Newton's Law of Cooling Questions in Hindi

(C) फोश्ड़ में,ऊष्मा के ह्रास की दर $\frac{dQ}{dt}$ न्यूटन के शीतलन के नियम द्वारा निर्धारित होती है,जो बताता है कि ऊष्मा ह्रास की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ और पिंड तथा उसके परिवेश के तापमान के अंतर $(T - T_0)$ के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$\frac{dQ}{dt} \propto A(T - T_0)$।
अतः,ऊष्मा के ह्रास की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल $(B)$ और परिवेश के तापमान से अधिक तापमान $(D)$ के समानुपाती होती है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt$ दिए गए तापमान $T$ और वातावरण के तापमान $T_0$ के लिए सतह के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,अर्थात $dQ/dt \propto A(T^4 - T_0^4)$।
ठंडा होने की दर $R = (dQ/dt) / (ms)$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा है। चूंकि गोले और डिस्क दोनों के लिए ये समान हैं,इसलिए ठंडा होने की दर का अनुपात उनके सतह क्षेत्र के अनुपात के बराबर होगा।
गोले का सतह क्षेत्रफल $A_s = 4\pi r^2$ है।
डिस्क का सतह क्षेत्रफल (दोनों पक्षों को ध्यान में रखते हुए) $A_d = 2 \times (\pi r^2) = 2\pi r^2$ है।
अतः,ठंडा होने की दर का अनुपात $\frac{R_s}{R_d} = \frac{A_s}{A_d} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r^2} = \frac{2}{1}$ होगा।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $R$,$(T^4 - T_0^4)$ के समानुपाती होती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$.
यहाँ $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$,$T_0 = 300 \ K$ और $R_1 = R$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{R}{R_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4} = \frac{(300)^4 (2^4 - 1^4)}{(300)^4 (3^4 - 1^4)} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.
इसलिए,$R_2 = \frac{16}{3}R$ प्राप्त होता है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
पहले मामले में,पानी $10$ मिनट में $60^oC$ से $50^oC$ तक ठंडा होता है:
$\frac{60 - 50}{10} = K \left[ \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right]$
$1 = K(55 - \theta_0)$ --- $(i)$
दूसरे मामले में,पानी अगले $10$ मिनट में $50^oC$ से $42^oC$ तक ठंडा होता है:
$\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right]$
$0.8 = K(46 - \theta_0)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25(46 - \theta_0) = 55 - \theta_0$
$57.5 - 1.25\theta_0 = 55 - \theta_0$
$2.5 = 0.25\theta_0$
$\theta_0 = 10^oC$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$\frac{d\theta}{dt} = k \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$,जहाँ $\theta_0$ कमरे का तापमान है।
जैसे-जैसे पानी ठंडा होता है,तापमान का अंतर कम होता जाता है,इसलिए शीतलन की दर भी कम हो जाती है।
अतः,समान तापमान $(5^{\circ} C)$ कम करने में लगने वाला समय बढ़ता जाता है जैसे-जैसे पानी का तापमान कमरे के तापमान के करीब पहुँचता है।
औसत तापमान की तुलना करने पर: $\left( \frac{80+75}{2} \right) > \left( \frac{75+70}{2} \right) > \left( \frac{70+65}{2} \right)$.
इस प्रकार,शीतलन की दर पहले अंतराल के लिए सबसे अधिक और तीसरे अंतराल के लिए सबसे कम है।
परिणामस्वरूप,$t_1 < t_2 < t_3$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $R$ पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $R \propto (\theta - \theta_0)$।
दिया गया है:
पिंड $B_1$ का तापमान,$\theta_1 = 100^oC$
पिंड $B_2$ का तापमान,$\theta_2 = 80^oC$
परिवेश का तापमान,$\theta_0 = 40^oC$
$t = 0$ पर,शीतलन की दरें $R_1$ और $R_2$ इस प्रकार हैं:
$R_1 \propto (\theta_1 - \theta_0) = (100 - 40) = 60$
$R_2 \propto (\theta_2 - \theta_0) = (80 - 40) = 40$
अतः,अनुपात है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$
इस प्रकार,$R_1:R_2 = 3:2$।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{kA}{ms}(\theta - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान हैं और कैलोरीमीटर समान हैं (समान सतह क्षेत्र $A$ और उत्सर्जकता $k$),इसलिए शीतलन की दर द्रवों की विशिष्ट ऊष्मा $s$ पर निर्भर करती है।
विशेष रूप से,$\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{s}$।
अतः,शीतलन की दर द्रवों की विशिष्ट ऊष्मा पर निर्भर करती है।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T - T_0)$ द्वारा दी जाती है।
कैलोरीमीटर के लिए,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = (mC + W) \frac{dT}{dt}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$C$ विशिष्ट ऊष्मा है और $W$ जल तुल्यांक है।
चूंकि शीतलन की सीमा ($70^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$) और परिवेश का तापमान समान है,इसलिए ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt}$ दोनों के लिए समान है।
अतः,$\frac{(m_W C_W + W) \Delta T}{t_W} = \frac{(m_L C_L + W) \Delta T}{t_L}$.
