VN or Telescoping Method Questions in Hindi

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r} = \frac{1}{\frac{r(r+1)}{2}} = \frac{2}{r(r+1)}$ है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \frac{1}{r(r+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$।
अतः,$S_{10} = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$।
योग का विस्तार करने पर: $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$।

(C) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
$n=1$ से $15$ तक,योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S_{15} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $a_n = n(n+1)(n+2)$ है।
हम $a_n = \frac{1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2)]$ लिख सकते हैं।
योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} [k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)]$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
$S_n = \frac{1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3) - 0(1)(2)(3)]$।
$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$।

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots$ है।
$n$ वां पद $a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
अब,$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$ है।
योग का विस्तार करने पर:
$S_{n} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_{n} = 1 - \frac{1}{n+1}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$S_{n} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$।

(D) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)$ है।
हम इसे $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रथम $10$ पदों के लिए,योग $S$ इस प्रकार है:
$S = \sum_{n=1}^{10} (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(10))$.
$S = \tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(1)$.
सूत्र $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{11-1}{1+11 \times 1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{10}{12}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{6}\right)$.
अतः,$\tan (S) = \frac{5}{6}$।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n+1)^2 - 1}$ है,जहाँ $n = 1, 2, \ldots, 100$ है।
हर का सरलीकरण: $(2n+1)^2 - 1 = (2n)(2n+2) = 4n(n+1)$।
अतः,$T_n = \frac{1}{4n(n+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
योग $S = \sum_{n=1}^{100} T_n = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{100}{101} \right) = \frac{25}{101}$।

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{100} \frac{2^k}{x^{2^k}+1}$ है।
हम सर्वसमिका $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ का उपयोग करते हैं।
सामान्य रूप से,$\frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।
अतः,$\frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
$S = \left( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \right) + \left( \frac{2}{x^2-1} - \frac{4}{x^4-1} \right) + \ldots + \left( \frac{2^{100}}{x^{2^{100}}-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1} \right)$।
$S = \frac{1}{x-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1}$।
$x=2$ रखने पर,$S = \frac{1}{2-1} - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1} = 1 - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1}$।

(B) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$ है।
$n=1, 2, \ldots, 10$ के लिए,योग $S_{10}$:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{10} = \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{10^2} - \frac{1}{11^2} \right)$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S_{10} = 1 - \frac{1}{11^2} = 1 - \frac{1}{121} = \frac{120}{121}$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_{n} = \frac{n}{4n^{4}+1}$ है।
हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$4n^{4}+1 = (2n^{2}+1)^{2} - (2n)^{2} = (2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$T_{n} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2n^{2}-2n+1} - \frac{1}{2n^{2}+2n+1} \right]$.
माना $f(n) = \frac{1}{2n^{2}-2n+1}$,तब $T_{n} = \frac{1}{4} [f(n) - f(n+1)]$.
प्रथम $10$ पदों का योग:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_{n} = \frac{1}{4} [f(1) - f(11)]$.
$f(1) = 1$ और $f(11) = \frac{1}{221}$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{55}{221}$.
चूँकि $m = 55$ और $n = 221$ सह-अभाज्य हैं,$m + n = 55 + 221 = 276$.

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
यहाँ $a = n^{2}$ और $r = \frac{1}{(n+1)^{2}}$ है,इसलिए $S_{n} = \frac{n^{2}}{1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}} = \frac{n(n+1)^{2}}{n+2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $S_{n} = n^{2} + 1 - \frac{2}{n+2}$ मिलता है।
अब योग में मान रखने पर: $\sum_{n=1}^{50} (n^{2} - n + 2(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\sum_{n=1}^{50} n^{2} - \sum_{n=1}^{50} n) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{52})$.
गणना करने पर $41650 + \frac{25}{26}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{26}$ जोड़ने पर,अंतिम उत्तर $41651$ है।

(B) हम सामान्य पद को सरल बनाने के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
अब,योगफल को इस प्रकार लिखते हैं:
$\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{21} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
योगफल का विस्तार करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$= \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{83} - \frac{1}{87} \right) \right]$
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,शेष बचता है:
$= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{87} \right)$
$= \frac{3}{4} \left( \frac{29 - 1}{87} \right) = \frac{3}{4} \times \frac{28}{87}$
$= \frac{3 \times 7}{87} = \frac{21}{87} = \frac{7}{29}$

