Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-b) \tan \frac{B}{2} = (s-c) \tan \frac{C}{2}$ અને $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{r}{r_1} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = 2a$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$b+c = 3a$.
નિત્યસમ $\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$4 \tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $a=7, b=8$ અને $\cos C=\frac{2}{7}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{7} = \frac{7^2+8^2-c^2}{2 \times 7 \times 8}$.
$\frac{2}{7} = \frac{49+64-c^2}{112}$.
બંને બાજુ $112$ વડે ગુણતા: $\frac{2 \times 112}{7} = 113 - c^2$.
$2 \times 16 = 113 - c^2$.
$32 = 113 - c^2$.
$c^2 = 113 - 32 = 81$.
તેથી,$c = \sqrt{81} = 9$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)^2-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{bc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2 = 2\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) + 2$
$= 2\cos A + 2$
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$ અને $B+C = 72^{\circ}$,તેથી $A = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.
તેથી,પદાવલિ $2\cos 108^{\circ} + 2 = 2\cos(90^{\circ} + 18^{\circ}) + 2$
$= -2\sin 18^{\circ} + 2 = -2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) + 2$
$= \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1-\sqrt{5}+4}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.

(B) પ્રોજેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $b = c \cos A + a \cos C$ અને $c = b \cos A + a \cos B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મુકતા:
$\frac{b - c \cos A}{c - b \cos A} = \frac{(c \cos A + a \cos C) - c \cos A}{(b \cos A + a \cos B) - b \cos A}$
$= \frac{a \cos C}{a \cos B}$
$= \frac{\cos C}{\cos B}$

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $(A-d), A, (A+d)$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી:
$(A-d) + A + (A+d) = 180^{\circ}$
$3A = 180^{\circ} \Rightarrow A = 60^{\circ}$.
ખૂણા $A$ માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$bc = b^2+c^2-a^2$
$a^2 = b^2+c^2-bc$.
આમ,સાચો સંબંધ $a^2 = b^2+c^2-bc$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
બંને બાજુ $(a+b+c)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{c+a} = 3$
$1 + \frac{c}{a+b} + 1 + \frac{b}{c+a} = 3$
$\frac{c}{a+b} + \frac{b}{c+a} = 1$
$c(c+a) + b(a+b) = (a+b)(c+a)$
$c^2 + ac + ab + b^2 = ac + a^2 + bc + ab$
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$
કોસાઇન નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos A = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$
તેથી,$A = 60^{\circ}$
આમ,$\sin A = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) આપેલ છે: $a^2-c^2=b^2-bc \Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = 2R$ $\Rightarrow \frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 1$.
આપેલ $\sqrt{2}a = 2b-c$ માં $a=1$ મૂકતા: $\sqrt{2} = 2b-c \Rightarrow c = 2b-\sqrt{2}$.
$c$ ની કિંમત $a^2-c^2=b^2-bc$ માં મૂકતા: $1^2 - (2b-\sqrt{2})^2 = b^2 - b(2b-\sqrt{2})$.
સાદુરૂપ આપતા $3b^2 - 3\sqrt{2}b + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \sqrt{3}k$,$b = \sqrt{5}k$,અને $c = \sqrt{8+\sqrt{15}}k$ છે.
$c$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\theta$ એ બાજુ $c$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{(\sqrt{3}k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 - (\sqrt{8+\sqrt{15}}k)^2}{2(\sqrt{3}k)(\sqrt{5}k)}$.
$\cos \theta = \frac{3k^2 + 5k^2 - (8+\sqrt{15})k^2}{2\sqrt{15}k^2}$.
$\cos \theta = \frac{8k^2 - 8k^2 - \sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = \frac{-\sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2}$
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [b(1 + \cos C) + c(1 + \cos B)]$
$= \frac{1}{2} [b + c + b \cos C + c \cos B]$
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,$a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2} [b + c + a] = \frac{1}{2} (a + b + c)$
પરિમિતિ $a + b + c = 50 \text{ cm}$ હોવાથી:
$= \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{\alpha+1}{\sin A} = \frac{\alpha-1}{\sin B} = \frac{\alpha}{\sin C}$.
આપેલ છે કે $A = 2B$,તેથી $\frac{\alpha+1}{\sin 2B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$.
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\alpha+1}{2 \sin B \cos B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$,જેનું સાદું રૂપ $\cos B = \frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} \dots(1)$ મળે છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(\alpha+1)^2 + \alpha^2 - (\alpha-1)^2}{2(\alpha+1)(\alpha)}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $(\alpha^2 + 2\alpha + 1) + \alpha^2 - (\alpha^2 - 2\alpha + 1) = \alpha^2 + 4\alpha$.
તેથી,$\cos B = \frac{\alpha^2 + 4\alpha}{2\alpha(\alpha+1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)} \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $\frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)}$.
$(\alpha+1)^2 = (\alpha-1)(\alpha+4) \Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha^2 + 3\alpha - 4$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$a^4+b^4+c^4=2b^2c^2+2a^2b^2$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2=0$ મળે.
બંને બાજુ $2a^2c^2$ ઉમેરતા,$a^4+c^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2a^2c^2 = 2a^2c^2$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $(a^2+c^2-b^2)^2 = 2a^2c^2$ થાય.
$4a^2c^2$ વડે ભાગતા,$\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2} = \frac{2a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{1}{2}$ મળે.
કારણ કે $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,તેથી $\cos^2 B = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$B = \frac{\pi}{4}$ અથવા $B = \frac{3\pi}{4}$.

