Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ}$ છે.
$\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$.
$\cot \theta + \tan \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$.
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right) = 4 \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ હોવાથી,જવાબ $4$ મળે છે.

(C) અમારી પાસે પદાવલિ $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \cos 72^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,આપણે લખી શકીએ $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $E = \frac{1}{2} (2 \sin 24^{\circ} \cos 6^{\circ}) \sin 18^{\circ}$.
નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} (\sin 30^{\circ} + \sin 18^{\circ}) \sin 18^{\circ}$.
$E = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 18^{\circ} + \sin^2 18^{\circ})$.
આપેલ છે કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,તેથી $\sin^2 18^{\circ} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}-1}{8} + \frac{3-\sqrt{5}}{8}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{8}) = \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sin 21^{\circ} \cos 9^{\circ}-\cos 84^{\circ} \cos 6^{\circ}$
નિત્યસમ $\cos 84^{\circ} = \sin(90^{\circ}-84^{\circ}) = \sin 6^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\sin 21^{\circ} \cos 9^{\circ}-\sin 6^{\circ} \cos 6^{\circ}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{1}{2} [2 \sin 21^{\circ} \cos 9^{\circ} - 2 \sin 6^{\circ} \cos 6^{\circ}]$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [(\sin(21^{\circ}+9^{\circ}) + \sin(21^{\circ}-9^{\circ})) - \sin(2 \times 6^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\sin 30^{\circ} + \sin 12^{\circ} - \sin 12^{\circ}]$
$= \frac{1}{2} [\sin 30^{\circ}]$
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(B) આપેલ છે કે $x+y = \frac{\pi}{6}$.
બંને બાજુ $\cot$ લેતા,$\cot(x+y) = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
સૂત્ર $\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a-1}{\cot x + \cot y} = \sqrt{3}$ મળે.
તેથી,$\cot x + \cot y = \frac{a-1}{\sqrt{3}}$.
$\cot x$ અને $\cot y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\cot x + \cot y)t + (\cot x \cot y) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$t^2 - \frac{a-1}{\sqrt{3}}t + a = 0$.
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{3}t^2 - (a-1)t + a\sqrt{3} = 0$ મળે,જે $\sqrt{3}t^2 + (1-a)t + a\sqrt{3} = 0$ છે.

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = \cos ^2 5^{\circ}-(\cos ^2 15^{\circ}+\sin ^2 15^{\circ})+\sin ^2 35^{\circ}+\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ}-\cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 15^{\circ} + \sin^2 15^{\circ} = 1$ મળે.
વળી,$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ મળે.
આ કિંમતો $E$ માં મૂકતા,$E = \cos^2 5^{\circ} - 1 + \sin^2 35^{\circ} + \frac{1}{4} - \cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ મળે.
કારણ કે $\cos^2 5^{\circ} - 1 = -\sin^2 5^{\circ}$,તેથી $E = -\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 35^{\circ} + \frac{1}{4} - \cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ મળે.
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 35^{\circ} - \sin^2 5^{\circ} = \sin(35^{\circ}-5^{\circ})\sin(35^{\circ}+5^{\circ}) = \sin 30^{\circ} \sin 40^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ}$ મળે.
$2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ} = \frac{1}{2} [\sin(35^{\circ}+5^{\circ}) - \sin(35^{\circ}-5^{\circ})] = \frac{1}{2} (\sin 40^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ} - \frac{1}{4}$ મળે.
આ કિંમતો $E$ માં ફરીથી મૂકતા,$E = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ} + \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \sin 40^{\circ} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ મળે.

(C) ધારો કે $S = \operatorname{cosec} 48^{\circ} + \operatorname{cosec} 96^{\circ} + \operatorname{cosec} 192^{\circ} + \operatorname{cosec} 384^{\circ}$.
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{\sin 48^{\circ}} + \frac{1}{\sin 96^{\circ}} + \frac{1}{\sin 192^{\circ}} + \frac{1}{\sin 384^{\circ}}$.
$\sin 192^{\circ} = -\sin 12^{\circ}$ અને $\sin 384^{\circ} = \sin 24^{\circ}$ હોવાથી,
$S = \frac{1}{\sin 48^{\circ}} + \frac{1}{\sin 96^{\circ}} - \frac{1}{\sin 12^{\circ}} + \frac{1}{\sin 24^{\circ}}$.
આ પદોનું સાદું રૂપ આપતા અંતિમ જવાબ $0$ મળે છે.