(A) दिया गया योग $\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}$ है।
ध्यान दें कि $k^{4}+k^{2}+1 = (k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)$ है।
अतः,सामान्य पद $\frac{k}{(k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k^{2}-k+1} - \frac{1}{k^{2}+k+1} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\frac{1}{2} (f(1) - f(11))$,जहाँ $f(k) = \frac{1}{k^{2}-k+1}$ है।
$f(1) = 1$ और $f(11) = \frac{1}{111}$ है।
योग $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{111}) = \frac{55}{111}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m=55$ और $n=111$ हैं,इसलिए $m+n = 166$ है।

(A) हमें योग $S = \sum_{r=1}^{20} (r^{2}+1)r!$ का मूल्यांकन करना है।
पद $(r^{2}+1)$ को $(r(r+1) - (r-1))$ के रूप में लिखें।
अतः,$(r^{2}+1)r! = r(r+1)! - (r-1)r!$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \sum_{r=1}^{20} [r(r+1)! - (r-1)r!] = 20(21!) - 0 = 20 \times 21!$।
इसे $22! - 2(21!)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{256}$ है।
आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{20} \left( \frac{1}{20k-a} - \frac{1}{20(k+1)-a} \right)$.
$k=1$ से $9$ तक योग करने पर,हमें एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$\frac{1}{20} \left( \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{40-a} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{180-a} - \frac{1}{200-a} \right) \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{200-a} \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{180}{(20-a)(200-a)} \right) = \frac{1}{256}$.
$(20-a)(200-a) = 9 \times 256 = 2304$.
$a^2 - 220a + 1696 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = 212$ या $a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः $a$ का अधिकतम मान $212$ है।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}]$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसका योग $\frac{1}{2} [\frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{101 \times 102}]$ है।
अतः,$\frac{k}{101} = \frac{1}{2} [\frac{1}{6} - \frac{1}{10302}] = \frac{1}{12} - \frac{1}{20604} = \frac{1717-1}{20604} = \frac{1716}{20604} = \frac{1}{12}$।
$k = \frac{101}{12}$,इसलिए $34k = 34 \times \frac{101}{12} \approx 286$।

(C) माना $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.
हम सामान्य पद $T_r$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
$r=2$ से $2011$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
पहला भाग $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ है।
दूसरा भाग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.
कटौती के बाद,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
अतः,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
चूंकि $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,इसलिए $S$ का मान $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

(C) दिया गया है $a_n = \frac{-2}{4n^2 - 16n + 15}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $4n^2 - 16n + 15 = (2n - 3)(2n - 5)$.
अतः,$a_n = \frac{-2}{(2n - 3)(2n - 5)} = \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5}$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
योग $S_{25} = \sum_{n=1}^{25} \left( \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5} \right) = \frac{1}{47} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{47} + \frac{1}{3} = \frac{50}{141}$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1+r^2+r^4}$ है।
हम जानते हैं कि $1+r^2+r^4 = (1+r^2)^2 - r^2 = (1+r^2-r)(1+r^2+r)$।
अतः,$T_r = \frac{r}{(r^2-r+1)(r^2+r+1)}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right]$।
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$। तब $T_r = \frac{1}{2} [f(r) - f(r+1)]$।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)]$ है।
$f(1) = \frac{1}{1^2-1+1} = 1$।
$f(11) = \frac{1}{11^2-11+1} = \frac{1}{121-11+1} = \frac{1}{111}$।
इसलिए,$S_{10} = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{111}] = \frac{1}{2} [\frac{110}{111}] = \frac{55}{111}$।

(D) $m$ के लिए: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
$k=1$ से $99$ तक योग करने पर: $\sqrt{100}-\sqrt{1} = 10-1 = 9$.
अतः,$m=9$.
$n$ के लिए: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
$k=1$ से $99$ तक योग करने पर: $1-\frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
अतः,$n=\frac{99}{100}$.
बिंदु $(m, n) = (9, \frac{99}{100})$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $11(9) - 100(\frac{99}{100}) = 99 - 99 = 0$.
अतः,बिंदु $11x-100y=0$ रेखा पर स्थित है।

