Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$.
સૂત્રો $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = 2s - (a+c)$
$2b = a+c$.
આ સૂચવે છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
હવે,$r_2 : r = \frac{r_2}{r} = \frac{\Delta / (s-b)}{\Delta / s} = \frac{s}{s-b}$.
કારણ કે $2b = a+c$,તેથી $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$.
આમ,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b/2}{3b/2 - b} = \frac{3b/2}{b/2} = 3$.
તેથી,$r_2 : r = 3 : 1$.

(A) આપેલ છે કે $r_1 > r_2 > r_3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta}{s-a} > \frac{\Delta}{s-b} > \frac{\Delta}{s-c}$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta > 0$,તેથી $s-a < s-b < s-c$.
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા,આપણને $-a < -b < -c$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાનીઓ બદલાય છે,પરિણામે $a > b > c$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$r_1=12, r_2=18, r_3=36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{r} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$r = 6$.
વળી,$\Delta^2 = r_1 r_2 r_3 r = 12 \times 18 \times 36 \times 6 = 46656$.
તેથી,$\Delta = \sqrt{46656} = 216$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$.
કિંમતો મૂકતા: $18 = \frac{216}{36-b}$.
$36-b = \frac{216}{18} = 12$.
$b = 36 - 12 = 24$.

(A) આપેલ છે: $\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right)=2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-b}}\right)\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-c}}\right) = 2$
$\left(1-\frac{s-b}{s-a}\right)\left(1-\frac{s-c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{s-a-s+b}{s-a}\right)\left(\frac{s-a-s+c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{b-a}{s-a}\right)\left(\frac{c-a}{s-a}\right) = 2$
$(b-a)(c-a) = 2(s-a)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\frac{(b+c-a)^2}{4}$
$2(bc - ab - ac + a^2) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2a^2 = b^2 + c^2 + a^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = 30^{\circ} + C$ અને $R = (\sqrt{3} + 1)r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$.
$r = \frac{R}{\sqrt{3} + 1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ મળે છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$,તેથી $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{8}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 2C) = 150^{\circ} - 2C$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકીને ખૂણાઓ શોધતા,આપણને $\angle A = 75^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ મળે છે.
આ ત્રણેય ખૂણા લઘુકોણ હોવાથી,$ABC$ લઘુકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1, r_2, r_3$ એ $H$.$P$. માં છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ એ $A$.$P$. માં છે કે નહીં.
$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,$s-a, s-b, s-c$ પણ $A$.$P$. માં છે કારણ કે $s-a + s-c = 2s - (a+c) = 2s - 2b = 2(s-b)$.
આમ,$\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ એ $A$.$P$. માં છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1, r_2, r_3$ એ $H$.$P$. માં છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{b+c-a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r+R = \frac{b+c-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{b+c}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(r+R) = b+c$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} + \frac{r_3-r}{c} = \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-b)}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-c)}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta a}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta b}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta c}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} + \frac{\Delta}{s(s-c)}$
$= \frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a \cdot \frac{s(s-a)}{bc} + b \cdot \frac{s(s-b)}{ac} + c \cdot \frac{s(s-c)}{ab}$
$= \frac{s}{abc} [a^2(s-a) + b^2(s-b) + c^2(s-c)]$
$= \frac{s}{abc} [s(a^2+b^2+c^2) - (a^3+b^3+c^3)]$
નિત્યસમ $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ અને $s = \frac{a+b+c}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને $s + \frac{\Delta}{R}$ માં સરળ બનાવીએ છીએ.