(B) ઉકેલ: $E = (\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ})(\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ})$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ અને $\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ} = \cos 18^{\circ} (-\sin 36^{\circ})$.
$\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$E = -\frac{3}{2} \sin 36^{\circ} \cos 18^{\circ} = -\frac{3\sqrt{5}}{8}$.

(D) આપેલ છે,$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
અને,$\sin x + \sin y = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{4}$
બીજા સમીકરણને પહેલા સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)} = \frac{3/4}{3/2}$
$\Rightarrow \tan \left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
નિત્યસમ $\sin(x + y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x + y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x + y}{2}\right)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

(A) આપેલ છે કે $\cos (x-y), \cos x, \cos (x+y)$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
તેથી,$\cos x = \frac{2 \cos (x-y) \cos (x+y)}{\cos (x+y) + \cos (x-y)}$.
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{\cos 2x + \cos 2y}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{2 \cos^2 x + 2 \cos^2 y - 2}{2 \cos x \cos y}$.
$\cos^2 x \cos y = \cos^2 x + \cos^2 y - 1$.
$\cos^2 x (\cos y - 1) = \cos^2 y - 1$.
$\cos^2 x (1 - \cos y) = 1 - \cos^2 y$.
$\cos^2 x (1 - \cos y) = (1 - \cos y)(1 + \cos y)$.
$\cos x \neq \cos y$ હોવાથી,$1 - \cos y \neq 0$,તેથી:
$\cos^2 x = 1 + \cos y$.

(A) ધારો કે $K = \sum_{k=1}^{7} \tan^2 \frac{k\pi}{16}$.
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = \frac{8}{1 - \cos 4\theta} - 2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા.
પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરીએ:
$K = (\tan^2 \frac{\pi}{16} + \cot^2 \frac{\pi}{16}) + (\tan^2 \frac{\pi}{8} + \cot^2 \frac{\pi}{8}) + (\tan^2 \frac{3\pi}{16} + \cot^2 \frac{3\pi}{16}) + 1$.
દરેક જૂથ માટે કિંમત શોધતા:
$\theta = \frac{\pi}{16}$ માટે,સરવાળો $= 14 + 8\sqrt{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ માટે,સરવાળો $= 6$.
$\theta = \frac{3\pi}{16}$ માટે,સરવાળો $= 14 - 8\sqrt{2}$.
કુલ સરવાળો $K = (14 + 8\sqrt{2}) + 6 + (14 - 8\sqrt{2}) + 1 = 35$.

(A) $\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદોને સાદું રૂપ આપતા સરવાળો $\frac{11}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$1-\cot 23^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 22^{\circ}}$
$x = (1-\cot 23^{\circ})(1-\cot 22^{\circ})$
$x = (1 - \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}})(1 - \frac{\cos 22^{\circ}}{\sin 22^{\circ}})$
$x = \frac{(\sin 23^{\circ} - \cos 23^{\circ})(\sin 22^{\circ} - \cos 22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ} - \sin 23^{\circ} \cos 22^{\circ} - \cos 23^{\circ} \sin 22^{\circ} + \cos 23^{\circ} \cos 22^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \sin(23^{\circ}+22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ})}{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \cos(23^{\circ}+22^{\circ})}$
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \cos 45^{\circ}} = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}}} = 2$

(B) આપેલ છે કે $\sin \alpha - \cos \alpha = m$ અને $\sin 2 \alpha = n - m^2$.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = m^2$.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ અને $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha$,તેથી:
$1 - \sin 2 \alpha = m^2$.
$\sin 2 \alpha = 1 - m^2$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $\sin 2 \alpha = n - m^2$ સાથે સરખાવતા:
$n - m^2 = 1 - m^2$.
તેથી,$n = 1$.

(A) આપણે હાઇપરબોલિક વિધેયો માટે ગુણાકાર-થી-સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\sinh A \cosh B = \frac{1}{2}(\sinh(A+B) + \sinh(A-B))$.
ધારો કે $A = x+y$ અને $B = x-y$.
તો $A+B = (x+y) + (x-y) = 2x$ અને $A-B = (x+y) - (x-y) = 2y$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh (x+y) \cosh (x-y) = \frac{1}{2}(\sinh(2x) + \sinh(2y))$.

