Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે,$\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 4 : 3 : 2$.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = 4 : 3 : 2$.
દરેક પદને $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$ વડે ગુણતા:
$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 4 : 3 : 2$.
ધારો કે $s-a = 4k$,$s-b = 3k$,અને $s-c = 2k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3s - (a+b+c) = 9k$.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $3s - 2s = s = 9k$.
હવે,$a = s - 4k = 9k - 4k = 5k$.
$b = s - 3k = 9k - 3k = 6k$.
$c = s - 2k = 9k - 2k = 7k$.
તેથી,$a : b : c = 5k : 6k : 7k = 5 : 6 : 7$.

(A) આપેલ છે,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
$s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2} = \frac{2\Delta}{r_1}$,$s-c = \frac{\Delta}{r_3} = \frac{3\Delta}{r_1}$.
$s = (s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{r_1} + \frac{2\Delta}{r_1} + \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{6\Delta}{r_1}$.
$b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{2\Delta}{r_1} = \frac{4\Delta}{r_1}$.
$c = s - (s-c) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{3\Delta}{r_1}$.
તેથી,$b : c = 4 : 3$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta = a^2 - (b - c)^2$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$.
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$a + b - c = 2s - 2c$ અને $a - b + c = 2s - 2b$.
તેથી,$\Delta = 4(s - b)(s - c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$.
બંને બાજુ $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$.
આથી $\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$.
$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$ હોવાથી,$\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
$\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan A = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{8}{15}$.

(C) ધારો કે $2s = a+b+c$. તેથી $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,અને $a+b-c = 2s-2c$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $a+b+c = 2s$,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{s-b}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
તેથી,$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
$r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ હોવાથી,આ પદ સાદું રૂપ આપતા $2c \cot \frac{C}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ છે,તેથી $C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $A = 45^{\circ}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $C = 75^{\circ}$ છે,તેથી સાઈન નિયમ મુજબ સૌથી નાની બાજુ $a$ અને સૌથી મોટી બાજુ $c$ નો ગુણોત્તર $\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ થાય.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $3x, 5x$ અને $10x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
ખૂણાઓ $30^{\circ}, 50^{\circ}$ અને $100^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ તેમના સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ખૂણા $(30^{\circ})$ ને અનુરૂપ છે અને સૌથી મોટી બાજુ સૌથી મોટા ખૂણા $(100^{\circ})$ ને અનુરૂપ છે.
ગુણોત્તર $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 100^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
ગુણોત્તર $= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ} = 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,તેથી $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$.
$3(s - b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$.
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $a + b + c = 3b$,જેનું સાદું રૂપ $a + c = 2b$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-5x+6=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-3)(x-2)=0$ મળે છે,જેનાથી બીજ $x=3$ અને $x=2$ મળે છે.
આ બીજ ત્રિકોણની બે બાજુઓ દર્શાવે છે,તેથી ધારો કે $a=3$ અને $b=2$.
આ બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $C = \frac{\pi}{3}$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$.
$6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અંતઃત્રિજ્યા અને બહિઃત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
આપેલ છે $r_3 = r_1 + r_2 + r$,તેથી:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
સાદુરૂપ આપતા:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$ મૂકતા:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow C = 90^{\circ}$
તેથી,$A+B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) આપણી પાસે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ (exradii) માટેના સૂત્રો છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
આપેલ છે કે $r_1 < r_2 < r_3$,તેથી:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
$\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે જે ધન છે,તેથી વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$s-a > s-b > s-c$
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા:
$-a > -b > -c$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની ફરી બદલાશે:
$a < b < c$