$C_L$ के लिए सूत्र: $C_L = \frac{1}{m_L} \left[ \frac{t_L}{t_W} (m_W C_W + W) - W \right]$.
दिया गया है: $m_W = 350 \ g$,$C_W = 1 \ Cal/g^{\circ}C$,$W = 10 \ g$,$t_W = 3 \ min = 180 \ s$,$m_L = 300 \ g$,$t_L = 95 \ s$.
मान रखने पर: $C_L = \frac{1}{300} \left[ \frac{95}{180} (350 \times 1 + 10) - 10 \right]$.
$C_L = \frac{1}{300} \left[ \frac{95}{180} (360) - 10 \right] = \frac{1}{300} [95 \times 2 - 10] = \frac{190 - 10}{300} = \frac{180}{300} = 0.6 \ Cal/g^{\circ}C$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \Rightarrow 1 = k(55 - 30) \Rightarrow 1 = 25k \Rightarrow k = \frac{1}{25}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 30 \right)$.
$k = \frac{1}{25}$ रखने पर: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{25} \left( \frac{50 + T_f - 60}{2} \right) \Rightarrow \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f - 10}{50}$.
$50$ से गुणा करने पर: $5(50 - T_f) = T_f - 10 \Rightarrow 250 - 5T_f = T_f - 10 \Rightarrow 6T_f = 260 \Rightarrow T_f = 43.33^{\circ}C$.
चूंकि $43.33^{\circ}C > 40^{\circ}C$,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\left( \frac{dQ}{dt} \right)$ द्रव और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर $(\Delta \theta)$ के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते तापमान का अंतर कम हो।
मान लीजिए $T_1 = 80^{\circ}C$ पर $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = 60 \; cal/sec$ है।
कमरे का तापमान $T_0 = 20^{\circ}C$ है।
तापमान का अंतर $\Delta \theta_1 = T_1 - T_0 = 80 - 20 = 60^{\circ}C$ है।
मान लीजिए $T_2 = 40^{\circ}C$ पर ऊष्मा हानि की दर $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_2$ है।
तापमान का अंतर $\Delta \theta_2 = T_2 - T_0 = 40 - 20 = 20^{\circ}C$ है।
आनुपातिकता का उपयोग करते हुए $\frac{(dQ/dt)_1}{(dQ/dt)_2} = \frac{\Delta \theta_1}{\Delta \theta_2}$:
$\frac{60}{(dQ/dt)_2} = \frac{60}{20}$
$\frac{60}{(dQ/dt)_2} = 3$
$(dQ/dt)_2 = \frac{60}{3} = 20 \; cal/sec$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{100 - 70}{4} = K \left( \frac{100 + 70}{2} - 15 \right)$
$\frac{30}{4} = K (85 - 15) = 70K$
$K = \frac{30}{4 \times 70} = \frac{3}{28}$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{70 - 40}{t} = K \left( \frac{70 + 40}{2} - 15 \right)$
$\frac{30}{t} = \frac{3}{28} (55 - 15) = \frac{3}{28} \times 40$
$\frac{30}{t} = \frac{3 \times 10}{7} = \frac{30}{7}$
$t = 7 \text{ min}$

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{ambient})$ द्वारा दी जाती है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{80 - 60}{1} = K\left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right)$.
$20 = K(70 - 30) = 40K$,जिससे $K = \frac{20}{40} = 0.5 \text{ min}^{-1}$ प्राप्त होता है।
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए कि लिया गया समय $t$ मिनट है:
$\frac{60 - 50}{t} = 0.5 \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right)$.
$\frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) = 0.5 \times 25 = 12.5$.