(A) આપેલ છે,$\sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \sin \frac{5 \pi}{16} \sin \frac{7 \pi}{16}$
$= \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3 \pi}{16}\right) \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{16}\right)$
$= \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} \cdot 2 \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}\right)$
$= \frac{1}{4} \left(\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right) = \frac{1}{4} \left(\sin \frac{\pi}{8} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\right)$
$= \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cosh(\theta) - 1}{\cosh(\theta) + 1}$.
આપેલ છે કે $\cosh(\theta) = \sec(x)$,તેથી:
$\tanh^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sec(x) - 1}{\sec(x) + 1}$.
$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{\cos(x)} - 1}{\frac{1}{\cos(x)} + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ અને $1 + \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$.

(B) આપેલ છે કે $\sin A + \sin B = \frac{1}{2}$ અને $\cos A + \cos B = 1$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin A + \sin B)^2 + (\cos A + \cos B)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (1)^2$
$\sin^2 A + \sin^2 B + 2 \sin A \sin B + \cos^2 A + \cos^2 B + 2 \cos A \cos B = \frac{1}{4} + 1$
$(\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 B + \cos^2 B) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) = \frac{5}{4}$
$1 + 1 + 2 \cos(A-B) = \frac{5}{4}$
$2 + 2 \cos(A-B) = \frac{5}{4}$
$2 \cos(A-B) = \frac{5}{4} - 2 = -\frac{3}{4}$
$\cos(A-B) = -\frac{3}{8}$
નિત્યસમ $\cos \theta = 1 - 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2(\frac{A-B}{2}) = -\frac{3}{8}$
$2 \sin^2(\frac{A-B}{2}) = 1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$
$\sin^2(\frac{A-B}{2}) = \frac{11}{16}$
$\sin(\frac{A-B}{2}) = \pm \frac{\sqrt{11}}{4}$

(D) આપેલ છે કે,$\cos(\theta_1) + \cos(\theta_2) + \cos(\theta_3) + \cos(\theta_4) = -4$.
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $-4$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ $-1$ હોય.
તેથી,$\cos(\theta_1) = \cos(\theta_2) = \cos(\theta_3) = \cos(\theta_4) = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4 = \pi$ (અથવા તેના વ્યાપક સ્વરૂપમાં).
તેથી,$\cot(\frac{\theta_i}{2}) = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આમ,$\cot(\frac{\theta_1}{2}) + \cot(\frac{\theta_2}{2}) + \cot(\frac{\theta_3}{2}) + \cot(\frac{\theta_4}{2}) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{6}$,તેથી $x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) \right]$.
$x = \log \left[ \cot \left( \frac{5\pi}{12} \right) \right]$.
સૂત્ર $\cot(A+B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\cot(\pi/4) \cot(\pi/6) - 1}{\cot(\pi/6) + \cot(\pi/4)} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
આમ,$e^x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ અને $e^{-x} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
વ્યાખ્યા $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sinh(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} - \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \right)$.
$\sinh(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{(\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(3+1-2\sqrt{3}) - (3+1+2\sqrt{3})}{3-1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-4\sqrt{3}}{2} \right) = -\sqrt{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે $x = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ અને $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$.
$x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.
$\operatorname{cosech}^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-2 + \sqrt{4+1}\right) = \ln(\sqrt{5}-2)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\sinh^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \ln(\sqrt{5}-2) = \ln\left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-2)}{2}\right)$.
$= \ln\left(\frac{5 - 2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2}{2}\right) = \ln\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)$.

(C) ધારો કે $P = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
નોંધો કે $\cos \frac{14 \pi}{15} = \cos (\pi - \frac{\pi}{15}) = -\cos \frac{\pi}{15}$.
તેથી,$P = -\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15}$.
$2^4 \sin \frac{\pi}{15}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = -\frac{1}{16 \sin \frac{\pi}{15}} (16 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15})$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$P = -\frac{\sin \frac{16 \pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}}$.
$\sin \frac{16 \pi}{15} = \sin (\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin \frac{\pi}{15}$ હોવાથી,
$P = -\frac{-\sin \frac{\pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sqrt{2}-(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha-\cos \alpha}$ છે.
અંશ અને છેદને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha-\cos \alpha)}$.
$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1-\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})}{\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})}$.
$1-\sin \theta = 2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \tan(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \cos 12^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = \frac{1}{2} + (\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ})$.
$\cos 132^{\circ} = -\cos 48^{\circ}$ અને $\cos 156^{\circ} = -\cos 24^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} + (\cos 84^{\circ} - \cos 48^{\circ}) + (\cos 12^{\circ} - \cos 24^{\circ})$.
સૂત્ર $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} (\sin 66^{\circ} - \sin 6^{\circ}) = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ કિંમતો મૂકતા,$S = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3 = x$
બંને બાજુ $\cosh$ લેતા,$\cosh(\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
$\cosh(A + B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh(\sinh ^{-1} 2) \cosh(\sinh ^{-1} 3) + \sinh(\sinh ^{-1} 2) \sinh(\sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
$\cosh(\sinh ^{-1} y) = \sqrt{1 + y^2}$ અને $\sinh(\sinh ^{-1} y) = y$ હોવાથી:
$\cosh x = \sqrt{1 + 2^2} \cdot \sqrt{1 + 3^2} + 2 \cdot 3$
$\cosh x = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + 6$
$\cosh x = \sqrt{50} + 6 = \frac{2 \sqrt{50} + 12}{2} = \frac{1}{2}(12 + 2 \sqrt{50})$

