Newton's Law of Cooling Questions in Hindi

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर है:
$-ms\frac{dT}{dt} = e\sigma A(T^4 - T_0^4)$
तापमान के छोटे अंतर के लिए,यह समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$-\frac{dT}{dt} = \frac{4e\sigma AT_0^3}{ms}(T - T_0)$
मान लीजिए $k = \frac{4e\sigma AT_0^3}{ms}$. चूंकि $m = \rho V$,इसलिए $k = \frac{4e\sigma AT_0^3}{\rho Vs}$ है।
इस प्रकार,शीतलन की दर $|\frac{dT}{dt}|$ घनत्व और विशिष्ट ऊष्मा के गुणनफल $(\rho s)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$|\frac{dT}{dt}| \propto \frac{1}{\rho s}$
दोनों द्रवों के लिए $(\rho s)$ की गणना करने पर:
$(\rho s)_A = (8 \times 10^2) \times 2000 = 1.6 \times 10^6\, Jm^{-3}K^{-1}$
$(\rho s)_B = 10^3 \times 4000 = 4 \times 10^6\, Jm^{-3}K^{-1}$
चूंकि $(\rho s)_A < (\rho s)_B$,इसलिए द्रव $A$ के ठंडे होने की दर द्रव $B$ से अधिक है $(|\frac{dT}{dt}|_A > |\frac{dT}{dt}|_B)$।
अतः,द्रव $A$ द्रव $B$ की तुलना में तेजी से ठंडा होता है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right)$.
$1 = K(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30K \Rightarrow K = \frac{1}{30}$.
अगले अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta_f$ है। तब $\frac{50 - \theta_f}{10} = K \left( \frac{50 + \theta_f}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - \theta_f}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta_f - 50}{2} \right)$.
$\frac{50 - \theta_f}{10} = \frac{\theta_f}{60}$.
$6(50 - \theta_f) = \theta_f$.
$300 - 6\theta_f = \theta_f$.
$7\theta_f = 300 \Rightarrow \theta_f = \frac{300}{7} \approx 42.85\,^oC$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर $\frac{dQ}{dt} = \sigma e A (T^4 - T_s^4)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों गोलों की बाहरी त्रिज्या $R$ समान है,इसलिए उनका पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान है। अतः,ऊष्मा ह्रास की दर दोनों के लिए समान है।
ठंडा होने की दर (तापमान परिवर्तन की दर) $\frac{dT}{dt} = \frac{dQ/dt}{ms} = \frac{\sigma e A (T^4 - T_s^4)}{ms}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि खोखले गोले का द्रव्यमान कम होता है $(m_{hollow} < m_{solid})$ और दोनों तांबे से बने हैं,इसलिए खोखले गोले के लिए हर (denominator) $ms$ छोटा है।
इसलिए,खोखले गोले के लिए ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt}$ अधिक है। अतः,खोखला गोला तेजी से ठंडा होता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_0 \right)$,जहाँ $T_0$ परिवेश का तापमान है।
पहले $10\,minutes$ के लिए:
$\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - T_0 \right)$
$1 = K(55 - T_0) \quad ...(1)$
अगले $10\,minutes$ के लिए:
$\frac{50 - 42}{10} = K \left( \frac{50 + 42}{2} - T_0 \right)$
$0.8 = K(46 - T_0) \quad ...(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.8}{1} = \frac{46 - T_0}{55 - T_0}$
$44 - 0.8 T_0 = 46 - T_0$
$0.2 T_0 = 2 \Rightarrow T_0 = 10^{\circ}C$.

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t}=K\left[\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}-\theta_{0}\right]$
पहले अंतराल के लिए ($70\,^{\circ}C$ से $60\,^{\circ}C$,$10\, minutes$ में):
$\frac{70-60}{10}=K\left[\frac{70+60}{2}-\theta_{0}\right] \implies 1 = K(65 - \theta_{0}) \ldots (i)$
दूसरे अंतराल के लिए ($60\,^{\circ}C$ से $54\,^{\circ}C$,$10\, minutes$ में):
$\frac{60-54}{10}=K\left[\frac{60+54}{2}-\theta_{0}\right] \implies 0.6 = K(57 - \theta_{0}) \ldots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.6} = \frac{65 - \theta_{0}}{57 - \theta_{0}}$
$\frac{10}{6} = \frac{65 - \theta_{0}}{57 - \theta_{0}} \implies \frac{5}{3} = \frac{65 - \theta_{0}}{57 - \theta_{0}}$
$5(57 - \theta_{0}) = 3(65 - \theta_{0})$
$285 - 5\theta_{0} = 195 - 3\theta_{0}$
$2\theta_{0} = 90 \implies \theta_{0} = 45\,^{\circ}C$.