$t = \frac{10}{12.5} = 0.8$ मिनट।
सेकंड में बदलने पर: $t = 0.8 \times 60 = 48 \text{ sec}$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के सीधे आनुपातिक होती है: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
पहले मामले में,द्रव $70^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$ तक ठंडा होता है। औसत तापमान $\frac{70+60}{2} = 65^{\circ}C$ है। तापमान का अंतर $(65 - \theta_0)$ है।
दूसरे मामले में,द्रव $60^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$ तक ठंडा होता है। औसत तापमान $\frac{60+50}{2} = 55^{\circ}C$ है। तापमान का अंतर $(55 - \theta_0)$ है।
चूंकि दूसरे मामले में औसत तापमान कम है,इसलिए द्रव और परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,शीतलन की दर कम हो जाती है। इसलिए,समान $10^{\circ}C$ के तापमान अंतराल में ठंडा होने के लिए अधिक समय लगेगा।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$
प्रथम $10 \; \text{मिनट}$ के लिए:
$\frac{62 - 50}{10} = K \left[ \frac{62 + 50}{2} - \theta_0 \right]$
$1.2 = K [56 - \theta_0] \quad \dots (i)$
अगले $10 \; \text{मिनट}$ के लिए:
$\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right]$
$0.8 = K [46 - \theta_0] \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.5 = \frac{56 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.5(46 - \theta_0) = 56 - \theta_0$
$69 - 1.5\theta_0 = 56 - \theta_0$
$69 - 56 = 1.5\theta_0 - \theta_0$
$13 = 0.5\theta_0$
$\theta_0 = 26^{\circ}C$

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A}{mc}(T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कैलोरीमीटर और परिवेश समान हैं,इसलिए $A$ और $T_0$ स्थिर हैं। अतः,$\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{mc}$.
द्रव्यमान $m = V\rho$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $V$ आयतन है और $\rho$ घनत्व है,हमें $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{V\rho c}$ प्राप्त होता है।
दो अलग-अलग द्रवों के लिए शीतलन की दर समान होने के लिए,घनत्व और विशिष्ट ऊष्मा धारिता का गुणनफल $(\rho c)$ समान होना चाहिए,या आयतन को इस प्रकार समायोजित किया जाना चाहिए कि $V_1 \rho_1 c_1 = V_2 \rho_2 c_2$ हो। विकल्पों को देखते हुए,यदि हम समान आयतन $(V_1 = V_2)$ लेते हैं,तो यह स्थिति उनके तापीय गुणों पर निर्भर करती है। इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों में,शीतलन व्यवहार की तुलना करने के लिए समान आयतन लेना अपेक्षित स्थिति है। अतः,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम $10$ मिनट के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K\left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \Rightarrow 1 = K(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30K$ --- $(i)$
अगले $10$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta$ है: $\frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right) \Rightarrow \frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) \Rightarrow \frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{\theta}{2} \right)$ --- $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{(50 - \theta)/10} = \frac{30K}{K(\theta/2)} \Rightarrow \frac{10}{50 - \theta} = \frac{60}{\theta}$.
वज्र गुणन करने पर: $10\theta = 60(50 - \theta) \Rightarrow 10\theta = 3000 - 60\theta \Rightarrow 70\theta = 3000$.
$\theta = \frac{300}{7} \approx 42.85^{\circ}C$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{365 - 361}{2} = K \left( \frac{365 + 361}{2} - 293 \right)$.
$2 = K(363 - 293) = K(70)$.
$K = \frac{2}{70} = \frac{1}{35} \ \text{min}^{-1}$.
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{344 - 342}{t} = K \left( \frac{344 + 342}{2} - 293 \right)$.
$\frac{2}{t} = \frac{1}{35} (343 - 293) = \frac{1}{35} (50) = \frac{10}{7}$.
$t = \frac{2 \times 7}{10} = 1.4 \ \text{मिनट}$.
