Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\cot \alpha = \frac{1}{2}$,જ્યાં $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (ત્રીજું ચરણ),તેથી $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = 2$.
આપેલ છે કે $\sec \beta = -\frac{5}{3}$,જ્યાં $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ (બીજું ચરણ),તેથી $\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1 = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
બીજા ચરણમાં $\tan \beta$ ઋણ હોય છે,તેથી $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + (-\frac{4}{3})}{1 - (2)(-\frac{4}{3})} = \frac{\frac{6-4}{3}}{1 + \frac{8}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{2}{11}$.

(D) નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 48^{\circ} - \sin^2 12^{\circ} = \cos(48^{\circ} + 12^{\circ}) \cos(48^{\circ} - 12^{\circ})$
$= \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 36^{\circ} = 1 - 2\sin^2 18^{\circ}$ હોવાથી:
$= \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{16} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} \right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

(C) વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 = (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ અને $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
સાદુરૂપ આપતા: $2 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 \times 2\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = 4\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

(D) અમે વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ અને $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.
$\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$.
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$
$= \sin x$.

(D) આપેલ છે $\sin \theta = \frac{-12}{13}$ અને $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (\frac{-12}{13})^2} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$.
આપેલ છે $\cos \phi = \frac{-4}{5}$ અને $\phi$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (\frac{-4}{5})^2} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
આમ,$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
સૂત્ર $\tan(\theta - \phi) = \frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\theta - \phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{(48 - 15)/20}{1 + 36/20} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(D) આપણે બે ખૂણાઓના સરવાળા માટે ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan(A+B) = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{11}}{1 - (\frac{5}{6} \times \frac{1}{11})}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{6} + \frac{1}{11} = \frac{55 + 6}{66} = \frac{61}{66}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{5}{66} = \frac{66 - 5}{66} = \frac{61}{66}$.
આમ,$\tan(A+B) = \frac{61/66}{61/66} = 1$.
તેથી,$\tan(A+B) = 1$ હોવાથી $A+B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
$= \left(\cos \frac{3 \pi}{4} \cos x - \sin \frac{3 \pi}{4} \sin x\right) - \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x\right)$
કારણ કે $\cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x$
$= -\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x = -\sqrt{2} \cos x$.

(A) નિત્યસમ $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) = \cos(x-y)$ અને $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ પદાવલિ: $\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \cos(54^{\circ}+A) \cos(54^{\circ}-A)$
કારણ કે $54^{\circ}+A = 90^{\circ}-(36^{\circ}-A)$ અને $54^{\circ}-A = 90^{\circ}-(36^{\circ}+A)$,તેથી:
$\cos(54^{\circ}+A) = \sin(36^{\circ}-A)$ અને $\cos(54^{\circ}-A) = \sin(36^{\circ}+A)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \sin(36^{\circ}-A) \sin(36^{\circ}+A)$
આ $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $x = 36^{\circ}-A$ અને $y = 36^{\circ}+A$.
$= \cos((36^{\circ}-A) - (36^{\circ}+A))$
$= \cos(36^{\circ}-A-36^{\circ}-A)$
$= \cos(-2A)$
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ હોવાથી,જવાબ $\cos(2A)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\sin \theta = \sin 15^{\circ} + \sin 45^{\circ}$.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{15^{\circ} + 45^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{15^{\circ} - 45^{\circ}}{2} \right)$
$\sin \theta = 2 \sin 30^{\circ} \cos(-15^{\circ})$
$\cos(-x) = \cos x$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$\sin \theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 15^{\circ}$
$\sin \theta = \cos 15^{\circ}$
$\cos 15^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$ હોવાથી:
$\sin \theta = \sin 75^{\circ}$
તેથી,$\theta = 75^{\circ}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin A+\sin 7 A+\sin 13 A}{\cos A+\cos 7 A+\cos 13 A}$
$A$ અને $13A$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$= \frac{(\sin 13 A+\sin A)+\sin 7 A}{(\cos 13 A+\cos A)+\cos 7 A}$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ અને $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 7 A \cos 6 A + \sin 7 A}{2 \cos 7 A \cos 6 A + \cos 7 A}$
અંશમાંથી $\sin 7 A$ અને છેદમાંથી $\cos 7 A$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{\sin 7 A(2 \cos 6 A + 1)}{\cos 7 A(2 \cos 6 A + 1)}$
$= \frac{\sin 7 A}{\cos 7 A} = \tan 7 A$