(B) जब कोई वस्तु विकिरण द्वारा ठंडी होती है,तो शीतलन की दर $R$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$R = -\frac{d\theta}{dt} = \frac{eA\sigma}{ms}(\theta^4 - \theta_0^4)$
छोटे तापमान अंतर $(\theta - \theta_0)$ के लिए,यह समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$R \approx \frac{4eA\sigma\theta_0^3}{ms}(\theta - \theta_0)$
चूंकि डिस्क की त्रिज्या समान है और उन्हें काला किया गया है,इसलिए उनका सतह क्षेत्रफल $A$ और उत्सर्जकता $e$ समान है। चूंकि उन्हें समान परिस्थितियों में ठंडा किया जा रहा है,इसलिए आसपास का तापमान $\theta_0$ भी समान है। इस प्रकार,शीतलन की दर $R$ पदार्थ के द्रव्यमान $m$ और विशिष्ट ऊष्मा $s$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$R \propto \frac{1}{ms}$
यदि हम मान लें कि डिस्क का द्रव्यमान समान है,तो $R \propto \frac{1}{s}$।
दिए गए ग्राफ से,रेखा का ढलान एक निश्चित तापमान अंतर के लिए शीतलन की दर को दर्शाता है। रेखा $A$ का ढलान रेखा $B$ के ढलान से अधिक है,जिसका अर्थ है कि डिस्क $A$ के लिए शीतलन की दर डिस्क $B$ की तुलना में अधिक है।
चूंकि $R_A > R_B$,इसलिए $s_A < s_B$ होगा। अतः,$A$ की विशिष्ट ऊष्मा $B$ की विशिष्ट ऊष्मा से कम है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{T_1 - T_2}{t} = k \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_0 \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_0$ परिवेश का तापमान है।
पहले $10\, min$ के अंतराल के लिए:
$\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - T_0 \right) \implies 1 = k(55 - T_0)$ --- (समीकरण $1$)
अगले $10\, min$ के अंतराल के लिए:
$\frac{50 - 42}{10} = k \left( \frac{50 + 42}{2} - T_0 \right) \implies 0.8 = k(46 - T_0)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - T_0}{46 - T_0}$
$1.25 = \frac{55 - T_0}{46 - T_0}$
$1.25(46 - T_0) = 55 - T_0$
$57.5 - 1.25 T_0 = 55 - T_0$
$2.5 = 0.25 T_0$
$T_0 = 10^{\circ}C$.

(B) माना परिवेश का तापमान $\theta_{0}$ है।
न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर पिंड के तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - \theta_{0})$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{62-50}{10} = K\left(\frac{62+50}{2} - \theta_{0}\right) \implies 1.2 = K(56 - \theta_{0})$ ... $(i)$.
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{50-42}{10} = K\left(\frac{50+42}{2} - \theta_{0}\right) \implies 0.8 = K(46 - \theta_{0})$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - \theta_{0}}{46 - \theta_{0}}$
$\frac{3}{2} = \frac{56 - \theta_{0}}{46 - \theta_{0}}$
$3(46 - \theta_{0}) = 2(56 - \theta_{0})$
$138 - 3\theta_{0} = 112 - 2\theta_{0}$
$138 - 112 = 3\theta_{0} - 2\theta_{0}$
$\theta_{0} = 26^{\circ}C$.

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - \theta_0)$
जहाँ $K$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\theta-t$ वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,स्पर्शरेखा द्वारा धनात्मक $t$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $(180^\circ - \alpha)$ है।
अतः,ढाल $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ है।
बिंदु $A$ $(\theta = \theta_1)$ पर:
$-\tan \alpha_1 = -K(\theta_1 - \theta_0) \implies \tan \alpha_1 = K(\theta_1 - \theta_0)$
बिंदु $B$ $(\theta = \theta_2)$ पर:
$-\tan \alpha_2 = -K(\theta_2 - \theta_0) \implies \tan \alpha_2 = K(\theta_2 - \theta_0)$
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2} = \frac{K(\theta_1 - \theta_0)}{K(\theta_2 - \theta_0)} = \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}$

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
प्रथम अंतराल के लिए ($80^{\circ}C$ से $70^{\circ}C$):
$\frac{80 - 70}{12} = K \left( \frac{80 + 70}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{12} = K (75 - 25) = 50K \implies K = \frac{10}{12 \times 50} = \frac{1}{60} \ldots(1)$
द्वितीय अंतराल के लिए ($70^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$):
$\frac{70 - 60}{t} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{t} = K (65 - 25) = 40K \ldots(2)$
समीकरण $(2)$ में $K = \frac{1}{60}$ रखने पर:
$\frac{10}{t} = 40 \times \frac{1}{60} = \frac{2}{3}$
$t = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \text{ मिनट}$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T - T_s)$।
प्रथम स्थिति के लिए:
औसत तापमान $T_{avg1} = \frac{94 + 86}{2} = 90\,^{\circ}C$।
तापमान का अंतर $\Delta T_1 = 90 - 20 = 70\,^{\circ}C$।
शीतलन की दर $\frac{dT_1}{dt_1} = \frac{94 - 86}{2} = 4\,^{\circ}C/min$।
अतः,$4 = K(70) \implies K = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}$।
द्वितीय स्थिति के लिए:
औसत तापमान $T_{avg2} = \frac{71 + 69}{2} = 70\,^{\circ}C$।
तापमान का अंतर $\Delta T_2 = 70 - 20 = 50\,^{\circ}C$।
शीतलन की दर $\frac{dT_2}{dt_2} = \frac{71 - 69}{t} = \frac{2}{t}$।
नियम का उपयोग करने पर: $\frac{2}{t} = K(50)$।
$K = \frac{2}{35}$ रखने पर:
$\frac{2}{t} = \frac{2}{35} \times 50 = \frac{100}{35} = \frac{20}{7}$।
$t = \frac{2 \times 7}{20} = 0.7\,min$।
सेकंड में बदलने पर: $0.7 \times 60 = 42\,s$।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है:
$-\frac{dT}{dt} = K(T - T_0)$
इसका समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln\left(\frac{T_1 - T_0}{T_2 - T_0}\right) = K \cdot t$.
प्रथम स्थिति के लिए:
$T_1 = 80\,^{\circ} C$,$T_2 = 50\,^{\circ} C$,$T_0 = 20\,^{\circ} C$,$t = 5\, min$.
$\ln\left(\frac{80 - 20}{50 - 20}\right) = K \cdot 5$
$\ln\left(\frac{60}{30}\right) = 5K \implies \ln(2) = 5K \implies K = \frac{\ln(2)}{5}$.
द्वितीय स्थिति के लिए:
$T_1 = 60\,^{\circ} C$,$T_2 = 30\,^{\circ} C$,$T_0 = 20\,^{\circ} C$,$t = ?$
$\ln\left(\frac{60 - 20}{30 - 20}\right) = K \cdot t$
$\ln\left(\frac{40}{10}\right) = K \cdot t$
$\ln(4) = K \cdot t$
चूंकि $\ln(4) = 2 \ln(2)$:
$2 \ln(2) = \left(\frac{\ln(2)}{5}\right) \cdot t$
$2 = \frac{t}{5} \implies t = 10\, min$.