$t = 1.4 \times 60 = 84 \ \text{सेकंड}$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{50.0 - 49.9}{5} = K \left( \frac{50.0 + 49.9}{2} - 30.0 \right) \implies \frac{0.1}{5} = K(49.95 - 30.0) = K(19.95)$ ... $(i)$
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{40.0 - 39.9}{t} = K \left( \frac{40.0 + 39.9}{2} - 30.0 \right) \implies \frac{0.1}{t} = K(39.95 - 30.0) = K(9.95)$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.1/5}{0.1/t} = \frac{K(19.95)}{K(9.95)} \implies \frac{t}{5} = \frac{19.95}{9.95} \approx 2$
$t = 5 \times 2 = 10\;s$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_s$ परिवेश का तापमान है।
इसका अर्थ है कि ठंडा होने में लगने वाला समय वस्तु और परिवेश के बीच के तापमान के अंतर पर निर्भर करता है।
पहले अंतराल के लिए,औसत तापमान $\frac{100+80}{2} = 90^{\circ}C$ है।
दूसरे अंतराल के लिए,औसत तापमान $\frac{80+60}{2} = 70^{\circ}C$ है।
चूंकि पहले अंतराल में पानी और परिवेश के बीच तापमान का अंतर अधिक है,इसलिए शीतलन की दर तेज है।
इसलिए,$20^{\circ}C$ तापमान कम होने में लगने वाला समय दूसरे अंतराल की तुलना में पहले अंतराल में कम है।
अतः,$T_1 < T_2$।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{-d\theta}{dt} = k \left( \theta_{avg} - \theta_0 \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_{avg} = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ वस्तु का औसत तापमान है और $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
पहले मामले में,औसत तापमान $\frac{70 + 60}{2} = 65^{\circ}C$ है।
दूसरे मामले में,औसत तापमान $\frac{69 + 59}{2} = 64^{\circ}C$ है।
चूंकि दूसरे मामले में औसत तापमान कम है,इसलिए वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम है।
इसलिए,दूसरे मामले में शीतलन की दर धीमी है।
चूंकि शीतलन की दर कम है,इसलिए समान $10^{\circ}C$ के अंतराल तक ठंडा होने में अधिक समय लगेगा।
अतः,लिया गया समय $4$ मिनट से अधिक होगा।

(A) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी वस्तु द्वारा ऊष्मा खोने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
यह नियम एक अनुभवजन्य सन्निकटन है जो केवल तभी मान्य होता है जब वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम हो (आमतौर पर $10^{\circ}C$ से $15^{\circ}C$ से कम)।
जब तापमान का अंतर कम होता है,तो ऊष्मा की हानि मुख्य रूप से संवहन (convection) की प्रक्रिया के कारण होती है,जो इस नियम द्वारा परिभाषित रैखिक संबंध का पालन करती है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T - T_s)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{61 - 59}{4} = K \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right)$.
$\frac{2}{4} = K(60 - 30) \implies 0.5 = 30K \implies K = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{51 - 49}{t} = K \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right)$.
$\frac{2}{t} = K(50 - 30) \implies \frac{2}{t} = 20K$.
$K = \frac{1}{60}$ का मान रखने पर: $\frac{2}{t} = 20 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{3}$.
अतः,$t = 6 \text{ min}$.

(D) $Newton's$ $Law$ $of$ $cooling$ के अनुसार,यदि तापमान का अंतर कम हो,तो किसी पिंड के ऊष्मा खोने की दर $(dQ/dt)$,पिंड $(T)$ और उसके परिवेश $(T_s)$ के बीच के तापमान के अंतर के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि ठंडे होने की दर को तापमान परिवर्तन की दर $(dT/dt)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\frac{dT}{dt} \propto (T - T_s)$ होता है।
अतः,ठंडे होने की दर पिंड और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए:
$\frac{60 - 40}{7} = K \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{7} = K(50 - 10) = 40K$
$K = \frac{20}{7 \times 40} = \frac{1}{14} \dots (i)$
दूसरे अंतराल के लिए:
$\frac{40 - 28}{t} = K \left( \frac{40 + 28}{2} - 10 \right)$
$\frac{12}{t} = K(34 - 10) = 24K$
$K = \frac{12}{24t} = \frac{1}{2t} \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{14} = \frac{1}{2t}$
$2t = 14$
$t = 7 \text{ मिनट}$.

(B) न्यूटन के शीतलन (Cooling) के नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{50 - 40}{5} = K \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \implies 2 = K(45 - T_s)$ .... $(i)$
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{40 - 33.33}{5} = K \left( \frac{40 + 33.33}{2} - T_s \right) \implies \frac{6.67}{5} = K(36.665 - T_s) \implies 1.334 = K(36.665 - T_s)$ .... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{2}{1.334} = \frac{45 - T_s}{36.665 - T_s}$.
$1.5 \approx \frac{45 - T_s}{36.665 - T_s} \implies 1.5(36.665 - T_s) = 45 - T_s$.