(C) આપેલ છે,$\tan(\theta+100^{\circ})=\tan(\theta+50^{\circ}) \tan(\theta) \tan(\theta-50^{\circ})$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{\sin(2\theta+50^{\circ})}{\sin(150^{\circ})} = \frac{\cos(50^{\circ})}{-\cos(2\theta+50^{\circ})}$.
$\Rightarrow \sin(4\theta+100^{\circ}) = -\cos(50^{\circ}) = \sin(220^{\circ})$.
$4\theta+100^{\circ} = 220^{\circ}$ $\Rightarrow 4\theta = 120^{\circ}$ $\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.

(A) આપેલ અંતરાલ $e^{-\pi / 2} < \theta < \pi / 2$ છે.
$\cos (\log \theta)$ માટે,$-\pi / 2 < \log \theta < \log (\pi / 2)$ થાય.
અહીં $\log (\pi / 2) < \pi / 2$ હોવાથી,કોસાઇનનું મૂલ્ય $(-\pi / 2, \pi / 2)$ અંતરાલમાં ધન એટલે કે $\cos (\log \theta) > 0$ મળે છે.
$\log (\cos \theta)$ માટે,$0 < \cos \theta < 1$ હોવાથી $\log (\cos \theta) < 0$ મળે છે.
આમ,$\cos (\log \theta) > \log (\cos \theta)$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + y^2 + 2y = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + (y+1)^2 = 1$
અહીં $\tan^2(x+y) \ge 0$ અને $(y+1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$\tan(x+y) = 0$,$\cos^2(x+y) = 1$ અને $y = -1$ મળે.
તેથી $x+y = n\pi$ અને $y = -1$,એટલે કે $x = n\pi + 1$.
બિંદુઓ $P(n_1\pi + 1, -1)$ અને $Q(n_2\pi + 1, -1)$ સ્વરૂપના છે.
તેથી અંતર $d = |n_1 - n_2|\pi = k\pi$ મળે.
આમ,$\cos d = \cos(k\pi) = (-1)^k$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $P_1 = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7}$ લો.
$\theta = \frac{\pi}{7}$ લેતા,$P_1 = \frac{\sin(8\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{\sin(\pi + \pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{-\sin(\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = -\frac{1}{8}$ મળે.
ત્યારબાદ,ગુણાકાર $P_2 = \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}$ લો.
નિત્યસમ $\cos \theta \cos 2\theta = \frac{\sin 4\theta}{4 \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P_2 = \frac{\sin(4\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi - \pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{1}{4}$ મળે.
તેથી,કુલ પદાવલિ $4 \times P_1 \times P_2 = 4 \times (-\frac{1}{8}) \times (\frac{1}{4}) = -\frac{1}{8}$ થાય.

(C) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $S = \sin ^4 \frac{\pi}{8}+\sin ^4 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી,$\sin \frac{5 \pi}{8} = \sin \frac{3 \pi}{8}$ અને $\sin \frac{7 \pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$ થાય.
તેથી,$S = 2 \left[ \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} \right]$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 \theta = \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right)^2$ મળે.
$S = 2 \left[ \left( \frac{1 - \cos(\pi/4)}{2} \right)^2 + \left( \frac{1 - \cos(3\pi/4)}{2} \right)^2 \right]$
$S = 2 \left[ \left( \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1 - (-1/\sqrt{2})}{2} \right)^2 \right]$
$S = \frac{2}{4} \left[ (1 - 1/\sqrt{2})^2 + (1 + 1/\sqrt{2})^2 \right] = \frac{1}{2} \left[ (1 + 1/2 - \sqrt{2}) + (1 + 1/2 + \sqrt{2}) \right]$
$S = \frac{1}{2} \left[ 3 \right] = \frac{3}{2}$.

