Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
કારણ કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s [3s - 2s] = s^2$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r}$,એટલે કે $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \sin C$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $p_1, p_2, p_3$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $a, b, c$ ને અનુરૂપ વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
આમ,વેધ $p_1, p_2, p_3$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) $\Delta PQR$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ છે,જ્યાં $R_{c}$ એ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે.
આમ,$\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$,$\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$,અને $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$.
આપેલ સમીકરણ $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ છે.
$\sin P$ અને $\sin Q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
$p, q \neq 0$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુને $pq$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
$r = 2R_{c} \sin R$ હોવાથી,આપણને $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ મળે છે.
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$.
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $P+Q+R = 180^{\circ}$ થાય.
$P+R = 180^{\circ}-Q$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકીએ:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A+C$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$A+C = 2B$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = B$.
આમ,$\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે: $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 6$,અને $A = 45^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
$\sin B$ ની કિંમત $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં,તેથી $\sin B = 1.5$ શક્ય નથી.
તેથી,કોઈ ત્રિકોણ શક્ય નથી.

(C) આપેલ સંબંધ: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આથી,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
$c = 2R$ હોવાથી,$\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
તેથી,$C = 90^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) $\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
તેથી,$B = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય.

(B) આપેલ છે,$a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
$a, b, c > 0$ અને $0 < A < \pi$ માટે $\sin^{2} A > 0$ હોવાથી,$\cos A < 0$ થાય.
તેથી,$A$ એ બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{\pi}{2} < A < \pi$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+C = \pi - B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ મળે.
તેથી,$2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$.
નિત્યસમ $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2ac \cos B$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા,$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ મળે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $2x, 3x,$ અને $7x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 45^{\circ},$ અને $105^{\circ}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $a$ એ સૌથી નાના ખૂણા $30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જ્યાં $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.