Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
તે જ રીતે,$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
આ બંને કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\cos 105^\circ + \sin 105^\circ = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1}{2}$ અને $\tan B = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3})} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.
કારણ કે $\tan(A + B) = 1$,તેથી $A + B = 45^\circ$.
તેથી,$2A = 90^\circ - 2B$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos 2A = \cos(90^\circ - 2B) = \sin 2B$.

(D) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અને $\sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$A$ અને $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
તે જ રીતે,$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
સૂત્ર $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(A + B) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2+3}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$A + B = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin A + \sin B = C$ અને $\cos A + \cos B = D$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \frac{C}{D}$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}} = \frac{C}{D}$
$\tan \frac{A+B}{2} = \frac{C}{D}$
નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = A+B$:
$\sin (A+B) = \frac{2 \tan \frac{A+B}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A+B}{2}}$
$\tan \frac{A+B}{2} = \frac{C}{D}$ મુકતા:
$\sin (A+B) = \frac{2(\frac{C}{D})}{1 + (\frac{C}{D})^2} = \frac{2CD}{C^2 + D^2}$.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cos(A - B)$.
$A = 48^\circ$ અને $B = 12^\circ$ મૂકતા:
$\cos^2 48^\circ - \sin^2 12^\circ = \cos(48^\circ + 12^\circ) \cos(48^\circ - 12^\circ)$
$= \cos 60^\circ \cos 36^\circ$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય:
$= \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \right) = \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$
$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{m}{m + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2m + 1}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{2m + 1}}{1 - \left(\frac{m}{m + 1}\right) \left(\frac{1}{2m + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{m(2m + 1) + (m + 1)}{(m + 1)(2m + 1)}}{\frac{(m + 1)(2m + 1) - m}{(m + 1)(2m + 1)}}$
$= \frac{2m^2 + m + m + 1}{2m^2 + m + 2m + 1 - m}$
$= \frac{2m^2 + 2m + 1}{2m^2 + 2m + 1} = 1$
તેથી,$\tan(\alpha + \beta) = 1$ હોવાથી,$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B)$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
$A = 20^\circ$ અને $B = 40^\circ$ લેતા:
$\tan(20^\circ + 40^\circ) = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\sqrt{3} = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$
બંને બાજુ $(1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ)$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3} - \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ$
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \sqrt{3}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{4} [\sqrt{3} \cos 23^\circ - \sin 23^\circ]$
કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 23^\circ - \frac{1}{2} \sin 23^\circ]$
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [\cos 30^\circ \cos 23^\circ - \sin 30^\circ \sin 23^\circ]$
નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \cos(30^\circ + 23^\circ)$
$= \frac{1}{2} \cos 53^\circ$
આમ,$\frac{1}{2} \cos 53^\circ$ એ આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
કારણ કે $\cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) આપણને $\tan A = -\frac{1}{2}$ અને $\tan B = -\frac{1}{3}$ આપેલ છે.
બે ખૂણાઓના સરવાળા માટે ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરતા:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})}$
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$
કારણ કે $\tan(A + B) = -1$ અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1,$
તેથી $A + B = \frac{3\pi}{4}.$

(D) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{4}{5}$ અને $\cos B = -\frac{12}{13}$.
$A$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
$B$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
સૂત્ર $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(A + B) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{5}{13}\right)$
$= -\frac{36}{65} + \frac{20}{65}$
$= -\frac{16}{65}$.

(B) આપેલ છે કે $A + B = \frac{\pi}{4}.$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(A + B) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right).$
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1.$
આથી $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B.$
પદોને ગોઠવતા,$\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1.$
હવે,$(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 1 + \tan B + \tan A + \tan A \tan B$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1$ કિંમત મૂકતા,આપણને $1 + 1 = 2$ મળે છે.
આમ,$(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ખૂણાઓના સરવાળા માટેનું પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ છે:
$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
આને આપેલા સમીકરણ $\cos (A + B) = \alpha \cos A \cos B + \beta \sin A \sin B$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = 1$
$\beta = -1$
તેથી,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cos A - \sin B \cos B}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\sin^2 A - \sin^2 B)}{2 \sin A \cos A - 2 \sin B \cos B}$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(1 - \cos 2A) - (1 - \cos 2B)}{\sin 2A - \sin 2B} = \frac{\cos 2B - \cos 2A}{\sin 2A - \sin 2B}$
ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(A + B) \sin(A - B)}{2 \cos(A + B) \sin(A - B)}$
$= \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} = \tan(A + B)$.