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = 5$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{1+kd} - \frac{1}{1+(k+1)d} \right)$.
$k=0$ से $9$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+d} \right) + \left( \frac{1}{1+d} - \frac{1}{1+2d} \right) + \dots + \left( \frac{1}{1+9d} - \frac{1}{1+10d} \right) \right] = 5$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{1+10d-1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{10d}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{10}{1+10d} = 5$.
$10 = 5(1+10d) \implies 10 = 5 + 50d$.
$50d = 5$.

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
अंश और हर को $\sin(\frac{\pi}{6})$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})} \sum_{k=1}^{13} \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
चूंकि $\frac{\pi}{6} = (\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}) - (\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6})$,हम $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हैं:
$S = 2 \sum_{k=1}^{13} \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 2 \left[ \cot \frac{\pi}{4} - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right]$.
चूंकि $\cot \frac{\pi}{4} = 1$ और $\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}) = \cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2-\sqrt{3}$:
$S = 2 [1 - (2-\sqrt{3})] = 2(\sqrt{3}-1)$.

(D) $k=1$ के लिए,प्रथम पद $\frac{1-1}{1!} = 0$ है,इसलिए $S_1 = 0$ है।
$k \ge 2$ के लिए,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_k = \frac{\frac{k-1}{k!}}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{1}{(k-1)!}$ है।
व्यंजक $E = \frac{100^2}{100!} + \sum_{k=2}^{100} |(k^2 - 3k + 1) \frac{1}{(k-1)!}|$ है।
गणना करने पर अंतिम उत्तर $3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $S_{n} = \sum_{r=1}^{n} T_{r} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{64}$.
$T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5) - (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{64}$.
$T_{n} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) [ (2n+5) - (2n-3) ]}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) \times 8}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{8}$.
अतः,$\frac{1}{T_{r}} = \frac{8}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right)$.
इसलिए,$\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{T_{r}} = 8 \times \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right) = 2 \left( \frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,दूसरा पद शून्य हो जाएगा।
परिणाम $= 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) $a_n = \frac{n^2 + 5n + 6}{4} = \frac{(n+2)(n+3)}{4}$
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{4}{(k+2)(k+3)}$
$S_n = 4 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$
अंतर विधि का उपयोग करते हुए:
$S_n = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \right]$
$S_n = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) = 4 \left( \frac{n+3-3}{3(n+3)} \right) = \frac{4n}{3(n+3)}$
$n = 2025$ के लिए:
$S_{2025} = \frac{4 \times 2025}{3(2025+3)} = \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = \frac{4 \times 2025}{6084}$
$507 S_{2025} = 507 \times \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = 675$

(D) हमें $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^3+6 k^2+11 k+5}{(k+3)!}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $k^3+6 k^2+11 k+5 = (k+1)(k+2)(k+3) - 1$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\sum_{k=1}^n \left( \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$.
पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} = \frac{1}{k!}$.
अतः योग $\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$ बन जाता है।
योग का विस्तार करने पर:
$\left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{4!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{5!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{6!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+3)!} \right)$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,पद $\frac{1}{(n+1)!}, \frac{1}{(n+2)!}, \frac{1}{(n+3)!}$ शून्य की ओर अग्रसर होते हैं।
शेष पद $\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ हैं।

(B) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{4r}{1+4r^4}$ है।
सर्वसमिका $1+4r^4 = (1+2r^2-2r)(1+2r^2+2r)$ का उपयोग करने पर:
$T_r = \frac{(2r^2+2r+1)-(2r^2-2r+1)}{(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)}$
$T_r = \frac{1}{2r^2-2r+1} - \frac{1}{2r^2+2r+1}$.
$r=1$ के लिए,$T_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{5}$.
$r=2$ के लिए,$T_2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{13}$.
$r=10$ तक जारी रखने पर,$T_{10} = \frac{1}{181} - \frac{1}{221}$.
योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 1 - \frac{1}{221} = \frac{220}{221}$.
यहाँ $S_{10} = \frac{m}{n}$ है,इसलिए $m=220$ और $n=221$ है।
चूँकि $\operatorname{gcd}(220, 221) = 1$,इसलिए $m+n = 220+221 = 441$।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}\right)$ है।
इसे हम $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n (\tan^{-1}(2k+1) - \tan^{-1}(2k-1))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)$।
जब $n \to \infty$,तब $S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।
ध्यान दें कि $\tan^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1/2)$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(2)$ है,जो $\tan^{-1}(1/2)$ के बराबर है।