$54.9975 - 1.5T_s = 45 - T_s \implies 0.5T_s = 9.9975 \implies T_s \approx 20^oC$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर पिंड और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$।
पहले $10$ मिनट में,तापमान $50^oC$ से $40^oC$ तक गिरता है और परिवेश का तापमान $20^oC$ है:
$\frac{50 - 40}{10} = K \left( \frac{50 + 40}{2} - 20 \right) \implies 1 = K(45 - 20) \implies 1 = 25K \implies K = \frac{1}{25} \dots (i)$
अगले $10$ मिनट में,मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta_2$ है:
$\frac{40 - \theta_2}{10} = K \left( \frac{40 + \theta_2}{2} - 20 \right) \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ में $K = \frac{1}{25}$ रखने पर:
$\frac{40 - \theta_2}{10} = \frac{1}{25} \left( 20 + \frac{\theta_2}{2} - 20 \right) \implies \frac{40 - \theta_2}{10} = \frac{\theta_2}{50}$
$5(40 - \theta_2) = \theta_2 \implies 200 - 5\theta_2 = \theta_2 \implies 6\theta_2 = 200$
$\theta_2 = \frac{200}{6} = 33.33^oC$।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,किसी पिंड के ऊष्मा खोने की दर (या ठंडे होने की दर) कम तापमान अंतर के लिए पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta \theta$।
इसे दिए गए व्यंजक $(\Delta \theta)^n$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $n = 1$।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$ होती है,जहाँ $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए ($t = 5$ मिनट):
$\frac{80 - 64}{5} = K \left[ \frac{80 + 64}{2} - \theta_0 \right] \implies 3.2 = K(72 - \theta_0)$ ... $(i)$
दूसरे अंतराल के लिए ($t = 10$ मिनट,$64^{\circ}C$ से $52^{\circ}C$ तक):
$\frac{64 - 52}{10} = K \left[ \frac{64 + 52}{2} - \theta_0 \right] \implies 1.2 = K(58 - \theta_0)$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3.2}{1.2} = \frac{72 - \theta_0}{58 - \theta_0} \implies \frac{8}{3} = \frac{72 - \theta_0}{58 - \theta_0}$
$8(58 - \theta_0) = 3(72 - \theta_0) \implies 464 - 8\theta_0 = 216 - 3\theta_0$
$5\theta_0 = 248 \implies \theta_0 = 49.6^{\circ}C$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $49^{\circ}C$ है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु के तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_0)$.
पहले अंतराल के लिए: $\frac{50 - 45}{5} = K(\frac{50 + 45}{2} - T_0) \implies 1 = K(47.5 - T_0)$ ... $(i)$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{45 - 41.5}{5} = K(\frac{45 + 41.5}{2} - T_0) \implies 0.7 = K(43.25 - T_0)$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.7} = \frac{47.5 - T_0}{43.25 - T_0}$
$43.25 - T_0 = 0.7(47.5 - T_0)$
$43.25 - T_0 = 33.25 - 0.7T_0$
$0.3T_0 = 10$
$T_0 = \frac{10}{0.3} = 33.33\;^oC$.
अतः,परिवेश का तापमान $33.3\;^oC$ है।

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{surr})$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले के लिए: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = K \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = K(64 - 22.5) = K(41.5)$,इसलिए $K = \frac{3}{41.5}$.
दूसरे मामले के लिए: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = K \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} (43.5 - 22.5) = \frac{3}{41.5} (21)$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} = \frac{83}{21} \approx 3.95 \approx 4$ मिनट।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम $10$ मिनट के लिए: $\frac{62 - 50}{10} = K\left( \frac{62 + 50}{2} - 26 \right)$.
$\frac{12}{10} = K(56 - 26) \implies 1.2 = K(30) \implies K = \frac{1.2}{30} = 0.04$.
अगले $10$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta$ है:
$\frac{50 - \theta}{10} = 0.04 \left( \frac{50 + \theta}{2} - 26 \right)$.
$50 - \theta = 0.4 \left( 25 + 0.5\theta - 26 \right)$.
$50 - \theta = 0.4(0.5\theta - 1) = 0.2\theta - 0.4$.
$50.4 = 1.2\theta \implies \theta = \frac{50.4}{1.2} = 42^\circ C$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_s)$।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{90 - 60}{5} = k\left( \frac{90 + 60}{2} - 20 \right)$।
$6 = k(75 - 20) = 55k$,इसलिए $k = \frac{6}{55}$।
द्वितीय अंतराल के लिए: $\frac{60 - 30}{t} = k\left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$।
$\frac{30}{t} = \frac{6}{55}(45 - 20) = \frac{6}{55} \times 25$।
$\frac{30}{t} = \frac{6 \times 5}{11} = \frac{30}{11}$।
अतः,$t = 11 \text{ मिनट}$।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{surrounding})$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले में,तापमान $75^{\circ}C$ से $65^{\circ}C$ तक $t_1 = 2$ मिनट में बदलता है।
$\frac{75 - 65}{2} = K \left( \frac{75 + 65}{2} - 30 \right)$
$\frac{10}{2} = K(70 - 30) \implies 5 = 40K \implies K = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ $(i)$
दूसरे मामले में,तापमान $55^{\circ}C$ से $45^{\circ}C$ तक $t_2$ मिनट में बदलता है।
$\frac{55 - 45}{t_2} = K \left( \frac{55 + 45}{2} - 30 \right)$
$\frac{10}{t_2} = K(50 - 30) \implies \frac{10}{t_2} = 20K$ (ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{10/t_2} = \frac{40K}{20K}$
$\frac{5t_2}{10} = 2$
$5t_2 = 20 \implies t_2 = 4$ मिनट।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$ है।
प्रथम स्थिति में,वस्तु $80^{\circ}C$ से $50^{\circ}C$ तक $5 \text{ min}$ में ठंडी होती है।
$\frac{80 - 50}{5} = K \left( \frac{80 + 50}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{5} = K(65 - 20) \implies 6 = 45K \implies K = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \dots (i)$
दूसरी स्थिति में,वस्तु $60^{\circ}C$ से $30^{\circ}C$ तक $t \text{ min}$ में ठंडी होती है।
$\frac{60 - 30}{t} = K \left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{t} = K(45 - 20) \implies \frac{30}{t} = 25K \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{6}{30/t} = \frac{45K}{25K}$
$\frac{6t}{30} = \frac{45}{25}$
$\frac{t}{5} = \frac{9}{5}$
$t = 9 \text{ min}$.

