VN or Telescoping Method Questions in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $S_n = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r)(2r+2)}$ है।
सामान्य पद को $\frac{1}{4} \times \frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
इसे $\frac{k n}{n+1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$.
अतः,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
माना $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $1000 \left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{1}{n(n+1)} \right]$ है।
आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1000 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $1000 \left[ 1 - \frac{1}{1000} \right]$ शेष रहता है।
$= 1000 \left[ \frac{999}{1000} \right] = 999$।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = n \times n!$ है।
हम $T_n$ को $((n + 1) - 1) \times n! = (n + 1)! - n!$ के रूप में लिख सकते हैं।
योगफल $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} T_n = \sum_{n=1}^{50} ((n + 1)! - n!)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{50} = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \ldots + (51! - 50!)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{50} = 51! - 1!$ बचता है।
चूंकि $1! = 1$,इसलिए योगफल $51! - 1$ है।

(A) दिया गया पद $T_r = \frac{r}{r^4+r^2+1}$ है।
सर्वसमिका $r^4+r^2+1 = (r^2+r+1)(r^2-r+1)$ का उपयोग करने पर:
$T_r = \frac{r}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right)$.
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$,तब $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+1}$.
अतः,$T_r = \frac{1}{2} (f(r) - f(r+1))$.
योग $S = \sum_{r=1}^{25} T_r = \frac{1}{2} (f(1) - f(26))$.
$f(1) = 1$ और $f(26) = \frac{1}{651}$.
$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{651}) = \frac{325}{651}$.
यहाँ $p=325$ और $q=651$ है,इसलिए $p+q = 325 + 651 = 976$.

(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।
हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} \right]$.
माना $f(k) = 2k^2-2k+1$. तब $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.
अतः,$T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.
$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.
$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.
यहाँ $\text{gcd}(55, 221) = 1$ है,इसलिए $m=55$ और $n=221$ है।
अतः,$m+n = 55+221 = 276$.

(B) सामान्य पद $T_n = 528 \cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ है।
हम आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{528}{2} \sum_{n=1}^{10} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$ होगा।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $264 \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{10 \cdot 11} - \frac{1}{11 \cdot 12} \right) \right]$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे शेष रहेगा: $264 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{132} \right]$।
$= 264 \left[ \frac{66 - 1}{132} \right] = 264 \cdot \frac{65}{132} = 2 \cdot 65 = 130$।