(B) આપેલ છે કે $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}$ અને $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$.
$0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ અને $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ થાય.
તેથી,$\sin (\alpha + \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$ અને $\cos (\alpha - \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\alpha = (\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2\alpha = \sin ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \sin (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\sin 2\alpha = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha = \cos ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \cos (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) - \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\cos 2\alpha = (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}) - (\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$.
તેથી,$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{56/65}{33/65} = \frac{56}{33}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{8}{17}$ અને $\theta$ એ $1^{st}$ ચરણમાં છે,તેથી $\sin \theta = \frac{15}{17}$.
આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \cos \theta (\cos 30^\circ + \cos 45^\circ + \cos 120^\circ) + \sin \theta (-\sin 30^\circ + \sin 45^\circ + \sin 120^\circ)$
$= \cos \theta \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right) + \sin \theta \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$= \frac{8}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \frac{15}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{23}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$
$= 2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4 \cos 7^\circ \cos 36^\circ \sin 18^\circ$
કિંમતો મૂકતા $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$:
$= 4 \cos 7^\circ \left( \frac{5-1}{16} \right) = \cos 7^\circ$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos A - \sin A = \sqrt{2} \cos(A + 45^\circ)$.
$A = 15^\circ$ મૂકતા:
$\cos 15^\circ - \sin 15^\circ = \sqrt{2} \cos(15^\circ + 45^\circ)$
$= \sqrt{2} \cos 60^\circ$
$= \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $5x = 3x + 2x$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને $\tan 5x = \tan (3x + 2x)$ મળે છે.
$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 5x = \frac{\tan 3x + \tan 2x}{1 - \tan 3x \tan 2x}$.
ગુણાકાર કરતા:
$\tan 5x (1 - \tan 3x \tan 2x) = \tan 3x + \tan 2x$.
$\tan 5x - \tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 3x + \tan 2x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 5x - \tan 3x - \tan 2x$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
ધારો કે $A = \frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{15}$ અને $B = \frac{\pi}{15}$.
તેથી $A - B = \frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan\left(\frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15}\right) = \frac{\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15}}{1 + \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15}} = \tan \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$,તેથી $\frac{\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15}}{1 + \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15}} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ છેદ વડે ગુણતા: $\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} (1 + \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15})$.
$\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} + \sqrt{3} \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15}$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} - \sqrt{3} \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos 12^\circ + \cos 84^\circ + \cos 156^\circ + \cos 132^\circ$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $(\cos 132^\circ + \cos 12^\circ) + (\cos 156^\circ + \cos 84^\circ)$
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos 72^\circ \cos 60^\circ + 2 \cos 120^\circ \cos 36^\circ$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= 2 \cos 72^\circ \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos 36^\circ$
$= \cos 72^\circ - \cos 36^\circ$
$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) અંશ અને છેદને $\cos 17^\circ$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\cos 17^\circ + \sin 17^\circ}{\cos 17^\circ - \sin 17^\circ} = \frac{1 + \tan 17^\circ}{1 - \tan 17^\circ}$
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$,આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ:
$= \frac{\tan 45^\circ + \tan 17^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 17^\circ}$
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^\circ$ અને $B = 17^\circ$:
$= \tan(45^\circ + 17^\circ) = \tan 62^\circ$.

(A) અંશ અને છેદને $\cos 9^\circ$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}}{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}} = \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^\circ$ અને $B = 9^\circ$:
$\frac{\tan 45^\circ + \tan 9^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 9^\circ} = \tan(45^\circ + 9^\circ) = \tan 54^\circ$.