(B) न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
इसका अर्थ है कि गर्म होने (या ठंडा होने) की दर तब अधिक होती है जब वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर अधिक होता है।
पहले मामले में,तापमान सीमा $0^{\circ}C$ से $5^{\circ}C$ है। औसत तापमान $2.5^{\circ}C$ है,इसलिए औसत तापमान अंतर $25^{\circ}C - 2.5^{\circ}C = 22.5^{\circ}C$ है।
दूसरे मामले में,तापमान सीमा $10^{\circ}C$ से $15^{\circ}C$ है। औसत तापमान $12.5^{\circ}C$ है,इसलिए औसत तापमान अंतर $25^{\circ}C - 12.5^{\circ}C = 12.5^{\circ}C$ है।
चूंकि पहले मामले में तापमान का अंतर अधिक है,इसलिए ऊष्मा स्थानांतरण की दर अधिक है,जिसका अर्थ है कि लगा समय $t_1$,$t_2$ से कम है $(t_1 < t_2)$.

(B) किसी वस्तु के ठंडे होने की दर $R$ को $R = \frac{dQ}{dt} \cdot \frac{1}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए उत्सर्जकता $\varepsilon$,विशिष्ट ऊष्मा $c$ और घनत्व $\rho$ समान हैं।
अतः,$R \propto \frac{A}{m} \propto \frac{A}{\rho V} \propto \frac{A}{V}$,जहाँ $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $V$ आयतन है।
दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के लिए,ठंडे होने की दर $R \propto \frac{1}{V}$ होती है।
$a$ भुजा वाले घन के लिए,$A = 6a^2$ और $V = a^3 = (\sqrt{A/6})^3$ है।
$r$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,$A = 4\pi r^2$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{A/4\pi})^3$ है।
समान पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए आयतन की तुलना करने पर,घन का आयतन गोले के आयतन से कम होता है $(V_{cube} < V_{sphere})$।
इसलिए,घन के ठंडे होने की दर गोले की तुलना में अधिक होती है $(R_{cube} > R_{sphere})$।

(B) ठंडा होने की दर $R$ को सूत्र $R = \frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं और उनकी सतह की फिनिश समान है,इसलिए $\epsilon$,$\sigma$,$T$,$T_0$ और घनत्व $\rho$ स्थिर हैं।
अतः,$R \propto \frac{A}{m}$.
हम जानते हैं कि $A = 4\pi r^2$ और $m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,इसलिए $A \propto r^2$ और $m \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto m^{1/3}$.
इस मान को आनुपातिक संबंध में रखने पर,$R \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{m^{1/3}}$.
इसलिए,ठंडा होने की दरों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{1/3}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 3m_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{3m_2}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(A) ठंडा होने की दर का सूत्र है: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{P}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$.
चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ और आकार (पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$) के हैं और समान परिवेश में हैं,इसलिए ऊष्मा हानि की दर $P$ दोनों के लिए समान है।
ठंडा होने की दर $\frac{d\theta}{dt}$ वस्तु के द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{m}$.
चूंकि ठोस गोले का द्रव्यमान अधिक होता है $(m_{solid} > m_{hollow})$,इसलिए इसके ठंडा होने की दर कम होगी।
अतः,खोखला गोला,जिसका द्रव्यमान कम है,$T$ के सभी मानों के लिए तेजी से ठंडा होगा।

(C) ठंडा होने की दर $\frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta$ छोटा है,हम लिख सकते हैं कि $\frac{\Delta \theta}{t} \propto \frac{A}{mc}$.
