$ के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर इस प्रकार है: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$,जहाँ $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
पहले $10$ मिनट के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K \left[ \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right] \implies 1 = K(55 - \theta_0) \dots (i)$
अगले $10$ मिनट के लिए: $\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right] \implies 0.8 = K(46 - \theta_0) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25(46 - \theta_0) = 55 - \theta_0$
$57.5 - 1.25\theta_0 = 55 - \theta_0$
$2.5 = 0.25\theta_0$
$\theta_0 = 10\,^oC$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt}$ वस्तु और परिवेश के बीच के तापमान अंतर पर निर्भर करती है। चूंकि पात्र,परिवेश और तापमान सीमा समान है,इसलिए दोनों स्थितियों में ऊष्मा हानि की दर समान होगी।
माना $m_w = 50\,g$ पानी का द्रव्यमान है,$C_w = 1\,cal/(g \cdot ^oC)$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा है,$m_l = 100\,g$ द्रव का द्रव्यमान है,$C_l$ द्रव की विशिष्ट ऊष्मा है,और $W = 30\,g$ पात्र का जल तुल्यांक है।
कुल ऊष्मा हानि $Q = (mC + W) \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि समय $t$ समान है,ऊष्मा हानि की दर:
$\frac{(m_w C_w + W) \Delta T}{t} = \frac{(m_l C_l + W) \Delta T}{t}$
दोनों पक्षों से $\frac{\Delta T}{t}$ को हटाने पर:
$m_w C_w + W = m_l C_l + W$
$m_w C_w = m_l C_l$
मान रखने पर:
$50 \times 1 = 100 \times C_l$
$C_l = \frac{50}{100} = 0.5\,cal/(g \cdot ^oC) = 0.5\,kcal/(kg \cdot ^oC)$.