(A) આપેલ છે કે $\cos (A - B) = \frac{3}{5}$.
વિસ્તરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{3}{5}$ ..... $(i)$.
આપેલ છે કે $\tan A \tan B = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$,તેથી $\sin A \sin B = 2 \cos A \cos B$ ..... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\cos A \cos B + 2 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$3 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$.
હવે,$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sin A \sin B = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ છે.

(D) આપણે સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = 100^\circ$ અને $B = 125^\circ$.
તેથી $\tan(100^\circ + 125^\circ) = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$.
કારણ કે $100^\circ + 125^\circ = 225^\circ$,તેથી $\tan 225^\circ = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$.
બંને બાજુ $(1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ = \tan 100^\circ + \tan 125^\circ$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\tan 100^\circ + \tan 125^\circ + \tan 100^\circ \tan 125^\circ = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \alpha = \frac{15}{17}$ અને $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (બીજું ચરણ),તેથી $\cos \alpha = -\sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = -\frac{8}{17}$.
આપેલ છે કે $\tan \beta = \frac{12}{5}$ અને $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ (ત્રીજું ચરણ),તેથી $\sin \beta = -\frac{12}{13}$ અને $\cos \beta = -\frac{5}{13}$.
સૂત્ર $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\beta - \alpha) = (-\frac{12}{13})(-\frac{8}{17}) - (-\frac{5}{13})(\frac{15}{17})$
$= \frac{96}{221} + \frac{75}{221} = \frac{171}{221}$.

(A) અંશ અને છેદને $\cos 10^o$ વડે ભાગતા:
$\frac{1 + \tan 10^o}{1 - \tan 10^o}$
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^o$ અને $B = 10^o$ છે:
$\tan(45^o + 10^o) = \tan 55^o$

(B) આપેલ છે,$\cos P = \frac{1}{7}$ અને $\cos Q = \frac{13}{14}$.
$P$ અને $Q$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin P = \sqrt{1 - \cos^2 P} = \sqrt{1 - (\frac{1}{7})^2} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
તે જ રીતે,$\sin Q = \sqrt{1 - \cos^2 Q} = \sqrt{1 - (\frac{13}{14})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$.
સૂત્ર $\cos(P - Q) = \cos P \cos Q + \sin P \sin Q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(P - Q) = (\frac{1}{7})(\frac{13}{14}) + (\frac{4\sqrt{3}}{7})(\frac{3\sqrt{3}}{14})$
$= \frac{13}{98} + \frac{36}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos(P - Q) = \frac{1}{2}$,એટલે કે $P - Q = 60^o$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{2^x}{2^x + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{1 + 2^{x+1}}$.
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
ગણતરી કરતા $\tan(\alpha + \beta) = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{12}{13}$ અને $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ (પ્રથમ ચરણ),તેથી $\cos \theta$ ધન છે.
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$.
આપેલ છે કે $\cos \phi = -\frac{3}{5}$ અને $\pi < \phi < \frac{3\pi}{2}$ (ત્રીજું ચરણ),તેથી $\sin \phi$ ઋણ છે.
$\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
નિત્યસમ $\sin(\theta + \phi) = \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\theta + \phi) = (\frac{12}{13})(-\frac{3}{5}) + (\frac{5}{13})(-\frac{4}{5})$
$= -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = -\frac{56}{65}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin 3\theta + \sin 5\theta + \sin 7\theta + \sin 9\theta}{\cos 3\theta + \cos 5\theta + \cos 7\theta + \cos 9\theta}$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $\frac{(\sin 9\theta + \sin 3\theta) + (\sin 7\theta + \sin 5\theta)}{(\cos 9\theta + \cos 3\theta) + (\cos 7\theta + \cos 5\theta)}$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $2 \sin 6\theta \cos 3\theta + 2 \sin 6\theta \cos \theta = 2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
છેદ: $2 \cos 6\theta \cos 3\theta + 2 \cos 6\theta \cos \theta = 2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)}{2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)} = \frac{\sin 6\theta}{\cos 6\theta} = \tan 6\theta$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sin {163^\circ} \cos {347^\circ} + \sin {73^\circ} \sin {167^\circ}$
રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin {163^\circ} = \sin (180^\circ - 17^\circ) = \sin {17^\circ}$
$\cos {347^\circ} = \cos (360^\circ - 13^\circ) = \cos {13^\circ}$
$\sin {73^\circ} = \sin (90^\circ - 17^\circ) = \cos {17^\circ}$
$\sin {167^\circ} = \sin (180^\circ - 13^\circ) = \sin {13^\circ}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \sin {17^\circ} \cos {13^\circ} + \cos {17^\circ} \sin {13^\circ}$
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin (17^\circ + 13^\circ) = \sin {30^\circ}$
કારણ કે $\sin {30^\circ} = 1/2$,તેથી અંતિમ જવાબ $1/2$ છે.