यहाँ,$m = \rho V = \rho a^3$ और $A = 6a^2$,जहाँ $a$ किनारे की लंबाई है।
अतः,$t \propto \frac{mc}{A} \propto \frac{\rho a^3 c}{6a^2} \propto a$.
इसलिए,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
दिया गया है $t_1 = 100\;s$,$a_1 = 1\;cm$,और $a_2 = 2\;cm$.
$\frac{100}{t_2} = \frac{1}{2} \implies t_2 = 200\;s$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$.
प्रथम समयांतराल के लिए ($0$ से $5$ मिनट): $\frac{80 - 64}{5} = K \left[ \frac{80 + 64}{2} - \theta_0 \right] \implies 3.2 = K(72 - \theta_0)$ ... $(i)$
द्वितीय समयांतराल के लिए ($0$ से $10$ मिनट): $\frac{80 - 52}{10} = K \left[ \frac{80 + 52}{2} - \theta_0 \right] \implies 2.8 = K(66 - \theta_0)$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{3.2}{2.8} = \frac{72 - \theta_0}{66 - \theta_0} \implies \frac{8}{7} = \frac{72 - \theta_0}{66 - \theta_0}$.
$8(66 - \theta_0) = 7(72 - \theta_0) \implies 528 - 8\theta_0 = 504 - 7\theta_0 \implies \theta_0 = 24^\circ C$.
$\theta_0 = 24$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $3.2 = K(72 - 24) \implies 3.2 = K(48) \implies K = \frac{3.2}{48} = \frac{1}{15}$.
तृतीय समयांतराल के लिए ($0$ से $15$ मिनट): $\frac{80 - \theta}{15} = K \left[ \frac{80 + \theta}{2} - 24 \right]$.
$\frac{80 - \theta}{15} = \frac{1}{15} \left[ \frac{80 + \theta - 48}{2} \right] \implies 80 - \theta = \frac{32 + \theta}{2}$.
$160 - 2\theta = 32 + \theta \implies 3\theta = 128 \implies \theta = 42.66^\circ C \approx 42.7^\circ C$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\theta-t$ ग्राफ में,किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{d\theta}{dt}$ है। चूंकि वक्र घट रहा है,ढाल ऋणात्मक है। कोण $\varphi$ स्पर्शरेखा द्वारा धनात्मक $t$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है,इसलिए ढाल $-\tan \varphi$ है।
बिंदु $P$ पर जहाँ $\theta = \theta_2$ है,ढाल का परिमाण $\tan \varphi_2 = k(\theta_2 - \theta_0)$ है।
बिंदु $Q$ पर जहाँ $\theta = \theta_1$ है,ढाल का परिमाण $\tan \varphi_1 = k(\theta_1 - \theta_0)$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\tan \varphi_2}{\tan \varphi_1} = \frac{k(\theta_2 - \theta_0)}{k(\theta_1 - \theta_0)} = \frac{\theta_2 - \theta_0}{\theta_1 - \theta_0}$.

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,एक पिंड और उसके परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम होने पर,ऊष्मा हानि की दर $R$ तापमान के अंतर $(\theta - \theta_0)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
$R \propto (\theta - \theta_0)$
$R = k(\theta - \theta_0) = k\theta - k\theta_0$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = R$,$x = \theta$,$m = k$ (ढाल) और $c = -k\theta_0$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि $k$ और $\theta_0$ धनात्मक हैं,इसलिए अंतःखंड $c = -k\theta_0$ ऋणात्मक है।
अतः,ग्राफ एक धनात्मक ढाल और ऋणात्मक y-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = \varepsilon A \sigma (T^4 - T_0^4) \approx \varepsilon A \sigma (4T_0^3) \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ भी होती है,इसलिए हमारे पास $mc \frac{dT}{dt} = \varepsilon A \sigma (4T_0^3) \Delta T$ है।
अतः,तापमान गिरने की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{\varepsilon A \sigma 4T_0^3}{mc} \Delta T$ है।
गोले और घन दोनों के लिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान है। हालाँकि,समान पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए गोले का आयतन $V$,घन के आयतन से कम होता है। चूँकि द्रव्यमान $m = \rho V$ होता है,इसलिए गोले में पानी का द्रव्यमान घन में पानी के द्रव्यमान से कम होता है $(m_S < m_C)$।
चूँकि $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{m}$ है,इसलिए शीतलन की दर घन $(C)$ की तुलना में गोले $(S)$ के लिए अधिक तेज है।
इसलिए,गोले का तापमान घन की तुलना में तेजी से गिरता है,जिसे उस ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है जिसमें $S$ के लिए वक्र $C$ के वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर निकाय और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (एक ऋणात्मक ढाल) और $C$ समाकलन स्थिरांक है।