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{4r}{4+3r^2+r^4}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर: $r^4+3r^2+4 = (r^2+r+2)(r^2-r+2)$.
अतः,$T_r = 2 \left( \frac{1}{r^2-r+2} - \frac{1}{r^2+r+2} \right)$.
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+2}$,तो $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+2}$.
योग $S_{20} = 2(f(1) - f(21)) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{422} \right) = \frac{420}{422} = \frac{210}{211}$.
यहाँ $m = 210$ और $n = 211$,इसलिए $m+n = 421$.

(C) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
हम इसे $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n$ पदों तक का योगफल:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(C) माना योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
सामान्य पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
अब,$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(D) दिया गया है $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{t_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{4}{(k+2)(k+3)}$ ज्ञात करें।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{4}{(k+2)(k+3)} = 4 \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$.
अतः,$S_n = 4 \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}) \right] = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) = \frac{4n}{3(n+3)}$.
तर्क $(R)$ सत्य है।
$n = 2003$ के लिए,$S_{2003} = \frac{4(2003)}{3(2006)} = \frac{4006}{3009}$.
अभिकथन $(A)$ असत्य है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ है।
इसे $T_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \ldots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}) \right]$।
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right)$।
$n = 24$ के लिए,$S_{24} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2(24)+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{51} \right)$।
$S_{24} = \frac{1}{2} \left( \frac{17-1}{51} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{51} = \frac{8}{51}$।

(B) दी गई श्रेणी $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right]$।
$n=1$ से $50$ तक योग करने पर:
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + \ldots + (\frac{1}{199} - \frac{1}{203}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,अतः $S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{203} \right]$।
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{203 - 3}{609} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{200}{609} \right] = \frac{50}{609}$।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,$T_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$.
योग का विस्तार करने पर,$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right)$.
सरल करने पर,$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1}$.

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S = 1 + (1^2 + 1 \times 2 + 2^2) + (2^2 + 2 \times 3 + 3^2) + \ldots + (9^2 + 9 \times 10 + 10^2)$।
$r=1$ से $10$ के लिए श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r-1)^2 + r(r-1) + r^2$ है।
चूंकि $r^3 - (r-1)^3 = (r - (r-1))(r^2 + r(r-1) + (r-1)^2) = 1 \times (r^2 + r(r-1) + (r-1)^2)$,इसलिए $T_r = r^3 - (r-1)^3$ है।
अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} (r^3 - (r-1)^3)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \ldots + (10^3 - 9^3) = 10^3 - 0^3 = 1000$।
कारण $(R)$ कहता है कि $\sum_{r=1}^n (r^3 - (r-1)^3) = n^3$,जो समान टेलीस्कोपिंग गुण द्वारा सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \left(1+\frac{2n+1}{n^2}\right) = 121$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर: $\left(\frac{1+3}{1}\right)\left(\frac{4+5}{4}\right)\left(\frac{9+7}{9}\right) \ldots \left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right) = 121$.
यह सरल होकर बनता है: $\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(\frac{16}{9}\right) \times \ldots \times \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right) = 121$.
पैटर्न को देखने पर,पद टेलीस्कोपिंग तरीके से कट जाते हैं: $\frac{4}{1} \times \frac{9}{4} \times \frac{16}{9} \times \ldots \times \frac{(n+1)^2}{n^2} = (n+1)^2$.
अतः,$(n+1)^2 = 121$.
वर्गमूल लेने पर: $n+1 = 11$.
इसलिए,$n = 10$.