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \theta \cdot \frac{1}{2}$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2 \sin \theta + 2 \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
તેથી,$\tan \theta = -\sqrt{3}$

(B) નિત્યસમ $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
બાદબાકી કરતા:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
$\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$ હોવાથી,આ પદ થશે:
$\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$

(B) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \tan^{-1} 2$ અને $B = \tan^{-1} 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$.
અહીં $A$ અને $B$ ત્રિકોણના ખૂણા છે અને $\tan A = 2, \tan B = 3$ (બંને ધન) હોવાથી,$A$ અને $B$ લઘુકોણ છે.
તેથી,$A + B$ બીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ કારણ કે $\tan(A + B) = -1$.
માટે,$A + B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$135^{\circ} + C = 180^{\circ}$.
આમ,$C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ છે.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} [2 \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{5 \pi}{12} - \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{5 \pi}{12} + \frac{\pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{4 \pi}{12}) - \cos(\frac{6 \pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2})]$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] = \frac{1}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$\sin x + \sin y = \frac{1}{2} \quad (1)$
$\cos x + \cos y = 1 \quad (2)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \quad (3)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \quad (4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $(4)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{1}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
ડબલ એંગલ સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\tan(x+y) = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos ^{2} A - \sin ^{2} B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
અહીં,$A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos ^{2} 45^{\circ} - \sin ^{2} 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 15^{\circ}) \cdot \cos(45^{\circ} - 15^{\circ})$
$= \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(30^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(C) આપેલ છે $\tan \alpha = \frac{1}{7}$. $\alpha$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2/7}{1 + 1/49} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$.
$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{24}{25}$.
આપેલ છે $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. $\beta$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$.
સૂત્ર $\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(2\alpha + \beta) = \left(\frac{7}{25}\right)\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(\frac{24}{25}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{25\sqrt{10}}$.

(B) આપેલ છે કે,$\tan A + \tan B = x$ અને $\cot A + \cot B = y$.
કારણ કે $\cot A + \cot B = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\tan A + \tan B}{\tan A \tan B} = y$.
$\tan A + \tan B = x$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{\tan A \tan B} = y$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan A \tan B = \frac{x}{y}$.
હવે,$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\tan (A + B) = \frac{x}{1 - \frac{x}{y}} = \frac{x}{\frac{y - x}{y}} = \frac{xy}{y - x}$.

(D) આપેલ છે,$\sqrt{1+\cos 2 \alpha}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ અને $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{1+\cos 2 \beta}}=\frac{1}{7}$.
$1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$ હોવાથી,$\sqrt{2} \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
તેથી $\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\sin^2 2 \alpha = 1 - \cos^2 2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ હોવાથી,$\sin 2 \alpha = \frac{3}{5}$.
આમ,$\tan 2 \alpha = \frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
$\beta$ માટે,$\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{1+\cos 2 \beta}} = \tan \beta = \frac{1}{7}$.
હવે,$\tan(2 \alpha + \beta) = \frac{\tan 2 \alpha + \tan \beta}{1 - \tan 2 \alpha \tan \beta} = \frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)} = \frac{25/28}{25/28} = 1$.
તેથી,$2 \alpha + \beta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ})$ જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ}$ છે.
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) આપણે નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos ^4 \frac{\pi}{24} - \sin ^4 \frac{\pi}{24} = \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2 - \left(\sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2$
$= \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} + \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right) \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} - \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)$
$\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$ અને $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = \cos 2\theta$ હોવાથી:
$= (1) \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \cos \frac{\pi}{12}$
$\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ હોવાથી,$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(C) આપણે $\frac{7 \pi}{12}$ ને $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$
$= \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$= \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(A) આપેલ છે: $\frac{x}{y} = \frac{\cos A}{\cos B}$
પદના અંશ અને છેદને $y$ વડે ભાગતા:
$\frac{x \tan A - y \tan B}{x + y} = \frac{\frac{x}{y} \tan A - \tan B}{\frac{x}{y} + 1}$
$\frac{x}{y} = \frac{\cos A}{\cos B}$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{\cos A}{\cos B} \tan A - \tan B}{\frac{\cos A}{\cos B} + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\cos A + \cos B}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$