(C) $A+B=45^{\circ}$ ધ્યાનમાં લો. તો $\tan(A+B)=1$,જેનો અર્થ છે કે $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$.
બંને બાજુ $1 + \tan A \tan B$ ઉમેરતા $1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 2$ મળે,એટલે કે $(1+\tan A)(1+\tan B) = 2$.
આપણે $1^{\circ}$ થી $44^{\circ}$ સુધીના પદોને એવી રીતે જોડી શકીએ કે ખૂણાઓનો સરવાળો $45^{\circ}$ થાય:
$(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$.
આવી $22$ જોડીઓ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $2^{22}$ થાય.
છેલ્લે,આપણે છેલ્લું પદ ઉમેરીએ: $(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$.
આમ,કુલ ગુણાકાર $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ છે.
$2^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n=23$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $S = \sin \frac{2 \pi}{5}+\sin \frac{4 \pi}{5}+\sin \frac{6 \pi}{5}+\sin \frac{8 \pi}{5}$
ગુણધર્મ $\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{8 \pi}{5} = \sin(2\pi - \frac{2 \pi}{5}) = -\sin \frac{2 \pi}{5}$
$\sin \frac{6 \pi}{5} = \sin(2\pi - \frac{4 \pi}{5}) = -\sin \frac{4 \pi}{5}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \sin \frac{2 \pi}{5} + \sin \frac{4 \pi}{5} - \sin \frac{4 \pi}{5} - \sin \frac{2 \pi}{5}$
$S = 0$

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sin ^2 5^{\circ}+\sin ^2 10^{\circ}+\ldots+\sin ^2 85^{\circ}+\sin ^2 90^{\circ}$ છે.
$5^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધીમાં કુલ $18$ પદો છે.
આપણે નિત્યસમ $\sin ^2 \theta + \sin ^2 (90^{\circ} - \theta) = \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\sin ^2 5^{\circ} + \sin ^2 85^{\circ}) + (\sin ^2 10^{\circ} + \sin ^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin ^2 40^{\circ} + \sin ^2 50^{\circ}) + \sin ^2 45^{\circ} + \sin ^2 90^{\circ}$.
આવી કુલ $8$ જોડીઓ છે,જે દરેકનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.
તેથી,$S = 8 \times 1 + \sin ^2 45^{\circ} + \sin ^2 90^{\circ}$.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 90^{\circ} = 1$ હોવાથી,$S = 8 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 1^2 = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9 \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $u = \log \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
હાયપરબોલિક કોસાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$e^u = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
તેથી $e^{-u} = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)} = \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
હવે,$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \right]$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) + \tan(A-B) = \frac{2 \sin(2A)}{\cos(2A) + \cos(2B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \frac{2 \sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2) + \cos(\theta)} \right] = \frac{1}{0 + \cos \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2 \theta)$.
ધારો કે $S = \sum_{k=1,3,5,7} (\sin^4 \frac{k \pi}{8} + \cos^4 \frac{k \pi}{8})$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{k=1,3,5,7} (1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{k \pi}{4})$.
અહીં $4$ પદો હોવાથી,$S = 4 - \frac{1}{2} (\sin^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{3 \pi}{4} + \sin^2 \frac{5 \pi}{4} + \sin^2 \frac{7 \pi}{4})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{5 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,અને $\sin^2 \frac{7 \pi}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 4 - \frac{1}{2} (2) = 4 - 1 = 3$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S$ છે.
$S = \sum_{k=1}^{89} \frac{1}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}}$
$\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=1}^{89} \frac{\sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ})}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=1}^{89} (\cot k^{\circ} - \cot(k+1)^{\circ})$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 1^{\circ} - \cot 90^{\circ})$
$\cot 90^{\circ} = 0$ હોવાથી:
$S = \frac{\cot 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin^2 1^{\circ}}$