(C) આપેલ છે કે $A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = 2(\sqrt{3}+1)$,$\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$.
આમ,$b = 4\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4$.
$c = 4\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times 4 \times \sin 60^{\circ} = 4(\sqrt{3}+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
આપેલ છે $r_1=8, r_2=12, r_3=24$,તેથી $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$r=4$.
વળી,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} \implies 8 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} \implies 12 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} \implies 24 = \frac{\Delta}{s-c}$.
$\Delta = rs = 4s$ હોવાથી,$s-a = \frac{s}{2} \implies a = \frac{s}{2}$,$s-b = \frac{s}{3} \implies b = \frac{2s}{3}$,$s-c = \frac{s}{6} \implies c = \frac{5s}{6}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4s$ નો ઉપયોગ કરતા,$s=24$ મળે છે.
તેથી $a = 12, b = 16, c = 20$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $2r_1 = 3r_2 = r_3 = k$ (ધારો).
તેથી $r_1 = \frac{k}{2}$,$r_2 = \frac{k}{3}$,અને $r_3 = k$.
આમ,$\frac{1}{r_1} = \frac{2}{k}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{3}{k}$,અને $\frac{1}{r_3} = \frac{1}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
તેથી $\frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{1}{k} = \frac{6}{k} = \frac{1}{r}$,એટલે કે $r = \frac{k}{6}$.
$s-a = \frac{\Delta}{r_1} = \frac{2\Delta}{k}$,$s-b = \frac{3\Delta}{k}$,અને $s-c = \frac{\Delta}{k}$.
$s = \frac{6\Delta}{k}$ હોવાથી,$a = s - (s-a) = \frac{4\Delta}{k}$,$b = \frac{3\Delta}{k}$,અને $c = \frac{5\Delta}{k}$.
તેથી,$a : b : c = 4 : 3 : 5$.

(D) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ac \sin B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta = 6+2\sqrt{3}$,$a = 2(\sqrt{3}+1)$,અને $B = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6+2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times c \times \sin 45^{\circ}$.
$6+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1) \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$c = \frac{\sqrt{2}(6+2\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = 2\sqrt{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = [2(\sqrt{3}+1)]^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2[2(\sqrt{3}+1)](2\sqrt{6}) \cos 45^{\circ}$.
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{6}(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 40 + 8\sqrt{3} - 24 - 8\sqrt{3} = 16$.
તેથી,$b = \sqrt{16} = 4$.

(C) $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ છે.
$A + B = 180^{\circ} - C$
બંને બાજુ $\cot$ લેતા:
$\cot(A + B) = \cot(180^{\circ} - C)$
$\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ અને $\cot(180^{\circ} - C) = -\cot C$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C(\cot A + \cot B)$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C \cot A - \cot C \cot B$
પદોને ગોઠવતા:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$

(B) આપેલ છે: $\cot \left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} \cot \left(\frac{\theta}{2}\right)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\cot^2 \left(\frac{A}{2}\right) = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \cot^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$\cot^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+\cos A}{1-\cos A} = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}$
$\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta} = \frac{(1+\cos A)(1-a)}{(1-\cos A)(1+a)} = \frac{1-a+\cos A-a \cos A}{1+a-\cos A-a \cos A}$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) લેતા:
$\frac{(1+\cos \theta)+(1-\cos \theta)}{(1+\cos \theta)-(1-\cos \theta)} = \frac{(1-a+\cos A-a \cos A)+(1+a-\cos A-a \cos A)}{(1-a+\cos A-a \cos A)-(1+a-\cos A-a \cos A)}$
$\frac{2}{2 \cos \theta} = \frac{2-2a \cos A}{2 \cos A-2a}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{1-a \cos A}{\cos A-a}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{\cos A-a}{1-a \cos A}$

(A) ત્રિકોણની બાજુઓ $a=3, b=5, c=7$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$C = 120^\circ$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(3)(5) \sin(120^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times (\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{7}{\sqrt{3}}$.