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $a = 2R \sin A$ અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^2 \sin 2C + c^2 \sin 2A = (2R \sin A)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 8R^2 \sin^2 A \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin A \cos A$
$= 8R^2 \sin A \sin C (\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 8R^2 \sin A \sin C \sin(A + C)$
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી, $\sin(A + C) = \sin B$.
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\Delta = \frac{abc}{4R}$ નો ઉપયોગ કરતા, $abc = 4R\Delta$.
વળી, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$.
તેથી, $8R^2 \cdot \frac{a}{2R} \cdot \frac{b}{2R} \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{R} = \frac{4R\Delta}{R} = 4\Delta$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta} = \frac{1}{8}$,અને $\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta} = \frac{1}{24}$.
આનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{3s-2s}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
તેથી,$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{6+3+1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{12}{5}$.
હવે,$\frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4} \implies s-a = \frac{\Delta}{4} = \frac{rs}{4} = \frac{(12/5)s}{4} = \frac{3s}{5} \implies a = s - \frac{3s}{5} = \frac{2s}{5}$.
તે જ રીતે,$s-b = \frac{\Delta}{8} = \frac{(12/5)s}{8} = \frac{3s}{10} \implies b = s - \frac{3s}{10} = \frac{7s}{10}$.
અને $s-c = \frac{\Delta}{24} = \frac{(12/5)s}{24} = \frac{s}{10} \implies c = s - \frac{s}{10} = \frac{9s}{10}$.
આમ,$a:b:c = \frac{2s}{5} : \frac{7s}{10} : \frac{9s}{10} = 4:7:9$.

(D) ધારો કે $\tan \frac{A}{2} = 15k$,$\tan \frac{B}{2} = 10k$,અને $\tan \frac{C}{2} = 6k$.
સૂત્ર $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan(A/2)}{\tan(B/2)} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{(s-a)^2}} = \frac{s-b}{s-a} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
આથી $2s - 2b = 3s - 3a$,એટલે કે $s = 3a - 2b$.
તે જ રીતે,$\frac{\tan(B/2)}{\tan(C/2)} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{(s-b)^2}} = \frac{s-c}{s-b} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આથી $3s - 3c = 5s - 5b$,એટલે કે $2s = 5b - 3c$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને $a+b+c = 5b - 3c$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a = 4b - 4c$ થાય છે.
તેથી,$\frac{a}{b-c} = 4$.

(D) આપેલ છે $r_1=2 r_2=3 r_3$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ પરથી,$s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$.
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ પરથી,$s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ ને આ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$.
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$.
ગુણોત્તર શોધતા:
$3a-3b = c$ અને $2a-b = 2c$ પરથી,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$.
ત્યારબાદ $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ અને $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,તેથી $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.
અંતે,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માં,કોટિજ્ય અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s-b}{r}$,અને $\cot \frac{C}{2} = \frac{s-c}{r}$ છે.
આ કિંમતોને $r^2 \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ પદમાં મૂકતા:
$= r^2 \left( \frac{s-a}{r} \right) \left( \frac{s-b}{r} \right) \left( \frac{s-c}{r} \right)$
$= r^2 \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$
$= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs$ હોવાથી,$r = \frac{\Delta}{s}$ મળે.
વળી,હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,તેથી $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,જેનો અર્થ છે કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\Delta^2 / s}{\Delta / s} = \frac{\Delta^2}{s} \cdot \frac{s}{\Delta} = \Delta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a=5, b=6, c=9$. પરિત્રિજ્યા $R = SB = \frac{27}{4 \sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin C = \frac{c}{2R}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin 2C = 2 \times \left( \frac{c}{2R} \right) \times \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{c}{R} \times \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\sin 2C = \frac{9}{\frac{27}{4 \sqrt{2}}} \times \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \times 5 \times 6}$.
$\sin 2C = \left( 9 \times \frac{4 \sqrt{2}}{27} \right) \times \frac{25 + 36 - 81}{60}$.
$\sin 2C = \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right) \times \left( \frac{-20}{60} \right) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9}$.