(C) $\triangle ACD$ માં,$AD \perp AC$ હોવાથી,$\angle DAC = 90^\circ$. તેથી,$\cos C = \frac{AC}{CD} = \frac{b}{a/2} = \frac{2b}{a}$.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2b}{a} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$4b^2 = a^2+b^2-c^2$
$3b^2 = a^2-c^2 \implies b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$.
હવે,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\cos A \cos C = \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \left(\frac{2b}{a}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{ac}$.
$b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$ મૂકતા:
$\cos A \cos C = \frac{\frac{a^2-c^2}{3} + c^2 - a^2}{ac} = \frac{a^2-c^2+3c^2-3a^2}{3ac} = \frac{2c^2-2a^2}{3ac} = \frac{2(c^2-a^2)}{3ac}$.

(D) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$
$a^2+c^2-b^2 = ac$
$c^2 - ac + (a^2-b^2) = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $c$ માટે ઉકેલતા:
$c = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2-b^2)}}{2}$
$c = \frac{a \pm \sqrt{4b^2-3a^2}}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ ની સરખામણી $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ સાથે કરતા:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ છે: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $2s - a - c = b$ મળે:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2}$
$2s = 3b$
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
તેથી,$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a(b \cos C - c \cos B) = ab \cos C - ac \cos B$
$= ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
સમાન પદો બાદ કરતા: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
કોસાઇન નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ મૂકતા: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) આપણી પાસે છે,$(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
કારણ કે $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,તેથી $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$
તેથી,પદાવલિની કિંમત $c^2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં અડધા ખૂણાઓ માટે કોટેન્જન્ટનું સૂત્ર: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $3a = b + c$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(D) આપેલ છે,$\frac{a}{b^2-c^2} + \frac{c}{b^2-a^2} = 0$.
સાઇન નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2R \sin A}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C)} + \frac{2R \sin C}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin(B+C)\sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin(B+A)\sin(B-A)} = 0$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(B+C) = \sin A$ અને $\sin(B+A) = \sin C$ થાય.
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin A \sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin C \sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin(B-C)} + \frac{1}{\sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \sin(B-A) + \sin(B-C) = 0$
$\Rightarrow 2 \sin\left(\frac{2B-A-C}{2}\right) \cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 0$
$\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) \neq 0$ લેતા,$\sin\left(\frac{2B-(A+C)}{2}\right) = 0$.
$A+C = \pi - B$ હોવાથી,$\frac{2B-(\pi-B)}{2} = 0$ $\Rightarrow 3B = \pi$ $\Rightarrow B = \frac{\pi}{3}$.

(B) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મળે છે.
પ્રથમ પદ માટે:
$\frac{\cos C+\cos A}{c+a} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(\sin C+\sin A)} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R \cdot 2 \sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}} = \frac{1}{2R} \cot \frac{C+A}{2} = \frac{1}{2R} \tan \frac{B}{2}$.
બીજા પદ માટે:
$\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{1}{2R} \cot B$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \cot B \right) = \frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{2 \tan^2 \frac{B}{2} + 1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{1 + \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \cdot \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{b}$.

(A) $\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $a+b+c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનું સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ લેતા:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
આથી $2R = 2$,એટલે કે $R = 1$.
આપેલ છે $BC = a = 1$,તેથી $a = 2R \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.

(B) કારણ કે $BC$ કર્ણ છે,તેથી ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટકોણ છે,તેથી $\angle A = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} \right)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$.
વળી,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી $(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-a)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{a}{\Delta^2 / s(s-a)} \right) = \frac{as(s-a)}{\Delta}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ હોવાથી,$\frac{s(s-a)}{\Delta} = \cot \frac{A}{2}$.
તેથી,$r_2 + r_3 = a \cot \frac{A}{2} = a \cot \frac{\pi}{4} = a(1) = a$.