(C) આપેલ સમીકરણો: $r_1 r_2 + r_3 r = 35$,$r_2 r_3 + r r_1 = 63$,અને $r_3 r_1 + r r_2 = 45$.
નિત્યસમ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 r_2 + r_3 r = ab$,$r_2 r_3 + r r_1 = bc$,અને $r_3 r_1 + r r_2 = ac$.
તેથી,$ab = 35$,$bc = 63$,અને $ac = 45$.
આનો ગુણાકાર કરતા $(abc)^2 = 35 \times 63 \times 45 = 99225$,તેથી $abc = 315$.
તેથી $c = \frac{abc}{ab} = \frac{315}{35} = 9$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{315}{63} = 5$,અને $b = \frac{abc}{ac} = \frac{315}{45} = 7$.
તેથી,$2s = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21$.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 7} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,તેથી $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$.
$\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$ હોવાથી:
$\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin C} = \frac{ak \cos B - \cos A bk}{ck} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{5 \times \frac{13}{14} - 3 \times \frac{11}{14}}{7} = \frac{\frac{65-33}{14}}{7} = \frac{32}{14 \times 7} = \frac{32}{98} = \frac{16}{49}$
તેથી,$\sqrt{\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$.

(B) આપેલ છે કે $b=6, c=9$ અને $\sin A=\frac{2 \sqrt{14}}{9}$.
$A$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\frac{56}{81}} = \frac{5}{9}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{5}{9} = \frac{36+81-a^2}{2(6)(9)}$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{117-a^2}{108}$ $\Rightarrow 60 = 117-a^2$ $\Rightarrow a^2 = 57$.
હવે,$3a(\cos B+\cos C) = 3a\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$.
$= \frac{3(b+c)}{2bc} [a^2 - (b-c)^2]$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3(6+9)}{2(6)(9)} [57 - (6-9)^2] = \frac{3(15)}{108} [57 - 9] = \frac{45}{108} \times 48 = 20$.

(A) કારણ $(R)$ માટે: આપેલ છે $r:R:r_2 = 1:2.5:6 = 2:5:12$.
ધારો કે $r=2k, R=5k, r_2=12k$.
સૂત્ર $r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$12k-2k = 4(5k) \sin^2 \frac{B}{2}$.
$10k = 20k \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિધાન $(A)$ માટે: આપેલ છે $r=6, r_2=36, R=15$.
$r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$36-6 = 4(15) \sin^2 \frac{B}{2}$.
$30 = 60 \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$.
જો $B=90^{\circ}$ હોય,તો $b^2 = a^2+c^2$ થાય. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ કે $(R)$ એ $(A)$ માં વપરાયેલ ગુણધર્મ માટે તાર્કિક આધાર પૂરો પાડે છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$. સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$2 \sin B = \sin A + \sin C$.
આપેલ છે $A = 2C$,તેથી $2 \sin B = \sin 2C + \sin C$.
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,આપણી પાસે $B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ છે.
તેથી,$2 \sin(180^{\circ} - 3C) = \sin 2C + \sin C$.
$2 \sin 3C = 2 \sin C \cos C + \sin C$.
$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C(2 \cos C + 1)$.
કારણ કે $\sin C \neq 0$,આપણી પાસે $2(3 - 4 \sin^2 C) = 2 \cos C + 1$ છે.
$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$.
$6 - 8 + 8 \cos^2 C = 2 \cos C + 1$.
$8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$.
$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$.
$A = 2C$ હોવાથી,$C < 90^{\circ}$,તેથી $\cos C > 0$. આમ,$\cos C = \frac{3}{4}$.
તેથી $\sin C = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$B = 180^{\circ} - 3C$,તેથી $\sin B = \sin 3C = \sin C(4 \cos^2 C - 1)$.
$\sin B = \frac{\sqrt{7}}{4} (4(\frac{9}{16}) - 1) = \frac{5\sqrt{7}}{16}$.
અંતે,$b:c = \sin B : \sin C = \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4} = 5:4$.