अतः,$\log_e(\theta - \theta_0)$ बनाम $t$ का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(D) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी वस्तु के ऊष्मा खोने की दर $(dQ/dt)$,वस्तु $(T)$ और उसके परिवेश $(T_s)$ के बीच के तापमान के अंतर के सीधे समानुपाती होती है,बशर्ते कि यह अंतर कम हो।
गणितीय रूप से,$dQ/dt \propto (T - T_s)$।
चूंकि ठंडा होने की दर को तापमान में परिवर्तन की दर $(dT/dt)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $dT/dt \propto (T - T_s)$ होता है।
अतः,ठंडा होने की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे समानुपाती होती है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के सीधे आनुपातिक होती है: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
जैसे-जैसे पानी का तापमान घटता है,पानी और परिवेश के बीच का तापमान अंतर कम होता जाता है।
परिणामस्वरूप,शीतलन की दर कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि एक विशिष्ट तापमान अंतराल तक ठंडा होने में लगने वाला समय बढ़ जाता है।
चूंकि पहले अंतराल ($75^{\circ}C$ से $70^{\circ}C$) के लिए प्रारंभिक तापमान सबसे अधिक है,इसलिए शीतलन की दर सबसे तेज है,जिसके परिणामस्वरूप सबसे कम समय $T_1$ लगता है।
जैसे-जैसे पानी और ठंडा होता है,तापमान का अंतर छोटा होता जाता है,जिससे शीतलन धीमा हो जाता है और समय अंतराल बढ़ जाता है।
इसलिए,समय के बीच का संबंध $T_1 < T_2 < T_3$ है।

(C) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी वस्तु के ऊष्मा खोने की दर $dQ/dt$,वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $dQ/dt = -k(\theta - \theta_0)$।
चूंकि ऊष्मा खोने की दर को $dQ/dt = -ms(d\theta/dt)$ द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा है,और $d\theta/dt$ शीतलन की दर है।
इन दोनों को बराबर करने पर,हमें $-ms(d\theta/dt) = -k(\theta - \theta_0)$ प्राप्त होता है।
यह संबंध हमें किसी द्रव की विशिष्ट ऊष्मा '$s$' निर्धारित करने की अनुमति देता है यदि अन्य पैरामीटर ज्ञात हों।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $(dQ/dt)$ का सूत्र $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है,जहाँ $e$ उत्सर्जन क्षमता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ वातावरण का तापमान है।
चूंकि दोनों गोले एक ही धातु के बने हैं और उन्हें समान तापमान $T$ तक गर्म किया गया है और समान वातावरण $T_0$ में रखा गया है,इसलिए ऊष्मा हानि की दर सतह के क्षेत्रफल $A$ और उत्सर्जन क्षमता $e$ पर निर्भर करती है।
यदि दोनों गोलों की त्रिज्या समान है,तो उनका सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ समान होगा।
अतः,यदि उत्सर्जन क्षमता समान है,तो दोनों के लिए ऊष्मा हानि की दर समान होगी।

(D) न्यूटन का शीतलन नियम बताता है कि किसी वस्तु के ऊष्मा खोने की दर,वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते कि यह अंतर छोटा हो।
यह नियम स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम से प्राप्त एक अनुभवजन्य सन्निकटन (empirical approximation) है,जो किसी कृष्णिका (black body) द्वारा उसके तापमान के संदर्भ में विकिरित शक्ति का वर्णन करता है।
विशेष रूप से,जब वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर $\Delta T$ छोटा होता है,तो स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम को रैखिक बनाया जा सकता है,जिससे यह पता चलता है कि शीतलन की दर $\Delta T$ के आनुपातिक होती है,जो न्यूटन के शीतलन नियम का मुख्य सार है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = 4 \sigma A \theta_0^3 (\Delta \theta)$ है।
चूंकि $\frac{dQ}{dt} = ms \left( -\frac{d\theta}{dt} \right)$,इसलिए तापमान में गिरावट की दर $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{4 \sigma A \theta_0^3 (\Delta \theta)}{ms}$ है।
यहाँ,द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\frac{4}{3} \pi r^3) d$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{4 \sigma (4 \pi r^2) \theta_0^3 (\Delta \theta)}{(\frac{4}{3} \pi r^3) d s}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{16 \pi r^2 \sigma \theta_0^3 (\Delta \theta)}{\frac{4}{3} \pi r^3 d s} = \frac{12 \sigma \theta_0^3 \Delta \theta}{rds}$।