(C) અમે સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \theta + \sin 3 \theta}{\cos \theta + \cos 3 \theta} = \frac{2 \sin 2 \theta \cos(-\theta)}{2 \cos 2 \theta \cos(-\theta)}$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ હોવાથી:
$= \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \tan 2 \theta$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin (x+y) \sec x \sec y = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos y}$
$= \frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y} + \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$
$= \tan x + \tan y$

(D) આપેલ છે: $\tan 70^{\circ} - \tan 20^{\circ} = a \cdot \tan 50^{\circ}$
$\Rightarrow \frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}} - \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \frac{\sin(70^{\circ} - 20^{\circ})}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\Rightarrow \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\sin 50^{\circ} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\sin 50^{\circ}$ વડે ભાગતા:
$\Rightarrow a = \frac{\cos 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{2 \cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{\cos 90^{\circ} + \cos 50^{\circ}} = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{0 + \cos 50^{\circ}} = 2$

(C) આપેલ છે કે,$\alpha+\beta=\gamma$.
આપણે $\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1+\cos 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} [2 \cos^2 \alpha + 2 \cos^2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [1+\cos 2 \alpha + 1+\cos 2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
$\alpha+\beta=\gamma$ હોવાથી,$\alpha+\beta$ ની જગ્યાએ $\gamma$ મૂકતા:
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \cos^2 \gamma$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 + \cos \gamma [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$= 1 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

(D) આપણે સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos 48^{\circ} \cdot \cos 12^{\circ} = \frac{1}{2} [2 \cos 48^{\circ} \cos 12^{\circ}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(48^{\circ}+12^{\circ}) + \cos(48^{\circ}-12^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 36^{\circ}]$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}+1}{4}]$
$= \frac{1}{2} [\frac{2 + \sqrt{5} + 1}{4}]$
$= \frac{3+\sqrt{5}}{8}$

(D) આપેલ છે,$\cos (A-B)=3/5$ અને $\tan A \tan B=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
કોમ્પોનેન્ડો અને ડિવિડેન્ડોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{2+1}{2-1}$.
આ $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = 3$ માં પરિણમે છે.
$\cos (A-B) = 3/5$ મૂકતા:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = 3$.
$\cos (A+B) = -1/5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \frac{\cos A + \cos 3A + \cos 5A + \cos 7A}{\sin A + \sin 3A + \sin 5A + \sin 7A}$.
અંશ અને છેદમાં પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$I = \frac{(\cos 7A + \cos A) + (\cos 5A + \cos 3A)}{(\sin 7A + \sin A) + (\sin 5A + \sin 3A)}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ અને $\sin C + \sin D = 2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2\cos 4A \cos 3A + 2\cos 4A \cos A}{2\sin 4A \cos 3A + 2\sin 4A \cos A}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$I = \frac{2\cos 4A (\cos 3A + \cos A)}{2\sin 4A (\cos 3A + \cos A)}$.
$I = \frac{\cos 4A}{\sin 4A} = \cot 4A$.
આપેલ છે કે $A = \frac{\pi}{24}$,તેથી $4A = 4 \times \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$I = \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