(N/A) $1$. एक कैलोरीमीटर में लगभग $300 \ ml$ पानी लें,जिसमें एक स्टिरर (हिलाने वाला उपकरण) हो और इसे दो छिद्रों वाले ढक्कन से ढक दें।
$2$. ढक्कन के एक छिद्र से थर्मामीटर डालें,यह सुनिश्चित करते हुए कि थर्मामीटर का बल्ब पानी में पूरी तरह डूबा हुआ है। थर्मामीटर का पाठ्यांक नोट करें। यह पाठ्यांक $T_{1}$ परिवेश का तापमान है।
$3$. कैलोरीमीटर में रखे पानी को कमरे के तापमान (परिवेश के तापमान) से लगभग $40^{\circ} C$ अधिक तापमान तक गर्म करें।
$4$. ऊष्मा स्रोत को हटाकर पानी को गर्म करना बंद कर दें।
$5$. स्टॉपवॉच शुरू करें और स्टिरर से धीरे-धीरे हिलाते हुए निश्चित समय अंतराल (जैसे हर एक मिनट) पर थर्मामीटर का पाठ्यांक नोट करें।
$6$. पानी का तापमान $(T_{2})$ तब तक नोट करना जारी रखें जब तक कि यह परिवेश के तापमान से लगभग $5^{\circ} C$ अधिक न हो जाए।
$7$. $y$-अक्ष पर तापमान अंतर $\Delta T = T_{2} - T_{1}$ और $x$-अक्ष पर संबंधित समय $t$ लेकर एक ग्राफ बनाएं।
$8$. ग्राफ से आप देखेंगे कि शुरुआत में ठंडा होने की दर अधिक होती है और जैसे-जैसे पिंड का तापमान परिवेश के तापमान के करीब आता है,यह दर कम होती जाती है। यह पुष्टि करता है कि ऊष्मा के ह्रास की दर पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर पर निर्भर करती है।

(N/A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,किसी वस्तु द्वारा ऊष्मा खोने की दर,$-\frac{dQ}{dt}$,वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापांतर $\Delta T = (T - T_s)$ के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते यह अंतर छोटा हो।
गणितीय रूप से,$-\frac{dQ}{dt} = k(T - T_s) \dots (1)$
जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है जो वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल और प्रकृति पर निर्भर करता है।
यदि $m$ द्रव्यमान और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता वाली वस्तु $T$ तापमान पर है,तो तापमान में छोटे परिवर्तन $dT$ के लिए खोई गई ऊष्मा $dQ = ms dT$ होगी।
अतः,ऊष्मा खोने की दर $\frac{dQ}{dt} = ms \frac{dT}{dt} \dots (2)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$-ms \frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$
$\frac{dT}{T - T_s} = -\frac{k}{ms} dt$
माना $K = \frac{k}{ms}$,तो $\frac{dT}{T - T_s} = -K dt$ होगा।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dT}{T - T_s} = -\int K dt$
$\ln(T - T_s) = -Kt + C$
$T - T_s = e^{-Kt + C} = C' e^{-Kt}$
$T(t) = T_s + C' e^{-Kt}$
यह समीकरण दर्शाता है कि वस्तु का तापमान किस प्रकार चरघातांकीय रूप से परिवेश के तापमान $T_s$ की ओर घटता है।

(N/A) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
इसे सत्यापित करने के लिए,एक प्रयोगात्मक सेटअप का उपयोग किया जाता है जिसमें एक दोहरी दीवार वाला बर्तन $(V)$ होता है,जिसकी दो दीवारों के बीच पानी भरा होता है ताकि परिवेश का तापमान स्थिर रहे।
गर्म पानी से भरा एक तांबे का कैलोरीमीटर $(C)$ दोहरी दीवार वाले बर्तन के अंदर रखा जाता है। कैलोरीमीटर को दो छिद्रों वाले कॉर्क से कसकर बंद कर दिया जाता है।
कैलोरीमीटर में पानी का तापमान $T_{2}$ और दोहरी दीवार वाले बर्तन में पानी का तापमान $T_{1}$ मापने के लिए कॉर्क के माध्यम से दो थर्मामीटर डाले जाते हैं।
कैलोरीमीटर में गर्म पानी का तापमान समान समयांतराल पर नोट किया जाता है। $\log_{e}(T_{2} - T_{1})$ और समय $(t)$ के बीच एक ग्राफ खींचा जाता है।
ग्राफ की प्रकृति एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा के रूप में देखी जाती है,जो $\log_{e}(T_{2} - T_{1}) = -Kt + C$ संबंध की पुष्टि करती है,जो रैखिक समीकरण $y = -mx + c$ के समान है।

(N/A) समय के साथ गर्म पानी का ठंडा होना न्यूटन के शीतलन के नियम (Newton's Law of Cooling) द्वारा नियंत्रित होता है,जो बताता है कि ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,गर्म पानी का तापमान $T$ कम होता जाता है।
तापमान $T$ ($y$-अक्ष पर) बनाम समय $t$ ($x$-अक्ष पर) का ग्राफ एक नीचे की ओर झुकने वाला वक्र है जो परिवेश के तापमान के करीब पहुंचता है।
चूंकि समय $t$ बढ़ने पर तापमान $T$ घटता है,इसलिए समय के धनात्मक परिवर्तन $\Delta t$ के लिए तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ ऋणात्मक होता है।
अतः,ग्राफ का ढाल,जिसे $\frac{dT}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है,ऋणात्मक है।