(C) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{89} \frac{1}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}}$ છે.
$\sin(1^{\circ}) = \sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ}) = \sin(k+1)^{\circ} \cos k^{\circ} - \cos(k+1)^{\circ} \sin k^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{1}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot k^{\circ} - \cot(k+1)^{\circ})$.
આથી,$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 1^{\circ} - \cot 90^{\circ}) = \frac{\cot 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin ^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\sin ^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}$.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\sin ^3 10^{\circ} = \frac{3\sin 10^{\circ} - \sin 30^{\circ}}{4}$
$\sin ^3 50^{\circ} = \frac{3\sin 50^{\circ} - \sin 150^{\circ}}{4}$
$\sin ^3 70^{\circ} = \frac{3\sin 70^{\circ} - \sin 210^{\circ}}{4}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{4} [3(\sin 10^{\circ} + \sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ}) - (\sin 30^{\circ} + \sin 150^{\circ} - \sin 210^{\circ})]$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\sin 210^{\circ} = -\frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^{\circ} + \sin 150^{\circ} - \sin 210^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
$\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ} = 2\cos 60^{\circ}\sin(-10^{\circ}) = -\sin 10^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 10^{\circ} + (\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ}) = \sin 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} = 0$
આમ,પદાવલિ $\frac{1}{4} [3(0) - \frac{3}{2}] = -\frac{3}{8}$ બને છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\cosh 2x = \frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1}$ છે.
આપેલ છે કે $\cosh 2x = 199$,તેથી $\frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1} = 199$.
ધારો કે $u = \operatorname{coth}^2 x$. તો $\frac{u + 1}{u - 1} = 199$.
$u + 1 = 199u - 199$.
$200 = 198u$.
$u = \frac{200}{198} = \frac{100}{99}$.
આમ,$\operatorname{coth}^2 x = \frac{100}{99}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\operatorname{coth} x = \pm \sqrt{\frac{100}{99}} = \pm \frac{10}{3 \sqrt{11}}$.
ધન કિંમત લેતા,પરિણામ $\frac{10}{3 \sqrt{11}}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2)$ $\frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3}{2} \sin(2A) = \sin(2B)$
સમીકરણો ઉકેલતા,$A = 30^{\circ}$ અને $B = 30^{\circ}$ મળે છે.
તેથી $A + 2B = 30^{\circ} + 2(30^{\circ}) = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ છે: $\sin x - \sin y = \frac{27}{65}$ $(1)$
$\cos x - \cos y = -\frac{21}{65}$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin x - \sin y)^2 + (\cos x - \cos y)^2 = (\frac{27}{65})^2 + (-\frac{21}{65})^2$
$2 - 2 \cos(x - y) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$\cos(x - y) = \frac{56}{65}$
$\tan(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9}$
$\sin(x+y) = \frac{2 \tan(\frac{x+y}{2})}{1 + \tan^2(\frac{x+y}{2})} = \frac{63}{65}$.

(C) ધારો કે $S = \operatorname{cosec} 48^{\circ} + \operatorname{cosec} 96^{\circ} + \operatorname{cosec} 192^{\circ} + \operatorname{cosec} 384^{\circ}$.
$\operatorname{cosec} \theta = \cot(\theta/2) - \cot \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\cot 24^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + (\cot 48^{\circ} - \cot 96^{\circ}) + (\cot 96^{\circ} - \cot 192^{\circ}) + (\cot 192^{\circ} - \cot 384^{\circ})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S = \cot 24^{\circ} - \cot 384^{\circ}$.
કારણ કે $\cot 384^{\circ} = \cot(360^{\circ} + 24^{\circ}) = \cot 24^{\circ}$,તેથી $S = \cot 24^{\circ} - \cot 24^{\circ} = 0$.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{7}$. તેથી $7\theta = \pi$,એટલે કે $4\theta = \pi - 3\theta$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(4\theta) = \tan(\pi - 3\theta) = -\tan(3\theta)$.
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4\tan\theta - 4\tan^3\theta}{1 - 6\tan^2\theta + \tan^4\theta} = -\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$.
$\tan\theta$ વડે ભાગતા (કારણ કે $\tan\theta \neq 0$):
$4(1 - \tan^2\theta)(1 - 3\tan^2\theta) = -(1 - 6\tan^2\theta + \tan^4\theta)(3 - \tan^2\theta)$.
ધારો કે $x = \tan^2\theta$. સમીકરણ $x^3 - 21x^2 + 35x - 7 = 0$ બને છે.
આ સમીકરણના બીજ $\tan^2(\frac{\pi}{7}), \tan^2(\frac{2\pi}{7}), \tan^2(\frac{3\pi}{7})$ છે.
નિત્યસમ $\sum \tan \alpha \tan \beta = -7$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ પદાવલિની કિંમત $-7$ મળે છે.