(D) આપેલ છે: $A=\frac{\pi}{6}, b=7, c=4\sqrt{3}$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2(7)(4\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$.
$a^2 = 49 + 48 - 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 97 - 84 = 13$.
તેથી,$a = \sqrt{13}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આમ,$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.
અને $\sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$a \sin B \sin C = \sqrt{13} \times \frac{7}{2\sqrt{13}} \times \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

(B) $L.H.S. = (b+c)^2 \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b-c)^2 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2 + 2bc) \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b^2 + c^2 - 2bc) \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2) \left[\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right] - 2bc \left[\cos^2\left(\frac{A}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]$
$= b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$= a^2$ (કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
$a = 2R \sin A$ હોવાથી,$a^2 = 4R^2 \sin^2 A$
$= 4R^2 \left(\frac{1 - \cos 2A}{2}\right)$
$= 2R^2 (1 - \cos 2A)$
$K(1 - \cos 2A)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2R^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A=\frac{\pi}{3}$ અને $B=\frac{\pi}{4}$. $\triangle ABC$ માં,$\angle C = \pi - (A+B) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin(\frac{\pi}{3}) = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin(\frac{\pi}{4}) = k \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $c = k \sin(\frac{5\pi}{12}) = k \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = k (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}) = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{k^2(\frac{3}{4} - \frac{1}{2})}{k^2(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{3+1+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{4+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{2+\sqrt{3}}{4})} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{a}{\tan A} = \frac{b}{\tan B} = \frac{c}{\tan C}$.
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ હોવાથી,$\frac{a \cos A}{\sin A} = \frac{b \cos B}{\sin B} = \frac{c \cos C}{\sin C}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આ કિંમત મૂકતા,$2R \cos A = 2R \cos B = 2R \cos C$ મળે.
આથી $\cos A = \cos B = \cos C$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B = C = 60^{\circ}$.
તેથી,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(D) આપેલ છે,$\angle B = \frac{\pi}{4}$,$\angle C = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12} = 75^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C = 18(3 + \sqrt{3})$.
કિંમતો મૂકતા,$R^2 \frac{3 + \sqrt{3}}{4} = 18(3 + \sqrt{3})$ $\Rightarrow R^2 = 72$ $\Rightarrow R = 6\sqrt{2}$.
તેથી,$a = 2R \sin A = 2(6\sqrt{2}) \sin 75^{\circ} = 6(\sqrt{3} + 1)$.

(A) આપણે $\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b + c)^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b - c)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B + \sin C))^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B - \sin C))^2}$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2})^2} \right]$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{4 \sin^2 \frac{B+C}{2}} + \frac{1}{4 \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{\cos^2 \frac{B+C}{2} + \sin^2 \frac{B+C}{2}}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right] = \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 (B+C)} \right]$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આમ,પદાવલિ $\frac{1}{4R^2 \sin^2 A} = \frac{1}{(2R \sin A)^2} = \frac{1}{a^2}$ થાય છે.

(D) આપેલ પદ $\frac{1+\cos(A-B) \cdot \cos C}{1+\cos(A-C) \cdot \cos B}$ છે.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$C = 180^{\circ} - (A+B)$ અને $B = 180^{\circ} - (A+C)$ થાય.
તેથી,$\cos C = -\cos(A+B)$ અને $\cos B = -\cos(A+C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{1 - \cos(A-B)\cos(A+B)}{1 - \cos(A-C)\cos(A+C)}$
નિત્યસમ $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1 - (\cos^2 A - \sin^2 B)}{1 - (\cos^2 A - \sin^2 C)}$
$= \frac{1 - \cos^2 A + \sin^2 B}{1 - \cos^2 A + \sin^2 C}$
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$
સાઇનના નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}$ થાય.
$= \frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = \frac{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin(A-B)$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$.
$\angle A+B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(A+B) = 1$ અને $B = 90^{\circ}-A$,તેથી $\sin B = \cos A$.
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{1} = 1$.