(A) $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left(\frac{5 \pi}{24}\right) \cos \left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{5 \pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{5 \pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{6 \pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{4 \pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right] = \frac{\sqrt{2}+1}{4}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$.
અંશમાં આ સૂત્ર લાગુ પાડતા: $\tan 52^{\circ} - \tan 38^{\circ} = \frac{\sin(52^{\circ} - 38^{\circ})}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \tan 14^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}} = \frac{\cos 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$ બને છે.
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} = \cos(52^{\circ} + 38^{\circ}) + \cos(52^{\circ} - 38^{\circ}) = \cos 90^{\circ} + \cos 14^{\circ} = 0 + \cos 14^{\circ} = \cos 14^{\circ}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{\cos 14^{\circ}}{\frac{1}{2} \cos 14^{\circ}} = 2$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\cos 25^{\circ} + \sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ}}$.
અંશ અને છેદને $\cos 25^{\circ}$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \frac{1 + \tan 25^{\circ}}{1 - \tan 25^{\circ}}$ મળે છે.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^{\circ}$ અને $B = 25^{\circ}$,આપણને $\tan \theta = \tan(45^{\circ} + 25^{\circ}) = \tan 70^{\circ}$ મળે છે.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,આપણે $\tan(180^{\circ} + \alpha) = \tan \alpha$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\tan \theta = \tan(180^{\circ} + 70^{\circ}) = \tan 250^{\circ}$.
આમ,$\theta = 250^{\circ}$.

(C) આપણી પાસે પદાવલિ $\cos 20^{\circ} + \cos 30^{\circ} + \cos 40^{\circ}$ છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ માટે સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 40^{\circ} + \cos 20^{\circ} = 2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$.
હવે પદાવલિ $2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} + \cos 30^{\circ}$ બને છે.
$\cos 30^{\circ}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\cos 30^{\circ} (2 \cos 10^{\circ} + 1)$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $4 \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 20^{\circ}$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપણી પાસે છે,
$1+\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ} = (1+\cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ})$
$= 2\cos^2 5^{\circ} + 2\cos 25^{\circ} \cos 5^{\circ}$
$= 2\cos 5^{\circ} (\cos 5^{\circ} + \cos 25^{\circ})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos \frac{25^{\circ}+5^{\circ}}{2} \cos \frac{25^{\circ}-5^{\circ}}{2})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos 15^{\circ} \cos 10^{\circ})$
$= 4\cos 5^{\circ} \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
તેથી,$\sin 84^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 84^{\circ}) = \cos 6^{\circ}$.
હવે,$\cos 66^{\circ} + \sin 84^{\circ} = \cos 66^{\circ} + \cos 6^{\circ}$.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos \frac{66^{\circ} + 6^{\circ}}{2} \cos \frac{66^{\circ} - 6^{\circ}}{2}$
$= 2 \cos 36^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$,તેથી:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1)}{4}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપણે સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
આપેલ પદાવલિ: $E = (\cos \alpha + \cos \beta) - (\cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma))$.
સૂત્રો લાગુ પાડતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2}]$.
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [2 \sin \frac{\alpha+\gamma}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2}]$.
આમ,$E = 4 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \sin \frac{\gamma+\alpha}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A+B = \frac{\pi}{4}$,તેથી $A = \frac{\pi}{4} - B$.
અંશ અને છેદને $\cos B$ વડે ભાગતા:
$\frac{\cos B - \sin B}{\cos B + \sin B} = \frac{1 - \tan B}{1 + \tan B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{\pi}{4} - B) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan B}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan B}$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,આ $\frac{1 - \tan B}{1 + \tan B} = \tan(\frac{\pi}{4} - B)$ બને છે.
$A = \frac{\pi}{4} - B$ મૂકતા,આપણને $\tan A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{1}{3} \dots (i)$ અને $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{4} \dots (ii)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{3} \dots (iii)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{4} \dots (iv)$
$(iv)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા,$\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
હવે,$\cos (\alpha+\beta) = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2}} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$.