(C) माना योगफल $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
सामान्य पद $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ लिख सकते हैं।
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_r = \frac{1}{(2r)(2r+2)} = \frac{1}{4r(r+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_r = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
दिए गए समीकरण $\frac{kn}{4(n+1)}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\theta_k = \frac{k\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$. तब योग $\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin(\theta_{k+1}) \sin(\theta_k)}$ है।
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin(\theta_{k+1} - \theta_k) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{\sin(\theta_{k+1}) \sin(\theta_k)} = 2(\cot(\theta_k) - \cot(\theta_{k+1}))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $2 \sum_{k=0}^{12} (\cot(\theta_k) - \cot(\theta_{k+1})) = 2(\cot(\theta_0) - \cot(\theta_{13}))$.
$\theta_0 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cot(\theta_0) = 1$.
$\theta_{13} = \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{12}$.
$\cot(\theta_{13}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$.
योग $= 2(1 - (2 - \sqrt{3})) = 2(\sqrt{3} - 1)$.

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.
दोनों पक्षों को $\sin 1^{\circ}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \frac{\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$.
माना $S = \sum_{x=45}^{89} \frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{x=45}^{89} (\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \dots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ})$.
चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} = \operatorname{cosec} 1^{\circ}$.

(C) दिया गया $k$-वां पद $t_k = k \times k!$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$t_k = (k+1-1) \times k!$
$t_k = (k+1) \times k! - k!$
$t_k = (k+1)! - k!$
अब,$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n+1)! - n!)$
$S_n = (n+1)! - 1!$
$S_n = (n+1)! - 1$

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ लिख सकते हैं।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{12}$.

(A) हम जानते हैं कि $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.
साथ ही,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.
अतः,योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2r}{1+(r^4+r^2+1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r^2+r+1)-(r^2-r+1)}{1+(r^2+r+1)(r^2-r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)$.
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \sum_{r=1}^n \{\tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)\}$
$S_n = (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(7) - \tan ^{-1}(3)) + \dots + (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(n^2-n+1))$
$S_n = \tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(1)$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना $S = \frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 12} + \dots$ $9$ पदों तक।
$n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{(3n)(3n+3)} = \frac{1}{9n(n+1)}$ है।
हम $T_n = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ लिख सकते हैं।
$n=1$ से $9$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{9} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) \right]$.
$S = \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9}{10} \right) = \frac{1}{10}$.

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{k=0}^{19} \frac{1}{(6k+1)(6k+7)}$ है।
इसे $\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{19} \left( \frac{1}{6k+1} - \frac{1}{6k+7} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\frac{1}{6} \left[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{13}) + \dots + (\frac{1}{115} - \frac{1}{121}) \right]$.
$= \frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{121} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{120}{121} = \frac{20}{121}$.
दिया गया है कि $\frac{m}{n} = \frac{20}{121}$,जहाँ $\gcd(m, n) = 1$,इसलिए $m = 20$ और $n = 121$ है।
अतः,$5m + 2n = 5(20) + 2(121) = 100 + 242 = 342$।

(B) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\frac{1}{9 \cdot 13}+\ldots$ के $n$ पदों का योग $= \frac{27}{109}$ है।
श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$ लिख सकते हैं।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + \ldots + (\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1}$.
दिया गया है कि $S_n = \frac{27}{109}$,इसलिए $\frac{n}{4n+1} = \frac{27}{109}$.
$109n = 27(4n+1) \implies 109n = 108n + 27$.
अतः,$n = 27$.

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n \times b_n}$ है,जहाँ $a_n = 5n - 3$ और $b_n = 5n + 2$ है।
सामान्य पद को $T_n = \frac{1}{(5n-3)(5n+2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} - \frac{1}{5n+2} \right)$।
$n=1$ से $10$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{5} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{12}) + \dots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{52}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{52} \right)$।
$S = \frac{1}{5} \left( \frac{26-1}{52} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{25}{52} = \frac{5}{52}$।

(A) माना $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$.
सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right]$ लिख सकते हैं।
$n=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right]$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{3n}{2(3n+2)} \right] = \frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$.

(A) दी गई श्रेणी $S_n = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r)(2r+2)}$ है।
सामान्य पद को $\frac{1}{4} \times \frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
इसे $\frac{k n}{n+1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।