(C) न्यूटन का शीतलन का नियम बताता है कि ऊष्मा के ह्रास की दर $dQ/dt$ पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर $(T - T_0)$ के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$dQ/dt = k(T - T_0)$,जहाँ $k$ समानुपातिकता नियतांक है।
नियतांक $k$ का मान $k = eA\sigma / ms$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ उत्सर्जन क्षमता (emissivity) है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि $k$ सतह के क्षेत्रफल $A$ और सतह की प्रकृति (जो उत्सर्जन क्षमता $e$ को निर्धारित करती है) पर निर्भर करता है,इसलिए नियतांक $k$ पिंड की सतह की प्रकृति और क्षेत्रफल दोनों पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी वस्तु द्वारा ऊष्मा खोने की दर,वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते तापमान का अंतर छोटा हो।
यह नियम मुख्य रूप से संवहन (convection) के कारण होने वाली ऊष्मा हानि पर आधारित है।
हालाँकि ऊष्मा हानि में विकिरण भी भूमिका निभाता है,लेकिन न्यूटन के शीतलन नियम में उपयोग किया जाने वाला रैखिक सन्निकटन (linear approximation) मुख्य रूप से संवहन द्वारा प्रभावित स्थितियों के लिए सबसे सटीक रूप से लागू होता है।

(N/A) नहीं,वे समान नहीं हैं।
$1$. शीतलन की दर को प्रति इकाई समय में तापमान में कमी $(dT/dt)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह दर्शाता है कि किसी पिंड का तापमान कितनी तेजी से गिरता है।
$2$. ऊष्मा उत्सर्जन की दर को प्रति इकाई समय में ऊष्मा ऊर्जा की हानि $(dQ/dt)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह दर्शाता है कि पिंड द्वारा प्रति सेकंड कितनी ऊष्मा ऊर्जा का विकिरण किया जा रहा है।
$3$. संबंध $dQ = ms dT$ के अनुसार,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,हमारे पास $dQ/dt = ms(dT/dt)$ होता है।
$4$. इसलिए,ऊष्मा उत्सर्जन की दर शीतलन की दर के समानुपाती होती है,लेकिन वे भौतिक रूप से अलग राशियाँ हैं और उनके मात्रक भी भिन्न हैं (ऊष्मा उत्सर्जन के लिए $J/s$ और शीतलन के लिए $K/s$)।

(B) विकल्प $(2)$ पानी को अधिक गर्म रखेगा।
न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर पदार्थ और उसके परिवेश के बीच तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\frac{dT}{dt} \propto (T - T_s)$।
विकल्प $(1)$ में,बाल्टी गर्म और ठंडे पानी के मिश्रण से भरी होती है। इस मिश्रण का औसत तापमान आसपास के कमरे के तापमान की तुलना में अधिक होता है,जिससे $5-10 \text{ min}$ की देरी के दौरान परिवेश में ऊष्मा की हानि अधिक होती है।
विकल्प $(2)$ में,देरी के दौरान बाल्टी में केवल गर्म पानी ही रहता है। हालांकि गर्म पानी स्वयं ठंडा होता है,लेकिन प्रणाली की कुल ऊष्मा धारिता अलग होती है,और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि ठंडा पानी अंत में मिलाने से,अंतिम मिश्रण का परिवेश के सापेक्ष उच्च तापमान पर रहने का समय कम हो जाता है। इसलिए,विकल्प $(2)$ में पानी अधिक गर्म रहेगा।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{50 - 40}{300} = k \left( \frac{50 + 40}{2} - 20 \right)$.
$\frac{10}{300} = k(45 - 20) \implies \frac{1}{30} = 25k \implies k = \frac{1}{750}$.
अगले $5$ मिनट $(300 \, s)$ के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है। तो: $\frac{40 - T}{300} = k \left( \frac{40 + T}{2} - 20 \right)$.
$k = \frac{1}{750}$ रखने पर: $\frac{40 - T}{300} = \frac{1}{750} \left( \frac{40 + T - 40}{2} \right)$.
$\frac{40 - T}{300} = \frac{T}{1500}$.
$5(40 - T) = T \implies 200 - 5T = T \implies 6T = 200$.
$T = \frac{200}{6} \approx 33.33^{\circ}C$. निकटतम पूर्णांक मान $33^{\circ}C$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_s)$ द्वारा दी जाती है।
पहले $5\, \text{minutes}$ के लिए:
$\frac{75 - 65}{5} = k \left( \frac{75 + 65}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{5} = k (70 - 25)$
$2 = k(45) \implies k = \frac{2}{45} \, \text{min}^{-1}$.
अगले $5\, \text{minutes}$ के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है:
$\frac{65 - T}{5} = k \left( \frac{65 + T}{2} - 25 \right)$
$\frac{65 - T}{5} = \frac{2}{45} \left( \frac{65 + T - 50}{2} \right)$
$\frac{65 - T}{5} = \frac{1}{45} (T + 15)$
$9(65 - T) = T + 15$
$585 - 9T = T + 15$
$10T = 570$
$T = 57^{\circ} \text{C}$.