(B) ધારો કે $\frac{x}{\cos \alpha} = \frac{y}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)} = \frac{z}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)} = k$.
તેથી,$x = k \cos \alpha$,$y = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)$,અને $z = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)$.
હવે,$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right) + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right) \right]$.
સૂત્ર $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \alpha \right]$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos \alpha \right] = k [\cos \alpha - \cos \alpha] = 0$.

(A) આપેલ છે કે $(1+\tan \alpha)(1+\tan 4 \alpha)=2$ જ્યાં $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + \tan \alpha + \tan 4 \alpha + \tan \alpha \tan 4 \alpha = 2$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \alpha + \tan 4 \alpha = 1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha$.
બંને બાજુ $(1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha)$ વડે ભાગતા: $\frac{\tan \alpha + \tan 4 \alpha}{1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha} = 1$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\tan(\alpha + 4 \alpha) = 1$.
આથી: $\tan(5 \alpha) = 1$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $5 \alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ માટે,$n=0$ લેતા,$5 \alpha = \frac{\pi}{4}$,જે આપણને $\alpha = \frac{\pi}{20}$ આપે છે.

(A) $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદનું વિસ્તરણ કરો:
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$
બધા પદો એકબીજા સાથે ઉડી જાય છે,તેથી પરિણામ $0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$. કારણ કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$,માટે $\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$. કારણ કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{4}$,માટે $\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)]$.
સૂત્ર $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{48-15}{48}} = \frac{14}{12} \cdot \frac{48}{33} = \frac{14 \cdot 4}{33} = \frac{56}{33}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેથી $\angle A = 90^{\circ}$ અને $AB = AC = a$ થાય. ધારો કે $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $AD = DC = \frac{a}{2}$ થાય.
$\triangle ADB$ માં,$\angle DAB = 90^{\circ}$ છે. ધારો કે $\angle ABD = \alpha$ છે. તેથી $\cot \alpha = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{a/2} = 2$ થાય.
ધારો કે $\angle DBC = \beta$ છે. કારણ કે $\angle ABC = 45^{\circ}$ છે,તેથી $\alpha + \beta = 45^{\circ}$ થાય.
$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cot 45^{\circ} = 1$ મળે છે.
$\frac{2 \cot \beta - 1}{2 + \cot \beta} = 1$ $\Rightarrow 2 \cot \beta - 1 = 2 + \cot \beta$ $\Rightarrow \cot \beta = 3$ મળે છે.
આમ,બે ખૂણાઓના કોટાનજન્ટ $2$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ છે: $\sin \theta_1+\sin \theta_2=-\frac{21}{65}$ અને $\cos \theta_1+\cos \theta_2=-\frac{27}{65}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \theta_1+\sin \theta_2)^2 + (\cos \theta_1+\cos \theta_2)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta_1 - \theta_2) = \frac{1170}{4225}$
$2(1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)) = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(B) આપેલ છે,$\frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)} = \frac{a+b}{a-b}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\sin(x+y) - \sin(x-y)} = \frac{(a+b) + (a-b)}{(a+b) - (a-b)}$
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin x \cos y}{2 \cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$
$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$

(D) આપેલ છે,$\sin A = \frac{11}{61}$. $A$ પ્રથમ ચરણમાં નથી અને $\sin A > 0$ હોવાથી,$A$ બીજા ચરણમાં છે. તેથી,$\cos A = -\frac{60}{61}$.
આપેલ છે,$\cos B = \frac{-7}{25}$. $B$ બીજા ચરણમાં નથી અને $\cos B < 0$ હોવાથી,$B$ ત્રીજા ચરણમાં છે. તેથી,$\sin B = -\frac{24}{25}$.
$A-B$ માટે:
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B = \frac{-1517}{1525} < 0$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{156}{1525} > 0$.
તેથી $A-B$ ચોથા ચરણમાં છે.
$A+B$ માટે:
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{1363}{1525} > 0$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = \frac{684}{1525} > 0$.
તેથી $A+B$ પ્રથમ ચરણમાં છે.