(B) સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos(X + Y) + \cos(X - Y) = 2 \cos X \cos Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A + \cos(240^\circ + A) + \cos(240^\circ - A)$
$= \cos A + 2 \cos 240^\circ \cos A$
$= \cos A(1 + 2 \cos 240^\circ)$
અહીં $\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,
$= \cos A(1 + 2(-\frac{1}{2}))$
$= \cos A(1 - 1)$
$= \cos A(0) = 0$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cos(A - B)$.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ અને $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
તેથી,$A + B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
અને,$A - B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = 2\theta$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos(2\theta)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$,તેથી પદાવલિ $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ બને છે.

(C) આપેલ છે કે $b \sin \alpha = a \sin (\alpha + 2\beta)$.
બંને બાજુ ભાગતા,આપણને મળે $\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + 2\beta)}$.
યોગ-વિયોગના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta)}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta)}$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin (\alpha + \beta) \cos (-\beta)}{2 \cos (\alpha + \beta) \sin (-\beta)}$.
$\cos(-\beta) = \cos \beta$ અને $\sin(-\beta) = -\sin \beta$ હોવાથી:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin (\alpha + \beta) \cos \beta}{-2 \cos (\alpha + \beta) \sin \beta} = -\tan (\alpha + \beta) \cot \beta$.
જેને $-\frac{\cot \beta}{\cot (\alpha + \beta)}$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)}$
$\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\sin(B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}{\sin(B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}$
$\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2 \sin(45^\circ + A) \cos(B - 45^\circ)}{2 \sin(45^\circ - A) \cos(B - 45^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ + A)}{\sin(45^\circ - A)}$
$\sin(x \pm y)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(B) આપેલ છે,$\frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} = \frac{a + b}{a - b}$.
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{\sin(x + y) - \sin(x - y)} = \frac{(a + b) + (a - b)}{(a + b) - (a - b)}$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ અને $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$.
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$.
$\tan x \cdot \frac{1}{\tan y} = \frac{a}{b}$.
તેથી,$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $E = \cos \alpha \sin (\beta - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) + \cos \gamma \sin (\alpha - \beta )$.
$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$.
પદોનું અવલોકન કરતા:
$(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta) + (-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha) + (-\cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta) = 0 + 0 + 0 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) + \sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma )$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ બે પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $\sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) = 2 \sin \gamma \cos (\beta - \alpha )$.
છેલ્લા બે પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $\sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma ) = 2 \cos (\alpha + \beta ) \sin (-\gamma) = -2 \sin \gamma \cos (\alpha + \beta )$.
આ બંનેને જોડતા,$E = 2 \sin \gamma [\cos (\beta - \alpha ) - \cos (\alpha + \beta )]$.
નિત્યસમ $\cos (A-B) - \cos (A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \sin \gamma [2 \sin \alpha \sin \beta] = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $.