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{\Delta T}{\Delta t} = K(T_{avg} - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{avg}$ वस्तु का औसत तापमान है और $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$\frac{61 - 59}{4} = K \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{4} = K(60 - 30)$
$0.5 = K(30) \implies K = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$.
दूसरी स्थिति के लिए,मान लीजिए कि लगा समय $t$ है:
$\frac{51 - 49}{t} = K \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{t} = K(50 - 30)$
$\frac{2}{t} = K(20)$.
$K$ का मान रखने पर:
$\frac{2}{t} = \frac{1}{60} \times 20$
$\frac{2}{t} = \frac{1}{3}$
$t = 6\, \text{min}$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,समय $t$ पर तापमान का अंतर $\Delta T = \Delta T_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta T_{0}$ प्रारंभिक तापमान का अंतर है।
ग्राफ से,$t = 0$ पर,$\Delta T_{0} = 60^{\circ}C$ है।
$t = 6 \text{ min}$ पर,$\Delta T = 40^{\circ}C$ है। इन मानों को रखने पर: $40 = 60 e^{-6\lambda} \Rightarrow e^{-6\lambda} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \Rightarrow 6\lambda = \ln(1.5)$.
$t = t_{2}$ पर,$\Delta T = 20^{\circ}C$ है। इन मानों को रखने पर: $20 = 60 e^{-t_{2}\lambda} \Rightarrow e^{-t_{2}\lambda} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \Rightarrow t_{2}\lambda = \ln(3)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{t_{2}\lambda}{6\lambda} = \frac{\ln(3)}{\ln(1.5)} \Rightarrow \frac{t_{2}}{6} = \frac{1.0986}{0.4055} \approx 2.709$.
अतः,$t_{2} = 6 \times 2.709 \approx 16.25 \text{ min}$.
निकटतम पूर्णांक में,$t_{2} \approx 16 \text{ min}$।

(C) दी गई स्थिति में, पानी द्वारा प्राप्त शुद्ध ऊष्मा, हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा और न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार खोई गई ऊष्मा के बीच का अंतर है।
मान लीजिए $i$ धारा है, $R_{1}$ हीटर का प्रतिरोध है, $m$ पानी का द्रव्यमान है, $S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है, $T$ पानी का तापमान है, $T_{0}$ परिवेश का तापमान है और $K$ एक स्थिरांक है।
ऊष्मा प्राप्ति की दर इस प्रकार है:
$i^{2} R_{1} - K(T - T_{0}) = m S \left(\frac{dT}{dt}\right)$
अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dT}{dt} = \frac{i^{2} R_{1}}{m S} - \frac{K}{m S}(T - T_{0})$
$\frac{dT}{dt} = \left(\frac{i^{2} R_{1} + K T_{0}}{m S}\right) - \frac{K}{m S} T$
मान लीजिए $A = \frac{i^{2} R_{1} + K T_{0}}{m S}$ और $B = -\frac{K}{m S}$। तब:
$\frac{dT}{dt} = A + BT$
इस समीकरण का समाकलन करने पर तापमान $T$ और समय $t$ के बीच एक घातांकीय संबंध प्राप्त होता है:
$T(t) = T_{final} - (T_{final} - T_{initial}) e^{-kt}$
यह एक वक्र को दर्शाता है जो प्रारंभिक तापमान से शुरू होता है और स्थिर-अवस्था तापमान की ओर बढ़ता है। इस व्यवहार को ग्राफ $C$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = mc(dT/dt)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = \rho V$ है।
चूंकि ऊष्मा की हानि केवल पार्श्व सतहों से होती है,इसलिए $dQ/dt = kA(T - T_{surr})$ होगा।
इन दोनों को बराबर करने पर,$\rho V c (dT/dt) = kA(T - T_{surr})$ प्राप्त होता है।
अतः,दो तापमानों के बीच ठंडा होने में लगा समय $t$,$V/A$ के समानुपाती होता है।
बेलनाकार बोतल के लिए,$V = \pi R^2 h$ और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल $A = 2\pi R h$ है।
इसलिए,$t \propto V/A = (\pi R^2 h) / (2\pi R h) = R/2$ होता है।
दिया गया है कि $R_{B} = 2R_{A}$,इसलिए $t_{B} / t_{A} = R_{B} / R_{A} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_{B} = 2t_{A}$।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt$ वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,अर्थात $dQ/dt \propto A$.
दिए गए द्रव्यमान $m$ और घनत्व $\rho$ के लिए,आयतन $V = m/\rho$ घन और गोले दोनों के लिए समान रहता है।
चूंकि गोले का आयतन $V = (4/3)\pi r^3$ है और घन का आयतन $V = a^3$ है,इसलिए समान आयतन के लिए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $(6a^2)$ गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल $(4\pi r^2)$ से अधिक होता है।
चूंकि घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है,इसलिए यह गोले की तुलना में तेजी से ऊष्मा खोता है।
इसके अतिरिक्त,घन के तीखे किनारे एक चिकनी गोलाकार सतह की तुलना में अधिक प्रभावी ढंग से विकिरण उत्सर्जित करते हैं।
इसलिए,घन गोले की तुलना में तेजी से ठंडा होता है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) ब्लॉक से ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = -hA(T - T_{surr})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T_{surr}$ परिवेश का तापमान है।
चूंकि $dQ = mc dT$,हमारे पास $mc(dT/dt) = -hA(T - T_{surr})$ है।
यहाँ,$m = 5 \,kg$,$c = 500 \,J/kg/^{\circ}C$,$h = 50 \,W/m^2/^{\circ}C$,और $T_{surr} = 0^{\circ}C$ है।
हवा के संपर्क में घन का सतह क्षेत्रफल $A$ में $5$ फलक शामिल हैं (क्योंकि एक फलक ऊष्मारोधी सतह पर है): $A = 5 \times (0.1 \,m)^2 = 5 \times 0.01 = 0.05 \,m^2$।
मान रखने पर: $5 \times 500 \times (dT/dt) = -50 \times 0.05 \times (T - 0)$।
$2500 \times (dT/dt) = -2.5 \times T$।
$dT/T = -(2.5 / 2500) dt = -0.001 dt$।
$T_i = 100^{\circ}C$ से $T_f = 37^{\circ}C$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{100}^{37} (dT/T) = \int_{0}^{t} -0.001 dt$।
$\ln(37/100) = -0.001 t$।
$\ln(0.37) \approx -0.994$।
$-0.994 = -0.001 t \implies t = 994 \,s$।
$994 \,s$ के सबसे निकटतम मान $1000 \,s$ है।