(D) ધારો કે $\angle B = \theta$. તો $\angle A = 3\theta$. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle C = 180^{\circ} - (A + B) = 180^{\circ} - 4\theta$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{AB}{\sin(180^{\circ} - 4\theta)} = \frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$.
$\frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ પરથી,$16 \sin \theta = 9 \sin 3\theta = 9(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા (કારણ કે $\sin \theta \neq 0$),$16 = 27 - 36 \sin^2 \theta$,જે આપે છે $36 \sin^2 \theta = 11$,તેથી $\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$.
તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$,એટલે કે $\cos \theta = \frac{5}{6}$.
હવે,$\sin 4\theta = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 4 \times \frac{\sqrt{11}}{6} \times \frac{5}{6} \times (1 - 2 \times \frac{11}{36}) = \frac{35\sqrt{11}}{162}$.
અંતે,$AB = \frac{9 \sin 4\theta}{\sin \theta} = 9 \times \frac{35\sqrt{11}}{162} \times \frac{6}{\sqrt{11}} = \frac{35}{3}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $a, b, c$ છે અને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$,$b^2 = a^2+c^2-2ac \cos B$,અને $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$ છે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{મળે છે}$.
ગોઠવતા,$a^2+b^2+c^2 = 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{મળે છે}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$bc = \frac{2\Delta}{\sin A}$ થાય. તેવી જ રીતે,$ac = \frac{2\Delta}{\sin B}$ અને $ab = \frac{2\Delta}{\sin C}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2+b^2+c^2 = 2 \left( \frac{2\Delta}{\sin A} \cos A + \frac{2\Delta}{\sin B} \cos B + \frac{2\Delta}{\sin C} \cos C \right)$
$a^2+b^2+c^2 = 4\Delta (\cot A + \cot B + \cot C)$
તેથી,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.

(C) નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$ અને $\tan \frac{A+B}{2} = \cot \frac{C}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{1}{4} \tan \frac{A+B}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{4} \cot \frac{C}{2}$
$\Rightarrow \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow 4(a-b) = a+b$
$\Rightarrow 4a - 4b = a + b$
$\Rightarrow 3a = 5b$
$a=5$ આપેલ હોવાથી,$3(5) = 5b \Rightarrow b=3$.
હવે,$\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$.

(A) $\triangle ABC$ માં,ધારો કે $BD$ એ શિરોબિંદુ $B$ માંથી બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા છે.
આપેલ બાજુઓ $a = BC = 5$,$b = AC = 6$,અને $c = AB = 7$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી દોરેલી મધ્યગા $m_b$ ની લંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(49) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{16 \times 7}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7}$
$BD = 2 \sqrt{7}$

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $x, 2x$ અને $3x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 60^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ $a, b, c$ તેમના સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$.
ખૂણાઓ મૂકતા: $a: b: c = \sin 30^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
$a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{\sqrt{3}}{2}: 1$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $1: \sqrt{3}: 2$ ગુણોત્તર મળે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = k$,$b = \sqrt{3}k$,અને $c = 2k$ છે.
અહીં $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2 = c^2$ હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 2k$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ ની સામેના ખૂણાઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે.
તેથી $C = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતિના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \implies A = 30^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies B = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ છે.
ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $30^{\circ} : 60^{\circ} : 90^{\circ} = 1 : 2 : 3$ થાય.

(A) આપેલ છે,$8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$8R^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2$
$8R^2 = 4R^2 (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$
$2 = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + \sin^2 C$
$2 = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = 1 - \cos^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$
આ કાટકોણ ત્રિકોણ માટેનું જાણીતું નિત્યસમ છે જ્યાં એક ખૂણો $90^\circ$ હોય.
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે,$\angle A=90^{\circ}$ અને $\angle B \neq \angle C$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2} \sin (B-C) = \frac{k^2 \sin^2 B + k^2 \sin^2 C}{k^2 \sin^2 B - k^2 \sin^2 C} \sin (B-C)$
$= \frac{\sin^2 B + \sin^2 C}{\sin^2 B - \sin^2 C} \sin (B-C)$
કારણ કે $\angle A = 90^{\circ}$,તેથી $B+C = 90^{\circ}$,એટલે કે $C = 90^{\circ}-B$.
તેથી,$\sin C = \cos B$ અને $\sin^2 C = \cos^2 B$.
વળી,$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B+C) \sin(B-C) = \sin(90^{\circ}) \sin(B-C) = 1 \cdot \sin(B-C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\sin^2 B + \cos^2 B}{\sin(B+C)} \cdot \sin(B-C) = \frac{1}{\sin(90^{\circ})} = 1$.