(A) આપેલ છે કે,$m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
$\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
$\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ અને $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(1 + \cos 6x) + (\cos 2x + \cos 4x)$
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ અને $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\cos^2 3x + 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2})$
$= 2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x$
$2\cos 3x$ સામાન્ય લેતા:
$= 2\cos 3x(\cos 3x + \cos x)$
ફરીથી $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\cos 3x \cdot 2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2})$
$= 4\cos 3x \cos 2x \cos x$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\tan 70^o - \tan 20^o}{\tan 50^o}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\frac{\sin 70^o}{\cos 70^o} - \frac{\sin 20^o}{\cos 20^o}}{\tan 50^o}$
$= \frac{\sin 70^o \cos 20^o - \cos 70^o \sin 20^o}{\cos 70^o \cos 20^o \tan 50^o}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્ર મુજબ અંશ $\sin(70^o - 20^o) = \sin 50^o$ થશે.
$= \frac{\sin 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o \tan 50^o}$
$\tan 50^o = \frac{\sin 50^o}{\cos 50^o}$ હોવાથી:
$= \frac{\sin 50^o \cos 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o \sin 50^o} = \frac{\cos 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \cos 50^o}{2 \cos 70^o \cos 20^o}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos 50^o}{\cos(70^o + 20^o) + \cos(70^o - 20^o)}$
$= \frac{2 \cos 50^o}{\cos 90^o + \cos 50^o}$
$\cos 90^o = 0$ હોવાથી:
$= \frac{2 \cos 50^o}{0 + \cos 50^o} = \frac{2 \cos 50^o}{\cos 50^o} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \phi = \frac{4}{5}$.
$\theta$ અને $\phi$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \phi = \frac{3}{5}$ મળે.
સૂત્ર $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta - \phi) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{24}{25}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = 1 + \cos(\theta - \phi)$.
કિંમત મૂકતા,$2\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$.
તેથી,$\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = \frac{49}{50}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = \frac{7}{5\sqrt{2}}$.

(A) પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\cos \alpha + \cos \beta )^2 + (\sin \alpha + \sin \beta )^2 = \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta + \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta$
નિત્યસમ $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) + (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
$= 1 + 1 + 2\cos (\alpha - \beta)$
$= 2 + 2\cos (\alpha - \beta)$
$= 2(1 + \cos (\alpha - \beta))$
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos ^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \times 2\cos ^2 \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$
$= 4\cos ^2 \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A)$ જાણીએ છીએ.
$A = \frac{\pi}{4} + \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 - 2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \cos\left( 2\left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right)$
$= \cos\left( \frac{\pi}{2} + 2\theta \right)$
નિત્યસમ $\cos\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\sin(2\theta)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ)$
$= \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$
$= \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1 \times 1/\sqrt{3}}$
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(\sqrt{3} - 1)$ વડે ગુણો:
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$= \frac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{3 - 1}$
$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$
$= 2 - \sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે,$\tan \theta = \frac{1}{7}$ અને $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$\theta$ એ $1^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{50}}$ અને $\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{50}}$.
$\phi$ એ $1^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
હવે,$\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{18}{10} - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
અને $\sin 2\phi = 2\sin \phi \cos \phi = 2(\frac{1}{\sqrt{10}})(\frac{3}{\sqrt{10}}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
હવે,$\cos(\theta + 2\phi) = \cos \theta \cos 2\phi - \sin \theta \sin 2\phi$.
$\cos(\theta + 2\phi) = (\frac{7}{\sqrt{50}})(\frac{8}{10}) - (\frac{1}{\sqrt{50}})(\frac{6}{10}) = \frac{56 - 6}{10\sqrt{50}} = \frac{50}{10(5\sqrt{2})} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta + 2\phi = 45^\circ$.

(B) આપેલ છે કે $\sin A = n \sin B,$ તેથી $\frac{n}{1} = \frac{\sin A}{\sin B}.$
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા,$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}.$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ અને $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A - B}{2}.$
આમ,$\frac{n - 1}{n + 1} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2}.$

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha = 1/\sqrt{5}$,તેથી $\cos \alpha = 2/\sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $\sin \beta = 3/5$,તેથી $\cos \beta = 4/5$.
સૂત્ર $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\beta - \alpha) = (3/5)(2/\sqrt{5}) - (4/5)(1/\sqrt{5}) = 2/(5\sqrt{5}) \approx 0.1789$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 0 = 0$ અને $\sin(\pi/4) \approx 0.707$.
તેથી $0 < \beta - \alpha < \pi/4$.
આમ,$\beta - \alpha$ એ $[0, \pi/4]$ અંતરાલમાં છે.