(C) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी पिंड के ऊष्मा खोने की दर $dQ/dt$,पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते अंतर छोटा हो।
गणितीय रूप से,$\frac{dQ}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$.
चूंकि ऊष्मा खोने की दर $\frac{dQ}{dt} = -ms \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा भी दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा है,और $\frac{d\theta}{dt}$ शीतलन की दर है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $-ms \frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d\theta}{dt} = \frac{k}{ms}(\theta - \theta_0)$.
ज्ञात द्रव्यमान $m$ वाले द्रव के लिए शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt}$ को मापकर और इसकी तुलना एक मानक द्रव से करके,द्रव की विशिष्ट ऊष्मा $s$ निर्धारित की जा सकती है।
अतः,इसका उपयोग द्रवों की विशिष्ट ऊष्मा निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta_{avg} - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$\frac{61 - 59}{10} = k \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{10} = k(60 - 30)$
$0.2 = 30k \implies k = \frac{0.2}{30} = \frac{1}{150} \ldots (1)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$\frac{51 - 49}{t} = k \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{t} = k(50 - 30)$
$\frac{2}{t} = 20k \ldots (2)$
समीकरण $(1)$ से $k$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{2}{t} = 20 \times \frac{1}{150}$
$\frac{2}{t} = \frac{2}{15}$
$t = 15 \ min$.

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर: $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{d\theta}{dt} = -kA(\theta - \theta_0)$ है।
अतः,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = -\frac{kA}{mc}(\theta - \theta_0)$ है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए द्रव्यमान $m$,सतह का क्षेत्रफल $A$ और सतह की फिनिश (उत्सर्जन क्षमता $k$) समान हैं,इसलिए शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt}$ विशिष्ट ऊष्मा $S$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
दिया गया है कि $S_A > S_B$,इसलिए $\left| \frac{d\theta}{dt} \right|_A < \left| \frac{d\theta}{dt} \right|_B$ होगा।
इसका अर्थ है कि वस्तु $A$,वस्तु $B$ की तुलना में धीरे-धीरे ठंडी होती है।
इसलिए,वह ग्राफ जिसमें $A$ का वक्र $B$ के वक्र के ऊपर है (जो $A$ के लिए तापमान में धीमी गिरावट को दर्शाता है) सही प्रतिनिधित्व है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,तापमान अंतर $\theta$ के परिवर्तन की दर तापमान अंतर के ही समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -K\theta$
इस समीकरण का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d\theta}{\theta} = \int -K dt$
$\ln \theta = -Kt + C$
जब $t = 0$ है,तो मान लीजिए कि प्रारंभिक तापमान अंतर $\theta_i$ है,इसलिए $C = \ln \theta_i$.
इस प्रकार,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\ln \theta = -Kt + \ln \theta_i$
यह एक रैखिक समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln \theta$,$x = t$,ढाल $m = -K$ (जो ऋणात्मक है),और अंतःखंड $c = \ln \theta_i$ है। इसलिए,$\ln \theta$ बनाम $t$ का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है। यह विकल्प $(B)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $(dT/dt)$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{dT}{dt} = -k A (T - T_s)$,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$T$ वस्तु का तापमान है और $T_s$ आसपास का तापमान है।
गोलाकार खोल के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
शीतलन की दर को प्रति इकाई ऊष्मा क्षमता ऊष्मा हानि की दर के रूप में भी परिभाषित किया जाता है: $\frac{dT}{dt} = \frac{dQ/dt}{ms}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा क्षमता है।
चूंकि $m = \rho V = \rho (4 \pi r^2 \delta)$,जहाँ $\delta$ खोल की मोटाई है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma A (T^4 - T_s^4)}{ms} \propto \frac{r^2}{r^2} \propto r^0$.
अतः,शीतलन की दर त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $k = \frac{eA\sigma}{ms}$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\log(\theta - \theta_0) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$\log(\theta - \theta_0)$ बनाम $t$ के ग्राफ का ढाल $-k$ है।
ग्राफ से,पिंड $B$ के लिए ढाल का परिमाण पिंड $A$ की तुलना में अधिक है,इसलिए $k_B > k_A$ है।
चूँकि $k = \frac{eA\sigma}{ms}$ और दोनों पिंडों के लिए $m, e, A, \sigma$ समान हैं,इसलिए $k \propto \frac{1}{S}$ होता है।
अतः,$k_B > k_A$ का अर्थ है कि $S_B < S_A$ या $S_A > S_B$।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -K(T - T_0)$.
तापमान में छोटे परिवर्तनों के लिए,हम औसत तापमान का उपयोग करते हैं: $\frac{T_1 - T_2}{\Delta t} = K(T_{avg} - T_0)$.
स्थिति $1$: $\frac{98 - 86}{2} = K\left(\frac{98 + 86}{2} - 22\right) \implies 6 = K(92 - 22) \implies 6 = K(70) \implies K = \frac{6}{70}$.
स्थिति $2$: $\frac{75 - 69}{\Delta t} = K\left(\frac{75 + 69}{2} - 22\right) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(72 - 22) \implies \frac{6}{\Delta t} = K(50)$.
दूसरे समीकरण में $K = \frac{6}{70}$ रखने पर: $\frac{6}{\Delta t} = \frac{6}{70} \times 50$.
$\frac{1}{\Delta t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies \Delta t = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ मिनट}$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर पिंड और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$।
प्रथम $6$ मिनट के अंतराल के लिए:
$\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{6} = k(50 - 10) = 40k$ --- $(i)$
अगले $6$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है:
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right) = k \left( \frac{20 + T}{2} \right)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{20 / 6}{(40 - T) / 6} = \frac{40k}{k(20 + T) / 2}$
$\frac{20}{40 - T} = \frac{80}{20 + T}$
$20(20 + T) = 80(40 - T)$
$400 + 20T = 3200 - 80T$
$100T = 2800$
$T = 28^{\circ} C$।