(D) આપેલ છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 1: 4$ છે. ધારો કે ખૂણાઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$
ધારો કે $A = x, B = x$ અને $C = 4x$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $x + x + 4x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
તેથી,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ અને $C = 120^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો $120^{\circ}$ છે,તેથી સૌથી મોટી બાજુ $c$ છે.
પરિમિતિ અને સૌથી મોટી બાજુનો ગુણોત્તર $(a + b + c) : c$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
ગુણોત્તર $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$
$= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\Rightarrow \cot A = \cot B = \cot C$
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$A = B = C$ થાય.
તેથી,ત્રિકોણના બધા ખૂણા સમાન હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ છે કે $\angle C = 90^{\circ}$,તેથી $A+B = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C = k \sin 90^{\circ} = k$.
તેથી,$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B} = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B}$.
$B = 90^{\circ} - A$ હોવાથી,$\sin B = \cos A$ અને $\cos B = \sin A$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos 2A$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(A+B)\sin(A-B)}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \sin(90^{\circ})\sin(A-B) = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$.

(B) આપેલ છે: $b=20, c=21$ અને $\sin A=\frac{3}{5}$.
નિત્યસમ $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos A = \frac{4}{5}$ (ધારો કે $A$ લઘુકોણ છે).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \times 20 \times 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \times \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \times 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos A, \cos B, \cos C$ ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+49-9}{2(5)(7)} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9+49-25}{2(3)(7)} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+25-49}{2(3)(5)} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ જ્યાં $s = \frac{3+5+7}{2} = 7.5 = \frac{15}{2}$.
$\Delta = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
કારણ કે $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,તેથી:
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta} = \frac{9+25+49}{4(\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{83}{15\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે $a=4, b=3, c=2$ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{16+9-4}{2 \times 4 \times 3} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{16+4-9}{2 \times 4 \times 2} = \frac{11}{16} \implies \sec B = \frac{16}{11}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(a-b \cos C)(a-c \sec B) = 2(4 - 3 \times \frac{7}{8})(4 - 2 \times \frac{16}{11})$
$= 2(4 - \frac{21}{8})(4 - \frac{32}{11})$
$= 2(\frac{32-21}{8})(\frac{44-32}{11})$
$= 2(\frac{11}{8})(\frac{12}{11}) = 2 \times \frac{12}{8} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 6 \Rightarrow s-a = \frac{\Delta}{6}$ $(i)$
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 9 \Rightarrow s-b = \frac{\Delta}{9}$ $(ii)$
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 18 \Rightarrow s-c = \frac{\Delta}{18}$ $(iii)$
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = \Delta(\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{\Delta}{3}$ મળે છે.
$a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = \frac{\Delta}{3} \Rightarrow s = \frac{\Delta}{3}$.
$s$ ની કિંમત $(i), (ii), (iii)$ માં મૂકતા:
$a = s - \frac{\Delta}{6} = \frac{3\Delta}{18}, b = s - \frac{\Delta}{9} = \frac{4\Delta}{18}, c = s - \frac{\Delta}{18} = \frac{5\Delta}{18}$.
આમ,$a:b:c = 3:4:5$. ધારો કે $a=3k, b=4k, c=5k$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.

(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં $A$ લઘુકોણ છે,$C$ ગુરુકોણ છે,$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{14}$,$a = 3$ અને $b = 5$.
પ્રથમ,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \frac{13}{14}$ શોધો.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{13}{14} = \frac{16 + c^2}{10c}$.
સાદુરૂપ આપતા: $14c^2 - 130c + 224 = 0 \Rightarrow 7c^2 - 65c + 112 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(7c - 16)(c - 7) = 0$.
તેથી $c = \frac{16}{7}$ અથવા $c = 7$.
$C$ ગુરુકોણ હોવાથી,બાજુ $c$ સૌથી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી $c = 7$.