(A) આપેલ છે: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$\Rightarrow \frac{s-c}{b-c}=\frac{s-a}{a-b}$
$\Rightarrow \frac{s-c}{(s-c)-(s-b)}=\frac{s-a}{(s-b)-(s-a)}$
કારણ કે $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\Rightarrow \frac{\frac{\Delta}{r_3}}{\frac{\Delta}{r_3}-\frac{\Delta}{r_2}}=\frac{\frac{\Delta}{r_1}}{\frac{\Delta}{r_2}-\frac{\Delta}{r_1}}$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_2-r_3}=\frac{r_2}{r_1-r_2}$
$\Rightarrow r_1-r_2=r_2-r_3$
$\Rightarrow r_1+r_3=2r_2$
તેથી,$r_1, r_2, r_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = (2R \sin B)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin B \cos B)$
$= 8R^2 \sin^2 B \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin B \cos B$
$= 8R^2 \sin B \sin C (\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
$= 8R^2 \sin B \sin C \sin (B + C)$
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\sin (B + C) = \sin (\pi - A) = \sin A$.
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
$= 2(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A$
$= 2bc \sin A$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ હોવાથી,$bc \sin A = 2\Delta$.
તેથી,$2bc \sin A = 2(2\Delta) = 4\Delta$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માટે,
$r_1+r_2 = 2R(1+\cos C)$.
તેથી,$\frac{1+\cos C}{r_1+r_2} = \frac{1}{2R}$.
તે જ રીતે,$\frac{1+\cos A}{r_2+r_3} = \frac{1}{2R}$ અને $\frac{1+\cos B}{r_1+r_3} = \frac{1}{2R}$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
આપણે $r + r_3 + r_2 - r_1$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$r + r_3 + r_2 - r_1 = \frac{\Delta}{s} + \frac{\Delta}{s-c} + \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}$
$= \Delta \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s-a} \right) + \Delta \left( \frac{1}{s-c} + \frac{1}{s-b} \right)$
$= \Delta \left( \frac{s-a-s}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{s-b+s-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$ મળે.
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} + \frac{a}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta a \left( \frac{-(s-c)(s-b) + s(s-a)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} \right)$
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\Delta a}{\Delta^2} (-(s^2 - (b+c)s + bc) + (s^2 - as)) = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $\cos A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $r = r_1 - r_2 - r_3$.
પ્રમાણિત સૂત્રો $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s} = \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} = \frac{1}{s-a} - \frac{1}{s}$
$\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} = \frac{s-(s-a)}{s(s-a)}$
$\frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$ મળે:
$\frac{a}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$s(s-a) = (s-b)(s-c)$
$s^2 - sa = s^2 - s(b+c) + bc$
$s(b+c-a) = bc$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા:
$\frac{a+b+c}{2} \times (b+c-a) = bc$
$(b+c)^2 - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 = a^2$
આ દર્શાવે છે કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$,તેથી $2R = a$.

(D) આપેલ છે $a: b: c = 2: 3: 4$. ધારો કે $a = 2k, b = 3k, c = 4k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9k}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{3k^2\sqrt{15}}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{(2k)(3k)(4k)}{4(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})(\frac{k}{2})} = \frac{24k^3}{4 \cdot \frac{15k^3}{8}} = \frac{16}{5}$.
તેથી,$R: r = 16: 5$.

(C) આપેલ છે કે $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ છે.
તેથી,$\angle B = \angle C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યા $r_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
કારણ કે $\angle B = \angle C$,તેથી $\frac{B}{2} = \frac{C}{2}$,એટલે કે:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{1 + \cos B}{2}$.
વળી,$\triangle ABC$ માં,$A + B + C = \pi$,તેથી $B = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$.
આમ,$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$ નું સાદું રૂપ આપતા પરિણામ $R^2 \sin^2 A$ મળે છે.

(D) ધારો કે $a = 13$,$b = 14$,અને $c = 15$.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
હવે,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ શોધો:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ શોધો:
$r = \frac{84}{21} = 4$.
છેલ્લે,$8R + r$ ની કિંમત શોધો:
$8R + r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) + 4 = 65 + 4 = 69$.

(D) આપેલ છે,$r_1=2, r_2=3$ અને $r_3=6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$,તેથી $r=1$.
વળી,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$.
કારણ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,તેથી $2 = \frac{6}{s-a}$,જેનો અર્થ છે કે $s-a = 3$.
વળી,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$.
$s=6$ ને $s-a=3$ માં મૂકતા,આપણને $6-a=3$ મળે છે,તેથી $a=3$.

(D) ધારો કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે. તેથી $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,અને $a+b-c = 2(s-c)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી પદાવલિ $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ બને છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ મળે.
આમ,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
કારણ કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s [3s - 2s] = s^2$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r}$,એટલે કે $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.