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60^{\circ}\,C$,अंतिम तापमान $T_2 = 40^{\circ}\,C$,समय $t = 7$ मिनट,और परिवेश का तापमान $T_s = 10^{\circ}\,C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{60 - 40}{7} = K \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{7} = K(50 - 10) = 40K$
$K = \frac{20}{7 \times 40} = \frac{1}{14} \ldots (i)$
अब,अगले $7$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है:
$\frac{40 - T}{7} = K \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$K = \frac{1}{14}$ रखने पर:
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right)$
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{20 + T}{2} \right)$
$2(40 - T) = \frac{20 + T}{4}$
$8(40 - T) = 20 + T$
$320 - 8T = 20 + T$
$9T = 300$
$T = \frac{300}{9} = 33.33^{\circ}\,C \approx 34^{\circ}\,C$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान)।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
प्रथम अंतराल के लिए ($80^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$):
$\frac{80 - 60}{5} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{5} = k(70 - 20)$
$4 = 50k \Rightarrow k = \frac{4}{50} = 0.08 \text{ min}^{-1}$.
दूसरे अंतराल के लिए ($60^{\circ} C$ से $40^{\circ} C$):
$\frac{60 - 40}{t} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{t} = k(50 - 20)$
$\frac{20}{t} = 30k$.
$k = \frac{4}{50}$ रखने पर:
$\frac{20}{t} = 30 \times \frac{4}{50}$
$\frac{20}{t} = \frac{120}{50} = 2.4$
$t = \frac{20}{2.4} = \frac{200}{24} = \frac{25}{3} \text{ मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर:
$t = \frac{25}{3} \times 60 = 25 \times 20 = 500 \text{ सेकंड}$.

(D) पानी द्वारा प्रति इकाई समय में अवशोषित ऊर्जा $P_{in} = I \cdot A$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I = 700 \ W \ m^{-2}$ और $A = 0.05 \ m^2$ है।
$P_{in} = 700 \times 0.05 = 35 \ W$।
न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, आसपास के वातावरण में ऊष्मा की हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = k \cdot m \cdot s \cdot \Delta T$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\Delta T$ पानी और आसपास के तापमान के बीच का अंतर है।
लंबे समय के बाद, निकाय एक स्थिर अवस्था में पहुँच जाता है जहाँ ऊष्मा अवशोषण की दर और ऊष्मा हानि की दर बराबर होती है:
$P_{in} = \frac{dQ}{dt}$
$35 = k \cdot m \cdot s \cdot \Delta T$
यहाँ $k = 0.001 \ s^{-1}$, $m = 1 \ kg$, और $s = 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ दिया गया है:
$35 = 0.001 \times 1 \times 4200 \times \Delta T$
$35 = 4.2 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{35}{4.2} = \frac{350}{42} = \frac{25}{3} \approx 8.33 \ ^{\circ}C$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left[ \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right]$ है।
दिया गया है: $T_1 = 40^{\circ} \text{C}$,$T_2 = 24^{\circ} \text{C}$,$t = 4 \text{ min}$,$T_s = 16^{\circ} \text{C}$.
मान रखने पर: $\frac{40 - 24}{4} = K \left[ \frac{40 + 24}{2} - 16 \right]$.
$\frac{16}{4} = K [32 - 16] \implies 4 = K(16) \implies K = \frac{1}{4}$.
अब,अगले $4 \text{ मिनट}$ के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है। यहाँ $T_1 = 24^{\circ} \text{C}$,$T_2 = T$,$t = 4 \text{ min}$.
$\frac{24 - T}{4} = \frac{1}{4} \left[ \frac{24 + T}{2} - 16 \right]$.
$24 - T = \frac{24 + T - 32}{2} = \frac{T - 8}{2}$.
$48 - 2T = T - 8 \implies 3T = 56 \implies T = \frac{56}{3}^{\circ} \text{C}$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम (Newton's law of cooling) के औसत रूप का उपयोग करते हुए: $\frac{dT}{dt} = k(T_{avg} - T_{room})$.
पहले अंतराल ($90^{\circ} C$ से $80^{\circ} C$) के लिए:
$\frac{90-80}{t} = k\left(\frac{90+80}{2} - 20\right) \implies \frac{10}{t} = k(85 - 20) = 65k \dots (i)$
दूसरे अंतराल ($80^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$) के लिए:
$\frac{80-60}{t'} = k\left(\frac{80+60}{2} - 20\right) \implies \frac{20}{t'} = k(70 - 20) = 50k \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10/t}{20/t'} = \frac{65k}{50k}$
$\frac{10}{t} \times \frac{t'}{20} = \frac{65}{50}$
$\frac{t'}{2t} = \frac{13}{10}$
$t' = \frac{13}{10} \times 2t = \frac{13}{5} t$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\theta_1 = 61^{\circ} C$, $\theta_2 = 59^{\circ} C$, $t = 4$ मिनट, और $\theta_0 = 30^{\circ} C$.
$\frac{61 - 59}{4} = K \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{2}{4} = K(60 - 30) \Rightarrow 0.5 = 30K \Rightarrow K = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\theta_1 = 51^{\circ} C$, $\theta_2 = 49^{\circ} C$, और $\theta_0 = 30^{\circ} C$.
$\frac{51 - 49}{t} = K \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{60} (50 - 30) \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{20}{60} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{3}$.
अतः, $t = 6$ मिनट।