(D) આપેલ છે $a=3, b=7, c=8$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cot \frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \frac{\cos \frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cos \frac{B}{2}$.
હવે,કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\cos B$ શોધો:
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{3^2+8^2-7^2}{2 \times 3 \times 8} = \frac{9+64-49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+1/2}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
છેલ્લે,કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{8-3}{8+3} \right) \cos \frac{B}{2} = \frac{5}{11} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{22}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-c)^2}} = \frac{s}{s-c} = K$.
અહીં $K = 1 + \frac{c}{s-c} = 1 + \frac{2c}{a+b-c}$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$ હોવાથી $a+b-c > 0$,તેથી $K > 1$.
જ્યારે $C \to 180^{\circ}$,ત્યારે $K \to \infty$.
તેથી,$K$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(D) આપેલ છે,$4 \Delta = c^2 - (a - b)^2$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \Delta = (c - a + b)(c + a - b)$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \left(\frac{b + c - a}{2}\right) \left(\frac{a + c - b}{2}\right) = (s - a)(s - b)$,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
તેથી,$\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = (s - a)(s - b)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $s(s - a)(s - b)(s - c) = (s - a)^2(s - b)^2$.
$\frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}$.
તેથી,$\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\tan\left(\frac{C}{2}\right) = 1$.
$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sin C = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-a)^2}{s^2}} = \frac{s-a}{s}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,$\frac{s-a}{s} = \frac{\frac{a+b+c}{2} - a}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{b+c-a}{b+c+a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 4a$,તેથી:
$\frac{4a-a}{4a+a} = \frac{3a}{5a} = \frac{3}{5}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$.
તેથી,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માટે આપેલ છે: $c=9, s=10, \Delta=10\sqrt{2}$.
નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}\cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{10(10-9)}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}$.
હવે,આ કિંમતને $b\left[1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$ માં મૂકતા:
$= b\left[1 + \frac{a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{a+b+a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{2a}{a+b}\right]$.
પદોને ગોઠવતા: $a\left[\frac{2b}{a+b}\right] = a\left[\frac{(a+b)-(a-b)}{a+b}\right] = a\left[1 - \frac{a-b}{a+b}\right]$.
$\frac{a-b}{a+b} = \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= a\left[1 - \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $x-1, x, x+1$ છે જ્યાં $x > 2$ છે. સૌથી નાની બાજુ $x-1$ છે અને સૌથી મોટી બાજુ $x+1$ છે. ધારો કે સૌથી નાનો ખૂણો $\theta$ (બાજુ $x-1$ ની સામે) છે અને સૌથી મોટો ખૂણો $2\theta$ (બાજુ $x+1$ ની સામે) છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ ખૂણા $2\theta$ માટે:
$\cos(2\theta) = \frac{x^2 + (x-1)^2 - (x+1)^2}{2x(x-1)} = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{2x(x-1)} = \frac{x^2 - 4x}{2x(x-1)} = \frac{x-4}{2(x-1)}$
સાઇનના નિયમ મુજબ:
$\frac{x+1}{\sin(2\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \frac{x+1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{x+1}{2(x-1)}$
કારણ કે $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{x-4}{2(x-1)} = 2\left(\frac{x+1}{2(x-1)}\right)^2 - 1 = \frac{(x+1)^2}{2(x-1)^2} - 1 = \frac{x^2+2x+1 - 2(x^2-2x+1)}{2(x-1)^2} = \frac{-x^2+6x-1}{2(x-1)^2}$
$\frac{x-4}{x-1} = \frac{-x^2+6x-1}{(x-1)^2}$ ઉકેલતા $x=5$ મળે છે.
બાજુઓ $4, 5, 6$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
આથી,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,અને $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = \frac{a}{2\Delta} + \frac{b}{2\Delta} - \frac{c}{2\Delta} = \frac{a+b-c}{2\Delta}$.
કારણ કે $2s = a+b+c$,તેથી $a+b = 2s-c$ થાય.
તેથી,$\frac{a+b-c}{2\Delta} = \frac{(2s-c)-c}{2\Delta} = \frac{2s-2c}{2\Delta} = \frac{s-c}{\Delta}$.

(D) આપેલ છે,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (ધારો).
તેથી $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,અને $s-c = \frac{3}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{6}{s}$.
હવે,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
અને $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
તેથી,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.

(B) આપેલ છે કે $a+3b=3c$,તેથી $a=3(c-b)$.
સૂત્ર $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$s-b = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2} = \frac{3(c-b)-b+c}{2} = \frac{4c-4b}{2} = 2(c-b)$.
$s-c = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2} = \frac{3(c-b)+b-c}{2} = \frac{2c-2b}{2} = c-b$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{2(c-b)(c-b)}{bc}} = \sqrt{\frac{2(c-b)^2}{bc}} = (c-b) \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
કારણ કે $c-b = \frac{a}{3}$,તેથી $\sin \frac{A}{2} = \frac{a}{3} \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.