(B) $\text{न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, } -\frac{dT}{dt} = k(T - T_0), \text{ जहाँ } T_0 \text{ कमरे का तापमान है।}
\text{पहले अंतराल के लिए: } \frac{50 - 49.9}{5} = k \left( \frac{50 + 49.9}{2} - 30 \right).
\frac{0.1}{5} = k(49.95 - 30) = k(19.95).
\text{अतः, } k = \frac{0.1}{5 \times 19.95}.
\text{दूसरे अंतराल के लिए: } \frac{40 - 39.9}{t} = k \left( \frac{40 + 39.9}{2} - 30 \right).
\frac{0.1}{t} = k(39.95 - 30) = k(9.95).
k \text{ का मान रखने पर: } \frac{0.1}{t} = \frac{0.1}{5 \times 19.95} \times 9.95.
t = \frac{5 \times 19.95}{9.95} \approx 5 \times 2 = 10 \text{ sec}$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{surr})$.
पहले अंतराल के लिए: $\frac{94-86}{2} = K\left(\frac{94+86}{2} - 20\right) \implies 4 = K(90 - 20) \implies 4 = 70K \implies K = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{71-69}{t} = K\left(\frac{71+69}{2} - 20\right) \implies \frac{2}{t} = K(70 - 20) \implies \frac{2}{t} = 50K$.
दूसरे समीकरण में $K = \frac{2}{35}$ रखने पर: $\frac{2}{t} = 50 \times \frac{2}{35} \implies \frac{1}{t} = \frac{50}{35} = \frac{10}{7} \implies t = \frac{7}{10} \text{ मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर: $t = \frac{7}{10} \times 60 = 42 \text{ सेकंड}$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_s)$।
यहाँ,निकाय (कैलोरीमीटर + पानी) द्वारा खोई गई ऊष्मा $\Delta Q = (m_w + w)c \Delta T$ है,जहाँ $w$ कैलोरीमीटर का जल तुल्यांक है।
शीतलन की दर $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{(m_w + w)c \Delta T}{\Delta t} = k(T_{avg} - T_s)$ है।
चूंकि तापमान परिवर्तन $\Delta T = 5^{\circ}C$ और औसत तापमान $T_{avg} = 17.5^{\circ}C$ दोनों स्थितियों में समान हैं,इसलिए ऊष्मा हानि की दर स्थिर रहती है।
अतः,$\frac{(m_1 + w)c \Delta T}{t_1} = \frac{(m_2 + w)c \Delta T}{t_2}$।
यह समीकरण $\frac{m_1 + w}{t_1} = \frac{m_2 + w}{t_2}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $m_1 = 10 \ g, t_1 = 10 \ min$ और $m_2 = 20 \ g, t_2 = 15 \ min$।
मान रखने पर: $\frac{10 + w}{10} = \frac{20 + w}{15}$।
$15(10 + w) = 10(20 + w) \implies 150 + 15w = 200 + 10w$।
$5w = 50 \implies w = 10 \ g$।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{6} = k(50 - 10) \implies \frac{10}{3} = 40k \implies k = \frac{1}{12}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है: $\frac{40 - T_f}{6} = k \left( \frac{40 + T_f}{2} - 10 \right)$.
$k = \frac{1}{12}$ रखने पर: $\frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 20 + \frac{T_f}{2} - 10 \right) \implies \frac{40 - T_f}{6} = \frac{1}{12} \left( 10 + \frac{T_f}{2} \right)$.
$12$ से गुणा करने पर: $2(40 - T_f) = 10 + 0.5T_f \implies 80 - 2T_f = 10 + 0.5T_f \implies 70 = 2.5T_f \implies T_f = \frac{70}{2.5} = 28^{\circ} C$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर इस प्रकार दी जाती है: $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta$ वस्तु का तापमान है और $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$1.5 = K(80 - \theta_0)$ --- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए:
$0.3 = K(40 - \theta_0)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.5}{0.3} = \frac{K(80 - \theta_0)}{K(40 - \theta_0)}$
$5 = \frac{80 - \theta_0}{40 - \theta_0}$
$5(40 - \theta_0) = 80 - \theta_0$
$200 - 5\theta_0 = 80 - \theta_0$
$200 - 80 = 5\theta_0 - \theta_0$
$120 = 4\theta_0$
$\theta_0 = 30^{\circ} C$
अतः,परिवेश का तापमान $30^{\circ} C$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है,$T_0$ कमरे का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{80 - 60}{1} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies 20 = k(70 - 30) \implies 20 = 40k \implies k = 0.5 \ \text{min}^{-1}$.
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{t} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = 0.5(25) \implies \frac{10}{t} = 12.5$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{10}{12.5} = 0.8 \ \text{मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर: $0.8 \times 60 = 48 \ \text{s}$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{80 - 50}{5} = K \left( \frac{80 + 50}{2} - 20 \right) \implies 6 = K(65 - 20) \implies 6 = 45K \implies K = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 30}{t} = K \left( \frac{50 + 30}{2} - 20 \right) \implies \frac{20}{t} = K(40 - 20) \implies \frac{20}{t} = 20K \implies \frac{1}{t} = K$.
$K = \frac{2}{15}$ रखने पर, $\frac{1}{t} = \frac{2}{15} \implies t = 7.5 \text{ min}$.
कुल लगा समय $5 \text{ min} + 7.5 \text{ min} = 12.5 \text{ min}$ है।